Graphentheorie

Index — Graphentheorie
K̄(k ∗ ), 297
K̃(k ∗∗ ), 297
c(p ∗ )(p), 311
n-Kantenfärbung, 393
n-Knotenfärbung, 391
n-kantenfärbbar, 393
n-knotenfärbbar, 391
z(p ∗∗ )(p), 311
Äquivalenz eulerscher Pfeilzüge, 267
äußere Knoten, 371
227
Admittanzmatrix, 215
Admittanzmatrix eines Mehrfachgraphen,
227
algebraisches Komplement, 197
Anfangsknoten, 15, 16, 136
aufspanndender Quellbaum, 255
aufspannender Baum, 211
Ausgangsdiadmittanzmatrix, 259
Ausgangsgrad, 125
Ausgangsgradabbildung, 125
auspanndender Senkenbaum, 255
abtrennbar, 379
adjazent, 90
Adjazenzmatrix, 55
Barybaum, 377
Adjazenzmatrix eines Mehrfachgraphen, Barybaum in G, 379
Baum, 203
bedeckt, 353, 359
bipartit, 367
chromatische Kantenzahl, 393
chromatische Knotenzahl, 391
chromatische Polynom, 417
Digraph, 51
Dikomponente, 156
Dikreis, 141
Dikreisgraph, 183
Distanz, 347
dizusammenhängend, 138
Dizusammenhangsäquivalenz, 147
Eingangsdiadmittanzmatrix, 259
Eingangsgrad, 125
Eingangsgradabbildung, 125
Endknoten, 15, 136
endlicher Graph, 50
Epimorphismus, 23
erzeugte gemischte Untergraphen, 35
Eulergrad, 127
Eulergradabbildung, 127
eulersch, 163, 183
Expansion in zwei Knoten, 409
Gemischter Graph, 15
gemischter Quotientengraph, 33
gemischter Untergraph, 31, 32
Gerüst, 239
gerichtete Teil, 22
gerichteter Graph, 50
geschlossene Kantenfolge, 109
geschlossene Pfeilfolge, 141
inzident, 90
geschlossener eulerscher Kantenzug, 163 Inzidenzmatrix, 55
geschlossener eulerscher Pfeilzug, 183 isolierte Kante, 99
geschlossener Kantenweg, 109
isolierter Knoten, 99
geschlossener Pfeilzug, 141
isomorph, 23
Graph, 51
Isomorphismus, 23
Graphenmorphismus, 21
kanonische Projektion, 12
hamiltonsch, 171, 189
Kanten, 15
hamiltonscher Dikreis, 189
Kantenbedeckungszahl, 359
hamiltonscher Kreis, 171
Kantenfarbklasse, 393
Kantenfolge, 105
Identitätsmorphismus, 27
Kantengrad, 91
Identitätstripel, 25
Kantengradabbildung, 91
induzierte Knotennummerierung, 71
Kantengraph, 71
induzierten Nummerierung, 88
Kanteninzidenzabbildung, 15
Inklusion, 13
Kantenkreis, 109
innere Knoten, 371
Kantennummerierung, 53, 73
Knoteneingang, 125
kantenregulär, 101
Knotenfärbung aus x Farben, 413
Kantenschlingen, 15
Knotenfarbklasse, 391
kantentrivial, 103
Knotengrad, 91, 127, 225
Kantenunabhängigkeitszahl, 361
Knotengradabbildung, 91, 127
Kantenvektorraum, 287
knotennummerierter Digraph, 73
Kantenweg, 109
knotennummerierter Graph, 53
Kantenzug, 109
Knotennummerierung, 53, 73
Kantenzusammenhangszahl, 341
knotenregulär, 101
Knotenspur, 171
Kategorie der Digraphen, 51
Kategorie der Graphen, 51
knotentrivial, 103
Kategorie gemischter Graphen, 50, 51 Knotenunabhängigkeitszahl, 355
Kategorie gerichteter Graphen, 52
Knotenvektorraum, 287, 301
Knoten, 15
Knotenzusammenhangszahl, 341
Knotenabbildung, 22
Kobaum, 281, 309
Knotenausgang, 125
Kograph, 35
Knotenbedeckungszahl, 353
Kokreis, 277
Komponente, 121
Komposition, 25
Kontraktion in zwei Knoten, 409
Korandabbildung, 287, 301
Korandraum, 315
Kozykelraum, 315
Kreis, 109
Kreisgraph, 165
kreislos, 203
minimale Anzahl trennender Knoten, 329
minimaler Knotengrad, 401
MixGraph, 51
Monomorphismus, 23
n-fach kantenzusammenhängend, 341
n-fach knotenzusammenhängend, 341
negativ inzident, 124
nummerierter Digraph, 73
nummerierter Graph, 53
maximale Anzahl paarweise kantendis- Nummerierung, 13
junkter Kantenwege, 331
maximale Anzahl paarweise knotendis- paarweise kantendisjunkt, 327
paarweise knotendisjunkt, 327
junkter Kantenwege, 329
parallel, 18
maximaler Kantenzug, 109
Parallelität, 17
maximaler Knotengrad, 401
minimale Anzahl trennender Kanten, 331 Pfeile, 15
Pfeilfolge der Länge n, 138
Pfeilinzidenzabbildung, 15
Pfeilkreis, 141
Pfeilschlinge, 15
Pfeilvektorraum, 301
Pfeilweg, 141
Pfeilzug, 141
positiv inzident, 124
Projektion, 13, 14
Randkante, 99
Randknoten, 15, 99
Randraum, 315
Rang, 121, 122
schlichter gemischter Graph, 50
Senke, 243
Senkenbaum, 247
trennende Kantenmenge, 277, 325, 339
Quelle, 243
trennende Knotenmenge, 323, 339
Quellenbaum, 247
triviale Kantenfolge, 105
Quotientenabbildung, 13, 14
Quotientengraph modulo der Kante k̄, triviale Pfeilfolge, 138
Turnier, 136
219
Quotientenmenge, 13
Umnummerierung, 66
unabhängige Kantenmenge, 361
radial, 103
unabhängige Knotenmenge, 355
Randabbildung, 287, 301
unbedeckt, 353, 359
ungerichtete Teil, 22
ungerichteter Graph, 50
Untergraph ohne die Kanten k̄, 219
unterliegender Graph, 88
Verallgemeinerte Inzidenzabbildungen,
19
verbindbar, 105
vollständig, 103
vollständig bipartit, 367
Weg, 109, 141
zusammenhängend, 105, 138
zusammenhangsäquivalent, 116
Zykelraum, 315
Präliminarien 1.1/9
Die Natürlichen Zahlen N beginnen mit 0. Die ersten n natürlichen Zahlen von 0 beginnend werden mit [n] bezeichnet, die mit 1 beginnenden werden
mit hni bezeichnet und sie werden mit ihrer natürlichen Ordnungsstruktur als
geordnete Mengen betrachtet.
Das Bild einer Funktion α : A −→ B wird neben α(a) auch mit αa bezeichnet
und die Zuordunung αa = α(a) = b auch mit α : a 7→ b.
Die Formale Bezeichnung für eine injektive Abbildung α ist α : A B, für
ein surjektives α : A B und für ein bijektives α : A
→B.
Eine Einschränkung A0 ⊂ A des Definitionsmenge von α, wird formal mit
αA0 , die der Wertemenge auf B 0 ⊂ B mit B0 α bezeichnet sowie mit B0 αA0
die Einschränkung von Definitions- und Wertemenge bezeichnet wird. (B0 α ⇒
α(A) ⊂ B 0 )
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Das Bild einer Komposition (Assoziativ!) α ◦ β : A → C wird formal mit
β(αa) bezeichnet.
Ein Abbildung α : A → B ist genau dann bijektiv, wenn es eine Abbildung
β : B → A gibt, so dass α ◦ β = idB , β ◦ α = idA gilt.
Die Identität idA einer Menge A wird formal auch mit 1A bezeichnet.
Sind αi : A −→ Bi und βi : Bi −→ C für i = 1, 2 Funktionen, so wird die
Situation häufig durch nebenstehendes Diagramm veranschaulicht.
α1
Wir sagen, dass das Diagramm kommutiert, wenn
B1
A
β1 ◦ α1 = β2 ◦ α2 gilt. Der Begriff eines kommutativen
β1
Diagramms kann und wird natürlich auch in allgemeineren α2
Situationen als der eines „Quadrates“ angewandt.
B2
C
β2
Präliminarien 1.1/11
˙ formaliEine disjunkte Vereinigung zweier Mengen A und B wird mit A∪B
siert.
Ein Paar (x, y ) wird mit x ×y formalisiert und eine ein∗ - oder zweielementige
¯ (A ×A
¯ : {{x, y } | x ∈ A, y ∈ A}).
Menge {x, y } mit x ×y
Die Elementbeziehung gilt auch für geordnete und ungeordnete Paare, also
¯ .
x ∈ x × y oder y ∈ x ×y
Damit induzieren zwei Abbildungen α : A → B, α0 : A0 → B 0 die Abbildungen
¯ 0 ) : A ×A
¯ 0 → B ×B
¯ 0 , die durch (α×α0 )(x ×
(α×α0 ) : A×A0 → B ×B 0 und (α ×α
¯ 0 )(x ×y
¯ ) = αx ×α
¯ 0 y definiert sind.
y ) = αx × α0 y sowie (α ×α
1 Grundbegriffe
∗
Einelementig gdw x = y
Graphentheorie
Sei A eine Menge. Eine Abbildung π, die ein Paar aus A × A auf die ein¯ abbildet, die genau die Komponenten
bzw. zweielementigen Menge aus A ×A
des Paares enthält heißt kanonische Projektion von A.
Bezeichnungen aus der Mengenlehre 1.1
Definition 1.2/13
• Inklusion
• Quotientenmenge Quotientenabbildung
(Projektion)
• Nummerierung einer Menge
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Ist die Definitionsmenge einer Abbildung Teilmenge der Wertemenge, dann
spricht man von einer Inklusion.
Die Menge aller Äquivalenzklassen einer Menge A bezüglich einer Äquivalenzrelation ∼ heißt Quotientenmenge A/∼. Die surjektive Abbildung π : A A/∼,
die jedem Element der Ausgangsmenge A seine Äquivalenzklasse bezüglich ∼
zuordnet heißt Quotientenabbildung (oder Projektion).
Eine bijektive Funktion ν : h|A|i
→A von den ersten n Zahlen, beginnend bei
der eins, auf eine n-Elementige Menge heißt Nummerierung der Menge. Formal
setzt man ai := ν(i ), i ∈ h|A|i.
Morphismen gem. Graphen 1.2
Definition 1.3/15
• Gemischter Graph
• Knoten, Pfeile und Kanten
• Pfeilinzidenzabbildung, Kanteninzidenzabbildung
• Anfangsknoten, Endknoten, Randknoten
• Pfeilschlinge, Kantenschlingen
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Ein gemischter Graph G ist ein Quintupel bestehend aus drei paarweise disjunkten Mengen, der Knotenmenge V , der Pfeilemenge P und der Kantenmenge
¯ ; die Indizes
K, sowie zweier Abbildungen δP : P −→ V ×V und δK : K −→ V ×V
werden mitunter auch fortgelassen.
Die Elemente der Knotenmenge heißen Knoten des Graphen, die der Pfeilmenge Pfeile und die der Kantenmenge Kanten des Graphen. Die Abbildungen
heißen entsprechend Pfeil- bzw. Kanteninzidenzabbildung des Graphen.
Ein Pfeil bzw. eine Kante und ein Knoten heißen inzident, wenn der Knoten
aus dem Bild an Stelle des Pfeils bzw. der Kante ist (unter der entsprechenden
Inzidenzabbildung).
Die erste Komponente eines Pfeil-Bildes heißt Anfangsknoten, die zweite
heißt Endknoten des Pfeils. Ein Element eines Kanten-Bildes heißt Randknoten
der Kante.
Fallen Anfangs- und Endknoten eines Pfeils bzw die Randknoten einer Kante
zusammen, sprechen wir von Pfeil- bzw Kantenschlinge.
Morphismen gem. Graphen 1.2
Definition 1.3/17
• Parallelität von Kanten bzw. Pfeilen
• Ein beispielhafter gemischter Graph
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Haben zwei verschiedene Pfeile den selben Anfangs- und Endknoten bzw.
zwei verschiedene Kanten die selben Randknoten unter ihren jeweiligen Inzidenzabbildungen, dann heißen diese Pfeile bzw.
Kanten parallel.
Sei G = (V, P, K, δP , δK ) ein Graph mit den folk3
genden Eigenschaften.
v1
k2
V = {v1 , v2 , v3 , v4 }, P = {p1 , p2 , p3 , p4 },
v2
K = {k1 , k2 , k3 , k4 }, δP : P → V × V,
p2
δp1 = v1 × v4 , δp2 = v4 × v1 ,
p3
k1
δp3 = v4 × v2 , δp4 = v3 × v3 ,
p
1
¯ , δk1 = v1 ×v
¯ 3,
δK : K → V ×V
p4
¯ 2 , δk3 = v2 ×v
¯ 2,
δk2 = v1 ×v
k4
v3
v4
¯ 4
δk4 = v3 ×v
Morphismen gem. Graphen 1.2
Definition 1.4/19
Motive und Einführung der Verallgemeinerte
Inzidenzabbildungen eines Graphen
G = (V, P, K, δ : P → V × V,
¯ )
δ : K → V ×V
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Benötigt werden die verallgemeinerte Inzidenzabbildungen zur Einführung
des Morphismusbegriffs auf Graphen. Die verallgemeinerten Pfeilinzidenzabbildung ∆V ∪P Ist die Fortsetzung der Pfeilinzidenzabbildung auf der Vereinigung
der Knoten und Pfeile, wobei einem Knoten seine (neutrale) Pfeilschlinge zugeordnet wird. Für die verallgemeinerte Kanteninzidenzabbildung ∆V ∪K gilt
analoges.
Präziser wird die allgemeine Inzidenzabbildung für den Fall benötigt, dass der
ungerichtete bzw. der gerichtete Teil eine Kante bzw einen Pfeil auf genau einen
Knoten abbildet, dann wird dies von der verallgemeinerten Inzidenzabbildung
korrekt als Schlinge interpretiert. Bildet der ungerichtete bzw gerichtete Teil
eines Morphismuses keine Kante bzw Pfeil auf genau einen Knoten ab, kann auf
die verallgemeinerten Inzidenzabbildungen zu Gunsten der spezielleren verzichtet
werden.
Morphismen gem. Graphen 1.2
Definition 1.5/21
Definition des gemischten Graphenmorphismus von
einem Graphen G nach einem Graphen
G 0 = (V 0, P 0, K 0, δ 0 : P 0 → V 0 × V 0,
¯ 0)
δ 0 : K 0 → V 0 ×V
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Ein Tripel α von Abbildungen (αV : V → V 0 , αg : V ∪ P → V 0 ∪ P 0 , αu : V ∪
K → V 0 ∪ K 0 ) heißt genau dann gemischter Graphenmorphismus, wenn die erste
Abbildung, die Knotenabbildung, jedem Knoten aus G einen aus G 0 zuordnet,
wenn weiter die zweite Abbildung, der gerichtete Teil, eine Fortsetzung (auch
des Bildes) der Knotenabbildung auf die Vereinigung der Knoten und Pfeile
von G bzw. G 0 ist, und wenn schließlich die dritte Abbildung, der ungerichtete
Teil, eine analoge Fortsetzung der Knotenabbildung auf die Vereinigung der
Knoten und Kanten ist. Dabei muss allerdings sichergestellt werden, dass jeder
Pfeil und jede Kante aus G bezüglich der Knotenabbildung auf ihr Pendant
aus G 0 abgebildet wird. Dass also jeder Pfeil der zu den Anfangsknoten k und
Endknoten k 0 inzident ist vom gerichteten Teil auf den Pfeil aus G 0 abgebildet
wird, der zu den Bildern von k und k 0 unter der Knotenabbildung entsprechend
inzident ist:
((αV × αV ) ◦ ∆)(x) = (∆0 ◦ αg )(x)
(∀x ∈ V ∪ P ).
Analoges muss für den ungerichteten Teil des Graphen gelten.
Morphismen gem. Graphen 1.2
Definition 1.6/23
• Monomorphismus
• Epimorphismus
• Isomorphismus (isomorph)
eines Graphen G nach einem Graphen G 0
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Eine Graphenmorphismus α heißt genau dann Monomorphismus, wenn seine
Knotenabbildung und sein gerichteter sowie sein ungerichteter Teil injektiv sind.
Formal wird ein Monomorphismus von G nach G 0 mit α : G G 0 bezeichnet.
Ein Morphismus α heißt Epimorphismus wenn seine Knotenabbildung und
sein gerichteter sowie ungerichteter Teil surjektiv sind. Formal wird ein solcher
mit α : G G 0 bezeichnet.
Ein Morphismus α heißt Isomorphismus wenn seine Knotenabbildung und
sein gerichteter sowie ungerichteter Teil bijektiv sind. Formal wird ein solcher
mit α : G
→G 0 bezeichnet und lässt sich als drei Bijektionen der Knoten-, Pfeilund Kantenmenge auch mit den durch das „Kreuzprodukt“ bzgl. der Knotenabbildung induzierten Abbildungen und zwei entsprechende Kommutativdiagramme
beschreiben.
G und G 0 heißen genau dann isomorph, wenn es einen Isomorphismus α : G
→G 0
von G nach G 0 gibt.
Morphismen gem. Graphen 1.2
Definition 1.7/25
• Komposition gemischter Graphenmorphismen
α = (αV , αg , αu ) : G → G 0 und
α0 = (α0V , α0g , α0u ) : G 0 → G 00
• Identitätstripel
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Die Komposition α ◦ α0 : G → G 0 ist durch die Kompositionen der jeweiligen
Knotenabbildung, durch die Komposition der jeweiligen ungerichteten Teile und
durch die Komposition der jeweiligen gerichteten Teile definiert.
Das Identitätstripel von der Knotenidentität, der Identität der Vereinigung
von Knoten und Pfeile sowie der Identität der Vereinigung von Knoten und
Kanten bildet einen Graphen auf sich selbst ab. Formal wird es mit 1G =
(1V , 1g , 1u ) : G → G bezeichnet.
Morphismen gem. Graphen 1.2
Korollar 1.8/27
Graphenmorphismuseigenschaften
• Identitätsmorphismus
• Kompositionsverträglichkeit
• Assoziativität der Komposition
• neutraler Kompositionsmorphismus
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Das Identitätstripel ist für jeden Graphen ein Morphismus, der diesen auf
sich selbst abbildet.
Ist das Bild eines Morphismuses α das Urbild eines Morphismuses α0 , dann
ist die Komposition beider Morphismen vom Urbild des ersten Morphismuses
nach dem Bild des zweiten Morphismuses ein Morphismus.
Existiert die Komposition dreier Graphenmorphismen, dann ist diese Assoziativ.
Das Identitätstripel ist bezüglich der Komposition von Graphenmorphismen
neutral und kommutativ.
Morphismen gem. Graphen 1.2
Satz 1.9/29
Äquivalenzkriterium der Isomorphieeigenschaft eines
Graphenmorphismuses
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Ein Graphenmorphismus α von G nach G 0 ist genau dann ein Isomorphismus, wenn ein eindeutig bestimmter inverser Isomorphismus α−1 existiert, so
dass die Komposition von diesem und α den Identitätsmorphismus von G ergeben, sowie die umgekehrte Komposition mit dem Identitätsmorphismus von G 0
identifiziert werden kann. Der inverse Isomorphismus ist durch die inversen Abbildungen der Knotenabbildung, des ungerichteten sowie des gerichteten Teils
des Morphismuses definiert, falls diese existieren.
