Laplace-Formel ¨Ubungsaufgaben Spielwürfel oder Münzen

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Laplace-Formel
Übungsaufgaben
Spielwürfel oder Münzen werden ideal (oder fair ) genannt, wenn jedes Einzelereignis mit
gleicher Wahrscheinlichkeit erwartet werden kann.
1. Ein idealer Spielwürfel wird einmal geworfen. Berechne.
(a) P (eine 5 zu würfeln)
(b) P (eine ungerade Zahl zu würfeln)
(c) P (eine 3 oder eine 4 zu würfeln)
(d) P (eine Primzahl zu würfeln)
(e) P (eine ohne Rest durch 3 teilbare Zahl zu würfeln)
(f) P (eine ohne Rest durch 7 teilbare Zahl zu würfeln)
(g) P (eine gerade und durch 3 teilbare Zahl zu würfeln)
(h) P (eine Zahl > 1 zu würfeln)
(i) P (keine Zahl > 2 zu würfeln)
(j) P (eine Zahl < 10 zu würfeln)
(k) P (eine 1 oder eine 3 oder eine gerade Zahl zu würfeln)
2. Ein idealer Würfel wird zweimal nacheinander geworfen (zweistufiges Zufallsexperiment). Berechne
(a) P (zuerst eine 5 und dann eine 3 zu würfeln)
(b) P (unter den gewürfelten Zahlen ist eine 5 und eine 3)
(c) P (mindestens eine der gewürfelten Zahlen ist eine 3)
(d) P (die zuerst gewürfelte Zahl ist eine 2)
(e) P (unter den beiden gewürfelten Zahlen ist genau eine 4)
1
(f) P (zwei Sechsen zu würfeln)
(g) P (beide gewürfelten Zahlen sind identisch [Zweierpasch])
(h) P (beide gewürfelten Zahlen sind verschieden)
(i) P (zuerst eine gerade und dann eine ungerade Zahl zu würfeln)
(j) P (die zuerst gewürfelte Zahl ist um 5 kleiner als die zweite.)
(k) P (die zuerst gewürfelte Zahl ist um 4 kleiner als die zweite.)
(l) P (die Summe der Augenzahlen beträgt 2)
(m) P (die Summe der Augenzahlen beträgt 12)
(n) P (das Produkt der Augenzahlen beträgt 4)
(o) P (das Produkt der Augenzahlen beträgt 7)
(p) P (die Summe der Augenzahlen ist kleiner oder gleich 3)
(q) P (die Summe der Augenzahlen ist = 11)
(r) P (die Summe der Augenzahlen ist > 11)
(s) P (Summe und Produkt der Augenzahlen ist 4)
3. Ein Spielwürfel wird zweimal nacheinander geworfen und die Augenzahlen in der
Reihenfolge ihres Auftretens notiert. Berechne diesmal mit Hilfe eines Baumdiagrammes.
(a) P (zuerst eine 1 und dann eine 4 zu würfeln)
(b) P (zuerst eine 1 und dann eine gerade Zahl zu würfeln)
(c) P (zuerst keine 3 und dann eine Zahl > 4 zu würfeln)
(d) P (die Zahlen 5 und 3 oder die Zahlen 3 und 6 zu würfeln)
(e) P (mindestens eine der gewürfelten Zahlen ist eine 6)
2
(f) P (genau eine der gewürfelten Zahlen ist eine 6)
4. Wie viele Elementarereignisse gibt es, wenn . . .
(a) 3 Mal nacheinander gewürfelt wird?
(b) 4 Mal nacheinander gewürfelt wird?
(c) mit 7 verschiedenfarbigen Würfeln gleichzeitig gewürfelt wird?
5. Ein Spielwürfel wird dreimal nacheinander geworfen und die Augenzahlen in der
Reihenfolge ihres Auftretens notiert. Berechne mit Hilfe eines Baumdiagrammes.
