Dekohärenz - cond

Dekohärenz
Seminar: Quanten-Computing
Michael Fleck
07.07.2005
Prof. H. Müller- Krumbhaar, Dr. E. Koch
Institut für Festkörperforschung, FZ Jülich
1
Inhalt
• Schrödingers Katze
• Das Problem der Messung
• Modell einer QM- Messung
• Dekohärenz eines einzelnen Qubits
• Klassischer Grenzfall der Quanten
Mechanik
07.07.2005
Prof. H. Müller- Krumbhaar, Dr. E. Koch
Institut für Festkörperforschung, FZ Jülich
2
Schrödingers Katze
•
•
•
•
•
Abgeschlossenes System: Katze,
Vergiftungsapparat gekoppelt an
instabiles Atom
Atom zerfallen → Katze vergiftet
Anfangszustand:
ψ = leben 1
Ungestörte Zeitentwicklung:
ψ = a tot 0 + b leben
1
Die Katze ist gleichzeitig tot und
lebendig.
 a 2
ρ =  *
a b

0 tot
07.07.2005
ab * 
2
b 
1 
=   ; 1 leben
0 
•
Warum sehen wir die Katze nie
gleichzeitig tot und lebendig?
ρ
0
=  
1
•
d
 a 2
= 
 0

0 
2
b 
Kopplung an die Umgebung
Prof. H. Müller- Krumbhaar, Dr. E. Koch
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3
Das Problem der Messung
• Wieso sehe ich immer nur eine
der Alternativen?
• Kopenhagen Interpretation (N.
Bohr;1928)
– Messung eines QM- Systems mit
kl. Apparatur erzeugt Auswahl
– Abgeschlossene Systeme
gehorchen der Schrödinger Gl.;
bei Messung Kollapse.
– Es gibt eine Grenze
• Everett Interpretation (1957)
– Schrödinger Gl. gilt immer.
– Alle alternativen Ergebnisse
Existieren gleichzeitig.
– Das Bewusstsein nimmt nur einen
Zweig war.
07.07.2005
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4
Modell einer QM- Messung
• 2 qubit Anordnung: QM- System mit QM- Messapparat
↑ A↑↓ a ↑ A↓↑
;
• Anfangszustand:
↓ A↑↓ a ↓ A↑↓
[
φ i = ψ S ⊗ A↓ = α ↑ + β ↓
] A↓
• korrelierter Endzustand:
φc
= α ↑
A↑
+ β ↓
A↓
• Dichtematrix:
ρc = φ c
φc = α
2
↑ ↑ ⊗ A↑
+ α ∗ β ↓ ↑ ⊗ A↓
A↑ + αβ ∗ | ↑ ↓ | ⊗ A↑
A↑ + β
2
↓ ↓ ⊗ A↓
A↓
A↓
• Postulat: Nicht unitärer „Prozess 1“ erzeugt diagonale Dichtematrix:
ρr = α
07.07.2005
2
↑
↑ ⊗ A↑
A↑
+ β
2
↓
↓ ⊗ A↓
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A↓
5
Basis Unbestimmtheit ?!
• In der Basis {￨↑>,￨↓>}:
↑ A↑↓
• Konjugierte Basis:
[
± = ↓ ± ↑
• Liefert:
[↓
↑ A↓↑
a
]
] [
2
;
± ↑ ⊗ A↓ − A↑
;
↓ A↑↓
[
A± = A↓ ± A↑
]=
↓ A↑↓
a
]
2
↓ A↓ m ↑ A↑ − ↓ A↑ ± ↑ A↓
{
↓ A↓ m ↑ A↓ − ↓ A↑ m ↑ A↑
a
[
] [
= ↓ m ↑ ⊗ A↓ − A↑
]
}
• Es ergibt sich eine konjugierte Wahrheitstabelle:
± A−
07.07.2005
a
m A− ;
± A+
a
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± A+
6
Ankopplung an die Umgebung:
Dekohärenz
• 3 qubit Anordnung: System S, Messapparatur A und Umgebung E:
[
]
φc E1 = α ↑ A↑ + β ↓ A↓ E1
a
Ψ = α ↑ A↑ E2 + β ↓ A↓ E1
• Wenn Ei E j = δij , dann ergibt sich die reduzierte Dichtematrix:
ρ AS = Tr E Ψ Ψ =
= α
2
∑i
↑ ↑ ⊗ A↑
Ei Ψ Ψ Ei
A↑
+ β
2
↓ ↓ ⊗ A↓
A↓ = ρ r
• Basis Wahl wird durch AE- Wechselwirkung bestimmt:
[Λ, H int ] = 0
• Streuprobleme sind lokal ⇒ Ortsbasis ausgezeichnet
07.07.2005
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7
Dekohärenz eines einzelnen Qubits
• Qubit{⇑
} in Wechselwirkung mit einem Umgebungsspin {↑
H SE = g ( ⇑ ⇑ − ⇓ ⇓ ) ⊗ ( ↑ ↑ − ↓ ↓ )
g