Der aufwendigere Teil des Beweises ist der Schluss von der Isomorphieeigenschaft auf den eindeutig bestimmten inversen Morphismus.
Morphismen gem. Graphen 1.2
Definition 1.10/31
gemischter Untergraph G 0 eines Graphen G =
¯ )
(V, P, K, δ : P → V × V, δ : K → V ×V
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Sind die Knoten-, Pfeil- und Kantenmenge von G 0 Teilmengen der jeweiligen Menge von G und sind weiter die Inzidenzabbildungen nur Einschränkungen
bezüglich der Definitions- und Wertemenge der entsprechenden Inzidenzabbildungen von G, dann ist G 0 ein gemischter Untergraph von G.
Die Forderung bezüglich der Inzidenzabbildungen lässt sich noch anders formulieren. Das Tripel von Inklusionen von der Knotenmenge bzw. der Vereinigung von Knoten- und Pfeilmenge bzw. der Vereinigung von Knoten- und Kantenmenge in die entsprechenden Obermengen des Graphen G definieren einen
Monomorphismus.
Morphismen gem. Graphen 1.2
Definition 1.11/33
gemischter Quotientengraph G 00 eines gemischten
Graphen G
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Der Graph G 00 heißt genau dann Quotientengraph des Graphen G, wenn
seine Knotenmenge eine Quotientenmenge der Knotenmenge von G ist∗ ebenso
wie die Pfeil- und Kantenmenge Quotientenmengen der entsprechenden Mengen
von G sind, so dass das Tripel der Projektionen von der Knotenmenge von G
nach der von G 00 , von der Vereinigung der Knoten- und Pfeilmenge von G nach
der von G 00 und von der Vereinigung der Knoten- und Kantenmenge von G nach
der von G 00 ein Epimorphismus von G nach G 00 ist.
∗
wenn also die Knotenmenge von G 00 die Menge aller Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation auf der Knotenmenge von G ist
Morphismen gem. Graphen 1.2
Definition 1.12/35
Der von einer Knotenmenge V 0 erzeugte gemischte
Untergraphen von G =
¯ ) und ihre
(V, P, K, δ : P → V × V, δ : K → V ×V
Kographen
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Nimmt man eine Teilmenge V 0 der Knotenmenge eines Graphen G und definiert die Pfeil- bzw Kantenmenge P 0 und K 0 durch das Urbild der jeweiligen
Inzidenzabbildungen von G an Stelle des jeweiligen „Kreuzprodukts“ der Knoten¯ 0 )). Dann erhält man durch
teilmenge (P 0 := δ −1 (V 0 × V 0 ), K 0 := δ −1 (V 0 ×V
diese Mengen mit entsprechender Einschränkung der Inzidenzabbildungen einen
Untergraph von G. Dieser heißt von V 0 erzeugter gemischter Untergraph von G
und wird formal mit dem Durchschnitt von G und V 0 G ∩ V 0 bezeichnet.
Bildet man bezüglich der Knotenmenge von G das Komplement von V 0 und
schneidet dieses mit G, dann erhält man den Kographen des von V 0 erzeugten
gemischten Untergraphen von G.
Eine analoge Begriffsbildung lässt sich mit einer Teilmenge der Vereinigung
der Pfeil- und Kantenmenge eines Graphen G realisieren, indem man die Inzidenzabbildungen des Graphen entsprechend einschränkt. Die Knotenmenge
bleibt unberührt.
Morphismen gem. Graphen 1.2
Korollar 1.13/37
Über die Beziehung von beliebigen gemischten
Untergraphen und erzeugten gemischten
Untergraphen
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
¯ ) ein gemischter Graph und
Sei G = (V, P, K, δ : P → V × V, δ : K → V ×V
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
¯ 0 ) ein gemischter Untergraph
= (V , P , K , δ : P → V ×V , δ : K → V ×V
von G. Dann gilt, dass der von der Vereinigung der Knoten- und Kantenmenge
des G 0 erzeugte Untergraph vom durch die Knotenmenge des G 0 erzeugten
Untergraph von G identisch mit dem Untergraph G 0 ist:
G0
(G ∩ (P 0 ∪ K 0 )) ∩ V 0 = G 0 = (G ∩ V 0 ) ∩ (P 0 ∪ K 0 )
Morphismen gem. Graphen 1.2
Motivation 1.14/39
Motivation für die baryzentrische Unterteilung eines
gemischten Graphen
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Gemischte Graphen können Schlingen, parallele Pfeile, parallele Kanten oder
zueinander entgegengesetzt gerichtete Pfeile enthalten. Solche Eigenschaften
eines gemischten Graphen komplizieren eine Matrizendarstellung des Graphen
erheblich. Mit der baryzentrischen Unterteilung eines Graphen wurde ein Übergang zu einem Graphen gefunden, der die wesentlichen geometrischen Merkmale des ursprünglichen Graphen hat aber nicht mehr dessen Schlingen, parallelen
Pfeile bzw Kanten und entgegengesetzt gerichteten Pfeile.
Morphismen gem. Graphen 1.2
Definition 1.15/41
Informelle Umsetzung der baryzentrischen
Unterteilung eines Graphen G =
¯ )
(V, P, K, δ : P → V × V, δ : K → V ×V
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Man führt für jeden Pfeil (analog für Kanten) zwei neue Pfeile ein, so dass
der Pfeil als neuer Knoten fungieren kann und die beiden neuen Pfeile zum einen
vom ursprünglichen Anfangsknoten zu dem nun als Knoten fungierenden Pfeil,
zum anderen vom neuen Knoten zum ursprünglichen Endknoten eine gerichtete Verbindung herstellen. Dadurch werden Pfeilschlingen zu entgegengesetzt
gerichteten Pfeilen, parallele und entgegengesetzt gerichtete Pfeile werden aufgelöst. Da dabei weder Schlingen noch über die durch Auflösung von Schlingen
entstandenen parallelen Kanten bzw. entgegengesetzt gerichtete Pfeile entstanden sind, erhält man durch eine weitere baryzentrische Unterteilung einen
Graphen der frei ist von Schlingen, parallelen Kanten bzw. Pfeile und entgegengesetzt gerichteten Pfeilen.
Morphismen gem. Graphen 1.2
Definition 1.15/43
Formale Umsetzung der baryzentrischen
Unterteilung eines Graphen G =
¯ )
(V, P, K, δ : P → V × V, δ : K → V ×V
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Man wählt also P1 , P2 und K1 , K2 mit ihren bijektiven Abbildungen α1 , α2 und β1 , β2
zu P bzw. K, so dass die sechs Mengen paarweise disjunkt sind. Weiter führt man eine
beliebige Kantenorientierung δ̄ : K → V × V ein, um bei einem Kantenbild δb k von Gb
sinnvoll über einem Anfangs- bzw. Endknoten sprechen zu können. Wobei gilt δ = π δ̄
¯ v × v 0 7→ v ×v
¯ 0.
mit π : V × V → V ×V,
Setzt man nun Vb := V ∪ P ∪ K, Pb := P1 ∪ P2 , Kb := K1 ∪ K2 und
(
v1 × α−1
falls p ∈ P1
1 p
δb : Pb → Vb × Vb , δb p :=
−1
α2 p × v2 falls p ∈ P2
(
¯ 1−1 k
v1 ×β
falls k ∈ K1
¯ b , δb k :=
δb : Kb → Vb ×V
−1
β2 k × v2 falls k ∈ K2
−1
Dabei sind v1 und v2 der Anfangs- und Endknoten von α−1
1 p und α2 p bzw. von
−1
−1
β1 k und β2 k bzgl. der Kantenorientierung δ̄. Dann erhält man die baryzentrische
Unterteilung von G:
¯ b)
Gb = (Vb , Pb , Kb , δb : Pb → Vb × Vb , δb : Kb → Vb ×V
Morphismen gem. Graphen 1.2
Korollar 1.16/45
Isomorphisatz baryzentrischer Unterteilungen eines
Graphen G
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Die gemischten Graphen Gb und Gb0 zweier baryzentrischer Unterteilungen
eines Graphen G sind isomorph (G ∼ G).
Morphismen gem. Graphen 1.2
Lemma 1.17/47
• Baryzentrische Unterteiungslemma∗
• Satz der zweifachen baryzentrischen
Unterteilung.
1 Grundbegriffe
∗
Graphentheorie
Hier soll gezeigt werden, dass der Graph einer baryzentrischen Unterteilung tatsächlich die
Eigenschaften hat, die seine Definition motivierten.
Baryzentrische Unterteilungen gemischter Graphen haben keine Schlingen.
Im Ursprungsgraphen parallele Pfeile oder Kanten verlieren diese Eigenschaft
ebenso wie ursprünglich zueinander entgegengesetzt gerichtete Pfeile.
Es folgt: unterteilt man einen gemischten Graphen G zweimal hintereinander
baryzentrisch, erhält man in Gbb einen gemischten Graphen, der weder Schlingen
noch parallele Pfeile oder Kanten noch zueinander entgegengesetzt gerichtete
Pfeile enthält.
Morphismen gem. Graphen 1.2
Definition 1.18/49
• Kategorie gemischter Graphen
• endlicher gemischter Graph
• schlichter gemischter Graph
• gerichteter Graph
• ungerichteter Graph
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Die Klasse aller gemischten Graphen und ihre Morphismen bildet eine sogenannte Kategorie: die Kategorie gemischter Graphen
Ein gemischter Graph dessen Knoten-, Kanten- und Punktmenge endlich ist,
heißt endlicher Graph
Ein schlingenfreier gemischter Graph der keine direkten oder inversen Parallelitäten aufweist, heißt schlichter gemischter Graph.
Ein gemischter Graph dessen Kantenmenge leer ist heißt gerichteter Graph,
der Formal aus dem Tripel Knotenmenge, Punktmenge und Kanteninzidenzabbildung (V, P, δ : P → V × V ) gebildet wird.
Ein gemischter Graph dessen Punktmenge leer ist heißt ungerichteter Graph
der Formal aus dem Tripel Knotenmenge, Kantenmenge und Kanteninzidenz¯ ) gebildet wird.
abbildung (V, K, δ : K → V ×V
Morphismen gem. Graphen 1.2
Definition 1.19/51
• Kategorie gemischter Graphen — MixGraph
• Kategorie der Graphen — Graph
• Kategorie der Digraphen — Digraph
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Die Klasse endlicher, schlichter, gemischter Graphen und ihrer Morphismen
heißt Kategorie gemischter Graphen und wird durch MixGraph bezeichnet.
Die Klasse endlicher, schlichter, ungerichteter Graphen und ihrer Morphismen heißt Kategorie der Graphen (oder Kategorie ungerichteter Graphen) und
wird durch Graphen bezeichnet.
Die Klasse endlicher, schlichter, gerichteter Graphen und ihrer Morphismen
heißt Kategorie der Digraphen (oder Kategorie gerichteter Graphen) und wird
durch Digraph bezeichnet.
N°-ierte Graphen & Matrizen 1.3
Definition 1.20/53
• knotennummerierter Graph
(Knotennummerierung)
• (vollständig) nummerierter Graph ∗
(Kantennummerierung)
1 Grundbegriffe
∗
Graphentheorie
Nummerierte Graphen erlauben es Graphen als Matrizen darzustellen, womit eine Verbindung zur linearen Algebra hergestellt ist
Fügt man dem Tripel eines endlichen, schlichten, ungerichteten Graphen
noch eine Nummerierung seiner nichtleeren Knotenmenge hinzu, dann heißt das
resultierende Quadrupel knotennummerierter Graph. Die Nummerierung der
Knotenmenge heißt Knotennummerierung von G.
Ergänzt man außerdem noch eine Nummerierung für dessen nichtleere Kantenmenge, so heißt das resultierende Quintupel (vollständig) nummerierter Graph.
Dabei heißt die Nummerierung der Kantenmenge naheliegenderweise Kantennummerierung von G
N°-ierte Graphen & Matrizen 1.3
Definition 1.21/55
• Adjazenzmatrix eines knotennummerierten
Graphen.
• Inzidenzmatrix eines vollständig nummerierten
Graphen.
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Mit der Knotennummerierung lässt sich eine durch diese indizierte quadratische Adjazenzmatrix definieren, deren Anzahl der Zeilen bzw. Spalten der Anzahl der Knoten entspricht. Weiter gilt für die i j-te Komponente αij , dass sie
genau dann Eins ist, wenn die durch die Indizes identifizierten Knoten die Rand¯ (j) ∈ δ(K)).
knoten einer Kante sind, ansonsten ist sie Null (αij = 1 ⇔ v (i )×v
Mit der Knoten- und Kantennummerierung kann eine durch diese Nummerierungen indizierte Inzidenzmatrix definiert werden, die so viele Zeilen hat wie der
Graph Knoten und so viele Spalten wie der Graph Kanten. Die i j-te Komponente κij der Inzidenzmatrix ist genau dann Eins, wenn der i-te Knoten Randknoten
der j-ten Kante ist (κij = 1 ⇔ v (i ) ∈ δ(κ(j))).
N°-ierte Graphen & Matrizen 1.3
Korollar 1.22/57
• Eigenschaften von Adjazenzmatrizen
• Eigenschaften von Inzidenzmatrizen
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
• Die Elemente von Adjazenzmatrizen sind Null oder Eins
• Adjazenzmatrizen sind quadratische Matrizen
• Adjazenzmatrizen sind symmetrische Matrizen
• Adjazenzmatrizen haben in der Hauptdiagonalen nur Nullen
• Jede Spalte einer Inzidenzmatrix enthält genau zweimal die Eins und sonst
Nullen.
• Für je zwei verschiedene Indizes sind die zugehörigen Spalten einer Inzidenzmatrix linear unabhängig als Spaltenvektoren bezüglich eines — beliebigen! — Körpers.
N°-ierte Graphen & Matrizen 1.3
Satz 1.23/59
Graphenerzeugende Adjazenzmatrizen.
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Hat eine Matrix A alle Eigenschaften einer Adjazenzmatrix, dann lässt sich
mit dieser Matrix ein knotennummerierter Graph mit A als Adjazenzmatrix definieren. Man setzt dabei die Knotemenge auf die ersten m Zahlen wobei m die
Spalten- bzw. Zeilenanzahl von A ist. Die Kantenmenge setzt man auf alle zweiMengen bestehend aus einem Zeilen- und Spaltenindex, der in der Adjazenzmatrix eine Eins-Komponente indiziert. Sowohl die Kanteninzidenzabbildung als
auch die Nummerierung sind Identitäten ihrer jeweiligen Definitionsmengen.
N°-ierte Graphen & Matrizen 1.3
Satz 1.24/61
Graphenerzeugende Inzidenzmatrizen.
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Hat eine Matrix H alle Eigenschaften einer Inzidenzmatrix, dann lässt sich
mit dieser Matrix ein knoten- und kanntennummerierter Graph mit H als Inzidenzmatrix definieren. Hierzu wird eine Knotenmenge definiert, deren Mächtigkeit der Anzahl m der Zeilen der Inzidenzmatrix entspricht {v1 , . . . , vm }. Weiter
wird eine zu dieser disjunkte Kantenmenge definiert, deren Mächtigkeit durch
die Anzahl n der Spalten der Inzidenzmatrix festgelegt ist {k1 , . . . , kn }. Die Indizierung der Knoten entspricht also der Zeilenindizierung und die der Kanten der
Spaltenindizierung der Inzidenzmatrix. Die Kanteninzidenzabbildung ordnet der
j-ten Kante die beiden verschiedenen i -ten und l-ten Knoten zu, deren Indizes
die beiden Zeilen der in der j-ten Spalte vorkommenden Eins-Komponenten indizieren. Die beiden Nummerierungen entsprechen den Indizierungen der Knoten
und Kanten (ν(i ) = vi , κ(j) = kj ). Der so konstruierte Graph ist ein vollständig
nummerierter Graph, mit der eingangs vorausgesetzten Matrix als Inzidenzmatrix.
N°-ierte Graphen & Matrizen 1.3
Definition 1.25/63
Permutationsmatrix∗
1 Grundbegriffe
∗
Graphentheorie
Dieser Begriff ist motiviert durch den Wunsch entscheiden zu können, wann vorgelegte
Adjazenz- bzw. Inzidenzmatrizen zu (bis auf Nummerierung) isomorphen Graphen gehört.
Bezeichne man wie üblich eine bijektive Abbildung von den ersten n Zahlen
auf eine n-Menge als Permutation dieser Menge. Dann gewinnt man aus einer
Permutation ρ der ersten n Zahlen die zu dieser Permutation assoziierte Permutationsmatrix ρij , wenn man genau die Komponenten der i -ten Zeile und j-ten
Spalte eins setzt, für welche die assoziierte Permutation an der i -ten Stelle j
ist (ρij = 1 ⇔ ρ(i ) = j). So dass in der ρ(i )-ten Spalte der i -te Einheitsvektor
steht bzw. in der i -ten Zeile der ρ(i )-te Einheitsvektor.
N°-ierte Graphen & Matrizen 1.3
Satz 1.26/65
Identitätssatz für Adjazenzmatrizen eines endlichen,
schlichten, ungerichteten und knotennummerierten
Graph G.
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Liegt ein Knotennummerierter Graph mit der Nummerierung ν vor sowie eine
Permutation der ersten m Zahlen, wobei m die Anzahl der Knoten ist. Dann ist
zunächst die Komposition der Nummerierung und der Permutation eine Umnummerierung des Graphen. Nun gibt es eine von der Nummerierung und eine von
der Umnummerierung induzierte Adjazenzmatrix des Graphen, wobei sich die
Adjazenzmatrix der Umnummerierung auf die der Nummerierung zurückführen
lässt. Denn erstere ist mit dem Matrizenprodukt von der zur Permutation assoziierten Permutationsmatrix, der Adjazenzmatrix zur Nummerierung und von
der transponierten der Permutationsmatrix identisch.
N°-ierte Graphen & Matrizen 1.3
Satz 1.27/67
Identitätssatz für Inzidenzmatrizen eines endlichen,
schlichten, ungerichteten und vollständig
nummerieren Graphen G.
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Analog zum Identitätssatz für Adjazenzmatrizen lässt sich ein solcher für
Inzidenzmatrizen formulieren. Hierbei wird neben der Permutation ρ und der
Knotenumnummerierung noch eine Permutation σ derersten n Zahlen zur Umnummerierung κ ◦ σ der Kantenmenge eingeführt, also entspricht n der Anzahl
der Kanten und die Komposition der Kantennummerierung und der zweiten Permutation der Kantenumnummerierung. Hier lässt sich nun auch zeigen, dass sich
die durch die Nummerierungen und Umnummerierungen bestimmten Inzidenzmatrizen über geeignete Permutationsmatrizen miteinander identifizieren lassen.
Es gilt das die Inzidenzmatrix bezüglich der Umnummerierungen identisch ist mit
dem Matrizenprodukt von der Permutationsmatrix der Knotenpermutation, der
Inzidenzmatrix bezüglich der Nummerierungen und der Transponierten Permutationsmatrix der Kantenpermutation.
N°-ierte Graphen & Matrizen 1.3
Korollar 1.28/69
Adjazenz- und Inzidenz-Isomorphie-Äquivalenzsatz
für endliche, schlichte, ungerichtete und knotenbzw. vollständig nummerierte Graphen G und G 0
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
G und G 0 sind genau dann isomorph,
wenn Nummerierungen der Knotenmengen von G und G 0 existieren, so dass
die zu den Graphen zugehörigen Adjazenzmatrizen A und A0 identisch sind.
wenn für je eine Nummerierung der Knotenmengen von G und G 0 eine Permutationsmatrix Pρ existiert, so dass für die Adjazenzmatrizen A und A0 gilt
A0 = Pρ APρt .