(a) P (drei Sechsen zu würfeln)
(b) P (genau zwei Sechsen zu würfeln)
(c) P (genau eine Sechs zu würfeln)
(d) P (nur gerade Zahlen zu würfeln)
(e) P (ein wachsende arithmetische Folge mit d = 2 zu würfeln)
(f) P (die Augensumme 4 zu würfeln)
(g) P (zuerst eine 3 oder ein 4, dann eine 2 und dann eine Primzahl zu würfeln)
6. Eine Münze wird zweimal nacheinander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit
(a) P (zuerst Zahl, dann Kopf zu werfen)
(b) P (immer Zahl zu werfen)
(c) P (genau einmal Kopf zu werfen)
(d) P (zweimal Kopf oder zweimal Zahl zu werfen)
(e) P (mindestens einmal Kopf zu werfen)
(f) P (nie Zahl zu werfen)
3
(g) P (höchstens einmal Kopf zu werfen)
7. Eine Münze wird dreimal nacheinander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit
(a) P (dreimal Zahl zu werfen)
(b) P (zuerst zweimal Zahl und dann Kopf zu werfen)
(c) P (genau zweimal Zahl zu werfen)
(d) P (immer Kopf zu werfen)
(e) P (höchstens zweimal Kopf zu werfen)
(f) P (höchstens einmal Kopf zu werfen)
(g) P (nie Kopf zu werfen)
(h) P (genau einmal Zahl zu werfen)
8. Eine Münze wird viermal nach einander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit
(a) P (niemals Zahl zu werfen)
(b) P (genau einmal Zahl zu werfen)
(c) P (genau zweimal Zahl zu werfen)
(d) P (genau dreimal Zahl zu werfen)
(e) P (genau viermal Zahl zu werfen)
9. Eine Münze wird fünfmal nacheinander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichhkeit
(a) P (nie Zahl zu werfen)
(b) P (genau einmal Zahl zu werfen)
(c) P (genau zweimal Zahl zu werfen)
4
(d) P (genau dreimal Zahl zu werfen)
(e) P (mindestens viermal Zahl zu werfen)
(f) P (mindestens zweimal Zahl zu werfen)
10. Aus einem gut gemischten Kartenspiel (vier Farben: Kreuz ♣, Pik ♠, Herz ♥, Karo
♦, neun Kartenwerte: As (11), König (4), Dame (3), Bube (2), 10, 9, 8, 7, 6) wird
eine Karte gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit.
(a) P (einen Pik-Buben zu ziehen)
(b) P (eine Herz-Karte zu ziehen)
(c) P (ein As oder einen König zu ziehen)
(d) P (ein As oder eine Kreuz-Karte zu ziehen) (!)
(e) P (eine Karte mit einer Zahl zu ziehen)
(f) P (höchstens den Kartenwert 7 zu ziehen)
(g) P (mindestens den Kartenwert 5 zu ziehen)
11. Aus einem gut gemischten Kartenspiel (vier Farben: Kreuz Pik, Herz, Karo; neun
Kartenwerte: As (11), König (4), Dame (3), Bube (2), 10, 9, 8, 7, 6) wird eine Karte
gezogen und deren Wert und Farbe notiert. Dann wird die Karte wieder auf den
Stapel gelegt und der Stapel gut gemischt. Dann wird eine zweite Karte gezogen
und wieder deren Wert und Farbe notiert. Berechne die Wahrscheinlichkeit
(a) P (zuerst einen König und dann eine Dame zu ziehen)
(b) P (einen König und eine Dame zu ziehen)
(c) P (dass mindestens ein Bube gezogen wird)
(d) P (dass eine der Karten eine Karo-Karte und die andere eine 10 ist)
(e) P (dass zwei verschiedene Karten gezogen werden)
5
12. Aus einem gut gemischten Kartenspiel wird eine Karte gezogen und deren Wert und
Farbe notiert. Dann wird – ohne die erste Karte zurückzulegen – eine zweite Karte
gezogen und deren Wert und Farbe notiert. Diese Variante eines Zufallsexperimentes
wird Ziehen ohne Zurücklegen genannt. Berechne die Wahrscheinlichkeit
(a) P (Zwei Asse zu ziehen)
(b) P (zuerst einen König und dann eine Dame zu ziehen)
(c) P (einen König und eine Dame zu ziehen)
(d) P (dass mindestens ein Bube gezogen wird)
(e) P (dass zwei verschiedene Karten gezogen werden)
(f) P (dass die Summe der Kartenwerte 5 beträgt)
13. In einer Schachtel befinden sich 5 rote, 3 blaue und 2 weisse Kugeln. Aus dieser
Schachtel werden nacheinander blind zwei Kugeln gezogen, wobei nach jeder Ziehung
die Farbe der Kugel notiert und die Kugel wieder in die Schachtel zurückgelegt wird.
