1 Stetige Zufallsvariablen Stetige Zufallsvariablen

Stetige Zufallsvariablen
b
P  X  a, b   P a  X  b    f  x dx
a
Beispiel 11.2
f(x)
0.50
P(X<1)
0.25
P(X>3)
0.00
0
1
2
3
Werte der Dichtefunktion
0.6
4
xmod
N(0, 1)
N(0, 2)
N(0, 0.5)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-4
-3
-2
-1
-0
1
2
3
4
x
1
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Stetige Zufallsvariablen
Charakterisierung
t-Verteilung
Gleichverteilung
2-Verteilung
NormalVerteilung
F-Verteilung
Weitere
stetige
Verteilungen
2
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Stetige Zufallsvariablen
Charakterisierung
Zufallsvariablen
Dichte
Bei stetigen Zufallsvariablen wird zur
Beschreibung der Wahrscheinlichkeitsverteilung
die Dichte f(x) einer Zufallsvariablen X
herangezogen..
1
f x 

 0 für alle x  IR
2  f x dx
,
 1 .

3
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1
Stetige Zufallsvariablen
Charakterisierung
Beispiel
0.5 0  x  1

f  x   0.25 1  x  3
0
sonst

e sp e
0.50
f(x)
P [1,2]
0.25
0.00
0
1
2
3
x
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4
Stetige Zufallsvariablen
Charakterisierung
0.5 0  x  1

f  x   0.25 1  x  3
0
sonst

Beispiel

x  IR : f  x   0
3
1
3
0
0
1
 f x dx   f x dx   0.5dx   0.25dx


0.5 x10  0.25 x13  0.5  0   0.75  0.25
 0 .5  0 .5  1 .
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5
Stetige Zufallsvariablen
Charakterisierung
Beispiel
1
für 0  x  2
4  x
 1
f  x   1   x für 2  x  4
 4
sonst .
0

x  IR : f x   0
Beispiel 11.2
f(x)
0.50
P(X<1)
0.25
0.00
0
P(X>3)
1
2
3
4
xmod
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6
2
Stetige Zufallsvariablen
Charakterisierung
Beispiel
1
für 0  x  2
4  x
 1
f  x   1   x für 2  x  4
 4
sonst .
0


 f xdx 

4
 f xdx 
0
2
x  IR : f  x   0
2
4
1
1
0 4  xdx  21 4  xdx
4
1   1   4   16  4
  x2  1x  x2   0 4  2  
8 0  8 2  8   8  8
4 4
  1 .
8 8
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7
Stetige Zufallsvariablen
Charakterisierung: Wahrscheinlichkeitsverteilung
Wahrscheinlichkeit für ein Intervall
P X  a, b    Pa  X  b  
b
 f x dx
a
Wahrscheinlichkeit für einseitige Fragestellungen:
P X  a,     P X  a  
P X  , b   P X  b  

 f x dx
und
a
b
 f x dx .

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8
Stetige Zufallsvariablen
Charakterisierung: Wahrscheinlichkeitsverteilung
Es gilt:
P X  a, b    P  X  a, b   P X  a, b   P  X  a, b 
und auch:
P X  a   P X  a 
P X  b   P X  b 
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9
3
Stetige Zufallsvariablen
Beispiel
Möchte man für die Zufallsvariable aus Beispiel 1 die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass sie im Intervall [1, 2] liegt, so ergibt sich
2
P1  X  2    0.25dx  0.25 x 12  0.5  0.25  0.25
1
e sp e
0.50
f(x)
P [1,2]
0.25
0.00
0
1
2
3
x
10
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Stetige Zufallsvariablen
Beispiel
Interessiert man sich in Beispiel 2 für die Wahrscheinlichkeit kleiner als
1 oder aber größer als 3 zu sein, so ergibt sich
1
11
1
1
1

 xdx    x 2    0   0.125
4
8
8
8


0
0
P X  1  P X  1  
4
Beispiel 11.2
0.50
f(x)
4
 1 
 1 
P X  3  P X  3   1  xdx  1x   x2 
4 
 8 3
3
16  9  16 15 1
 4   3       0.125 .
8  8 8 8 8
P(X<1)
0.25
0.00
0
P(X>3)
1
2
3
4
x mod
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11
Stetige Zufallsvariablen
Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass die
Zufallsvariable X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt:
F  x   P X  x  
0  F x   1
P X  a, b   Pa  X  b  
x
 f  y dy

b
 f x dx  F b   F a 
a
P X  a,     Pa  X   1  P  X  a   1   f  x dx  1  F a 
a

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12
4
Stetige Zufallsvariablen
Verteilungsfunktion
Beispiel
Für die Zufallsvariable aus Beispiel 1 berechnet sich die
Verteilungsfunktion folgendermaßen. Sei x  [0,1], dann ist
F x  
x
x