G und G 0 sind genau dann isomorph,
wenn Nummerierungen der Knotenmengen und Kantenmengen von G und
0
G existieren, so dass die zu den Graphen zugehörigen Inzidenzmatrizen H und
H 0 identisch sind.
wenn für je eine Nummerierung der Knoten- und Kantenmenge von G und
0
G Permutationsmatrizen Pρ Pσ existiert, so dass für die Inzidenzmatrizen H
und H 0 gilt H 0 = Pρ HPσt .
N°-ierte Graphen & Matrizen 1.3
Definition 1.29/71
• Kantengraph eines endlichen, schlichten und
ungerichteten Graph G
• induzierte Knotennummerierung eines
Kantengraph
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Der Kantengraph eines Graph wird wie folgt definiert. Seine Knotenmenge
V 0 ist die Kantenmenge des Graphen. Seine Kantenmenge K 0 ist die Menge aller Paar-Mengen deren Elemente zwei verschiedene Kanten k, k 0 des ursprünglichen Graphen sind, für die es einen Knoten des Ursprünglichen Graphen
gibt, der Randknoten beider Kanten bezüglich des ursprünglichen Graphen ist
(v ∈ δk, v ∈ δk 0 ). Die Inzidenzabbildung des Kantengraphen δ 0 ist bezüglich
¯ 0 ) der
ihres Bildes die Identität. Damit ist mit G 0 = (V 0 , K 0 , δ 0 : K 0 → V 0 ×V
Kantengraph von G gegeben.
Liegt nun zu einem Graphen eine vollständig Nummerierung vor, dann kann
die Kantennummerierung der Nummerierung von dem zugehörigen Kantengraphen als Knotennummerierung verwendet werden. Diese Knotennummerierung
heißt dann induzierte Knotennummerierung.
N°-ierte Digraphen & Matrizen 1.4
Definition 1.30/73
• knotennummerierter Digraph
(Knotennummerierung)
• (vollständig) nummerierter Digraph ∗
(Kantennummerierung)
1 Grundbegriffe
∗
Graphentheorie
Nummerierte Graphen erlauben es Graphen als Matrizen darzustellen, womit eine Verbindung zur linearen Algebra hergestellt ist
Fügt man dem Tripel eines endlichen, schlichten, gerichteten Graphen noch
eine Nummerierung seiner nichtleeren Knotenmenge hinzu, dann heißt das resultierende Quadrupel knotennummerierter Digraph. Die Nummerierung der
Knotenmenge heißt Knotennummerierung von G.
Ergänzt man außerdem noch eine Nummerierung π für dessen nichtleere
Pfeilmenge, so heißt das resultierende Quintupel (vollständig) nummerierter Digraph. Dabei heißt die Nummerierung der Pfeilmenge naheliegenderweise Pfeilnummerierung von G
N°-ierte Digraphen & Matrizen 1.4
Definition 1.31/75
• Diadjazenzmatrix eines knotennummerierten
Digraphen.
• Diinzidenzmatrix eines vollständig nummerierten
Digraphen.
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Mit der Knotennummerierung lässt sich eine durch diese indizierte quadratische Diadjazenzmatrix definieren, deren Anzahl der Zeilen bzw. Spalten der
Anzahl der Knoten entspricht. Weiter gilt für die i j-te Komponente αij , dass sie
genau dann Eins ist, wenn die durch die Indizes unter der Knotennummerierung
identifizierten Knoten sowohl Anfangs- als auch Endknoten eines Pfeils sind,
ansonsten ist sie Null. (αij = 1 ⇔ v (i ) × v (j) ∈ δ(P )).
Mit der Knoten- und Kantennummerierung eines Digraph kann eine durch
diese Nummerierungen indizierte Diinzidenzmatrix definiert werden, die so viele
Zeilen hat wie der Graph Knoten und so viele Spalten wie der Graph Pfeile.
Die i j-te Komponente πij der Diinzidenzmatrix ist genau dann Eins, wenn der
i -te Knoten Anfangsknoten des j-ten Pfeils ist (πij = 1 ⇔ δ(π(j)) = (ν(i ), ·)).
Ist genau dann Minuseins, wenn der i -te Knoten Endknoten des j-ten Pfeil ist
(πij = −1 ⇔ δ(π(j)) = (·, ν(i ))).
N°-ierte Digraphen & Matrizen 1.4
Korollar 1.32/77
• Eigenschaften von Diadjazenzmatrizen
• Eigenschaften von Diinzidenzmatrizen
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
• Die Elemente von Diadjazenzmatrizen sind Null oder Eins
• Diadjazenzmatrizen sind quadratische Matrizen
• Diadjazenzmatrizen sind asymmetrische Matrizen (aij = 1 ⇒ aji = 0)
• Diadjazenzmatrizen haben in der Hauptdiagonalen nur Nullen
• Jede Spalte einer Diinzidenzmatrix enthält genau eine Eins, eine Minuseins
und sonst Nullen.
• Für je zwei verschiedene Indizes sind die zugehörigen Spalten einer Diinzidenzmatrix linear unabhängig als Spaltenvektoren bezüglich eines —
beliebigen! — Körpers.
N°-ierte Digraphen & Matrizen 1.4
Satz 1.33/79
Digraphenerzeugende Matrizen.
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Hat eine Matrix A alle Eigenschaften einer Diadjazenzmatrix, dann lässt sich
mit dieser Matrix ein knotennummerierter Digraph mit A als Adjazenzmatrix
definieren. Man setzt V auf hmi wobei m die Spalten- bzw. Zeilenanzahl von
A ist. Die Pfeilmenge setzt man auf alle Paare (i , j) ⊂ hmi × hmi für die gilt,
dass die ij-te Komponente von A Eins ist.
Liegt eine (m×n)-Matrix H = (πij ) vor (über einen Körper mit Charakteristik
6= 2), die alle Eigenschaften einer Inzidenzmatrix hat, dann definiert diese einen
vollständig nummerierten Graph mit H als Diinzidenzmatrix. Indem man eine
m-elementige Menge V und eine zu dieser disjunkten n-elementige Menge P
definiert. Die Pfeilinzidenzabbildung ordnet einem Pfeil pj das Paar vi × vi 0 zu
mit πij = 1, πi 0 j = −1.
N°-ierte Digraphen & Matrizen 1.4
Satz 1.34/81
Identitätssatz für Diadjazenzmatrizen eines
endlichen, schlichten gerichteten und
knotennummerierten Digraph D.
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Sei ρ : h|V |i
→h|V |i eine Permutation von V und ν ◦ ρ die durch ρ definierte
Umnummerierung der Knotenmenge V von G. Sind dann Aν und Aν◦ρ die
Adjazenzmatrizen von G bezüglich Gs Nummerierung und Umnummerierung.
Dann kann man die Diadjazenzmatrix der Umnummerierung ν ◦ ρ identifizieren
mit dem Matrizenprodukt der zu ρ assoziierten Permutationsmatrix, der Adjazenzmatrix bezüglich der Knotennummerierung ν und der Transponierten der zu
ρ assoziierten Permutationsmatrix.
N°-ierte Digraphen & Matrizen 1.4
Satz 1.34/83
Identitätssatz für Diinzidenzmatrizen eines endlichen,
schlichten, gerichteten und vollständig nummerierten
Graphen D.
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Analog zum Identitätssatz für Diadjazenzmatrizen lässt sich ein solcher für
Diinzidenzmatrizen formulieren. Hierbei wird neben der Permutation ρ und der
Knotenumnummerierung noch eine weitere Permutation σ : h|P |i
→h|P |i und
eine Umnummerierung der Pfeilmenge π ◦ σ : h|P |i
→P definiert.
Sind dann Hν,π und Hν◦ρ,πρσ die Diinzidenzmatrizen von G bezüglich der Nummerierungen ν und π bzw. ν ◦ ρ und π ◦ σ, so gilt Hν◦ρ,π◦σ = Pρ Hν,π Pσt
N°-ierte Digraphen & Matrizen 1.4
Korollar 1.35/85
Diadjazenz- und
Diinzidenz-Isomorphie-Äquivalenzsatz für endliche,
schlichte, gerichtete und knoten- bzw. vollständig
nummerierte Digraphen D und D0
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
D und D0 sind genau dann isomorph,
wenn Nummerierungen der Knotenmengen von D und D0 existieren, so dass
die zu den Graphen zugehörigen Diadjazenzmatrizen A und A0 identisch sind.
wenn für je eine Nummerierung der Knotenmengen von D und D0 eine Permutationsmatrix Pρ existiert, so dass für die Diadjazenzmatrizen A und A0 gilt
A0 = Pρ APρt .
G und G 0 sind genau dann isomorph,
wenn Nummerierungen der Knotenmengen und Pfeilmengen von D und D0
existieren, so dass die zu den Graphen zugehörigen Diinzidenzmatrizen H und
H 0 identisch sind.
wenn für je eine Nummerierung der Knoten- und Pfeilmenge von H und H 0
Permutationsmatrizen Pρ Pσ existiert, so dass für die Inzidenzmatrizen H und
H 0 gilt H 0 = Pρ HPσt .
N°-ierte Digraphen & Matrizen 1.4
Definition 1.36/87
• unterliegender Graph eines endlichen, schlichten
und gerichteten Digraph D
• induzierte Nummerierung eines unterliegenden
Graph
1 Grundbegriffe
Graphentheorie
Definiert man K durch die Pfeilmenge des Graphen D.
Definiert man weiter eine Abbildung δ 0 durch die Komposition der kanonischen Projektion und der Pfeilinzidenzabbildung von D.
Dann heißt das Tripel U = U(D) = (V, K, δ 0 ) unterliegender Graph von D
mit der Knotenmenge V aus D. Offenbar ist die Pfeilnummerierung von D eine
Kantennummerierung von U und die Knotennummerierung von D auch eine der
Knotenmenge von U, so dass sich der Graph U mit diesen Nummerierungen
nummerieren lässt. Man spricht hierbei von der induzierten Nummerierung von
U.
Knoten- und Kantengrade 2.1
Definition 2.1/89
• inzident
• adjazente Knoten
• adjazente Kanten
eines (endlichen, ungerichteten, schlichten) Graph
¯ )
G = (V, K, δ : K → V ×V
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Ein Knoten und eine Kante eines Graphen heißen inzident, wenn der Knoten
Randknoten der Kante ist.
Zwei verschiedene Knoten eines Graphen heißen adjazent, wenn es eine Kante des Graphen gibt, deren Randknoten diese Knoten sind.
Zwei verschiedene Kanten eines Graphen heißen adjazent, wenn es einen
Knoten des Graphen gibt, der Randknoten beider Kanten ist.
Knoten- und Kantengrade 2.1
Definition 2.2/91
• Knotengrad
• Kantengrad
• Knotengradabbildung
• Kantengradabbildung
Eines schlichten, endlichen und ungerichteten
Graphen G.
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Die Menge der Knoten eines Graphen, die zu einem Knoten v dieses Graphen adjazent sind wird formal mit Vv bezeichnet und ihre Kardinalität heißt
Knotengrad des Knotens v . Der Knotengrad eines Knoten v wird formal mit
γ(v ) bezeichnet.
Die Menge der Knoten und ihre jeweiligen Knotengrade definieren eine Abbildung γ von der Knotenmenge nach den natürlichen Zahlen, die jedem Knoten
ihren Kantengrad zuordnet. Diese Abbildung heißt Knotengradabbildung von G
und wird formal mit γ bezeichnet.
Analog definiert man für adjazente Kante den Kantengrad einer Kante, als
die Anzahl der zu ihr adjazenten Kanten |Kk | und die Kantengradabbildung γ̄
von G.
Während der Knoten- bzw. Kantengrad lokale Eigenschaften sind, ist die
Knoten- bzw. Kantengradabbildung globale Eigenschaften des Graphen.
Knoten- und Kantengrade 2.1
Lemma 2.3/93
• Knotengrad und Kantenkardinalität
Identitätssatz
• Kantengrad und Knotengrad Identitätssatz
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Die Summe aller Knotengrade eines Graphen ist das zweifache der Anzahl
der Kanten: Denn jede Kante ist mit genau zwei Knoten inzident und trägt je
Eins zum Knotengrad ihrer Randknoten bei.
Offenbar ist jede Kanten die zu einem Knoten v inzident ist — γ(v ) an
der Zahl — adjazent zu allen übrigen Kanten, die ebenfalls zu diesem Knoten
inzident sind, also zu γ(v )−1 Kanten. Damit induziert ein Knoten eines Graphen
für jede der γ(v ) inzidenten Kanten γ(v ) − 1 adjazenzen, also gilt
X
X
γ̄(k) =
γ(v )(γ(v ) − 1)
k∈K
v ∈V
Knoten- und Kantengrade 2.1
Satz 2.4/95
Knoten bzw. Kanten und Knotengrad bzw.
Kantengrad Beziehung
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Die Anzahl der Knoten ungeraden Knotengrades ist gerade.
Beweis: Nach vorhergehendem Lemma ist die Summe aller Knotengrade gerade.
Zerlegt man die Knoten in die Menge mit geradem und ungeraden Knotengrad,
dann ist die Summe der knotengerade der Knoten mit geradem Knotengrad gerade,
damit muss auch die Summe der Knotengrade der Knoten mit ungeradem Knotengrad gerade sein. Dass ist genau dann der Fall, wenn die Anzahl der Knoten mit
ungeradem Knotengrad gerade ist.
Die Anzahl der Kanten ungeraden Kantengrades ist gerade.
Beweis: Nach vorhergehendem Lemma ist die Summe aller Kantengrade gerade.
Zerlegt man die Kanten in die Menge mit geradem und ungeraden Kantengrad, dann
ist die Summe der Kantengerade der Kanten mit geradem Kantengrad offensichtlich
gerade, damit muss auch die Summe der Kantengrade der Kanten mit ungeradem
Kantengrad gerade sein. Dass ist genau dann der Fall, wenn die Anzahl der Kanten
mit ungeradem Kantengrad gerade ist.
Knoten- und Kantengrade 2.1
Satz 2.5/97
Notwendiges Kriterium für Graphenisomorphismus
¯ )=G
α = (αV , αK ) : (V, K, δ : K → V ×V
¯ 0) bezüglich
→ G 0 = (V 0, K 0, δ 0 : K 0 → V 0 ×V
der Knoten- und Kantengradabbildungen.
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Wenn ein Graphenmorphismus ein Isomorphismus ist, dann kommutieren die
jeweiligen Knoten- und Kantengrade bezüglich der Knotenabbildung bzw des
ungerichteten Teil des Isomorphismuses (γV = γV 0 ◦ αV und γK = γK 0 ◦ αK ).
V
αV
γV
N
V0
K
γV 0
γK
αK
K0
γK 0
N
Beweis: Kommutieren die beiden Knotengradabbildungen der jeweiligen Graphen
bezüglich der Knotenabbildung des Isomorphismus nicht, dann gibt es einen Knoten
v mit γV (v ) 6= γV 0 (αV (v )). Da der ungerichtete Teil des Isomorphismus eine Bijektion ist, ist die Summe der Knotengrade invariant (2|K|) und es kann o.B.d.A.
angenommen werden, dass es einen Knoten v ∈ V gibt, dessen Knotengrad größer
ist als der seines Bildes unter der Knotenabbildung. Damit gibt es aber auch einen
zu v adjazenten Knoten w , dessen Bild unter der Knotenabbildung nicht adjazent
¯ V ({v , w }) 6∈ δ 0 (K 0 ), was der Isomorphismusdefiist zu dem Bild von v , also αV ×α
nition widerspricht. Kommutieren die beiden Kantengradabbildungen der jeweiligen
Graphen bezüglich des ungerichteten Teils des Isomorphismus nicht, dann gibt es
in einem der beiden Graphen eine Kante k bzw k 0 , die mehr benachbarte Kanten
als ihr Bild bzw Urbild unter dem ungerichteten Teil des Morphismus hat. Da diese
Beziehung über Knoten realisiert wird, folgt daraus, dass es auch einen zu k bzw k 0
inzidenten Knoten v bzw α(v ) gibt, so dass v und α(v ) verschiedene Knotengrade
haben. Damit greift die vorhergehende Argumentation.
Knoten- und Kantengrade 2.1
Definition 2.6/99
• isolierter Knoten
• isolierte Kante
• Randknoten
• Randkante
Eines (ungerichteten, endlichen und schlichten)
Graphen.
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Ein Knoten eines Graphen heißt isoliert, wenn er unter der Knotengradabbildung des Graphen verschwindet.
Eine Kante eines Graphen heißt isoliert, wenn sie unter der Kantengradabbildung des Graphen verschwindet.
Ein Knoten eines Graphen heißt Randknoten des Graphen wenn er unter der
Knotengradabbildung auf die Eins abgebildet wird.
Eine Kante eines Graphen heißt Randkante des Graphen wenn sie unter der
Kantengradabbildung auf die Eins abgebildet wird.
Knoten- und Kantengrade 2.1
Definition 2.7/101
• knotenregulär vom Grad g
• kantenregulär vom Grad g
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Eine Graph G heißt knotenregulär vom Grad g, wenn seine Knotengradabbildung sich mit der konstanten Abbildung ĝ identifizieren lässt.
Eine Graph G heißt kantenregulär vom Grad g, wenn seine Kantengradabbildung sich mit der konstanten Abbildung ĝ identifizieren lässt.
Knoten- und Kantengrade 2.1
Definition 2.8/103
• knotentrivial
• kantentrivial
• vollständig
• radial
Eigenschaften eines Graphen G
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Ein Graph heißt knotentrivial, wenn er knotenregulär vom Grad 0 ist. —
Dann sind zwei knotentriviale Graphen isomorph, wenn die Kardinalität ihrer
Knotenmengen übereinstimmt.
Ein Graph heißt kantentrivial, wenn er kantenregulär vom Grad 0 ist. —
Dann sind zwei kantentriviale Graphen isomorph, wenn sie die gleiche Anzahl an
Kanten haben.
Ein Graph heißt vollständig, wenn er knotenregulär vom Grad |V | − 1 ist. —
Dann sind zwei vollständige Graphen isomorph, wenn die Anzahl ihrer Knoten
identisch ist.
Ein Graph heißt radial, wenn er kantenregulär vom Grad |K| − 1 und |K| =
6 3
ist. — Dann sind zwei radiale Graphen isomorph, wenn die Anzahl der Kanten
gleich ist.
Knoten- und Kantengrade 2.1
Definition 2.9/105
• Kantenfolge der Länge n (Graph)
• triviale Kantenfolge
• verbindbar (Knoten)
• zusammenhängend (Graph)
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Eine endliche alternierende Folge von Knoten und Kanten, die mit einem
Knoten beginnt und mit einem endet sowie n + 1 Knoten enthält heißt Kantenfolge der Länge n, wenn jede Kante unter der Kanteninzidenzabbildung auf die
beiden Knoten abgebildet wird, die unmittelbar vor ihr und unmittelbar nach ihr
in der Folge kommen. Formal:
fn : hni → V ∪ K, (v0 , k1 , v1 , . . . , vn−1 , kn , vn ) heißt Kantenfolge der
¯ i
Länge n : ⇐⇒ ∀i ∈ hni : δki = vi−1 ×v
Ein einzelner Knoten v0 kann auch als Kantenfolge der Länge 0 vom Knoten v0
zum Knoten v0 interpretiert werden und heißt dann triviale Kantenfolge.
Zwei Knoten eines Graphen heißen verbindbar, wenn es eine Kantenfolge
von dem einen zum anderen Knoten gibt.
Ein Graph heißt zusammenhängend, wenn je zwei Knoten des Graphen verbindbar sind.
Knoten- und Kantengrade 2.1
Satz 2.10/107
Epimorphismus-Kriterium für den Zusammenhang
eines Graphen.
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Kann man eine Epimorphismus von einem zusammenhängenden Graphen G
nach einem Graphen G 0 nachweisen, dann ist auch der Graph G 0 ein zusammenhängender Graph.