0
=
0

0
; ⇓
0
−g
0
0
0
−g
0
0
0

0
0

g 
mit
1
 
0
⇑ ↑ =  ;
0
 
0
• Anfangszustand:
0
 
0
⇓ ↑ =  ;
1
 
0
}:
0
 
0
⇓ ↓ = 
0
 
1
Zeitentwicklung:
Φ (0) = (α ⇑ + β ⇓ ) ⊗ ( A ↑ + B ↓ )
1
 0
0
 0
 
 
 
 
0
 1
0
 0
= α A  + α B   + β A  + β B  
0
0
1
0
 
 
 
 
0
 0
0
 1
07.07.2005
0
 
1
⇑ ↓ =  ;
0
 
0
; ↓
 i

Φ ( t ) = exp  − H SE t  Φ ( 0 )
 h

 − i gt
e h
0
0

i
gt
 0
h
e
0
=
i
gt
 0
0
eh


0
0
 0
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0
0
0
i
− gt
h
e




 Φ (0)




8
Dekohärenz eines einzelnen Qubits
• Zeitentwicklung:
 −i
e h


Φ (t ) =  0
 0


 0
= α Ae
= α Ae
gt
0
e
0
0
i
gt
h
0
0
0
i
gt
h
0
0
−
i
gt
h
−
i
gt
h






e
0
1

0
+ α Be
0

0 
⇑
e
i
gt
h
↑ + α Be






−
i
gt
h




 Φ (0)




0

1
+ β Ae
0

0 
i
gt
h
⇑
↓
i
gt
h






+ β Ae
0

0
+ β Be
1

0 
i
gt
h
⇓
−
i
gt
h






0

0
0

1 
↑ + β Be
−
i
gt
h
⇓
↓
i
i
i
i




− gt
gt
gt
− gt



h
h
h
h
= α ⇑
Ae
↑ + Be
↓
+ β ⇓
Ae
↑ + Be
↓ 




1 4 4 44 2 4 4 4 4


3
1 4 4 44 2 4 4 4 4
3
E ⇑ (t )
07.07.2005
E ⇓ (t ) = E ⇑ ( − t )
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9
Dekohärenz eines einzelnen Qubits
• Dichtematrix:
(
ρ = Φ (t ) Φ (t ) = α ⇑ E⇑ + β ⇓ E ⇓
 α 2 αβ *