Berechne die Wahrscheinlichkeit
(a) P (zuerst eine weisse und dann eine rote Kugel zu ziehen)
(b) P (dass eine weisse und eine rote Kugel unter den gezogenen ist)
(c) P (zwei blaue Kugeln zu ziehen)
(d) P (zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen)
(e) P (zwei gleichfarbige Kugeln zu ziehen)
(f) P (keine blaue Kugel zu ziehen)
14. In einer Schachtel befinden sich 5 rote, 3 blaue und 2 weisse Kugeln. Aus dieser
Schachtel werden nacheinander blind und ohne Zurücklegen drei Kugeln gezogen,
wobei nach jeder Ziehung die Farbe der Kugel notiert wird. Berechne die Wahrscheinlichkeit
(a) P (nur blaue Kugeln zu ziehen)
(b) P (nur rote Kugeln zu ziehen)
6
(c) P (mindestens 2 blaue Kugeln zu ziehen)
(d) P (drei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen)
(e) P (drei gleichfarbige Kugeln zu ziehen)
(f) P (keine weisse Kugel zu ziehen)
15. Zwei Spieler A und B werfen abwechslungsweise eine Münze. Diejenige Person, welche zuerst Kopf wirft, gewinnt das Spiel. A beginnt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
gewinnt A das Spiel?
16. In einer Schachtel liegen insgesamt 100 Kugeln. Von diesen Kugeln sind n rot, die
übrigen schwarz. Die Wahrscheinlichkeit, ohne Zurücklegen zwei rote Kugeln zu
8
ziehen, beträgt p = 75
. Berechne die Anzahl der schwarzen Kugeln.
17. In einer Schachtel liegen 3 blaue und 2 rote Kugeln. Zwei Spieler ziehen abwechslungsweise eine Kugel, ohne sie wieder zurückzulegen. Sieger ist, wer als erster eine
rote Kugel zieht. Wie gross ist die Wahrscheinklichkeit, dass der mit dem Ziehen
beginnende Spieler gewinnt?
18. Ein Kleinbus mit 9 Insassen fährt über eine Grenze. Vier der Insassen sind Schmuggler. Ein Zollbeamter wählt zufällig drei Personen zur Kontrolle aus.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass
(a) alle Kontrollierten Schmuggler sind?
(b) keiner der Kontrollierten ein Schmuggler ist?
(c) genau einer der Kontrollierten ein Schmuggler ist?
7
19. In einer Urne befinden sich 7 rote, 8 grüne und 5 blaue Kugeln. In einer anderen
Urne befinden sich 10 rote, 8 grüne und 3 blaue Kugeln. Aus jeder der Urnen wird
gleichzeitig eine Kugel gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass
(a) beide Kugeln rot sind?
(b) beide Kugeln gleichfarbig sind?
(c) mindestens eine Kugel grün, aber keine rot ist?
20. In einer Urne sind 5 schwarze, 4 weisse und 3 rote Kugeln Es wird zweimal ohne
Zurücklegen gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit,
(a) zwei schwarze Kugeln
(b) mindestens eine rote Kugel zu ziehen?
21. Im einem Korb liegen 6 schwarze, 4 blaue und 2 graue Socken. Jemand nimmt blind
zwei Socken heraus. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide die gleiche
Farbe haben?