Beweis: Denn über die kommutativ Bedingung eines Morphismuses lässt sich für
eine beliebige Kantenfolge des zusammenhängenden Graphen G eine Kantenfolge
des zweiten Graphen G konstruieren. Da dabei alle Knoten von G 0 wegen der Surjektivität erwischt werden, ist auch G 0 zusammenhängend.
Knoten- und Kantengrade 2.1
Definition 2.11/109
Besondere Kantenfolgen
• Kantenzug, maximaler Kantenzug
• Kantenweg bzw Weg
• geschlossene Kantenfolge, geschlossener
Kantenweg
• Kantenkreis bzw Kreis
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Eine Kantenfolge heißt Kantenzug, wenn alle Kanten der Folge paarweise
verschieden sind.
Ein Kantenzug heißt genau dann maximal, wenn er nicht über seine Randknoten hinaus verlängert werden kann.
Eine Kantenfolge heißt Kantenweg oder nur Weg, wenn alle Knoten vi für
i = 0, . . . , n untereinander verschieden sind.
Eine Kantenfolge heißt geschlossene Kantenfolge, wenn v0 = vn gilt.
Eine Kantenfolge heißt geschlossener Kantenzug, wenn sie geschlossen ist
und alle Kanten paarweise untereinander verschieden sind.
Eine Kantenfolge heißt Kantenkreis oder nur Kreis, wenn sie ein nichttrivialer
geschlossener Kantenzug ist und alle Knoten vi für i ∈ hni, also bis auf den
ersten, paarweise verschieden sind.
Knoten- und Kantengrade 2.1
Schema 2.12/111
Schema des begrifflichen Zusammenhangs, vom
Kantenkreis bis zur Kantenfolge.
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Kantenweg
Kantenkreis
=⇒
=⇒
geschlossener Kantenzug
geschlossener Kantenfolge
=⇒
Kantenfolge
=⇒
Kantenzug
=⇒
=⇒
Knoten- und Kantengrade 2.1
Satz 2.13/113
Äquivalenzsatz zu Kantenfolgen und Kantenwegen.
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Für zwei Knoten v , v 0 eines schlichten, endlichen und ungerichteten Graphen
existiert genau dann eine Kantenfolge von dem einen Knoten zum Anderen, wenn
es einen Kantenweg von dem einen Knoten zum Anderen gibt.
Beweis: ⇒: Für den trivialen Fall, dass die beiden Knoten identisch sind, kann man
den triviale Kantenweg v = v 0 setzen.
Für den nichttrivialen Fall gilt, dass in der Kantenfolge, wenn sie kein Weg ist, eine
Teilfolge von einem Knoten vi zu sich selbst gibt. Diese Teilfolge kann ohne weiteres
bis auf den Knoten vi fortgelassen werden ohne die Folge zu unterbrechen. Dies
kann man mit allen derartigen Teilfolgen machen, bis die Kantenfolge ein Kantenweg
ist.
⇐: Ein Kantenweg ist definitionsgemäß eine Kantenfolge.
Knoten- und Kantengrade 2.1
Definition 2.14/115
Zusammenhangsäquivalenz zweier Knoten
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Zwei Knoten v , v 0 eines Graphen heißen zusammenhangsäquivalent, wenn
es eine Kantenfolge von dem einen Knoten zum Anderen gibt. Man schreibt
formal: v ∼z v 0 .
Knoten- und Kantengrade 2.1
Satz 2.15/117
Zusammenhangsäquivalenz-Satz
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Die Zusammenhangsäquivalenz von Knoten eines Graphen ist eine Äquivalenzrelation bezüglich der Knotenmenge des Graphen. Die Knotenmenge eines
Graphen zerfällt also in paarweise disjunkte Teilmengen, so dass zwei Knoten
der Knotenmenge genau dann zur gleichen dieser Teilmengen gehören, wenn sie
verbindbar sind.
Knoten- und Kantengrade 2.1
Satz 2.16/119
Eigenschaften der durch die
Zusammenhangsäquivalenzrelation erzeugten
Untergraphen
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Jede Äquivalenzklasse der Zusammenhangsäquivalenzrelation bezüglich der
Knotenmenge eines Graphen erzeugt einen Untergraphen, so dass die Kantenmengen und Untergraphen paarweise disjunkt sind und ihre jeweilige Vereinigung
die Kantenmenge des Graphen bzw. den Graphen selbst ergibt.
Jeder der von einer Äquivalenzklasse erzeugten Untergraph ist ein maximaler
zusammenhängender Untergraph des Graphen.
Die Zerlegung des Graphen in die von den Äquivalenzklassen erzeugten Untergraphen ist eindeutig.
Knoten- und Kantengrade 2.1
Definition 2.17/121
• Komponente eines Graphen
• Rang eines Graphen
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Ein maximaler zusammenhängender Untergraph eines Graphen heißt Komponente des Graphen. Die Anzahl der verschiedenen Komponenten eines Graphen
G wird formal mit komp(G) bezeichnet.
Die Differenz der Kardinalität der Knotenmenge eines Graphen und der Komponentenanzahl heißt Rang von G und wird formal mit rg(G) := |V | − komp(G)
bezeichnet.
Eingangsgrad und Ausgangsgrad
Definition 2.18/123
• positiv inzident
• negativ inzident
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Ein Knoten und ein Pfeil eines Digraphen heißen positiv inzident, wenn der
Knoten der Anfangsknoten des Pfeils ist.
Ein Knoten und ein Pfeil eines Digraphen heißen negativ inzident, wenn der
Knoten der Endknoten des Pfeils ist.
Eingangsgrad und Ausgangsgrad
Definition 2.19/125
• Knoteneingang
• Knotenausgang
• Ausgangsgrad , Ausgangsgradabbildung
• Eingangsgrad , Eingangsgradabbildung
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Sei v Knoten eines Digraphen. Dann heißt jeder Knoten der negativ inzident
zu einem Pfeil ist, zu dem v positiv inzident ist, Ausgang von v . Die Menge
aller Ausgänge eines Knoten wird formal mit Vv+ bezeichnet. Die Kardinalität
von dieser Menge heißt Ausgangsgrad des Knotens und wird formal mit γ + (v )
bezeichnet.
Sei v Knoten eines Digraphen. Dann heißt jeder Knoten der positiv inzident
zu einem Pfeil ist, zu dem v negativ inzident ist, Eingang von v . Die Menge
aller Eingänge eines Knoten wird formal mit Vv− bezeichnet. Die Kardinalität
von dieser Menge heißt mit Eingangsgrad dieses Knotens und wird formal mit
γ − (v ) bezeichnet.
Die durch die Ausgangs- bzw. Eingangsgrade induzierten Abbildungen von
der Knotenmenge nach den natürlichen Zahlen, deren jeweiliges Bild der Ausgangsbzw. Eingangsgrad des abzubildenden Knoten ist, heißen Ausgangsgradabbildung bzw.Eingangsgradabbildung des Digraphen. Formal bezeichnet werden
diese Abbildungen mit γ + bzw γ − .
Eingangsgrad und Ausgangsgrad
Definition 2.20/127
• Knotengrad und
• Eulergrad eines Knoten eines Digraphen
• Knotengradabbildung und
• Eulergradabbildung eines Digraphen
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Die Summe des Ein- und Ausgangsgrades eines Knotens v eines Digraphen
heißt Knotengrad und wird formal mit γ(v ) := γ + (v ) + γ − (v ) bezeichnet.
Die Differenz des Ein- und Ausgangsgrades eines Knotens v eines Digraphen
heißt Eulergrad und wird formal mit γ̃(v ) := γ + (v ) − γ − (v ) bezeichnet.
Die aus dem Knoten- und Eulergrad eines Knotens resultierenden Abbildungen, die jedem Knoten eines Digraphen seinen Knoten- bzw. Eulergrad zuordnet
heißt Knotengradabbildung bzw. Eulergradabbildung des Digraphen.
Eingangsgrad und Ausgangsgrad
Lemma 2.21/129
• Zusammenhang zwischen Ein- bzw.
Ausgangsgrad und Anzahl der Pfeile
• Summe der Eulergrade
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Die Summe aller Eingangsgrade eines Digraphen lässt sich mit der Anzahl
der Pfeile identifizieren und mit der Summe aller Ausgangsgrade. Denn jeder
Pfeil trägt eins zum Eingangs- und eins zum Ausgangsgrad bei.
Damit verschwinden definitionsgemäß die Summe aller Eulergrade eines Digraphen.
Eingangsgrad und Ausgangsgrad
Satz 2.22/131
Zusammenhang zwischen Knotenanzahl und
Eulergrad
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Für jede endlichen, schlichten und gerichteten Digraphen D = (V, P, δ : P →
V × V ) gilt, dass die Anzahl der Knoten mit ungeradem Eulergrad gerade ist.
Eingangsgrad und Ausgangsgrad
Satz 2.23/133
Notwendigkeitskriterium für Digraphenisomorphismus
¯ )=D
α = (αV , αP ) : (V, P, δ : K → V ×V
¯ 0) bezüglich
→ D0 = (V 0, K 0, δ 0 : P 0 → V 0 ×V
der Ausgangs- und Eingangsgradabbildungen.
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Wenn ein Digraphenisomorphismus vorliegt, dann kommutieren die Ein- und
Ausgangsgrade der isomorphen Graphen bezüglich der Knotenabbildung des Isomorphismus.
V
γV+
αV
N
V0
V
γV+0
γV−
αV
N
V0
γV−0
Gleiches gilt im Übrigen auch für die Knoten- und Eulergrade bei Digraphenisomorphie.
Eingangsgrad und Ausgangsgrad
Definition 2.24/135
• Anfangsknoten und
• Endknoten eines Digraphen
• Turnier - Digraph
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Ein Knoten eines Digraphen dessen Eingangsgrad verschwindet heißt Anfangsknoten des Digraphen.
Ein Knoten eines Digraphen dessen Ausgangsgrad verschwindet heißt Endknoten des Digraphen.
Ein Digraph heißt Turnier , wenn sein unterliegender Graph vollständig ist;
d.h., wenn für je zwei verschiedene Knoten v , v 0 des Digraphen gilt: entweder
existiert ein Pfeil, so dass der eine Knoten positiv inzident und der andere negativ
inzident zu dem Pfeil ist, oder es existiert ein Pfeil, so dass der ein Knoten
negativ inzident und der ander positiv inzident zu dem Pfeil ist.
Eingangsgrad und Ausgangsgrad
Definition 2.25/137
• Pfeilfolge der Länge n (Digraph)
• triviale Pfeilfolge
• zusammenhängend (Digraph)
• dizusammenhängend (Digraph)
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Eine endliche alternierende Folge von Knoten und Pfeilen, die mit einem
Knoten beginnt und mit einem endet sowie n + 1 Knoten enthält heißt Pfeilfolge
der Länge n, wenn ein Pfeil unter der Pfeilinzidenzabbildung auf das Paar Knoten
abgebildet wird, die unmittelbar vor und unmittelbar nach dem Pfeil in der Folge
kommen. Formal:
(v0 , p1 , v1 , . . . , vn1 , pn , vn ) heißt Pfeilfolge der Länge n : ⇐⇒
¯ i
∀i ∈ hni : δpi = vi−1 ×v
Ein einzelner Knoten v0 kann auch als Pfeilfolge der Länge 0 vom Knoten v0
zum Knoten v0 interpretiert werden und heißt dann triviale Pfeilfolge.
Ein Digraph heißt zusammenhängend, wenn sein unterliegender Graph zusammenhängend ist.
Ein Graph heißt dizusammenhängend, wenn es von jedem Knoten eine Pfeilfolge zu jedem anderen Knoten gibt.
Eingangsgrad und Ausgangsgrad
Satz 2.26/139
Epimorphismus-Notwendigkeitskriterium für den
Dizusammenhang eines Digraphen. (Vererbarkeit des
Dizusammenhangs)
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Kann man eine Epimorphismus von einem dizusammenhängenden Digraphen
D nach einem Digraphen D0 nachweisen, dann ist auch der Digraph D0 dizusammenhängend.
Eingangsgrad und Ausgangsgrad
Definition 2.27/141
Besondere Pfeilfolgen
• Pfeilzug
• Pfeilweg (oder Weg)
• geschlossene Pfeilfolge
• geschlossener Pfeilzug
• Pfeilkreis (oder Dikreis)
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Eine Pfeilfolge heißt Pfeilzug, wenn alle Pfeile aus der Pfeilfolge paarweise
verschieden sind.
Ein Pfeilfolge heißt Pfeilweg (oder Weg), wenn alle Knoten aus der Pfeilfolge
paarweise verschieden sind.
Eine Pfeilfolge heißt geschlossene Pfeilfolge, wenn der erste Knoten der
Folge auch der letzte ist.
Eine Pfeilfolge heißt geschlossener Pfeilzug, wenn sie geschlossen ist und
alle Pfeile der Folge paarweise verschieden sind.
Eine Pfeilfolge heißt Pfeilkreis (oder Dikreis), wenn sie ein nichttrivialer geschlossener Pfeilzug ist und alle Knoten der Pfeilfolge paarweise verschieden
sind.
Eingangsgrad und Ausgangsgrad
Schema 2.28/143
Schema des begrifflichen Zusammenhangs, vom
Pfeilkreis bis zur Pfeilfolge.
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Pfeilweg
Pfeilkreis
=⇒
=⇒
geschlossener Pfeilzug
geschlossener Pfeilfolge
=⇒
Pfeilfolge
=⇒
Pfeilzug
=⇒
=⇒
Eingangsgrad und Ausgangsgrad
Satz 2.29/145
Pfeilfolge-Pfeilweg Äquivalenzsatz
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Für zwei Knoten eines Digraphen existiert genau dann eine Pfeilfolge von
einem Knoten zum Anderen, wenn ein Pfeilweg von dem einen nach dem anderen
Knoten existiert.
Eingangsgrad und Ausgangsgrad
Definition 2.30/147
Dizusammenhangsäquivalenz von Knoten eines
Digraphen
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Zwei Knoten v , v 0 eines Digraphen heißen dizusammenhangsäquivalent, wenn
es sowohl eine Pfeilfolge von v nach v 0 gibt, als auch eine Pfeilfolge von v 0 nach
v . Formal schreibt man v ∼dz v 0 .
Eingangsgrad und Ausgangsgrad
Satz 2.31/149
Dizusammenhangsäquivalenz-Satz
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Die Dizusammenhangsäquivalenz von Knoten eines Digraphen ist eine Äquivalenzrelation bezüglich der Knotenmenge des Digraphen. Daher zerfällt die
Knotenmenge in paarweise disjunkte Teilmengen, so dass zwei Knoten genau
dann zur gleichen dieser Teilmengen gehören, wenn es sowohl eine Pfeilfolge
von dem einen zum anderen als auch eine Pfeilfolge vom anderen zum einen
gibt.
Eingangsgrad und Ausgangsgrad
Satz 2.32/151
Eigenschaften der durch die
Dizusammenhangsäquivalenzrelation erzeugten
Untergraphen
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Jede Äquivalenzklasse der Dizusammenhangsäquivalenzrelation bezüglich der
Knotenmenge eines Digraphen erzeugt einen Unterdigraphen, so dass die Pfeilmengen und Untergraphen paarweise disjunkt sind.
Außerdem ist jeder der so erzeugten Unterdigraphen ein maximal dizusammenhängender Unterdigraph des Digraphen.
Eingangsgrad und Ausgangsgrad
Satz 2.33/153
Maximale Menge maximaler dizusammenhängender
Unterdigraphen
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Ein Digraph bestimmt mittels der Dizusammenhangsäquivalenzrelation eindeutig eine maximale Menge maximaler dizusammenhängender und paarweise
disjunkter Unterdigraphen. Denn da die Dizusammenhangsäquivalenzrelation
definierten Unterdigraphen eine solche maximale Menge liefern, muss jede andere maximale Menge maximaler dizusammenhängender und paarweise disjunkter
Unterdigraphen mit dieser maximalen Menge bis auf Nummerierung übereinstimmen.
Allerdings zerfallen Digraphen i.a. nicht in ihre Dikomponenten. Es gilt
zwar, dass die Pfeilmengen verschiedener Dikomponenten disjunkt sind, aber
nicht jeder Pfeil gehört notwendig zu einer Dikomponente.
Eingangsgrad und Ausgangsgrad
Definition 2.34/155
Dikomponente
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Ein maximaler dizusammenhängender Unterdigraph eines Digraphen D heißt
Dikomponente des Digraphen und die wohlbestimmte Anzahl verschiedener Dikomponenten von D wird durch dikomp(D) formal bezeichnet.
Eingangsgrad und Ausgangsgrad
Algorithmus 2.35/157
Algorithmus zur Erzeugung einer (lexikographischen)
Inzidenzmatrix aus einer gegebenen Adjazenzmatrix.
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Sei eine Adjazenzmatrix mit m Zeilen und Spalten gegeben. Dann bestimmt
die Hälfte der Summe der Komponenten der Adjazenzmatrix die Anzahl der Spalten n, so dass eine Inzidenzmatrix mit m Zeilen und n Spalten mit 0 für jede
Komponente initialisiert werden kann. Dann setzt man der Inzidenzspaltenindex
auf die erste Spalte und durchläuft die obere rechte Dreiecksmatrix der Adjazenzmatrix. Immer dann, wenn die aktuelle Komponente der Dreiecksmatrix
Eins ist, dann wird in den beiden Zeilen der aktuellen Inzidenzspalte, die durch
den aktuellen Zeilen- und Spaltenindex der Adjazenzkomponente bestimmt werden, je eine Eins gesetzt und der Inzidenzspaltenindex wird um Eins erhöht.
Die so nach dem Durchlauf erhaltene Inzidenzmatrix ist die lexikographische
Inzidenzmatrix bezüglich der eingegebenen Adjazenzmatrix.
Eingangsgrad und Ausgangsgrad
Algorithmus 2.36/159
Bestimmung des Knoten- und Kantengrad eines
Graphen der durch eine Inzidenzmatrix gegeben ist.
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Ist ein Graph durch eine Inzidenzmatrix gegeben, dann lässt sich die Anzahl
der nicht verschwindenden Komponenten in der i -ten Zeile als der Knotengrad
des i -ten Knoten interpretieren. Hat man so die Knotengrade bestimmt, lassen
sich die Kantengrade bestimmen. Denn die j-te Spalte repräsentiert die j-te
Kante indem die Zeilenindizes der beiden nicht verschwindenden Komponenten
die zur j-ten Kanten inzidenten Knoten identifizieren. Addiert man nun die
beiden Knotengrade jeweils um eins vermindert, dann ergibt sich die Anzahl der
zur j-ten Kante adjazenten Kanten.
Eingangsgrad und Ausgangsgrad
Algorithmus 2.37/161
Prüfen ob ein Graph zusammenhängend ist.
2 „Grade“ u. deren Zusammenhänge
Graphentheorie
Zunächst werden alle Knote außer dem ersten mit Null markiert und der
Erste mit Eins. Dann werden alle zum Ersten Knoten adjazenten Knoten mit
Eins markiert. Im i -ten Schritt werden alle die Knoten mit 1 markiert, die zu
einem Knoten der schon mit Eins markiert ist adjazent sind. Hat man die Anzahl
der Knoten durchlaufen, dann ist der Graph genau dann zusammenhängend,
wenn alle Knoten mit 1 markiert sind.
Eulersche & hamiltonsche Graphen
Definition 3.1/163
• eulersch
• geschlossener eulerscher Kantenzug von G
3 Eulersche und hamiltonsche (Di)Graphen
Graphentheorie
¯ ) heißt eulersch, wenn es eine geschlosEin Graph G = (V, K, δ : K → V ×V
sene Kantenfolge KF : v0 , k1 , v1 , . . . , vn−1 , kn , vn = v0 gibt, die jede Kante des
Graphen genau einmal enthält. Jede solche geschlossene Kantenfolge heißt geschlossener eulerscher Kantenzug des Graphen.