0
 f  y dy   0.5dy  0.5 y 0
x  0.5 x
p
0.50
f(x)
P [1,2]
Sei x  [1,2], dann ist
0.25
0.00
0
1
2
3
x
x
1
x

0
1
F  x    f  y dy   0.5dy   0.25dy  0.5  0.25 y 1x
 0.5  0.25 x  0.25  0.25 x  0.25 .
13
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Stetige Zufallsvariablen
Verteilungsfunktion


Beispiel
Insgesamt erhält man
x0
0
0.5 x
0  x 1
0.25 x  0.25 1  x  3

1
3 x

F x   
Verteilungsfunktion F(x)
1 .0
0 .9
0 .8
0 .7
0 .6
0 .5
0 .4
0 .3
~  

 
0 .2
0 .1
0 .0
-1
0
1
2
3
4
5
Z u f a lls v a r ia b le X
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14
Stetige Zufallsvariablen
Modus (Modalwert)
Der Modalwert einer stetigen Zufallsvariablen X ist derjenige Wert, an
dem die Dichte f ihren maximalen Wert annimmt:
f  x mod   max f  x 
xIR
Auch im stetigen Fall muss der Modalwert nicht immer eindeutig bestimmt sein. Ist die Dichtefunktion jedoch eingipflig (eindeutiges Maximum), so ist der Modalwert eindeutig. Eine solche Dichte bezeichnen
wir als unimodal.
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15
5
Stetige Zufallsvariablen
Modus (Modalwert)
Beispiel
Für die Verteilung aus Beispiel 2 ergibt sich ein eindeutiger Modalwert,
da
f x mod   f 2 
1
 f x  mit x  IR \ 2
2
Beispiel 11.2
f(x)
0.50
P(X<1)
0.25
0.00
0
P(X>3)
1
2
3
4
xmod
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16
Stetige Zufallsvariablen
Median
Median
~
0.5
P X  ~0.5   F ~0.5   0.5 und P X  ~0.5   0.5
Der Median muss nicht eindeutig sein
aber bei den gängigen theoretischen stetigen Verteilungen ist er es.
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17
Stetige Zufallsvariablen
Median
Beispiel
Für die Verteilung aus Beispiel 1 ist der Median eindeutig.
F  x   0.5 für x  1
F  x   0.5 für x  1
Verteilungsfunktion F(x)
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
~ 


0.2
0.1
0.0
-1
0
1
2
3
4
5
Zufallsvariable X
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18
6
Stetige Zufallsvariablen
Erwartungswert
zukünftiges (zu erwartendes) „mittleres Ereignis“
Erwartungswert
EX 

 x  f x dx

Analogie zum arithmetischen Mittel
x
19
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Stetige Zufallsvariablen
Varianz

Varianz:
 x  E X 
Var X 
2
 f  x dx

Alternative Berechnungsmethode:
Var X  E X 2  E X  ,
2

EX 2 
x
2
 f  x dx

20
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Stetige Zufallsvariablen
Varianz
Beispiel
Für die Zufallsvariable aus Beispiel 1 ergeben sich damit:
EX 

1
3
 x  f  x dx   0.5 xdx   0.25 xdx

0
1
21
2 3 
 0.25 x 0  0.125 x 1  0.25  0   1.125  0.125

 

e sp e
,
0.50
P [1,2]
f(x)
 1.25  5 4
0.25
0.00
0
1
2
3
x
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21
7
Stetige Zufallsvariablen
Varianz
Beispiel

1
3
1 x2

0
3
1
0
E X 2   x 2  f x dx   0.5 x 2 dx   0.25 x 2 dx  
1
2
3 x2
dx  
4
1
dx
 x3 
 x3 
1
  27 1 
         0  
 