 α *β β 2
=

0




0


2
*
α
αβ 
2 
α *β β 
mit
)(α ∗ ⇑
⇑ E⇑
E ⇑ + β∗ ⇓ E ⇓
1
 
0
=  ;
0
 
0
⇓ E⇓
)
0
 
0
= 
0
 
1
• Bilde zur Berechnung der reduzierten Dichtematrix:
i
 ∗ i gt

− gt
∗

h
h
E⇑ (t ) E⇓ (t ) = A e
↑ +B e
↓   Ae




= A
07.07.2005
2
i
2 gt
h
e
2
+ B e
−
i
2 gt
h
i
gt
h
↑ + Be
−
i
gt
h

↓ 


= r (t )
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Institut für Festkörperforschung, FZ Jülich
10
Dekohärenz eines einzelnen Qubits
•
Reduzierte Dichtematrix:
ρ S = trE ( ρ) = ∑ E i ρ Ei = ↑ ρ ↑ + ↓ ρ ↓
i
 α2
= ∗
 αβ r (t )

•
α ∗β r ∗ (t ) 
2

β

Dabei gilt für r(t):
r (t ) =
i
2 h 2 gt
A e
+ B
i
2 − h 2 gt
e
mit
1
⇑ =   ;
0
[
0 
⇓ =  
1 
]
 g 
2
2
 g 
= cos  2 t  + i A − B sin  2 t 
 h 
 h 
•
Der Betrag der Interferenzterme hat folgende Zeitabhängigkeit:
g 
2
2
2 2
 g 
2
r ( t ) = cos  2 t  + A − B
sin 2  2 t 
 h 
 h 
•
Periodische Zeitabhängigkeit: Poincaré‘sche Wiederkehrzeit
(
07.07.2005
)
Prof. H. Müller- Krumbhaar, Dr. E. Koch
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11
Dekohärenz eines einzelnen Qubits
im Spinbad
• Wechselwirkung des Qubits mit N Spins der Umgebung:
H
= (⇑
SE
⇑ − ⇓
⇓ )⊗
∑
gk ( ↑k
↑k − ↓k
↓k ) ⊗
k
• Anfangszustand:
Φ (0 ) = (α ⇑
N
+ β ⇓ ) ∏ ( Ak ↑
k =1
k
+ Bk ↓
k
N
∏
i =1
i≠ k
Ii
)
• Zeitentwicklung des Zustandes:
Φ (t )
i
= exp  H
h
E ⇑ (t ) =
N
∏
k =1
(A e
k
SE
ig k t

t  Φ (0) = α ⇑ E ⇑ (t ) + β ⇓ E ⇓ (t )

↑ k + B k e − ig k t ↓ k
)=
E⇓ (−t)
• Reduzierte Dichte-Matrix
ρS = α
2
⇑
wobei
07.07.2005
⇓ + αβ
r (t ) =
∗
⋅ r (t ) ⇑
N
∏
k =1
Ak
2
⇓ + α ∗β ⋅ r ∗ ( t ) ⇓
i

exp  2 g k t  + B k
h

⇑ + β
2
Prof. H. Müller- Krumbhaar, Dr. E. Koch
Institut für Festkörperforschung, FZ Jülich
2
⇓
⇓
 i

exp  − 2 g k t 
 h

12
Dekohärenz eines einzelnen Qubits
im Spinbad
•
•
Dekohärenz Dämpfung:
N
2
i

r ( t ) = ∏ A k exp  2 g k t  + B k
h

k =1
2
 i

exp  − 2 g k t 
 h

Ausmultiplizieren ( j = ↑1 ⊗ ↓ 2 L ⊗ ↓ N
läuft über alle Spin-Kombin.):
2N
•
 i

r (t ) = ∑ p j exp− 2∆ω j t  mit p j = j E(t = 0)
 h

j =1
Wobei:
H SE = ( ⇑ ⇑ − ⇓ ⇓ ) ⊗ ∑ g k ( ↑ ↑ − ↓ ↓
2
und ∆ω = ⇑ j H SE j ⇑
)k
k
E (0) =
N
∏
k =1
•
(A k
↑
k
+ Bk ↓
k
)
Zum Beispiel für k=2 (h=1):
(
)(
r (t ) = A12 e i 2 g 1t + B12 e i 2 g 1t A22 e i 2 g 2 t + B22 e i 2 g 2 t
)
= A12 A22 e i 2 ( g 1 + g 2 )t + A12 B22 e i 2 ( g 1 − g 2 ) t + B12 A22 e − i 2 ( g1 − g 2 ) t + B12 B22 e − i 2 ( g1 + g 2 )t
07.07.2005
Prof. H. Müller- Krumbhaar, Dr. E. Koch
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13
Dekohärenz eines einzelnen Qubits
im Spinbad
•
(
Darstellung der Dichtematrix aller
Zustände eines Qubits durch die
Bloch-Kugel:
 α
= 
 αβ ∗ r ( t )