Eulersche & hamiltonsche Graphen
Definition 3.2/165
Kreisgraph
3 Eulersche und hamiltonsche (Di)Graphen
Graphentheorie
Ein Graph heißt genau dann Kreisgraph, wenn er zusammenhängend und
knotenregulär vom Grad 2 ist. Kreisgraphen sind die einfachsten Beispiele eulerscher Graphen.
Eulersche & hamiltonsche Graphen
Lemma 3.3/167
Zusammenhang zwischen Kreisgraphen und
eulerschen Graphen
3 Eulersche und hamiltonsche (Di)Graphen
Graphentheorie
Jeder Kreisgraph ist eulersch.
Beweis: Sei G ein Kreisgraph mit |V | = n > 2. Dann existiert zu einem beliebigen
Knoten vi zwei adjazente Knoten vi−1 und vi+1 und zwei inzidierende Kanten ki und
¯ i und δ(ki+1 ) = vi ×v
¯ i+1 . Ist |V | = 3 muss definitionsgemäß
ki+1 mit δ(ki ) = vi−1 ×v
¯ i−1 existieren, womit vi−1 ki vi ki+1 vi+1 ki+2 vi−1
noch eine ki+2 mit δ(ki+2 ) = vi+1 ×v
P
ein geschlossener Kantenzug ist, der wegen ( v ∈V γ(v ))/2 = |K| = 6/2 = 3 alle
Kanten enthält. Also ist G eulersch.
Ist |V | > 3, dann gilt für einen beliebigen Kantenzug vi−p ki−p+1 . . . vi . . . ki+q vi+q
mit p ∈ {1, . . . , |V | − 2} und q ∈ {1, . . . , |V | − 1 − p} es gibt ein v in V 0 :=
V \ {vi−p , . . . , vi , . . . , vi+q das entweder zu vi−p oder zu vi+q adjazent ist, falls
V 0 6= ∅.
Angenommen dies wäre nicht der Fall, dann müssten wegen γ(vi−p ) = γ(vi+q ), weil
kein v ∈ V 0 zu vi−p oder vi+q adjazent ist und weil alle vi−p+1 . . . vi+q−1 schon zwei
adjazente Knoten haben, die Knoten vi−p und vi+q adjazent sein. Damit hätten
alle Knoten vi−p , . . . , vi+q zwei adjazente Knoten und keiner dieser Knoten wäre
adjazent zu einem Knoten aus V 0 6= ∅ womit G nicht mehr zusammenhängend
wäre.
Damit lassen sich alle Knoten von G o.B.d.A. als Kantenzug v0 k1 v1 . . . vn−1 kn vn
darstellen. Das es noch eine Kante kn+1 geben muss folgt wieder aus dem Umstand, dass alle inneren Knoten des Zuges schon zwei adjazente Knoten und die
¯ 0 gelten muss, also ein
damit inzidierenden Kanten haben, sodass
P δ(kn+1 ) = vn ×v
geschlossener Kantenzug vorliegt. Da
v ∈V γ(v )/2 = |K| = n + 1 enthält dieser
alle Kanten und G ist somit eulersch.
Eulersche & hamiltonsche Graphen
Satz 3.4/169
Satz von Euler (Äquivalenzkriterien für eulersch)
3 Eulersche und hamiltonsche (Di)Graphen
Graphentheorie
Ein zusammenhängender Graph G ist genau dann eulersch, wenn all seine
Knoten einen geraden Knotengrad haben, was genau dann der Fall ist, wenn G
die Vereinigung paarweise kantendisjunkter Kreisgraphen ist.
Beweis: Sei KZ : v0 , k1 , v1 , . . . , vn−1 , kn , vn = v0 ein geschlossener eulerscher Kantenzug von G, dann gibt es für jedes Auftreten eines Knoten vi (vn = v0 nur einmal
gezählt) eine Kante ki−1 die in ihn hineinführt und eine Kante ki die aus ihm hinaus
führt. Damit ist der Knotengrad eines jeden Konten das zweifache seines Auftretens
womit er gerade sein muss.
Da G zusammenhängend ist kann man von einem beliebigen Knoten ausgehend einen
maximalen Kantenweg konstruieren, dessen Knoten wenigstens den Knotengrad zwei
haben, da alle Knoten voraussetzungsgemäß geraden Knotengrad haben. Damit gibt
es zu dem letzten Knoten v des Weges abgesehen von der Kante die zu ihm hinführt
noch eine weitere, die von ihm wegführt und die in einen weiteren Knoten v 0 des
Knotenweges führt, da dieser maximal ist. Entfernt man nun die Kanten zwischen v
und v 0 dann ist der hierdurch erzeugte Untergraph ein Kreisgraph, dessen Kograph
ein zusammenhängender Graph ist dessen Knoten geraden Knotengrad haben, so
dass die Argumentation falls nötig auf dem Kographen wiederholt werden kann.
Nun muss noch gezeigt werden, dass ein zusammenhängender Graph, der eine Vereinigung paarweise kantendisjunkter Kreisgraphen ist, eulersch ist.
Eulersche & hamiltonsche Graphen
Definition 3.5/171
• hamiltonsch
• hamiltonscher Kreis
• Knotenspur
3 Eulersche und hamiltonsche (Di)Graphen
Graphentheorie
Ein Graph heißt genau dann hamiltonsch, wenn es eine geschlossenen Kantenfolge gibt, die jeden Knoten des Graphen genau einmal enthält, wobei der
Anfangs- und Endknoten nur einmal gezählt wird.
Jede solche geschlossene Kantenfolge heißt hamiltonscher Kreis von G.
die paarweise verschiedenen Knoten der eingangs erwähnten Kantenfolge
heißen die Knotenspur der Kantenfolge.
Eulersche & hamiltonsche Graphen
Lemma 3.6/173
Einfachsten Beispiele hamiltonscher Graphen
3 Eulersche und hamiltonsche (Di)Graphen
Graphentheorie
Jeder Kreisgraph ist hamiltonsch.
Jeder vollständige Graph, der nicht zwei Knoten hat ist hamiltonsch.
(Alle vollständigen Graphen mit gerader Knotenanzahl sind nichteulersch, da
jeder Knoten einen ungeraden Knotengrad hat)
Eulersche & hamiltonsche Graphen
Bemerkung 3.7/175
• Problematik der Charakterisierung von
hamiltonschen Graphen.
¯ w̄ )
• Definition G + (v̄ ×
3 Eulersche und hamiltonsche (Di)Graphen
Graphentheorie
Es gibt bisher noch keine einfache Charakterisierung hamiltonscher Graphen.
Typisch für hinreichende Bedingungen ist die Existenz „vieler“ Kanten und eines
der besten Ergebnisse ist der Satz von Bondy-Chvátal.
Um diesen Satz formal zu formulieren wird im Skript die Formale Bezeich¯ w̄ ), als Bezeichnung für einen Graphen G, dessen Kantenmenge
nung G + (v̄ ×
um die Kanten zwischen seinen beiden bisher nichtadjazenten Knoten v̄ und w̄
ergänzt wurde.
Eulersche & hamiltonsche Graphen
Lemma 3.8/177
Von Bondy-Chavátal
3 Eulersche und hamiltonsche (Di)Graphen
Graphentheorie
Ist ein Graph G mit zwei nichtadjazenten Knoten v̄ , w̄ gegeben, deren Knotengradsumme wenigstens so groß ist wie die Anzahl der Knoten des Graphen.
Dann ist G genau dann hamiltonsch, wenn der um die Kante zwischen v̄ und w̄
ergänzte Graph G + (v̄ + w̄ ) hamiltonsch ist.
Beweis: ⇒ Da es in G einen hamiltonschen Kreis gibt ist dieser auch in G + (v̄ + w̄ )
ein solcher.
⇐ In G + (v̄ + w̄ ) gibt es einen hamiltonschen Kreis v̄ = v1 , . . . , vm = w̄ , dessen
erster Knoten v̄ und dessen letzter Knoten w̄ ist. Bildet man die Menge A∗ (v̄ )
der Knoten deren Nachfolger im gewählten hamiltonschen Kreis adjazent zu v̄ sind,
sowie die Menge A(w̄ ) aller zu w̄ adjazenter Knoten, dann ist w̄ in keiner der beiden
Mengen, womit die Vereinigung der beiden Mengen eine Teilmenge der Knotenmenge V ohne den Knoten w̄ ist. Damit und mit der Tatsache, dass |A∗ (v̄ )| und |A(w̄ )|
den Knotengraden der beiden Knoten entspricht, lässt sich die Annahme, dass der
Durchschnitt der beiden Mengen leer ist zum Widerspruch führen:
m ≤ γ(v̄ ) + γ(w̄ ) = |A∗ (v̄ )| + |A(w̄ )| = |A∗ (v̄ )| ∪ |A(w̄ )| < m
Damit gibt es einen Knoten zu dem w̄ adjazent ist und zu dessen Nachfolger,
der verschieden von v2 ist, v̄ adjazent ist. So dass v̄ = v1 , vi0 +1 , vi0 +2 , . . . , vm =
¯ w̄ ).
w̄ , vi0 , vi0 −1 , . . . , v2 ein hamiltonscher Kreis von G ist (, also ohne die Kante v̄ ×
Eulersche & hamiltonsche Graphen
Satz 3.9/179
Von Bondy-Chavátal
3 Eulersche und hamiltonsche (Di)Graphen
Graphentheorie
Hat man nun einen Graphen G gegeben und füllt diesen derart mit Kanten
zu einem Graphen Ḡ auf, dass für alle nichtadjazenten Knoten deren Knotengradsumme wenigstens die Anzahl der Knoten von G ist eine Kante hinzugefügt
wird die diese adjazent macht. Ist der so entstandene und durch den Graphen
G bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte Graph Ḡ hamiltonsch, dann ist auch
der Graph G hamiltonsch. Dies ergibt sich unmittelbar indem man das Lemma
von Bondy-Chavátal wiederholt auf Ḡ und seine Vorgänger anwendet bis man
bei dem Graphen G angelangt ist.
Eulersche & hamiltonsche Graphen
Korollar 3.10/181
Klassen von Graphen die nach Dirac bzw Ore
hamiltonsch sind.
3 Eulersche und hamiltonsche (Di)Graphen
Graphentheorie
Da jeder vollständige Graph mit mehr als zwei Knoten hamiltonsch ist, sind
insbesondere alle derartigen Graphen G hamiltonsch, für die Ḡ vollständig ist:
Ein Graph mit mehr als zwei Knoten dessen Knotengrad alle wenigstens die
Hälfte der Knotenanzahl sind, ist hamiltonsch. (Dirac)
Ein Graph mit wenigstens drei Knoten, dessen Knotengradsummen zweier
nichtadjazenter Knoten stets wenigstens die Anzahl der Knoten des Graphen
entspricht, ist hamiltonsch. (Ore)
Eulersche & hamiltonsche Digraphen
Definition 3.11/183
• eulersch
• geschlossener eulerscher Pfeilzug
• Dikreisgraph
3 Eulersche und hamiltonsche (Di)Graphen
Graphentheorie
Ein Digraphn heißt genau dann eulersch, wenn es einen geschlossenen Pfeilzug in dem Digraphen gibt, der alle Pfeile des Digraphen enthält.
Eine jede solche geschlossene Pfeilfolge heißt geschlossener eulerscher Pfeilzug des Digraphen.
Ein Digraph heißt genau dann Dikreisgraph, wenn der Digraph dizusammenhängend und der unterliegenden Graph des Digraphen ein Kreisgraph ist.
Eulersche & hamiltonsche Digraphen
Lemma 3.12/185
Die einfachsten eulerschen Digraphen
3 Eulersche und hamiltonsche (Di)Graphen
Graphentheorie
Jeder Dikreisgraph D ist eulersch.
Beweis: Beginnend von einem beliebigen Knoten v0 von D lässt sich ein
maximaler Pfeilweg konstruieren. Da D dizusammenhängend ist, ist der Einund Ausgangsgrad des letzten Knoten im Pfeilweg positiv. Da außerdem der
Pfeilweg maximal ist muss der letzte Knoten des Weges mit einem Knoten
dieses Weges verbunden sein. Da jeder Knoten des Weges bis auf den ersten
schon zwei adjazente Knoten hat, kann es nur der erste Knoten sein, mit dem
der letzte Knoten des Pfeilweges verbunden ist. Der durch diese Knoten und
Kanten bestimmte Graph D 0 ist Konstruktionsgemäß ein Unterdikreisgraph
von D und deshalb eine Dikomponente von D. Da D dizusammenhängend
ist, folgt, dass D mit D0 identisch ist und der Pfeilweg ein geschlossener
eulerscher Pfeilzug von D ist.
Eulersche & hamiltonsche Digraphen
Satz 3.13/187
Satz von Euler für Dikreisgraphen
3 Eulersche und hamiltonsche (Di)Graphen
Graphentheorie
Ein dizusammenhängender Digraph D ist genau dann eulersch, wenn jeder
Knoten den Eulergrad Null hat, was genau dann der Fall ist wenn der Digraph
eine Vereinigung paarweise pfeildisjunkter Dikreisgraphen ist.
Beweis: Zu jedem Knoten eines eulerschen Pfeilzug führt für jeden Pfeil der in einen
Knoten führt auch einer hinaus, also verschwindet der Eulergrad aller Knoten des
dizusammenhängenden Digraphen.
Konstruiert man von einem beliebigen Knoten ausgehend einen maximalen Pfeilweg,
dann muss wegen des verschwindenden Eulergrads der letzt Knoten vm mit einem
weiteren Knoten vi verbunden sein. vi muss ein Knoten des Weges sein, da dieser
maximal ist. Also liefert vi , pi+1 , vi+1 , . . . , pm , vm , pm+1 , vi einen Unterdikreisgraph.
Enfernt man diesen Unterdigraph aus D ist der verbleibende Graph immernoch zusammenhängend und der Eulergrad aller seiner Knoten verschwindet, so dass die
Argumentation einweiteres mal angewendet werden kann. Dies kann so fortgesetzt
werden bis die Pfeilmenge des verbleibenden Digraphen leer ist.
Ist schließlich die D ein dizusammenhängender Digraph der sich aus der Vereinigung
von r paarweise pfeildisjunkter Dikreisgraphen zusammensetzt. Sei m die maximale
Anzahl der Dikreisgraphen deren Vereinigung eulersch ist. Da jeder Dikreisgraph
eulersch ist, ist m wenigstens eins. Nimmt man nun an, dass m kleiner als r , also
D nicht eulersch ist, dann führt dies zu einem Widerspruch. Denn da D dizusammenhängend ist, muss es einen Knoten geben der sowohl zur Vereinigung D m der m
Unterdikreisgraphen gehört, als auch zu einem Unterdikreisgraphen Di dessen Pfeile
nicht in dem geschlossenen eulerschen Pfeilzug von D m auftreten. Nun kann man
aber von diesem Knoten ausgehend den Dikreis Di durchlaufen und anschließend den
eulerschen Pfeilzug, so dass man wieder einen geschlossenen eulerschen Pfeilzug erhält, was der Annahme wiederspricht D m wäre der größte (echte) Unterdigraph von
D, der eulersch ist.
Eulersche & hamiltonsche Digraphen
Definition 3.14/189
• hamiltonsch
• hamiltonscher Dikreis
3 Eulersche und hamiltonsche (Di)Graphen
Graphentheorie
Ein Digraph heißt genau dann hamiltonsch, wenn es eine geschlossene Pfeilfolge gibt, die jeden Knoten des Graphen genau einmal enthält. Dabei werden
Anfangs- und Endknoten nur einmal gezählt.
Jede geschlossene Pfeilfolge, die jeden Knoten des Digraphen genau einmal
enthält heißt hamiltonscher Dikreis des Digraphen
Eulersche & hamiltonsche Digraphen
Lemma 3.15/191
Die einfachsten Beispiele hamiltonscher Digraphen
3 Eulersche und hamiltonsche (Di)Graphen
Graphentheorie
Jeder Dikreisgraph ist hamiltonsch.
Eulersche & hamiltonsche Digraphen
Lemma 3.16/193
Das Lemma nach Redei
3 Eulersche und hamiltonsche (Di)Graphen
Graphentheorie
In jedem Digraphen, der ein Turnier ist, gibt es einen offenen Pfeilweg,
der jeden Knoten genau einmal enthält (einen geschlossenen, wenn ein Turnier
dizusammenhängend ist.)
Beweis: Mit vollständiger Induktion über die Anzahl der Knoten. Liege also
ein Digraph mit n + 1 Knoten vor, der ein Turnier ist. Entfernt man nun
einen beliebigen Knoten v0 aus dem Turnier, existiert vorraussetzungsgemäß
ein offener Pfeilweg in dem verbleibenden Turnier D \ {v0 }. Da D ein Turnier
ist gibt es entweder einen Pfeil von v0 zum ersten Knoten des Weges oder
vom ersten zu v0 und weiter gibt es entweder einen Pfeil von v0 zum letzten
Knoten des Weges oder einen vom letzten Knoten zu v0 . In den Fällen, dass
es einen Pfeil von v0 zum ersten oder vom letzten zu v0 liegt der gewünschte
Pfeilweg vor. Liege also ein Pfeil vom ersten Knoten des Weges zu v0 und
von v0 zum letzten Knoten des Weges vor. Da D ein Turnier ist und v0
Endknoten des ersten und Anfangsknoten des letzten Pfeils des Weges ist,
muss es wenigstens zwei Knoten des Weges geben zwischen denen v0 liegt,
so dass v0 an dieser Stelle eingeordnet den gewünschten Pfeilweg zur Folge
hat.
Eulersche & hamiltonsche Digraphen
Satz 3.17/195
Satz nach Moser
3 Eulersche und hamiltonsche (Di)Graphen
Graphentheorie
Ein Turnier D mit wenigstens drei Knoten ist genau dann hamiltonsch, wenn
es dizusammenhängend ist, was genau dann der Fall ist, wenn es für jeden
für jede Anzahl von Knoten zwischen einschließlich drei und einschließlich der
Knotenanzahl des Digraphen einen Dikreis der Länge n in dem Turnier gibt.
Beweis: Ist D hamiltonsch ist D offensichtlich dizusammenhängend.
Grundlagen
Definition 4.1/197
algebraisches Komplement
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Streicht man die i -te Zeile und die j-te Spalte einer quadratische (m × m)Matrix, dann wird die dadurch entstehende (m − 1 × m − 1)-Matrix formal mit
Mij bezeichnet. Die Determinante dieser (m − 1 × m − 1)-Matrix versehen
mit dem durch die Summe des Zeilen- und Spaltenindex der gestrichenen Zeile
und Spalte bestimmten Vorzeichen (−1)i+j heißt algebraisches Komplement der
Matrixkomponente aij aus der (m × m)-Matrix.
Grundlagen
Satz 4.2/199
Bestimmung der algebraischen Komplemente der
Permutation einer Matrix.
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Indem man das Matrizenprodukt einer Permutationsmatrix, einer Matrix und
der Transponierten der Permutationsmatrix bildet, erhält man die Permutation
der Matrix. Die Komplemente der Permutation der Matrix lassen sich auf die
Komplemente der Matrix zurückführen indem man in diesen die Permutation
auf die Zeilen und Spaltenindizes anwenden.
Natürlich muss, damit vorstehendes überhaupt sinnvoll ist, die Matrix eine
quadratische (m × m)-Matrix sein und der Permutationsmatrix entsprechend
eine Permutation der ersten m natürlichen Zahlen zugrundeliegen.