6
  12 12 
 6 
 12 
0 
1

2 26 28 7



12 12 12 3
p
0.50
Var X  E X 2  E X 2

f(x)
P [1,2]
2
7 5
112 75 37
  


 0.77
3 4
48 48 48
0.25
.
0.00
0
1
2
3
x
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22
Stetige Zufallsvariablen
Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
F x1 ,  x n   P X 1  x1 , X 2  x 2 ,  , X n  x n 
 P X 1  x1   P  X 2  x 2  P X n  x n 
 F x1   F  x 2  F  x n  .
Ist der Wert der gemeinsamen Verteilungsfunktion gleich dem Produkt
der einzelnen Verteilungsfunktionswerte, so sind die beteiligten
Zufallsvariablen unabhängig.
Für den Fall n = 2 muss also überprüft werden, ob die Wahrscheinlichkeit, dass X1 kleiner oder gleich ist als x1 und gleichzeitig X2 kleiner oder
gleich ist als x2, gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeit von X1
kleiner oder gleich x1 und von X2 kleiner oder gleich x2 ist.
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23
Stetige Zufallsvariablen
Gleichverteilung
Die Gleichverteilung (Sie wird auch Uniform-Verteilung genannt.) ist
auf einem Intervall der reellen Zahlen definiert. Eine Gleichverteilung
auf einem Intervall [a, b] besitzt die folgende Dichte f(x):
 1

f x    b  a
0

für a  x  b, a  b
sonst
EX

Var X

a b
,
2
2
b  a  .
12
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24
8
Stetige Zufallsvariablen
Gleichverteilung
Werte der Dichtefunktion
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-1
0
1
2
3
4
5
x
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25
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung
Carl Friedrich Gauß (* 30.04.1777, † 23.02.1855) gehört mit
Archimedes und Newton zu den größten Mathematikern aller Epochen.
Er war seit 1807 Direktor der Sternwarte in Göttingen, Professor und
Mitglied der Göttinger Akademie der Wissenschaften. Er gilt als einer
der Begründer der Methode der kleinsten Quadrate, die er im Rahmen
seiner Studien zur Astronomie entwickelte.
Rund 25 Jahre lang vermaß er das Königreich Hannover und soll dabei
schon in der Norddeutschen Tiefebene versucht haben, nachzuweisen,
dass dort in einem Dreieck auf Grund der Erdkrümmung die
Winkelsumme nicht 180º beträgt. Bis vor der Einführung des Euros war
er (und die Dichte einer Normalverteilung) auf den 10-DM-Scheinen
der Deutschen Bundesbank abgebildet.
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26
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung
Eine Normalverteilung besitzt zwei Parameter, die die Verteilung
charakterisieren, nämlich  und 2. Deshalb spricht man auch von einer
N(, 2)-Verteilung. Eine Normalverteilung mit den Parametern  und
2 besitzt die Dichte
2
f x  
1
2  
EX
 
Var X
 2
1  x 
 

e 2   
,
.
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27
9
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung
Werte der Dichtefunktion
0.6
N(0, 1)
N(0, 2)
N(0, 0.5)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-4
-3
-2
-1
-0
1
2
3
4
x
28
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Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung
Werte der Dichtefunktion
0.4
N(0, 1)
N(3, 1)
0.3
0.2
0.1
0.0
-4
-3
-2
-1
-0
1
2
3
4
5
6
7
x
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29
Stetige Zufallsvariablen
Standardisierung
Ist eine Zufallsvariable normalverteilt mit den Parametern
 * und  2 ,
X
X*
so kann sie durch die lineare Transformation
X 
X*  

X
X*
*
in eine (stetige) Zufallsvariable X überführt werden,
die normalverteilt ist mit den Parametern 0 und 1.
Diesen Vorgang nennt man Standardisierung.
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30
10
Stetige Zufallsvariablen
Standardisierung
Genügt X einer Standardnormalverteilung, kurz: N(0,1)-Verteilung
nach einer Standardisierung, dann besitzt eine N(0,1)-Verteilung
die Dichte
f x  
1
2
e

x2
2
31
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Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung
Allgemein gilt für lineare Transformationen normalverteilter
Zufallsvari-ablen, dass auch die resultierende Zufallsvariable wieder
normalverteilt ist. Sei X1 normalverteilt mit Erwartungswert  und
Varianz 2. Transformiert man X1 zu
X2  a X b ,
wobei a, b reelle Zahlen mit a  0 sind, so gilt:

X 2 ~ N a    b, a 2   2

.
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32
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung
Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung wird allgemein
mit
x 
(sprich: Phi) bezeichnet.
P  X   x     x   1   x   1  P  X  x 
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33
11
Stetige Zufallsvariablen
1-2-3--Regel
Sei X normalverteilt mit Erwartungswert  und Varianz 2, dann ist
P X    k   ,   k      F   k     F   k   
   k      
   k      
 
  







 k    k   2  k   1
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.
34
Stetige Zufallsvariablen
1-2-3--Regel
Sei X normalverteilt mit Erwartungswert  und Varianz 2,
dann ist für k = 1,2,3
P X    1   ,   1      2  1  1  2  0.8413  1  0.6826 ,
P X    2   ,   2      2  2  1  2  0.9772  1  0.9544 ,
P X    3   ,   3      2  3  1  2  0.9987  1  0.9974 .
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35
Stetige Zufallsvariablen
-Quantil
u   
Wir bezeichnen u mit das -Quantil der Standardnormalverteilung,
also den Wert einer Standardnormalverteilung, bei dem -Prozent aller
möglichen Ausprägungen der Standardnormalverteilung kleiner und
(1-  )-Prozent größer als dieser Wert u sind.
u  u1
u 0.900  1.28
u 0.950  1.65
u 0.975  1.96
u 0.990  2.33
u 0.999  3.08
Bitte versuchen Sie diese Werte in den ausgeteilten Tabellen zu finden!
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36
12
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung
Beispiel
In einem verträumten Städtchen am Rande des Siegerlandes wird in
einem kleinen aber modernen kirchlichen Kindergarten untersucht,
wie lange sich die Kinder beim Malen konzentrieren können. Laut
Unterrichtsmaterial angehender Erzieherinnen und Erzieher soll sich
die Konzentrationsdauer gut durch eine Normalverteilung mit
 = 500 Sekunden und 2 = 16 Quadratsekunden beschreiben lassen.
1.
Wieviel Prozent aller Kinder können sich zwischen 490 und 510
Sekunden konzentrieren?
2.
In welchem Schwankungsbereich liegen die mittleren 90% der
Konzentrationsdauer?
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37
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung
Beispiel
Zu 1.
Die Zufallsvariable Y beschreibe die Konzentrationsdauer. Es gilt
Y ~ N 500, 16 
Standardisiert man die obige N(500, 16)-Verteilung, so erhält man
für die beiden Größen 490 und 510 die folgenden standardisierten
Werte:
490  500
510  500
 2.5 und
 2 .5
4
4
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38
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung
Beispiel
Zu 1.
Die Zufallsvariable Y beschreibe die Konzentrationsdauer.
Es gilt nach der Standardisierung
2.5  P X  2.5  0.9938
2.5  P X  2.5  1  P X  2.5
 1  2.5  1  0.9938  0.0062
P 2.5  X  2.5  0.9938  0.0062  0.9876
Es können sich 98,76 Prozent aller Kinder zwischen 490 und 510
Sekunden konzentrieren.
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39
13
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung
Beispiel
Um die mittleren 90% der Verteilung zu erhalten, ist es notwendig,
das 0.05- und das 0.95-Quantil der Standardnormalverteilung zu
transformieren.
Es werden sowohl am linken Ende der Verteilung als auch am rechten
Ende jeweils 5% der Wahrscheinlichkeitsmasse vernachlässigt, so dass
in dem Intervall genau 90% der Wahrscheinlichkeitsmasse liegen.
u 0.05 ; u 0.95 
u 0.95  1.65
u0.05  u0.95  1.65
40
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Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung
Beispiel
Standardisierung:
X 
X* 

X*
X *  X 
X*
1.65  4  500  506.6
X*

X*
,
 1.65  4  500  493.4 .
41
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Stetige Zufallsvariablen
Summe und Differenz zweier Normalverteilungen


X 1 ~ N 1 ,  12
X 2 ~ N  2 ,  22


EY  E  X 1  X 2   1   2
E Z  E  X 1  X 2   1   2
VarY  Var  X 1  X 2    12   22
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,
,
.
42
14
Stetige Zufallsvariablen
Summe und Differenz zweier Normalverteilungen