22. Ein Student darf bei einer Prüfung 2 von 30 Prüfungsfragen ziehen. Er hat 25 Fragen
gelernt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er
(a) beide Fragen richtig beantworten kann?
(b) mindestens eine Frage richtig beantworten kann?
8
Laplace-Formel
Lösungen+
Übungsaufgaben
1. (a) 1/6
(b) 1/2
(c) 1/3
(d) 1/2
(e) 1/3
(f) 0
(g) 1/6
(h) 5/6
(i) 1/3
(j) 1
2. (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
(p)
(q) 1/18
1/36
1/18
11/36
1/6
3. (a) 1/36
5/18
1/36
1/6
5/6
(b) 1/12
1/4
1/36
1/18
1/36
(c) 5/18
4. (a) 63 = 216
1/36
1/12
0
1/12
(d) 1/9
(k) 5/6
(r) 1/36
(s) 1/36
(e) 11/36
(b) 64 = 1296
(f) 5/18
(c) 67 = 279 936
5. (a) 1/216
(b) 5/72
(c) 25/72
(d) P (g, g, g) =
1
2
· 12 ·
1
2
1
8
=
1 3
6
(e) P (1, 3, 5) + P (2, 4, 6) =
1 3
6
+
=
(f) P (2, 1, 1) + P (1, 2, 1) + P (1, 1, 2) = 3 ·
2
6
(g) P (3 ∨ 4, 2, 2 ∨ 3 ∨ 5) =
6. (a) P (Z, K) =
(b) P (Z, Z) =
1 1
·
2 2
1 1
·
2 2
=
=
· 16 ·
3
6
=
1
108
1 3
6
=
1
72
1
36
1
4
1
4
(c) P (K, Z) + P (Z, K) =
(d) P (K, K) + P (Z, Z) =
1
2
1
2
· 12 + 12 ·
· 12 + 12 ·
1
2
1
2
=
=
2
4
2
4
1
2
=
=
1
2
1
2
1
2
(e) P (K, Z) + P (Z, K) + P (K, K) = 21 · + · 21 + 21 · 12 = 43
oder indirekt: 1 − P (nie Kopf werfen) = 1 − P (Z, Z) = 1 − 21 ·
(f) P (K, K) =
1
2
·
1
2
=
1
2
=
3
4
1
4
(g) P (K, Z) + P (Z, K) + P (Z, Z) = 12 · 21 + 21 · 12 + 21 · 21 = 34
oder indirekt: 1 − P (genau zweimal Kopf) = 1 − P (K, K) = 1 − 12 ·
7. (a) P (Z, Z, Z) =
(b) P (Z, Z, K) =
1 1 1
· ·
2 2 2
1 1 1
· ·
2 2 2
=
=
1
2
=
3
4
1
8
1
8
(c) P (Z, Z, K) + P (Z, K, Z) + P (K, Z, Z) =
3
(d) P (K, K, K) = 21 = 18
1 3
2
+
1 3
2
+
1 3
2
=
3
8
(e) P (0 Mal Kopf)+P (1 Mal Kopf)++P (2 Mal Kopf) = P (Z, Z, Z)+P (K, Z, Z)+
3
P (Z, K, Z)+P (Z, Z, K)+P (Z, K, K)+P (K, Z, K)+P (K, K, Z) = 7· 12 = 87
3
oder indirekt: 1−P (genau 3 Mal Kopf) = 1−P (K, K, K) = 1− 12 = 1− 18 =
7
8
(f) P (0 Mal Kopf) + P (1 Mal Kopf) = P (Z, Z, Z) + P (K, Z, Z) + P (Z, K, Z) +
3
P (Z, Z, K) = 4 · 12 = 21
1
1
2
(g) P (Z, Z, Z) =
· 12 ·
1
2
1
8
=
(h) P (Z, K, K) + P (K, Z, K) + P (K, K, Z) = 3 ·
1 3
2
=
3
8
1
16
8. (a) P (K, K, K, K) =
(b) P (Z, K, K, K) + P (K, Z, K, K) + P (K, K, Z, K) + P (K, K, K, Z) =
4
16
=
1
4
(c) P (Z, Z, K, K)+P (Z, K, Z, K)+P (Z, K, K, Z)+P (K, Z, Z, K)+P (K, Z, K, Z)+
6
P (K, K, Z, Z) = 16
= 38
(d) P (Z, Z, Z, K) + P (Z, Z, K, Z) + P (Z, K, Z, Z) + P (K, Z, Z, Z) =
1
(e) P (Z, Z, Z, Z) = 16
5
1
9. (a) p = 50 · 12 = 32