2
ρS
r (t ) =
•
Erwartungswert des Betrages:
t



∑ pi p j cos h ( ωi − ω j )
2N
=∑
j
07.07.2005
y
∑
i, j
p 2j
N
= ∏ ( Ak4 + Bk4 )
1
424
3
k =1
<1
)
y
N
=2
2
z
Dekohärenz
ρ
Für große N ist r(t) klein, weil ∆ωj
und pj zufällig.
2
2
⇑ ⇑
z
•
r (t )
) (
∗
 i

p j exp  − 2 ∆ ω j t 
 h

j =1
2
(
⇑ ⇑
α β r ( t ) 
2

β

∗
)
x = Re αβ∗r(t) ; y = Im αβ∗r(t ) ; z = α − β
x
x
⇓ ⇓
•
⇓ ⇓
Dekohärenz ist eine Kontraktion
in der z = konst. Ebene.
•
⇑ ⇑
und ⇓ ⇓ sind invariant
unter Dekohärenz.
•
Dekohärenz ist exponentiell
effektiv.
Prof. H. Müller- Krumbhaar, Dr. E. Koch
Institut für Festkörperforschung, FZ Jülich
14
Klassischer Grenzfall der
Quantenmechanik
• Dynamik: Zeitentwicklung der Objekte
– Klass. Mechanik: Hamilton Gleichungen
– QM: Schrödinger Gleichung
– Dynamischer Grenzfall durch Ehrenfest Theorem erklärbar
• Kinematik: Beschreibung der Objekte
– Klass. Mechanik: Massenpunkt im Phasenraum
– QM: Wellenfunktion im Hilbertraum
– Einsteins Frage nach der Lokalisierung:
„Man muss sich schon wundern, dass eine Fliege die
man zum ersten mal sieht, so etwas wie lokalisiert
erscheint.“
– Kinematischer Grenzfall durch Dekohärenz erklärbar.
07.07.2005
Prof. H. Müller- Krumbhaar, Dr. E. Koch
Institut für Festkörperforschung, FZ Jülich
15
Räumliche Lokalisierung durch
Streuung
• Das Streuteilchen misst den Ort des Streuzentrums.
Objekt am Ort x ⊗ einlaufend es Teilchen
a Objekt am Ort x ⊗ Teilchen am Ort x gestreut
• In erster Näherung ohne Rückstoß:
x Φ0
a
x Φx
• Bildung der reduzierten Dichtematrix:
ρ( x, x´) a ρ( x, x´) ⋅ Φ x´ Φ x
•
mit ρ( x , x´) = x ' ψ ψ x
ρ ~ Null, wenn die Wellenlänge λ kleiner als die Distanz |x-x´|:
0
falls