Formal:
m ∈ N, M ∈ Mat(m, m), ρ : hmi
→hmi, P := (ρij ), M̄ = P MP t :
(−1)i+j det M̄ij = (−1)ρ(i)+ρ(j) det Mρ(i),ρ(j)
Grundlagen
Satz 4.3/201
Auswirkungen des Verschwindens der Summe der
Spalten- oder Zeilenvektoren auf die algebraischen
Komplemente der Matrix.
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Verschwindet die Summe der Spaltenvektoren, dann sind die algebraischen
Komplemente einer Zeile alle gleich.
Verschwindet die Summe der Zeilenvektoren, dann sind die algebraischen
Komplemente einer Spalte alle gleich.
Verschwindet sowohl die Summe der Zeilenvektoren als auch die der Spaltevektoren, dann sind alle algebraischen Komplemente gleich.
Beweis: Die Matrizen Mij und Mi,j+1 unterscheiden sich nur in ihrer j-ten spalte.
Da die Summe aller Spalten von M Null ist, ist die j-te spalte von Mij gleich dem
Negativen der Summe aller Spalten von Mi,j+1 . Da Determinanten linear bezüglich
einer Spalte und Determinanten mit zei gleichen Spalten Null sind, folgt
(−1)i+j det Mij = (−1)i+j (−1) det Mi,j+1 = (−1)i+j+1 det Mi,j+1
Diese Argumentation lässt sich auch auf die Transponierte von M anwenden.
Schließlich ergeben die Beweise der ersten beiden Aussagen die dritte Aussage.
Bäume
Definition 4.4/203
• kreislos
• Baum
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Ein Graph G heißt genau dann kreislos, wenn es keinen Kreis in G gibt.
Ein Graph G heißt genau dann Baum, wenn es von jedem Knoten zu jedem
Knoten genau einen Kantenweg gibt.
Bäume
Satz 4.5/205
Äquivalenzkriterien für die Baum-Eigenschaft eines
Graphen G = (V, K, δ) mit V 6= ∅.
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Ein Graph ist genau dann ein Baum, wenn G zusammenhängen ist und durch
Entfernen einer beliebigen Kanten unzusammenhängend wird.
Dies ist wiederum genau dann der Fall, wenn der Graph zusammenhängend
und er genau eine Kante weniger als Knoten enthält.
Was genau dann der Fall ist, wenn G zusammenhängend und kreislos ist.
Das ist genau dann wahr, wenn der Graph kreislos ist und genau eine Kante
weniger als Knoten hat.
Dies ist schließlich genau dann der Fall, wenn der Graph kreislos ist und für
jede hinzugefügte Kante zwischen zwei nichtadjazenten Knoten gibt es einen
Kreis in dem Graphen, der Entsteht wenn man dem in Rede stehenden Graphen
die Kante hinzufügt.
Bäume
Korollar 4.6/207
Aus dem vorhergehenden Satz ergeben sich
unmittelbar die folgenden Äquivalenzkriterien für
Bäume.
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Ein Graph ist genau dann ein Baum,
• wenn er minimal zusammenhängende ist;
• wenn er zusammenhängend ist und eine Kante weniger als Knoten hat;
• wenn er maximal kreislos ist;
• wenn er kreislos ist und eine Kannte weniger als Knoten enthält.
Bäume
Korollar 4.7/209
Minimale Anzahl der Randknoten eines Baumes.
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Jeder Baum mit mehr als einem Knoten besitzt mindestens zwei Randknoten.
Beweis: Geht man davon aus, dass die Existenz eines solchen Knoten aus dem
Beweis des Satzes zu den Baum-Äquivalenzkriterien hervorgeht, dann folgt aus der
Annahme es gäbe nur einen Randknoten:
|K| =
1X
1
1
1
γ(v ) ≥ · 2(|V | − 1) + = |V | − > |V | − 1,
2 v ∈V
2
2
2
also ein Widerspruch.
Bäume
Definition 4.8/211
aufspannender Baum eines Graphen G = (V, K, δ)
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Der von einer Teilmenge K ∗ der Kantenmenge K des Graphen G erzeugte
Untergraph G ∩ K ∗ = (V, K ∗ , δK ∗ heißt genau dann ein G aufspannender Baum,
wenn er ein Baum ist.
Bäume
Satz 4.9/213
Äquivalenzsatz über den Zusammenhang eines
Graphen und der Existenz eines aufspannenden
Baums.
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
G ist genau dann zusammenhängend, wenn es einen G aufspannenden Baum
gibt.
Beweis: ⇒ Der Beweis wird mittels vollständige Induktion über die Anzahl der
Kanten geführt. Für einen Graph ohne Kanten folgt sofort, dass er nicht zusammenhängend ist, also ist er nicht zusammenhängend oder es existierte ein den Graph
aufspannender Baum, also impliziert der Zusammenhang von G die Existenz eines
den Graphen aufspannenden Baumes.
Im Induktionsschritt nimmt man an, dass alle Graphen, deren Kantenanzahl höchstens n ist, wenn sie zusammenhängen auch ein sie aufspannender Graph existiert.
Fügt man nun einen Kante hinzu und der Graph ist dann ein Baum, dann existiert
offenbar ein den Graph aufspannender Baum. Ist der Graph kein Baum gibt es in
ihm einen Kreis aus dem kann eine Kante entfernt werden ohne dass die Eigenschaft
zusammenhängend zu sein verloren geht. Per Induktionsvoraussetzung gibt es einen
aufspannenden Baum des Graphen ohne der entfernten Kante, welcher auch einer
des Graphen ist.
Bäume
Definition 4.10/215
Admittanzmatrix eines knotennummerierten Graph:
G = (V, K, δ, ν : i|V |h
→V )
mit der Adjazenzmatrix A = Aν = (aij )
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Durch die Adjazenzmatrix werden die Komponenten der Admittanzmatrix
bestimmt. Bezeichne λij die j-te Komponente der i -ten Zeile der Admittanzmatrix. Dann ist λij für den Fall, dass Zeilen und Spaltenindex verschieden sind,
das Negative der j-ten Komponente der i -ten Zeile der Adjazenzmatrix. Für
den Fall dass Zeilen- und Spaltenindex übereinstimmen ist die λij die Summe
der Komponenten der i -ten Zeile der Adjazenzmatrix. Formal wird die Admittanzmatrix eines nummerierten Graphen G mit L = Lν = (λij ) bezeichnet.
Die Admittanzmatrix ist also gleich der Differenz der Knotengraddiagonalmatrix und der Adjazenzmatrix.
Bäume
Satz 4.11/217
Satz von Kirchoff über die Anzahl der einen Graphen
aufspannenden Bäume.
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Die Anzahl der einen Graphen mit wenigstens zwei Knoten aufspannenden
Bäume ist gleich dem ?! gemeinsamen Wert der algebraischen Komplemente ?!
seiner Admittanzmatrix L bezüglich einer beliebigen Nummerierung.
Um den Beweis von Hutschenreuther für diesen Satz führen zu können müssen Mehrfachgraphen (ohne Schlingen!) betrachtet werden.
Bäume
Definition 4.12/219
• Untergraph ohne die Kanten k̄
• Quotientengraph modulo der Kante k̄
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Entfernt man aus einem Mehrfachgraphen G = (V, K, δ) einer seiner Kanten
k̄ ∈ K, dann ist der Graph mit der Knotenmenge von G dessen Kantenmenge
die von G ohne die entfernte Kanten ist, und dessen Inzidenzabbildung die entsprechend eingeschränkte von G ist, ein Untergraph von G. Dieser Graph wird
G ohne die Kante k̄ genannt und formal mit
G − k̄ = (V, K \ {k̄}, δK\{k̄} ) bezeichnet.
Entfernt man aus einem Mehrfachgraphen alle Kanten, welche die selben
Randknoten haben, wie eine Kanten k̄ des Graphen und identifiziert man die
beiden Randknoten der Kanten mit einem Knoten, dann heißt der daraus resultierende Graph Quotientengraph von G modulo der Kante k̄ und wird formal
mit
G/k̄ = (V /δ k̄, K \ {k|δk = δ k̄}, δ̄) bezeichnet.
¯ ◦ δ mit der Projektion π : V → V /δ k̄
Dabei ist δ̄ Einschränkung von (π ×π)
Bäume
Definition 4.13/221
Bezeichnung der Anzahl der einen Mehrfachgraphen
aufspannenden Bäume.
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Die Anzahl der einen Mehrfachgraphen aufspannenden Bäume wird formal
mit b(G) bezeichnet.
Bäume
Satz 4.14/223
Über die Anzahl der einen Mehrfachgraphen G mit
wenigstens zwei Knoten aufspannenden Bäume.
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Für eine Beliebige Kanten k̄ von G gilt dann: Die Anzahl der G aufspannenden Bäume ist die Summe der Anzahl der den Untergraphen von G ohne die
Kante k̄ aufspannenden Bäume und die den Quotientengraph von G modulo der
Kante k̄ aufspannenden Bäume.
b(G) = b(G − k̄) + b(G/k̄)
Bäume
Definition 4.15/225
Knotengrad eines Mehrfachgraphen
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Die Anzahl der mit einem Knoten v inzidierenden Kanten (|{k ∈ K|v ∈ δk}|)
heißt der Knotengrad von v und wir formal mit γ(v ) bezeichnet.
Bäume
Definition 4.16/227
• Adjazenzmatrix eines Mehrfachgraphen
• Admittanzmatrix eines Mehrfachgraphen
bezüglich einer Knotennummerierung ν
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Die j-te Komponente der i -ten Zeile der Adjazenzmatrix ist definiert durch
die Anzahl der Kanten die mit dem i -ten und j-ten Knoten bezüglich der Knotennummerierung inzidieren, falls i und j verschieden sind (also zwei verschiedene
Knoten identifizieren). Da Schlingen nicht erlaubt sind, verschwinden die Komponenten mit identischen Zeilen und Spaltenindex. (Formale Bezeichnungen
A = Aν = (aij ))
¯ (j)}| für i 6= j und αij = 0 für i = j
aij = |{k ∈ K|δk = ν(i )×v
Die j-te Komponente der i -ten Zeile der Admittanzmatrix eines knotennummerierten Mehrfachgraphen ist der Knotengrad des i -ten Knoten (bzgl. ν), wenn
Zeilen- und Spaltenindex identisch sind. Anderenfalls ist mit dem Negativen der
j-ten Komponente der i -ten Zeile der Adjazenzmatrix identisch. (Formale Bezeichnungen L = Lν = (λij ))
λij = γ(ν(i )) für i = j und λij = −αij für i 6= j
Bäume
Satz 4.17/229
Verschwinden der Spalten- und
Zeilenvektorensummen
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Die Summen der Spaltenvektoren und der Zeilenvektoren einer Admittanzmatrix eines knotennummerierten Mehrfachgraphen ist Null.
P|V |
Beweis: Da λii = j=1 αij (Beweis?) und λij = −αij für i 6= j, ist die Summe der
Spaltenvektoren von L Null. Da L symmetrisch ist, folgt dasselbe für die Summe
der Zeilenvektoren.
Bäume
Satz 4.18/231
Invarianz des algebraischen Komplements
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Der gemeinsame Wert der algebraischen Komplemente einer Admittanzmatrix bezüglich einer beliebigen Knotennummerierung eines Mehrfachgraphen ist
eine Invariante die nur von dem Mehrfachgraphen selbst abhängt.
Denn die algebraischen Komplemente einer Admittanzmatrix sind indexunabhängig und nummerierungsunabhängig.
Bäume
Satz 4.19/233
Über die Beziehung der Komponenten der Admittanzmatrix
eines Mehrfachgraphen G zu den Komponenten der
Admittanzmatrix des Untergraphen des Mehrfachgraphen
ohne eine Kante k und zu den Komponenten der
Admittanzmatrix des Quotientengraph G/k̄ des
Mehrfachgraphen modulo der Kante.
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
TODO
Bäume
Satz 4.20/235
Rekursivität des Wertes der algebraischen
Komplemente einer Admittanzmatrix eines Graphen
G.
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Der (gemeinsame) Wert der algebraischen Komplemente einer Admittanzmatrix eines Graphen lässt sich auf die Summe des (gemeinsamen) Wertes der
algebraischen Komplemente einer Admittanzmatrix des Graphen ohne eine Kante zurückführen. Alternativ auch auf die Summe des (gemeinsamen) Wertes der
algebraischen Komplemente einer Admittanzmatrix des Quotientengraphen von
G modulo einer Kante.
Bäume
Satz 4.21/237
Satz von Cayley
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Ein vollständiger Graph mit m Knoten hat genau mm−2 aufspannende Bäume.
Bäume
Definition 4.22/239
Gerüst eines Graphen
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Der von einer Kantenteilmenge eines Graphen erzeugte Untergraph heißt
genau dann Gerüst, wenn er kreislos ist und dieselbe Komponentenanzahl hat
wie G.
Bäume
Satz 4.23/241
Existenzsatz für Gerüste
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Jeder Graph besitzt (mindestens) ein Gerüst.
Quellen-, Senkenbäume
Definition 4.24/243
• Quelle eines Digraphen
• Senke eines Digraphen
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Ein Knoten eines Digraphen heißt genau dann Quelle, wenn es diesem Knoten zu jedem Knoten eine Pfeilfolge gibt.
Ein Knoten eines Digraphen heißt Senke desselben, wenn es von jedem Konten des Digraphen eine Pfeilfolge zu dem Knoten gibt.
Quellen-, Senkenbäume
Definition 4.24/245
Äquivalenzkriterien für Quellen, Senken und
Dizusammenhang.
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Ein Digraph ist dizusammenhängend genau dann wenn jeder Knoten des
Digraphen Quelle und Senke ist, was wiederum genau dann der Fall ist, wenn
wenigstens ein Knoten des Digraphen Quelle und Senke ist.
Quellen-, Senkenbäume
Definition 4.25/247
• Quellenbaum
• Senkenbaum
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Ein Digraph heißt Quellbaum mit dem Quellkonten q, wenn es vom Quellknoten aus zu jedem Knoten genau eine Pfeilfolge gibt.
Ein Digraph heißt Senkenbaum mit dem Senkenknoten s, wenn es von jedem
Knoten aus genau einen Pfeilfolge zum Senkenknotenn gibt.
Quellen-, Senkenbäume
Bemerkung 4.26/249
Über die Dualität der Begriffe Quell- und
Senkenbaum.
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Kehrt man jeden Pfeil in ein einem Quellbaum bzw. Senkenbaum um, dann
erhält man einen Senkenbaum bzw. Quellbaum. Diese Dualität dieser beiden
Begriffe kann als Argument verwendet werden, um zu jedem Satz über Quellbzw Senkenbäumen einen dualen Satz über Senken- bzw Quellbäume zu begründen.
Quellen-, Senkenbäume
Satz 4.27/251
Äquivalenzkriterien für einen Senkenbaum
D = (V, P, δ) mit Senke s ∈ V
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
• Ein Digraph ist genau dann Senkenbaum mit dem Senkenknoten s,
• wenn s die Senke des Digraphen ist, alle Knoten höchstens den Ausgangsgrad Eins haben und der Digraph dikreislos ist.
• wenn s die Senke des Digraphen ist, der Ausgangsgrad von s verschwindet
und der Ausgangsgrad aller übriger Knoten Eins ist.
• wenn s eine Senke des Digraphen und sein Unterliegender Graph kreislos
ist.
• wenn s eine Senke des Digraphen ist und sein Unterliegender Graph ein
Baum ist.
Quellen-, Senkenbäume
Satz 4.28/253
Äquivalenzkriterien für einen Quellbaum
D = (V, P, δ) mit Quelle q ∈ V (bzw. der duale
Satz zum Äquivalenzkriterien für einen Senkenbaum
D = (V, P, δ) mit Senke s ∈ V )
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
• Ein Digraph ist genau dann ein Quellenbaum mit Quelle q,
• wenn q die Quelle eines Digraphen ist, der Eingangsgrad eines jeden Knoten höchstens Eins ist und der Digraph dikreislos ist.
• wenn q die Quelle eines Digraphen mit verschwindendem Eingangsgrad ist
und jeder weitere Knoten des Digraphen Eins ist.
• wenn q eine Quelle des Digraphen und der unterliegende Graph des Digraphen kreislos ist.
• wenn q eine Quelle des Digraphen und der unterliegende Graph des Digraphen kreislos ist.
Quellen-, Senkenbäume
Definition 4.29/255
• aufspanndender Quellbaum
• auspanndender Senkenbaum
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Der von einer Teilmenge P 0 der Pfeilmenge P eines Digraphen D erzeugte
Unterdigraph D ∩ P 0 heißt genau dann aufspannderender Quellbaum, wenn er
ein Quellbaum ist.
Der von einer Teilmenge P 0 der Pfeilmenge P eines Digraphen D erzeugte
Unterdigraph D ∩ P 0 heißt genau dann aufspannderender Senkenbaum, wenn er
ein Senkenbaum ist.
Quellen-, Senkenbäume
Definition 4.29/257
Existenzsatz für aufspannenden Senken- bzw
Quellbaum eines Digraphen.
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Es existiert genau dann eine Senke bzw Quelle in einem Digraphen, wenn es
einen aufspannenden Senken- bzw Quellbaum des Digraphen gibt.
Der Satz lässt sich durch vollständige Induktion über die Anzahl der Pfeile
für z.B. Senken und Senkenbäume beweisen der zweite Satz folgt dann sofort
wegen der begrifflichen Dualität.
Quellen-, Senkenbäume
Definition 4.30/259
• Ausgangsdiadmittanzmatrix
• Eingangsdiadmittanzmatrix
eines knotennummerierten Digraph:
D = (V, P, δ, ν : i|V |h
→V )
mit der Diadjazenzmatrix A = Aν = (aij )
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Durch die Diadjazenzmatrix werden die Komponenten der Aus- und Eingangsadmittanzmatrix bestimmt. Bezeichne λ+
ij die j-te Komponente der i -ten
Zeile der Ausgangsadmittanzmatrix. Dann ist λ+
ij für den Fall, dass Zeilen und
Spaltenindex verschieden sind, das Negative der j-ten Komponente der i -ten
Zeile der Adjazenzmatrix. Für den Fall dass Zeilen- und Spaltenindex übereinstimmen, ist die λ+
ij die Summe der Komponenten der i -ten Zeile der Adjazenzmatrix. Formal wird die Ausgangsadmittanzmatrix eines knotennummerierten
+
Digraphen D mit L+ = L+
ν = (λij ) bezeichnet.
Die Eingangsadmittanzmatrix mit den Komponenten λ−
ij wird bis auf den
Fall, dass Spalten- und Zeilenindex identisch sind wie die Ausgangsadmittanzmatrix gebildet. Für den Fall, dass Spalten- und Zeilenindex identisch sind, ist
die j-te Komponente der i -ten Zeile die Summe der Komponenten der j-ten
Spalte (anstelle der i -ten Zeile). Formal wird die so gebildete Eingangsadmit−
tanzmatrix mit L− = L−
ν = (λij ).
Damit ist die Ausgangs- bzw Eingangsadmittanzmatrix eines nummerierten
Digraphen gleich der Differenz der Ausgangs- bzw Eingansknotengraddiagonalmatrix und der Diadjazenzmatrix.
Quellen-, Senkenbäume
Satz 4.31/261
Satz von Kirchhoff für die Anzahl der aufspannenden
Quell- bzw Senkenbäume
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Die Anzahl b+ (D, v̄ ) der einen Digraphen D aufspannenden Quellbäume mit
der Quelle v̄ ist gleich dem Wert des algebraischen Komplements det L−
ν −1 (v̄ ),ν −1 (v̄ )
−
der Eingangsadmittanzmatrix L bezüglich des zur Quelle korrespondierenden
Diagonalelementes.