5
5
(b) p = 51 · 12 = 32
5 10
5
(c) p = 52 · 12 = 32
= 16
5 10
5
(d) p = 53 · 12 = 32
= 16
5
6
3
(e) p = 54 + 55 · 12 = 32
= 16
5
(f) p = 52 + 53 + 54 + 55 · 21 =
10. (a) P (♠B) =
(b) P (♥) =
26
32
9
36
13
16
=
4
36
+
4
36
=
8
= 29
36
4
9
+ 36
36
−
1
36
(f) P (Wert ≤ 7) =
(g) P (Wert ≥ 5) =
=
1
9
1
3
1
= 59
9
P (B) + P (D) + P (K) + P (6) + P (7) = 19 + 91 + 19 + 19 + 19 = 95
P (6)+P (7)+P (8)+P (9)+P (10)+P (11) = 19 + 91 + 19 + 19 + 91 + 19 =
(e) P (10) + P (9) + P (8) + P (7) + P (6) =
+ 91 +
1
9
+ 19 +
2
3
11. (a) P (K, D) =
4
36
·
4
36
=
1
81
1
81
2
81
32
4
· 36
+ 32
· 4
P (B, B) + P (B, B) + P (B, B) = 36
36 36
oder indirekt: 1 − P (B, B) = 1 − 32
· 32 = 17
36 36
81
9
4
4
9
1
P (♦, 10) + P (10, ♦) = 36 · 36 + 36 · 36 = 18
· 35 = 35
P (x, x) = 36
36 36
36
(b) P (K, D) + P (D, K) =
(e)
+
1
81
=
+
4
36
·
4
36
=
17
81
+
4
36
·
3
35
=
67
315
4
1
· 3 = 105
36 35
4
4
4
· 35
= 315
= 36
12. (a) P (A, A) =
(b) P (K, D)
(c) P (K, D) + P (D, K) =
4
36
·
4
35
+
4
36
(d) P (B, B) + P (B, B) + P (B, B) =
oder indirekt: 1 − P (B, B) = 1 −
(e) P (x, x) =
1
4
1
4
=
(d) P (A) + P (♣) − P (♣A) =
(d)
=
1
36
(c) P (A) + P (K) =
(c)
4
16
36
36
·
35
35
·
4
35
4
36
32
36
·
·
8
315
+ 32
· 4
36 35
67
= 315
=
32
35
31
35
=1
(f) P (D, B) + P (B, D) =
4
36
·
4
35
+
4
36
2
·
4
35
=
8
315
13. In dieser Aufgabe gilt: P (r) =
(b)
(c)
2
10
1
10
2
P (w, r) + P (r, w) = 10
3
9
3
· 10
= 100
P (b, b) = 10
(a) P (w, r) =
5
10
·
5
,
10
P (b) =
·
5
10
5
10
+
(e) P (r, r) + P (b, b) + P (w, w) =
7
10
14. (a) P (b, b, b) =
(b) P (r, r, r) =
7
10
·
3
10
5
10
2
10
· 29 ·
4
9
2
10
5
10
2
10
·
·
·
1
5
=
8
10
5
10
5
10
3
10
+
+
·
·
5
10
3
10
3
10
2
10
+
+
·
·
7
10
2
10
31
50
19
50
=
=
49
100
=
·
P (w) =
=
(d) P (w, w) + P (r, r) + P (b, b) =
(f) P (b, b) =
3
,
10
1
8
3
8
·
1
120
1
12
=
=
(c) P (b, b, b)+P (b, b, b)+P (b, b, b)+P (b, b, b) =
3 2 1
· · + 3 ·2·7+ 3 ·7·2+ 7 ·3·2
10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8
(d) P (r, b, w) + P (r, w, b) + P (b, w, r) + P (b, r, w) + P (w, b, r) + P (w, r, b) =
2
5
3
3
2
2
+ 10
· 29 · 83 + 10
· 29 · 85 + 10
· 59 · 82 + 10
· 39 · 85 + 10
· 59 · 38 = 41
8
(e) P (r, r, r) + P (b, b, b) + P (w, w, w) =
8
10
(f) P (w, w, w) =
15. P (A) =
·
7
9
·
6
8
5
10
· 49 · 83 +
3
10
· 29 · 81 +
2
10
· 19 ·
0
8
=
=
5
10
·
11
60
3
·
9
11
120
7
15
=
1
2
P (ABA) =
1 3
2
1
8
=
1 5
2
P (ABABA) =
1
32
=
usw.