Φ x´ Φ x = 
2
1 − O ( x − x´) falls
[
]
x − x´ >> λ
x − x´ << λ
• Viele Streuungen schlechter Auflösung (|x-x´| << λ):
{
ρ ( x , x´, t ) = ρ ( x , x´, 0 ) ⋅ exp − Λ t ( x − x´) 2
07.07.2005
}
wobei
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Λ ~ k 2 σ eff j
1 42 43
Lokalisier ungsrate
16
Räumliche Lokalisierung durch
Streuung
•
Lokalisierungsrate Λ [cm-2s-1]:
1
1
N v
2
2
Λ =
k
σ
j
=
k
σ
eff
eff
V
8π3
8π3
•
Dabei ist: k Wellenzahl, Nv/V Flussdichte der Streuteilchen und σeff von der
Größenordnung des totalen Streuquerschnitts.
Das Auftreten von Interferenzen ist also eine quantitative Frage!
•
a = 10-3 cm
Staubkorn
a = 10-5 cm
Staubkorn
a = 10-6 cm
Großes Molekül
Kosmische Hintergrundstrahlung
106
10-6
10-12
300K – Photonen
1019
1012
106
Sonnenlicht
1021
1017
1013
Luftmoleküle
1036
1032
1030
Laborvakuum
1021
1019
1017
07.07.2005
Prof. H. Müller- Krumbhaar, Dr. E. Koch
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17
Bewegungsgleichungen unter dem
Einfluss von Streuung
• Zeitliche Entwicklung der Dichtematrix eines Streuzentrums ist von
Neuman Gleichung plus Zusatzterme für die Streuung:
i
dρ
∂ρ
= [H intern , ρ ] +
dt
∂t
Streuung
• Freie Teilchen (Hintern = p2/2m) ohne Rückstoß (h=1):
d ρ ( x , x´, t )
1
i
=
dt
2m
2
 ∂2
∂

 ∂ x´ 2 − ∂ x 2


 ρ − i Λ ( x − x´) 2 ρ


• Mit Rückstoß („Quantum Brownian Motion“)
dρ( x , x´, t )  1  ∂ 2
∂2
i
=
− 2
2

dt
∂x
 2 m  ∂x´


 − iΛ ( x − x´)2 + iγ ( x − x´) ∂ − ∂  ρ ( x , x´, t )

 ∂x´ ∂x  

• Verhältnis von Dekohärenz und Reibung
2 mk B T  ∆ x
Dekohärenz
Λ
= ∆x2 ≅
= 
Re ibung
γ
h2
 λ dB
07.07.2005



2
a
10 40
Prof. H. Müller- Krumbhaar, Dr. E. Koch
Institut für Festkörperforschung, FZ Jülich
18
Bewegungsgleichungen unter dem
Einfluss von Streuung
• Master Gleichung (hochtemperatur Grenzfall):
dρ
=
dt
i
− [H , ρ ]
h 4
142
3
−
von Neuman Gleichung
∂ 
 ∂
γ ( x − x ′)  −
ρ
′
∂
x
∂
x

1 4 4424 4 43
−
Λ ( x − x ′) 2 ρ
1 4243
Dekoherenz
Relaxation
• Zwei Gaußpakete mit Abstand ∆x und Breite dx: φ(x)=(χ+(x)+χ(x))/21/2
[
1 −
χ ( x ) χ + ( x´) + χ + ( x ) χ − ( x´) + χ + ( x ) χ + ( x ´) + χ − ( x ) χ − ( x ´)
2
 (x ± ∆ x 2 )
χ ± ( x ) = x ± ~ exp  −

4 dx 2 

ρ ( x , x´) =
•
]
Die nicht diagonal Terme von
ρ zerfallen mit einer Rate τD−1:
dρ +−
~ Λ ρ+ −
dt
07.07.2005
Prof. H. Müller- Krumbhaar, Dr. E. Koch
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19
Zusammenfassung
• Schrödingers Katze
– Superpositionen sind unanschaulich
• Das Problem der Messung
– Warum sieht man nur eine der Alternativen?
• Modell einer QM- Messung
– Die Wechselwirkung mit der Umgebung bestimmt die
Messbasis.
• Dekohärenz eines einzelnen Qubits
– Dekohärenz verstört Superpositionen exponentiell effektiv
• Klassischer Grenzfall der Quanten Mechanik
– Unter Einwirkung von Dekohärenz wird aus dem Hilbertraum
der sehr viel kleinere kl. Phasenraum.
07.07.2005
Prof. H. Müller- Krumbhaar, Dr. E. Koch
Institut für Festkörperforschung, FZ Jülich
20