Maxwellgleichungen und elektromagnetische Wellen

Zusammenfassung
Maxwellgleichungen
und
elektromagnetische Wellen
nach dem Buch „Physik“ von Paul A. Tipler, Spektrum Akademischer Verlag
Datum: 11.02.2000
von Michael Wack
(© 2001)
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B d l
C
0
I
C
S
S2
C
IV
0
d
dt
e
S1
I
e
I
Ampèrsches Gesetz
Verallgemeinertes
d
B d l I I I dt
0
v
0
0
e
0
C
Die Maxwellschen Gleichungen
Maxwellsche Gleichungen in Integralform
1
En d A
Q innen (A)
B d A 0 (B)
d
E d l B d A (C)
dt d
B d l I E d A (D)
dt S
0
n
S
n
C
S
0
C
0
0
n
S
Durch Anwenden der Integralsätze von Gauß und Stokes lassen sich die Gleichungen in folgender Form
schreiben:
" ! # ! %'&
$
)( * ( +
. , /10 ,
2
. , 340 0 , ,
( 0 2 +65
Maxwellsche Gleichungen in Differentialform
(A)
D
B 0 (B)
B
E
0 (C)
t
D
H
I (D)
t
1
H
B
mit D
0 E und
-,
-,
(
0
Erläuterungen:
(A) ist das Gaußsche Gesetz. Die Integralform beschreibt die Divergenz elektrischer Feldlinien von positiven
Ladungen und die Konvergenz bei negativen Ladungen. Die Differentialform verknüpft die Divergenz des
elektrischen Feldes mit der Ladungsdichte in einem bestimmten Raumpunkt. Die Quellen des elektrischen
Feldes sind demnach Ladungen.
(
(B) wird manchmal als Gaußsches Gesetz des Magnetismus bezeichnet. Es besagt, dass der Fluss des
magnetischen Feldes B durch eine geschlossene Oberfläche gleich null ist. Dies ist gleichbedeutend mit
folgender Feststellung: das magnetische Feld ist quellenfrei und es existieren somit keine isolierten
magnetische Pole.
(C) ist das Faradaysche Induktionsgesetz. Es besagt, dass das Linienintegral einer beliebigen geschlossenen
Kurve C gleich der negativen Änderung des magnetischen Flusses durch eine beliebige von der Kurve
umrandeten Fläche S ist. Das Induktionsgesetz setzt das elektrische Feld E mit der zeitlichen Änderung des
magnetischen Feldes B in Beziehung.
(
(
(
(D) ist das verallgemeinerte Ampèrsche Gesetz. Das Linienintegral über das Magnetfeld B entlang einer
beliebigen geschlossenen Kurve C ist gleich der Summe aus dem Leitungsstrom und der Änderung des
elektrischen Flusses durch eine beliebige von der Kurve eingeschlossenen Fläche S. Das Ampèrsche Gesetz
stellt eine Relation zwischen dem Magnetfeld B und der zeitlichen Änderung des elektrischen Feldes E
her.
(
(
Herleitung der Wellengleichung für elektromagnetische Wellen
Betrachtet man die Maxwellschen Gleichungen im Vakuum, also im quellenfreien Raum und vernachlässigt
somit Ladungen und Ström lassen sich die Gleichungen wie folgt schreiben:
)( * ( +
)( * ( +
-, . , 3 0 ,
2
-, . , 0 0 ,
27 8 0
Bildet man zunächst die Rotation der Gleichungen (C) und (D) und setzt dann (D) auf der rechten Seite von (A)
und
wendet dann die für jedes Vektorfeld a9 geltende Beziehung
" ! ; "$! Seite
# a! <=> von
" ! : (C); " ! auf: a!der<=% rechten
? ! a! (B)an,einsounderhält
man die Wellengleichungen für das elektrische bzw.
Maxwellsche Gleichungen im Vakuum
E 0 (A)
B 0 (B)
B
(C)
E
t
E
(D)
B
0 0
t
magnetische Feld im Vakuum in Ihrer allgemeinen Form.
@ 9 E9 CA B D E E9
t
@ 9 B9 ACB D E E B9
E t
Allgemeine Form der Wellengleichungen
2
0
0
0
0
2
2
2
Beschränkt man sich auf Änderungen in einer Dimension, so kann man den Laplace-Operator durch den
Ex
2
Operator
E
2
ersetzen und erhält damit die üblichen Wellengleichungen für den Spezialfall einer ebenen
elektromagnetischen Welle.
,
,
Wellengleichungen einer ebenen elektromagnetischen Welle
2
E
1 2E
2
2
2
x
c
t
2
B
1 2B
2
2
2
x
c
t
0
0
0
0
0 , 2
2
0
0 ,
0
Eine mögliche Lösung dieser Gleichungen ist die Wellenfunktion für harmonische Wellen
E y E y0 sin kx
t , wobei
k c gilt. Aus (3) erhält man folgende Beziehung:
E y0
k
E y0
B z0
.
c
Magnetisches und elektrisches Feld stehen demnach bei der von uns betrachteten ebenen Welle senkrecht
aufeinander und haben dieselbe Phase. Es handelt sich um eine linear polarisierte Welle. Für die Beträge der
Felder gilt E/B = c.
2
K L
F 3 G H
K
ICJ A
Energie und Impuls elektromagnetischer Wellen
Die Gesamtenergiedichte einer elektromagnetischen Welle ergibt sich aus der Summe der elektrischen und der
magnetischen Energiedichte.
K 12 M E
EQ cR
B
1
w K
P
K
O
K
S w 2K N w 2 N 2 M
2
w el
0
2
2
m
0
m
E2
0
0
el
Energiedichte einer elektromagnetischen Welle
1
1
B2 E B
2
2
2
E
E
w wel w m
0 E
2 0
2 0
0
0 c
K
T
K
T
M
K M
M
K N K N
Die Intensität einer Welle ergibt sich aus dem Produkt der mittleren Energiedichte und der Ausbreitungsgeschwindigkeit.
Demnach ergibt sich für eine Welle im Vakuum die momentane Intensität zu:
2
EB
B
2
I momentan w c c 0 E
c
K
K M
K N K N
0
0
Diese Gleichung lässt sich zu folgender Gleichung verallgemeinern:
!
! : !
% U
Poynting-Vektor
E B
S
0
V
V
V
Stehen E und B in einer elektromagnetischen Welle senkrecht aufeinander, so gibt der Betrag von S die
momentane Leistung und die Richtung von S die Ausbreitungsrichtung der Welle an.
V
Die mittlere Intensität ergibt sich zu:
1 E 0 B 0 E eff B eff
I wc
2
0
0
2 und B eff B 0
2
mit E eff E 0
K
W
K
X Y Z
N
K
W
N
X Y Z
Der Betrag des Impulses einer elektromagnetischen Welle ist gleich 1/c mal der Energie W der Welle.
Zusammenhang zwischen Impuls und Energie einer elektromagnetischen Welle
W
p
c
[
Die Intensität einer Welle, geteilt durch c, ergibt einen Impuls pro Zeit- und Flächeneinheit. Ein Impuls pro
Zeiteinheit entspricht einer Kraft und eine Kraft pro Flächeninhalt ergibt einen Druck. Diesen bezeichnet man
dann als Strahlungsdruck PS.
Strahlungsdruck einer elektromagnetischen Welle
2
2
E0 B0
E eff B eff
E0
B0
I
PS
2
c 2 0c
2 0
2 0c
0 c
K K N
K N
K N
K N