X 1 ~ N 1 ,  12
X 2 ~ N  2 ,  22


Var Z  Var  X 1  X 2    12   22
Y  X 1  X 2 ~ N 1  2 ,  12   22 
Z  X 1  X 2 ~ N 1  2 ,  12   22 
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43
Stetige Zufallsvariablen
Konfidenzintervall bei Normalverteilung
Die aus Stichproben geschätzten Parameter für eine Grundgesamtheit
stimmen zwangsläufig meist nicht mit den wahren Parametern
überein. Genauer: Exakt den »richtigen« Wert zu erhalten, ist ein recht
unwahrscheinliches Ereignis; doch kann man zeigen, dass jedenfalls
bei hinreichend großen Stichproben die meisten Stichprobenwerte
nicht allzu weit vom wahren Wert abweichen. Im Rahmen der
Inferenzstatistik wird gezeigt, dass man aus der Stichprobe Intervalle
schätzen kann, die den wahren Parameter mit einer vorgegebenen
Wahrscheinlichkeit (der Überdeckungswahrscheinlichkeit)
enthalten. Diese Intervalle werden als Konfidenzintervalle oder auch
Vertrauensbereich oder Vertrauensintervalle bezeichnet
ILMES - Internet-Lexikon der Methoden der empirischen Sozialforschung
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44
Stetige Zufallsvariablen
Konfidenzintervall bei Normalverteilung
Die Größe des Konfidenzintervalls hängt – bei vorgegebener
Irrtumswahrscheinlichkeit – vor allem von zwei Faktoren ab: der
Stichprobengröße und der Variabilität der Grundgesamtheit.
Je größer – ceteris paribus – die Stichprobe, desto kleiner wird das
Konfidenzintervall; ebenso wird das Konfidenzintervall kleiner bei
kleinerer Variabilität der Grundgesamtheit.
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45
15
Stetige Zufallsvariablen
Konfidenzintervall bei Normalverteilung
Definition Konfidenzintervall
Bei einer Überdeckungswahrscheinlichkeit von (1-α)% (z.B. 95%)
werden die untere und die obere Grenze gesucht, so dass das Intervall
mit dieser Wahrscheinlichkeit den gesuchten Parameter μ überdeckt:
P(UG ≤ μ ≤ OG) = 1-α
Für den Erwartungswert μ wird der arithmetische Mittelwert
geschätzt und bei bekannter Standardabweichung σ ergibt sich:
σ
σ
̅ ; ̅ Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann
46
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung
Beispiel
In einem verträumten Städtchen am Rande des Siegerlandes wird in
einem kleinen aber modernen kirchlichen Kindergarten untersucht,
wie lange sich die Kinder beim Malen konzentrieren können. Laut
Unterrichtsmaterial angehender Erzieherinnen und Erzieher soll sich
die Konzentrationsdauer gut durch eine Normalverteilung mit
 = 500 Sekunden und 2 = 16 Quadratsekunden beschreiben lassen.
1.
In welchem Schwankungsbereich liegt das 95%-Konfidenzintervall
der Konzentrationsdauer, wenn = 500 Sekunden ist in einer
Stichprobe vom Umfang n = 100 ?
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47
Stetige Zufallsvariablen
Normalverteilung
95%-KI, = 500, σ = 4, n = 100
Beispiel:
̅ 500
.
; ̅
; 500
=
500
1.96
1.96 ∙ 0,4; 500 1.96 ∙ 0,4 =
0,784; 500 0,784 =
;
1.96
.
500
500
,
; 500
=
=
,
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48
16
Stetige Zufallsvariablen
t-Verteilung
Die (zentrale) t-Verteilung (oftmals auch Student-Verteilung genannt)
geht auf William Sealy Gosset zurück.
William Sealy Gosset (* 13.06.1876, † 16.10.1937) war bei der
Guiness Brauerei angestellt, die ihm Veröffentlichungen unter seinem
Namen untersagte. Deshalb verwandte er das Pseudonym „Student“.
Im Jahre 1908 entwickelte er in seiner Arbeit
„The probable error of a mean“
einen Kleinstichprobentest für normalverteilte Daten
mit unbekannter Varianz.
49
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Stetige Zufallsvariablen
t-Verteilung
Seien X0, X1, ... ,Xn unabhängige standardnormalverteilte
Zufallsvariablen, so ist
X0
T
1 n 2
 Xi
n i 1
t-verteilt mit n Freiheitsgraden.
Die Anzahl der Freiheitsgrade charakterisiert eine t-Verteilung.
Anzahl der Freiheitsgrade = „frei“ verfügbaren Beobachtungen,
(Stichprobenumfang n minus der Anzahl k der aus der Stichprobe
geschätzten Parameter)
Mit wachsenden Freiheitsgraden nähert sich die t-Verteilung immer
mehr der N(0,1)-Verteilung, und ab ungefähr 30 Freiheitsgraden sind
die beiden Verteilungen nahezu identisch.
50
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Stetige Zufallsvariablen
t-Verteilung
Von oben nach unten:
N(0,1)-Verteilung
t25-Verteilung
t4-Verteilung
t2-Verteilung
Werte der Dichtefunktion
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-4
-3
-2
-1
-0
1
2
3
4
x
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17
Stetige Zufallsvariablen
t-Verteilung
Die t-Verteilung mit n Freiheitsgraden ist symmetrisch
t n;  t n;1
 0
EX