Die Anzahl b− (D, v̄ ) der einen Digraphen D aufspannenden Senkenbäume
mit der Senke v̄ ist gleich dem Wert des algebraischen Komplements det L+
ν −1 (v̄ ),ν −1 (v̄ )
+
der Ausgangssadmittanzmatrix L bezüglich des zur Senke korrespondierenden
Diagonalelementes.
Quellen-, Senkenbäume
Satz 4.32/263
Anzahlbestimmung geschlossener eulerescher
Pfeilzüge eines eulerschen Digraphen
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
für einen eulerschen nummerierten Digraphen D = (V, P, δ, ν) sind die Ausgangsund Eingangsadmittanzmatrizen gleich. Daher ist auch die Anzahl der D auf
spannenden Quell- und Senkenbäume mit Quelle q bzw Senke s unabhängig
von den gewählten Knoten und folglich eine Invariante, die nur vom eulerschen
Digraphen selbst abhängt.
Beweis: Da stets γ − (v ) = γ + (v ) für eulersche Digraphen gilt, folgt L+ = L− und
daher ist sowohl die Summe der Spaltenvektoren als auch die Summe der Zeilenvektoren dieser Admittanzmatrizen gleich Null
Quellen-, Senkenbäume
Begriffliches 4.33/265
Ausgangs-, Eingangsadmittanzmatrix und Wert der
algebraischen Komplemente eulerscher nummerierter
Digraphen D = (V, P, δ, ν)
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Für einen eulerschen nummerierten Digraphen D bezeichnet L = Lν die
zugehörigen Ausgangs- und Eingangsadmittanzmatrix. Weiter bezeichnet b(D)
den gemeinsamen Wert der algebraischen Komplemente von L.
Quellen-, Senkenbäume
Definition 4.34/267
Äquivalenz eulerscher Pfeilzüge eines Digraphen.
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Zwei geschlossenen eulersche Pfeilzüge eines Digraphen heißen genau dann
äquivalent, wenn sie sich nur durch zyklische Vertauschung unterscheiden.
Quellen-, Senkenbäume
Satz 4.35/269
Wichtige Eigenschaften der Äquivalenz geschlossener
eulerschen Pfeilzüge.
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
Die Äquivalenz geschlossener eulerescher Pfeilzüge ist eine Äquivalenzrelation.
Stimmen Anfangsknoten und Anfangspfeil zweier geschlossener eulerscher
Pfeilzüge überein, so sind sie genau dann äquivalent, wenn sie identisch sind.
Quellen-, Senkenbäume
Satz 4.36/271
Satz von de Brujn, van Aardenne-Ehrenfest, Smith,
Tutte über die Anzahl nicht-äquivalenter
geschlossener eulersche Pfeilzüge eines Digraphen
ohne isolierte Knoten.
4 Bäume und Gerüste
Graphentheorie
In einem eulerschen Digraph ohne isolierte Knoten ist die Anzahl der nichtäquivalenten geschlossenen eulerschen Pfeilzüge genau:
Y
Y
b(D)
(γ + (v ) − 1)! = b(D)
(γ − (v ) − 1)!
v ∈V
v∈ V
Lin. Algebra
Zusammenfassung 5.1/273
Mm,n bezeichne die Menge der Matrizen mit m ∈ N Zeilen und n ∈ N Spalten über einem
Körper, der im weiteren K genannt wird. Außerdem ist K m der m-dimensionalen Spaltenvektoraum, (A := aij ), B := (bij ), C := (cij ) ∈ Mm,n und a, b, c, s ∈ K.
Mm,n trägt mit sA = (saij ) und A + B = (aij + bij ) als Skalarprodukt und Summe eine
Vektoraumstruktur. Die Matrizenmultiplikation ist definiert durch:
µ : Mm,p × Mp,n → Mm,n ,
(M, M 0 ) 7→
p
X
aik bkj
k=1
Mm,1 wird mit K m identifiziert.
Durch Eine Matrix A wird eine lineare Abbildung lA eindeutig bestimmt:
lA : K n → K m , (x) 7→ Ax.
Dabei bestimmt die Menge aller unter lA verschwindenden n-dimensionalen Spaltenvektoren
den Kern von A und alle m-dimensionalen Vektoren aus dem Bild von lA das Bild von A
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
Eine Menge von Elementen des K m , die jeden Vektor des K m in eindeutiger weise als
Linearkombination bestimmen heißt Basis. Dabei bilden die Einheitsvektoren ei = (δji )
die kanonische Einheitsbasis des K m . Die Anzahl der Basisvektoren einer Basis ist, wird
als Dimension des Vektorraums bezeichnet.
Die Dimension des Bildes der durch eine Matrix induzierten linearen Abbildung heißt
Rang der Matrix und die Summe der Dimension des Kerns und des Bildes ergeben die
Dimension des Urbildraumes der durch die Matrix induzierten linearen Abbildung. Dabei
ist der Rang die Anzahl der maximal linear unabhängigen Spalten der Matrix. Da der
Rang invariant bezüglich der Transponierung einer Matrix ist, benennt der Rang auch
die maximal Anzahl linear unabhängiger Zeilen einer Matrix.
Die Summe der Komponentenprodukte identisch indizierter Komponenten zweier
Vektoren eines m-dimensionalen Vektorraumes heißt Skalarprodukt der beiden Vektoren. Verschwindet dieses heißen die beiden Vektoren orthogonal. Diese Begriff lässt
sich entsprechend auf zwei Unterräume eines Vektorraumes verallgemeinern, wobei
U ⊥ ⊂ K m den zu U ⊂ K m orthogonalen Untervektorraum bezeichnet.
Lin. Algebra
Zusammenfassung 5.1/275
Bezeichne X eine endliche Menge, K einen Körper und K X die Menge aller Abbildungen
von X nach K. Dann trägt mit
(γf + g) : X → K,
(γf + g)(x) := γf (x) + g(x)
eine Vektorraumstruktur. Die kanonische Basis dieser Vektorräume erhält man durch die Funktionen fx̄ : X → K, fx̄ (x) = 1 für x = x̄ und fx̄ (x) = 0 sonst. Damit lässt sich die Kardinalität
von X mit der Basis des Vektorraumes K X identifizieren.
Identifiziert man die Elemente x ∈ X mit den Basisvektoren fx ∈ K X , dann können die
P
Vektoren von K X auch als formale Summe
ax x mit ax ∈ K dargestellt werden.
x∈X
Die kanonische Basis bestimmt das kanonische Skalarprodukt:
X
X
X
ax x,
bx x =
ax bx .
x∈X
5 Kreise und Kokreise
x∈X
x∈X
Graphentheorie
Ist ν : h|X|i
→X eine Nummerierung von X, so bestimmt diese den Isomorphismus
Lν : K |X| →K X , (ei ) 7→ ν(i ).
Diesen zur Nummerierung ν assoziierten Isomorphissmus wird im Weiteren auch
zur identifikation der Basisvektoren ei ∈ K |X| und ν(i ) ∈ K X verwendet.
Die Charakteristik char(K) eines Körpers K ist das kleinste positive n ∈
N, so dass eine Summe von n Summanden, die je das neutrale Element der
Multiplikation von K sind, das neutrale Element der Addition in K ergeben.
Existiert kein solches n, dann ist die Charakteristik von des Körpers Null.
Jeder Körper der Charakteristik Null enthält einen zu den rationalen Zahlen
isomorphen Teilkörper.
LA über Z2
Zusammenfassung 5.1/277
• trennende Kantenmenge
• Kokreis
Eines Graphen G = (V, K, δ)
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
Eine Teilmenge T der Kanten eines Graphen heißt genau dann trennende
Kantenmenge des Graphen, wenn der Kograph G \ T = G ∩ (K \ T ) von T
unzusammenhängend ist.
Eine minimale trennende Kantenmenge heißt Kokreis des Graphen. Wobei
eine Kantenmenge genau dann „minimal trennend“ ist, wenn alle echten Teilmengen dieser Kantenmenge nicht trennend sind.
Beispiel:
T = {k1 , k3 , k5 } ist dann eine trennende Kantenmenge;
T 0 = {k1 , k5 } ist ein Kokreis.
k1
k6
k2
k3
k5
k4
LA über Z2
Zusammenfassung 5.1/279
Äquivalenzkriterium für Kokreise
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
Eine Teilmenge T der Kantenmenge eines zusammenhängenden Graphen G
ist genau dann ein Kokreis dieses Graphen, wenn es eine nichttriviale Knotenzerlegung der Knoten des Graphen derart gibt, dass die von den Knotenteilmengen
erzeugten Untergraphen zusammenhängend sind und die Kanten der Kantenteilmenge stets zwei Knoten aus den Knotenmengen der Zerlegung verbindet.
Beweis: ⇒ Da T Kokreis ist, trennt T den Graphen G und der Kograph von T
zerfällt in wenigstens zwei Komponenten. Da G zusammenhängend, ist T nicht leer.
Gehörten die Randknoten einer Kante k aus T einer Komponente des Kokreises
an, dann wäre T \ {k} auch trennend was der Minimalität von T widerspricht.
Also inzidiert k mit Knoten verschiedener Komponenten. Da ebenfalls wegen der
Minimalität von T T \ {k} nicht trennt zerfällt der Kograph G \ T von T in genau
zwei Komponenten G1 , G2 deren Knotenmengen V1 , V2 die nichttriviale Zerlegung
der Knotenmenge des Graphen liefern. Da eine Kante die nicht zu T gehört aber mit
zwei Knoten aus V1 und V2 inzidiert beide Komponenten verbinden würde, existiert
solch ein k nicht, also T = {k ∈ K|δk ∩ V1 6= ∅ 6= δk ∩ V2 }. Damit zerfällt K in
die paarweise disjunkten Mengen T , K1 = {k ∈ K|δk ∩ V2 = ∅} und K2 = {k ∈
K|δk ∩ V1 = ∅} wobei der Kograph von T K1 + K2 als Kantenmenge hat. Also ist
K1 die Kantenmenge von G1 und K2 die von G2 , also Gi = G ∩ Vi mit i = 1, 2.
˙ 2 mit nichtlee⇐ Die Kantenmenge K zerfällt in T, K1 , K2 (s.o.) und G \T = G1 ∪G
ren zusammenhängenden Gi . Da G zusammenhängend ist, ist T trennend. Da jedes
k ∈ T sowohl mit einem Knoten von V1 als auch mit einem von V2 inzidiert und da
die Gi zusammenhängend sind, ist G \ (T \ {k}) für jedes k ∈ T zusammenhängend,
also trennt kein T \ {k} den Graphen und damit auch keine echte Teilmenge von T ,
also ist T minimal trennend und somit Kokreis von G.
LA über Z2
Definition 5.2/281
Kobaum eines Baumes der einen Graphen aufspannt
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
Sei G = (V, K, δ) ein zusammenhängender Graph und eine Teilmenge K ∗
der Kanten des Graphen erzeuge einen den Graphen aufspannenden Baum B ∗ :
G ∩ K ∗ = (V, K ∗ , δK ∗ ) = B ∗
Bezeichne nun K ∗∗ das Komplement von K ∗ bezüglich der Kantenmenge des
Graphen. Dann heißt der von dieser erzeugte Graph, also dem Kograph von K ∗ ,
der Kobaum des G aufspannenden Baums, der durch K ∗ erzeugt wurde, und
wird formal mit B ∗∗ bezeichnet:
B ∗∗ = G \ K ∗ = (V, K ∗∗ , δK ∗∗ ) = G ∩ K ∗∗ .
LA über Z2
Satz 5.3/283
Über die Beziehung zwischen der Anzahl der Kanten
und der Anzahl der Kreise bzw. Kokreise eines
zusammenhängenden Graphen G = (V, K, δ).
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
Bezeichne B ∗ = G ∩ K ∗ = (V, K∗, δK ∗ einen G aufspannenden Baum und
B ∗∗ = G ∩ K ∗∗ dessen Kobaum. Dann bekommt man mit einer beliebigen
Kante k ∗∗ aus der Kantenmenge des Kobaums, die man dem G aufspannenden
Baum hinzufügt, eine Graphen B ∗ + k ∗∗ , der genau einen Kreis von G enthält.
Analog erhält man für jede Kante k ∗ des G aufspannenden Baums, die man
dem Kobaum hinzufügt einen Graphen B ∗∗ + k ∗ , der genau einen Kokreis von
G enthält.
Beweis: Da B ∗ als G aufspannender Baum zusammenhängen ist und damit einen
Kantenweg enthält, der die mit k ∗∗ inzidieren Knoten verbindet, liefert dieser Weg
um die Kanten k ∗∗ ergänzt in dem Graphen B ∗ + k ∗∗ einen Kreis von G, welcher
der einzige in B ∗ + k ∗∗ ist.
Zieht man von G die Kanten aus B ∗∗ + k ∗ ab, dann erhält man den Graphen B ∗ − k ∗
der wegen seines minimalen Zusammenhangs somit in zwei Komponenten zerfällt.
Bezeichnet man die mit k ∗ inzidierenden Knoten mit v ∗ und w ∗ und die Knotenmengen der Komponenten Vv ∗ und Vw ∗ , die durch diese beiden Knoten eindeutig
˙
bestimmt werden. Es gilt dann B ∗ − k ∗ = (B ∗ ∩ Vv ∗ )∪(Bj
∩ Vw ∗ ). Setzt man nun
Tk ∗ = {k ∈ K|δk ∩ Vv ∗ 6= ∅ 6= δk ∩ Vw ∗ , }
so ist Tk ∗ mit obigen Äquivalenzkriterium ein Kokreis von G, da die von Vv ∗ und
Vw ∗ erzeugten Untergraphen zusammenhängend sind. Außerdem k ∗ ∈ Tk ∗ und alle
Übrigen Kanten von B ∗ sind nicht in Tk ∗ . Da B ∗ zusammenhängend ist, enthält
B ∗ ∗ ∗ sicher keinen Kokreis von G, also gehört k∗ zu jedem Kokreis von G, der in
B ∗∗ + k ∗ liegt. Da schließlich die minimale k ∗ enthaltende trennende Kantenmenge
von G, die in B ∗∗ + k ∗ liegt, notwendig alle Kanten von Tk ∗ enthält, ist Tk ∗ der
einzige in B ∗∗ + k ∗ liegende Kokreis von G.
LA über Z2
Korollar 5.4/285
Anzahl der Kreise und Kokreise eines
zusammenhängenden Graphen G = (V, K, δ) in
Abhängigkeit der Anzahl der Kanten des Graphen
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
Mit vorstehendem Satz folgt, dass mit einem G aufspannenden Baum B ∗
und dessen Kobaum B ∗∗ gilt:
Es gibt |K| − |V | + 1 Kreise von G, von denen jeder genau eine Kante von
und ansonsten nur Kanten von K ∗ enthält.
K ∗∗
Es gibt |V | − 1 Kokreise von G, von denen jeder genau eine Kante von K ∗
und ansonsten nur Kanten von K ∗∗ enthält.
Denn da B ∗ ein G aufspannender Baum ist, gilt |K ∗ | = |V | − 1, also |K ∗∗ =
|K| − |V | + 1
LA über Z2
Definition 5.5/287
• Knotenvektorraum eines Graphen über Z2
• Kantenvektorraum eines Graphen über Z2
• Randabbildung eines Graphen
• Korandabbildung eines Graphen
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
Bezeichne Z2 den Körper ({0, 1}, +, ·) mit genau zwei Elementen. Dann
bezeichnen C0 (G) = Z2V den Knotenvektorraum von G über Z2 und weiter
bezeichne C1 (G) = Z2K den Kantenvektorraum von G über Z2 .
Außerdem werden lineare Abbildungen h und ht durch lineare Erweiterungen
(??) definiert. Dabei wird zum einen einem Vektor des Kantenvektorraumes
von G die Summe der inzidierenden Knoten zugeordnet
X
h : C1 (G) −→ C0 (G), (k) 7→
v für k ∈ K.
v ∈δk
Zum Anderen wird einem Vektor des Knotenvektorraumes die Summe der inzidierenden Kanten zugeordnet
X
ht : C0 (G) −→ C1 (G), (v ) 7→
k für v ∈ V.
v ∈δk
Die erstere Abbildung heißt dann Randabbildung von G und die Zweite Korandabbidung.
LA über Z2
Satz 5.6/289
Identitätssatz für Randabbildung und Inzidenzmatrix
sowie Korandabbildung und der Transponierten der
Inzidenzmatrix eines vollständig nummerierten
Graphen
G = (V, K, δ, ν : h|V |i
→V, κ : h|K|i
→K)
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
|V |
Sei H = (κij ) die Inzidenzmatrix des Graphen und ıν : Z2 →Z2V = C0 (G)
|K|
K
sowie ıκ : Z2 →Z2 = C1 (G) die zu den Nummerierungen assoziierten Isomorphismen.
Dann entspricht die Inzidenzmatrix von G der linearen Abbildung, die durch
die Komposition der Umkehrabbildung des zur Knotennummerierung assoziierten
Isomorphismus, der Randabbildung und des zur Kantennummerierung assoziierten Isomorphismus.
Die Transponierte der Inzidenzmatrix von G entspricht der linearen Abbildung, die durch die Komposition der Umkehrabbildung des zur Kantennummerierung assoziierten Isomorphismus, der Korandabbildung und des zur Knotennummerierung assoziierten Isomorphismus.
H = ıν−1 ◦ h ◦ ıκ
H t = ıκ−1 ◦ ht ◦ ıν .
LA über Z2
Satz 5.7/291
Dimensionssatz (Graphen)
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
1. Die Dimension des Knotenvektorraumes eines Graphen ist die Anzahl der Knoten
2. Die Dimension des Kantenvektorraumes eines Graphen ist die Anzahl der Kanten.
3. Die Dimension des Kerns der Randabbildung ist die Summe der Differenz von
Kanten- und Knotenanzahl sowie der Anzahl der Komponenten des Graphen.
Dies ist wiederum identisch mit der Differenz der Kantenanzahl und dem Rang
des Graphen.
4. Die Dimension des Bildes der Randabbildung ist die Differenz der Knoten- und
Komponentenanzahl, was wiederum dem Rang des Graphen entspricht.
5. Die Dimension des Kerns der Korandabbildung ist die Anzahl der Komponenten
des Graphen
6. Die Dimension des Bildes der Korandabbildung ist die Differenz der Knoten- und
Komponentenanzahl, was wiederum der Rang des Graphen ist.
LA über Z2
Korollar 5.8/293
Rang einer Inzidenzmatrix eines vollständig
nummerierten Graphen G über dem Körper Z2.
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
Für einen vollständig nummerierten Graphen G mit der Inzidenzmatrix H gilt über
dem Körper Z2 , dass der Rang der Inzidenzmatrix mit dem Rang des Graphen identisch
ist, was ebenso für die Transponierte der Inzidenzmatrix gilt.
RangH = rg(G) = RangH t
Dabei ist wichtig, dass der Rang einer Inzidenzmatrix von dem Gewählten Körper abhängt.
LA über Z2
Lemma 5.9/295
Hilfssatz zur Ermittlung von Basen für die Kern- und
Bildräume der Rand- und Korandabbildung.
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
Liegt ein Zusammenhängender Graph G vor.
Dann ist für jede Teilmenge der Kanten von G, die ein Kreis von G ist, die Summe
dieser Kantenteilmenge ein Element des Kerns der Randabbildung.
Und für jede Teilmenge der Kanten von G, die eine Kokreis von G ist, ist die Summe
der Kanten dieser Teilmenge ein Element des Bildes der Korandabbildung.
LA über Z2
Definition 5.10/297
Formales: K̃(k ∗∗), K̄(k ∗)
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
Sei G = (V, K, δ) ein zusammenhängernder Graph mit mehr als einem Knoten.