Die Wahrscheinlichkeiten, dass A beim k-ten Versuch das Spiel gewinnt, bilden einen
geometrische Folge mit p1 = 12 und q = 14
1
2
P (A gewinnt das Spiel) =
16. P (r, r) =
n n−1
8
·
=
100
99
75
n1 = 33, n2 = −32
17.
+
1
8
+
⇒
1
32
+
1
128
+··· =
n2 − n = 1056
1
2
·
1
1− 14
⇒
=
2
3
n2 − n − 1056 = 0
n = 33 rote und 100 − n = 67 schwarze Kugeln
⇒
• Spätestens nach dem 3. Zug ist das Spiel entschieden.
• Der erste Spieler gewinnt in foldenden Situationen
– P (r) = 52
– P (b, b, r) =
3
5
· 42 ·
2
3
Zusammen ergibt dies eine Wahrscheinlichkeit von p =
18. (a) P (S, S, S) =
(b) P (S, S, S) =
4
9
5
9
· 38 ·
·
4
8
·
2
7
3
7
=
=
1
21
5
42
(c) P (S, S, S) + P (S, S, S) + P (S, S, S) =
19. (a) P (r, r) =
7
20
·
10
21
=
3
5
4
9
10
· 58 · 74 + 59 · 48 · 74 + 95 · 48 · 47 = 3 · 63
=
1
6
(b) P (r, r) + P (g, g) + P (b, b) =
(c) P (g, b) + P (b, g) + P (g, g) =
7
· 10 +
20 21
8
· 3 +
20 21
3
8
· 8 +
20 21
5
· 8 +
20 21
5
· 3
20 21
8
· 8
20 21
=
=
70
64
+ 410
+
410
24
40
+ 420
+
420
15
410
64
420
=
=
149
420
32
105
10
21
20. (a) P (s, s) =
5
12
·
4
11
=
5
33
9
9
3
3
2
5
3
(b) P (r, r) + P (r, r) + P (r, r) = 12
· 11
+ 12
· 11
+ 12
· 11
= 11
oder die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses (keine rote Kugel) berechnen:
9
8
6
· 11
= 11
P (r, r) = 12
. . . und von der Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses (1) subtrahieren:
6
5
1 − 11
= 11
21. Ziehen ohne Zurücklegen:
P (s, s) + P (b, b) + P (g, g) =
6
12
·
5
11
+
4
12
22. b: Kandidat kann die Frage beantworten
worten
(a) P (b, b) =
25
30
·
24
29
=
·
3
11
+
2
12
·
1
12
=
1
3
b: Kandidat kann die Frage nicht beant-
20
29
25 24
5
· + 25
· 5 + 30
· 25
30 29
30 29
29
4
2
85
5
− 30 · 29 = 1 − 87 = 87
(b) P (b, b) + P (b, b) + P (b, b) ==
oder kürzer: 1 − P (b, b) = 1
4
=
85
87
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