Var X
falls n  1 ,
n
n2
falls n  2 .
52
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Stetige Zufallsvariablen
Konfidenzintervall bei t-Verteilung
Definition Konfidenzintervall
Bei einer Überdeckungswahrscheinlichkeit von (1-α)% (z.B. 95%)
werden die untere und die obere Grenze gesucht, so dass das Intervall
mit dieser Wahrscheinlichkeit den gesuchten Parameter μ überdeckt:
P(UG ≤ μ ≤ OG) = 1-α
Für den Erwartungswert μ wird der arithmetische Mittelwert und
die Standardabweichung σ wird durch s geschätzt:
̅ ;
; ̅
;
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Stetige Zufallsvariablen
t-Verteilung
Beispiel
Nach einiger Zeit erhalten die Erzieherinnen des Kindergartens die
Information, dass die Konzentrationsfähigkeit von Kindern beim Malen
zwar einer Normalverteilung gehorcht, jedoch sei die Varianz
unbekannt. Daraufhin ermittelt die Erzieherin Michaela S. auf Grund
einer Stichprobe von n = 25 Kindern eine empirische
Standardabweichung von s = 6 Sekunden bei einem Mittelwert von 510
Sekunden.
Wie groß ist nun das 90%-Konfidenzintervall für die erwartete
Konzentrationsdauer? t
24;0.95  1.711
510 
510 
1.711  6
25
1.711  6
25
 510  2.0532  512.0532
,
 510  2.0532  507.9468 .
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18
Stetige Zufallsvariablen
2-Verteilung
Seien X1, X2, ... , Xn unabhängige standardnormalverteilte
Zufallsvariablen, so ist
n
X   X i2
i 1
2-verteilt mit n Freiheitsgraden:
X ~  n2
Bei einer 2-Verteilung mit n Freiheitsgraden gilt:
EX
 n
Var X
 2n
,
.
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Stetige Zufallsvariablen
2-Verteilung
Werte der Dichtefunktion
0.3
1 FG
4 FG
10 FG
20 FG
0.2
0.1
0.0
0
4
8
12
16
20
24
x
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Stetige Zufallsvariablen
F-Verteilung
Die F-Verteilung wurde nach Sir Ronald Aylmer Fisher
(* 17.02.1890, † 29.07.1962) benannt.
Er war von 1933-1945 Professor für Eugenik in London und in dem
Zeitraum 1943-1957 Professor für Genetik in Cambridge.
1952 wurde er geadelt.
Er gilt als einer der Begründer der mathematischen Statistik und der
Biometrie. In der Biometrie liegen seine Verdienste insbesondere im
Bereich der Versuchsplanung.
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Stetige Zufallsvariablen
F-Verteilung
Sei X eine  n2 -Verteilung und
2 -Verteilung, so ist
Y eine davon unabhängige  m
1
X
m X
Z  n

1
n Y
Y
m
F-verteilt mit n und m Freiheitsgraden
Z ~ Fn,m
58
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Stetige Zufallsvariablen
F-Verteilung
1.4
F40,40
Werte der Dichtefunktion
1.2
1.0
0.8
F2,10
F40,4
0.6
0.4
F10,2
0.2
0.0
1
2
3
4
5
6
x
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Stetige Zufallsvariablen
F-Verteilung
EX

Var X

m
m2
2m 2  n  m  2 
n  m  2 2  m  4 
Fn,m;1 
falls m  2
,
falls m  4
.
1
Fm,n;
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Stetige Zufallsvariablen
Weitere stetige Verteilungen
gestutzte Normalverteilung
log-Normalverteilung
Exponentialverteilung
zweidimensionale (bivariate) Normalverteilung
n-dimensionale Normalverteilung
zwei- oder mehrdimensionale Gleichverteilungen.
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