Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 1

Lösungsvorschläge für die Aufgaben zur Vorlesung
Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 1
Blatt 2
WS 2008/09
Dr. J. Schürmann
Abgabe: Freitag, 31.10.2008, 13:00 Uhr
Aufgabe 4 (mündlich): Die Temperaturentwicklung eines Heißgetränks lässt sich durch die
Formel
Tt := TU + (T0 − TU ) · C t
beschreiben. Hierbei ist Tt die Temperatur des Getränks zum Zeitpunkt t, TU die Umgebungstemperatur und C eine Konstante mit 0 < C < 1.
1. Wann hat sich das Getränk auf den Mittelwert (T0 + TU )/2 zwischen Anfangstemperatur
T0 und Umgebungstemperatur TU abgekühlt?
2. Wann beträgt die Differenz Tt − TU nur noch 10% der anfänglichlichen Differenz T0 − TU ?
Lösung:
Wir nehmen im Folgenden T0 6= TU (also T0 − TU 6= 0) an, da sonst Tt = TU für alle Zeiten t ist.
1.
Tt = TU + (T0 − TU ) · C t =
2.
Tt − TU = (T0 − TU ) · C t =
T0 + TU
1
log(2)
⇔ Ct = ⇔ t = −
>0
2
2
log(C)
1
1
−1
· (T0 − TU ) ⇔ C t =
⇔t=
>0
10
10
log(C)
Aufgabe 5: Die scheinbare Helligkeit m der Sterne teilt man seit dem Altertum in Größenklassen
ein, man spricht von Sternen erster, zweiter, dritter, . . . Größe. Zwischen m und der vom Auge
wahrgenommenen Lichtintensität I besteht der Zusammenhang
m = C − 2.5 · log(I)
mit einer Konstanten C.
1. Sirius (der hellste Stern am Nachthimmel), Rigel, Octorion und Sonne haben die scheinbaren Helligkeit m1 = −1.45, m2 = 0.12, m3 = 0.088 und m4 = −26.7. Bestimme Sie die
Verhältnisse I1 /I2 usw. aller Lichtintensitäten I1 , . . . , I4 zueinander.
2. Die scheinbare Helligkeit eines Sterns ist abhängig von seiner Entfernung von der Erde
und daher kein Maß für seine absolute (tatsächliche) Helligkeit M . Diese ist festgelegt als
die Helligkeit, mit der der Stern aus einer Entfernung von 10 Parsec (= 32.6 Lichtjahre)
von der Erde erscheinen würde. Es gilt
M = m + 5 − 5 · log(d),
wobei d die Entfernung in Parsec ist. Berechnen Sie die absoluten Helligkeiten von Sirius,
Rigel, Octorion und Sonne mit den Entfernungen d1 = 2.69, d2 = 278, d3 = 8.88 und
d4 = 5 · 10−6 Parsec.
Lösung:
1.
m = C − 2.5 · log(I) ⇔ 10m = 10C−2.5·log(I) ⇔ I = 10−0.4·(m−C)
i
mi
Ii
1
−1.45
3.802 · 100.4C
2
0.12
0.895 · 100.4C
3
0.088
0.922 · 100.4C
4
−26.7
4.786 · 1010 · 100.4C
Verhältnisse (in der ersten Zeile stehen die Ii , in der ersten Spalte die Ij ):
Ii
Ij
I1
I2
I3
I4
I1
I2
I3
I4
1
4.246
4.123
7.943 · 10−11
0.236
1
0.971
1.871 · 10−11
0.243
1.023
1
1.927 · 10−11
1.259 · 1010
5.346 · 1010
5.190 · 1010
1
2.
M = m + 5 − 5 · log(d)
i
di
Mi
1
2.69
1.401
2
278
−7.100
3
8.88
0.346
4
5 · 10−6
4.805
Aufgabe 6: Bei dem Reaktorunglück von Tschernobyl in der Ukraine am 26.4.1986 wurden
große Mengen von radioaktivem Cäsium 137 Cs freigesetzt. Die Halbwertzeit von Cäsium 137 Cs
beträgt 30 Jahre.
1. Wie groß ist der Anteil (in Prozent) der freigesetzten Menge an Cäsium
(21.5 Jahre danach) noch nicht zerfallen ist?
137 Cs,
der heute
2. Nach wieviel Jahren ist nur noch 1% der freigesetzten Menge an Cäsium
137 Cs
übrig?
Lösung:
1. Sei x der Faktor, um den sich die freigesetzte Menge M pro Jahr verringert.
0.5 · M = M · x30 ⇔ log(0.5) = 30 · log(x) ⇔ x = 10
log(0.5)
30
≈ 0.977
Heute sind noch x21.5 ≈ 60, 64% der freigesetzten Menge übrig.
2.
xt =
−2 · 30
1
⇔ t · log(x) = log(10−2 ) = −2 ⇔ t =
≈ 199.31
100
log(0.5)
Nach ca. 200 Jahren ist weniger als 1% der freigestetzten Menge übrig.
2