Weiter bezeichne B ∗ = G ∩ K ∗ einen G aufspannenden Baum und B ∗∗ = G ∩ K ∗∗ den
Kobaum zu B ∗ . Dann wird für k ∗∗ ∈ K ∗∗ und k ∗ ∈ K ∗ gesetzt:
K̃(k ∗∗ ) = {k ∈ K ∗ ∪ {k ∗∗ }|k gehört zum Kreis in B ∗ + k ∗∗ }
K̄(k ∗ ) = {k ∈ K ∗∗ ∪ {k ∗ }|k gehört zum Kokreis in B ∗∗ + k ∗ }
LA über Z2
Satz 5.11/299
Basensatz zur Rand- und Korandabbildung eines
Graphen
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
Sei ein zusammenhängender Graph G mit mehr als einem Knoten, ein G aufspannender Baum B ∗ = G ∩ K ∗ und dessen Kobaum B ∗∗ = G ∩ K ∗∗ gegeben.
P
k | k ∗∗ ∈ K ∗∗ bildet einer Basis von Kern(h).
1.
k∈K̃(k ∗∗ )
2.
3.
v | k ∗ ∈ K∗
P
v ∈δk ∗
P
v
bildet einer Basis von Bild(h).
bildet einer Basis von Kern(ht ).
v ∈V
4.
P
k∈K̄(k ∗ )
∗
k |k ∈ K
∗
bildet einer Basis von Kern(ht ).
LA über Z2
Definition 5.12/301
• Knotenvektorraum eines Digraphen über einen
Körper K
• Pfeilvektorraum eines Diraphen über K
• Randabbildung eines Digraphen
• Korandabbildung eines Digraphen
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
Bezeichne K einen Körper und D = (V, P, δ) einen Digraph. Dann bezeichnen
C0 (D) = K V den Knotenvektorraum des Digraphen über dem Körper und C1 (D) = K P
den Pfeilvektorraum des Digraphen über dem Körper. Des weiteren bezeichne Pv+ die
Menge der Pfeile, deren Pfeile Anfangsknoten der Knoten v ist und Pv− die Pfeilmenge
deren Pfeile v zum Endknoten haben.
Außerdem werden lineare Abbildungen h und ht durch lineare Erweiterungen (??)
definiert. Dabei wird zum einen einem Vektor des Pfeilvektorraumes von D die Differenz
des Anfangs- und Endknoten zugeordnet
h : C1 (D) −→ C0 (D), (p) 7→ v − w für p ∈ C1 (D).
Zum Anderen wird einem Vektor des Knotenvektorraumes die Differenz der Summen
der positive und negativ inzidierenden Kanten zugeordnet
X
X
ht : C0 (D) −→ C1 (D), (v ) 7→
p−
p für v ∈ V.
p∈Pv+
p∈Pv−
Die erstere Abbildung heißt dann Randabbildung von D und die Zweite Korandabbidung.
LA über Z2
Definition 5.12/303
Identitätssatz für Randabbildung und
Diinzidenzmatrix H = (πij sowie Korandabbildung
und der Transponierten der Diinzidenzmatrix eines
vollständig nummerierten Digraphen
D = (V, P, δ, ν : h|V |i
→V, π : h|P |i
→K)
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
Sei ıν : K |V | →K V = C0 (G) sowie ıπ : K |K| →K K = C1 (G) die zu den Nummerierungen assoziierten Isomorphismen.
Dann entspricht die Diinzidenzmatrix von D der linearen Abbildung, die durch die
Komposition der Umkehrabbildung des zur Knotennummerierung assoziierten Isomorphismus, der Randabbildung und des zur Pfeilnummerierung assoziierten Isomorphismus.
Die Transponierte der Diinzidenzmatrix von D entspricht der linearen Abbildung, die
durch die Komposition der Umkehrabbildung des zur Pfeilnummerierung assoziierten
Isomorphismus, der Korandabbildung und des zur Knotennummerierung assoziierten
Isomorphismus.
H = ıν−1 ◦ h ◦ ıπ
H t = ıπ−1 ◦ ht ◦ ıν .
LA über Z2
Satz 5.13/305
Dimensionssatz (Digraphen)
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
1. Die Dimension des Knotenvektorraumes eines Digraphen ist die Anzahl der Knoten
2. Die Dimension des Pfeilvektorraumes eines Digraphen ist die Anzahl der Kanten.
3. Die Dimension des Kerns der Randabbildung ist die Summe der Differenz von
Pfeil- und Knotenanzahl sowie der Anzahl der Komponenten des unterliegenden
Graphen. Dies ist wiederum identisch mit der Differenz der Pfeilanzahl und dem
Rang des unterliegenden Graphen.
4. Die Dimension des Bildes der Randabbildung ist die Differenz der Knoten- und
Komponentenanzahl des unterliegenden Graphen, was wiederum dem Rang des
unterliegenden Graphen entspricht.
5. Die Dimension des Kerns der Korandabbildung ist die Anzahl der Komponenten
des unterliegenden Graphen
6. Die Dimension des Bildes der Korandabbildung ist die Differenz der Knoten- und
Komponentenanzahl des unterliegenden Graphen, was wiederum der Rang des
unterliegenden Graphen ist.
LA über Z2
Korollar 5.14/307
Rang einer Diinzidenzmatrix eines Digraphen über
einem beliebigen Körper K.
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
Für einen vollständig nummerierten Digraphen D mit der Diinzidenzmatrix H gilt
über einem Körper K, dass der Rang der Diinzidenzmatrix mit dem Rang des unterliegenden Graphen identisch ist, was ebenso für die Transponierte der Inzidenzmatrix
gilt.
RangH = rg(G) = RangH t
LA über Z2
Definition 5.15/309
Aufspannender Baum eines Digraphen und dessen
Kobaum
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
Sei D = (V, K, δ) ein zusammenhängender Digraph und eine Teilmenge P ∗ der
Pfeile des Digraphen, die bezüglich des unterliegendden Graphen von D einen Graphen
B ∗ erzeugen, der diesen unterliegenden Graphen erzeugt:
U(D) ∩ P ∗ = (V, P ∗ , π ◦ δP ∗ ) = B ∗
Bezeichne nun P ∗∗ das Komplement von P ∗ bezüglich der Pfeilmenge des Digraphen.
Dann heißt der von dieser erzeugte unterliegende Graph, also dem unterliegenden Kograph von P ∗ , der Kobaum B ∗∗ des U(G) aufspannenden Baums, der durch P ∗ erzeugt
wurde:
B ∗∗ = U(D) \ P ∗ = (V, P ∗∗ , πδP ∗∗ ) = U(G) ∩ P ∗∗ .
LA über Z2
Definition 5.16/311
Formales: z(p ∗∗)(p), c(p ∗)(p)
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
Sei D = (V, P, δ) ein zusammenhängernder Digraph mit mehr als einem Knoten.
Weiter bezeichne B ∗ = U(D)∩P ∗ einen U(D) aufspannenden Baum und B ∗∗ = U(D)∩
P ∗∗ den Kobaum zu B ∗ . Dann enthält B ∗ + p ∗∗ für jedes p ∗∗ ∈ P ∗∗ genau einen Kreis
K̃(p ∗∗ ) des unterliegenden Graphen von D. Diesem Kreis wird der Vektor z(p ∗∗ ) ∈ K P
zugeordnet für den gilt:


1







z(p ∗∗ )(p) = −1








0
wenn p ∈ K̃(p ∗∗ ) und die Richtung von p bei der
angegebenen Durchlaufung von K̃(p ∗∗ ) erhalten bleibt.
wenn p ∈ K̃(p ∗∗ ) und die Richtung von p bei der
angegebenen Durchlaufung von K̃(p ∗∗ ) umgekehrt wird.
sonts.
Für jedes p ∗ ∈ P ∗ enthält B ∗∗ + p ∗ genau einen Kokreis
K̄(p ∗ ) = {p ∈ P |π ◦ δp ∩ VAnfang(p∗ ) 6= ∅ =
6 π ◦ δp ∩ VEnde(p∗ ) }
˙ Ende(p∗ ) wird dem Kokreis K̄(p ∗ ) der Vektor c(p ∗ ) ∈ K P zugeordDa V = VAnfang(p∗ ) ∪V
net:

c(p ∗ )(p) =


1
−1


0
wenn für δp = v × w gilt v ∈ VAnfang(p∗ ) , w ∈ VEnde(p∗ )
wenn für δp = v × w gilt w ∈ VAnfang(p∗ ) , v ∈ VEnde(p∗ )
sonts.
LA über Z2
Definition 5.16/313
Basensatz zur Rand- und Korandabbildung eines
Digraphen
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
Sei ein zusammenhängender Digraph D = (V, P, δ) mit mehr als einem Knoten,
ein U(D) = (V, P, π ◦ δ) aufspannender Baum B ∗ = U(D) ∩ P ∗ und dessen Kobaum
B ∗∗ = U(D) ∩ P ∗∗ gegeben. Dann folgt
1. z(p ∗∗ ) | p ∗∗ ∈ P ∗∗ bildet einer Basis von Kern(h).
2. Anfang(p ∗ ) − Ende(p ∗ ) | p ∗ ∈ P ∗ bildet einer Basis von Bild(h).
P
3.
v bildet einer Basis von Kern(ht ).
v ∈V
4.
c(p ∗ ) | p ∗ ∈ P ∗ bildet einer Basis von Kern(ht ).
LA über Z2
Definition 5.17/315
• Zykelraum
• Randraum
• Kozykelraum
• Korandraum
Eines Diegraphen.
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
Der Kern der Randabbildung eines Digraphen heißt Zykelraum des Digraphen.
Das Bild der Randabbildung eines Digraphen heißt Randraum des Digraphen.
Der Kern der Korandabbildung eines Digraphen heißt Kozykelraum des Digraphen.
Das Bild der Korandabbildung eines Digraphen heißt Korandraum des Digraphen.
LA über Z2
Satz 5.18/317
Identitätssatz der kanonischen Skalarprodukte
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
Die kanonischen Skalarprodukte des Kanten C0 (D)- und Pfeilvektoraums C1 (D)
eines Digraphen D bezüglich der Rand h- und Korandabbildung ht des Digraphen sind
identisch.
hf , ht ◦ gi = hh ◦ f , gi für f ∈ C1 (D) und g ∈ C0 (D).
LA über Z2
Korollar 5.19/319
Zum Identitätssatz der kanonischen Skalarprodukte
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
Der Kozykelraum und Randraum eines Digraphen sind orthogonale Unterräume des
Kantenvektorraums des Digraphen.
Der Zykelraum und Korandraum eines Digraphen sind orthogonale Unterräume des
Pfeilvektoraums des Digraphen.
LA über Z2
Satz 5.20/321
Identitätssatz für Knoten- und Pfeilvektorräume.
5 Kreise und Kokreise
Graphentheorie
Für den Knotenvektorraum eines Digraphen über einen Körper mit verschwindender Charakteristik gilt, dass er sich mit der Körpersumme des Kozykelraums und des
Randraums identifizieren lässt.
C0 (D) = Kern(ht ) ⊕ Bild(h)
Für den Pfeilvektorraum eines Digraphen über einen Körper mit verschwindender
Charakteristik gilt, dass er sich mit der Körpersumme des Zykelraums und des Korandraums identifizieren lässt.
C1 (D) = Kern(h) ⊕ Bild(ht )
. . . in Graphen
Definition 6.1/323
trennende Knotenmenge eines Graphen
6 Trennung und Verbindung
Graphentheorie
Eine Teilmenge der Knotenmenge eines Graphen heißt genau dann trennende Knotenmenge zweier nicht-adjazenter Knoten des Graphen, wenn die beiden Knoten in dem
Kograph des durch diese Teilmenge erzeugten Untergraphen zu verschiedenen Komponenten gehören.
. . . in Graphen
Definition 6.2/325
trennende Kantenmenge eines Graphen
6 Trennung und Verbindung
Graphentheorie
Eine Teilmenge der Kantenmenge eines Graphen heißt genau dann trennende Kantenmenge zweier Knoten des Graphen, wenn die Knoten im Kograph des durch die
Teilmenge erzeugten Untergraphen zu verschiedenen Komponenten gehören.
. . . in Graphen
Definition 6.3/327
• paarweise knotendisjunkte Kantenwege
• paarweise kantendisjunkte Kantenwege
6 Trennung und Verbindung
Graphentheorie
Kantenwege, die im selben Knoten starten und im selben Knoten enden heißen
paarweise knotendisjunkt, wenn zwei beliebige von diesen Kantenwege nur den Anfangsund Endknoten gemeinsam haben.
Kantenwege, die im selben Knoten starten und im selben Knoten enden heißen
paarweise kantendisjunkt, wenn zwei beliebige von diesen Kantenwege keine Kante gemeinsam haben.
. . . in Graphen
Definition 6.4/329
• minimale Anzahl trennender Knoten zweier
Knoten eines Graphen
• maximale Anzahl paarweise knotendisjunkter
Kantenwege zweier Knoten eines Graphen.
6 Trennung und Verbindung
Graphentheorie
Aus der Menge der zwei Knoten trennenden Knotenmengen eines Graphen bestimmt die Knotenmenge mit der kleinsten Anzahl von Knoten die minimale Anzahl der
trennenden Knoten durch ihre Anzahl von Knoten. Formal wird die minimale Anzahl
trennenden Knoten zweier Knoten q und s eines Graphen G mit mV (G, q, s) bezeichnet.
Außerdem wird noch die Bezeichnung MV (G, q, s) eingeführt für die maximale Anzahl paareweise knotendisjunkter Kantenwege von q nach s.
. . . in Graphen
Definition 6.5/331
• minimale Anzahl trennender Kanten zweier
Knoten eines Graphen
• maximale Anzahl paarweise kantendisjunkter
Kantenwege zweier Knoten eines Graphen
6 Trennung und Verbindung
Graphentheorie
Aus der Menge der zwei Knoten trennenden Kantenmengen eines Graphen bestimmt die Knotenmenge mit der kleinsten Anzahl von Knoten die minimale Anzahl der
trennenden Knoten durch ihre Anzahl von Knoten. Formal wird die minimale Anzahl
trennenden Knoten zweier Knoten q und s eines Graphen G mit mV (G, q, s) bezeichnet.
Außerdem wird noch die Bezeichnung MV (G, q, s) eingeführt für die maximale Anzahl paareweise knotendisjunkter Kantenwege von q nach s.
. . . in Graphen
Satz 6.6/333
Satz von Menger
6 Trennung und Verbindung
Graphentheorie
Für zwei nicht-adjazente Knoten q und s eines Graphen G ist die Anzahl der sie trennenden Knoten identisch mit der maximalen Anzahl paarweise knotendisjunkter Kantenwege von q nach s.
mV (G, q, s) = MV (G, q, s)
. . . in Graphen
Satz 6.7/335
Satz von Ford-Fulkerson
6 Trennung und Verbindung
Graphentheorie
Für zwei nicht-adjazente Knoten q und s eines Graphen G ist die Anzahl der sie
trennenden Kanten identisch mit der maximalen Anzahl paarweise kantendisjunkter Kantenwege von q nach s.
mK (G, q, s) = MK (G, q, s)
. . . in Graphen
Korollar 6.8/337
Folgerungen aus den Sätzen von Menge und von
Ford-Fulkerson
6 Trennung und Verbindung
Graphentheorie
Die minimale Anzahl der trennenden Knoten zweier nicht-adjazenter Knoten ist
höchstens die minimale Anzahl der trennenden Kanten dieser Knoten.
mV (G, q, s) ≤ mK (G, q, s)
Die maximale Anzahl paarweise knotendisjunkter Kantenwege von einem Knoten
eines Graphen zu einem anderen nicht-adjazenten Knoten ist höchstens die maximal
Anzahl paarweise kantendisjunkter Kantenwege zwischen diesen Knoten.
MV (G, q, s) ≤ MK (G, q, s)
. . . in Graphen
Definition 6.9/339
• trennende Knotenmenge
• trennende Kantenmenge
eines Graphen G := (V, K, δ)
6 Trennung und Verbindung
Graphentheorie
Eine Teilmenge der Knotenmenge eines Graphen heißt genau dann trennend, wenn
der Kograph des von der Knotenteilmenge erzeugten Untergraphen unzusammenhängend ist.
Eine Teilmenge der Kantenmenge eines Graphen heißt genau dann trennend, wenn
der Kograph des von der Kantenteilmenge erzeugten Untergraphen unzusammenhängend ist.
. . . in Graphen
Definition 6.10/341
• Knotenzusammenhangszahl
• Kantenzusammenhangszahl
• n-fach knotenzusammenhängend
• n-fach kantenzusammenhängend
6 Trennung und Verbindung
Graphentheorie
Die Anzahl der Knoten der kleinsten∗ trennenden Knotenmenge eines Graphen heißt
Knotenzusammenhangszahl des Graphen und wird formal mit χV (G) bezeichnet.
Die Anzahl der Kanten der kleinsten∗ trennenden Kantenmenge eines Graphen heißt
Kantenzusammenhangszahl und wird formal mit χK (G) bezeichnet.
Ein Graph wird n-fach knotenzusammenhängend genannt, wenn die Knotenzusammenhangszahl wenigstens n ist.
Ein Graph wird n-fach kantenzusammenhängend genannt, wenn die Kantenzusammenhangszahl wenigstens n ist.
∗
Im Sinne der natürlichen Ordnung auf der Mächtigkeit von Mengen
. . . in Graphen
Satz 6.11/343
Abschätzungen für Zusammenhangszahlen
6 Trennung und Verbindung
Graphentheorie
Die Knotenzusammenhangszahl ist nicht negativ und wird nach oben durch die
Kantenzusammenhangszahl abgeschätzt, welche wiederum den kleinsten Knotengrad
des Graphen nicht übersteigt, der seinerseits höchstens die um eins verminderte Anzahl
der Knoten des Graphen sein kann.
. . . in Graphen
Satz 6.12/345
Satz von Dirac
6 Trennung und Verbindung
Graphentheorie
Von einem Graphen, der n-fach knotenzusammenhängend aber mindestens zweifach
knotenzusammenhängend ist, liegen je n Knoten des Graphen auf einem Kreis.
. . . in Graphen
Definition 6.13/347
Distanz
6 Trennung und Verbindung
Graphentheorie
Die minimale Länge der zwei Knoten eines Graphen verbindenden Kantenfolgen
heißt die Distanz dieser Knoten. Gehören die beiden Knoten zu verschiedenen Zusammenhangskomponenten des Graphen, so wird die Länge unendlich gesetzt. Formal wird
die Distanz zweier Knoten q und s eines Graphen mit d(q, s) bezeichnet.
. . . in Graphen
Satz 6.14/349
Satz von Fulkerson und sein Analogon für
Knotemengen
6 Trennung und Verbindung
Graphentheorie
Die Distanz zwei verschiedener Knoten der selben Zusammenhangskomponente eines Graphen ist identisch mit der maximalen Anzahl paarweise disjunkter, die Knoten
trennenden Kantenmengen.
Die Distanz zweier verschiedener Knoten der selben Zusammenhangskomponente
eines Graphen ist genau um eins geringe als die maximale Anzahl paarweise disjunkter,
die Knoten trennenden Knotenmengen.
. . . in Digraphen
Zusammenfassung 6.15/351
Trennung und Verbindung in Digraphen
6 Trennung und Verbindung
Graphentheorie
TODO
. . . in Graphen
Definition 7.1/353
• bedeckte und
• unbedeckte Kante
• Knotenbedeckungszahl eines Graphen
G = (V, K, δ)
7 Unabhängigkeit und Bedeckung
Graphentheorie
Eine Kante wird genau dann von einer Teilmenge der Knotenmenge eines Graphen
bedeckt, wenn sie mit einem der Knoten der Teilmenge inzidiert. Ansonsten ist die
Kante von der Teilmenge unbedeckt. Die Knotenteilmenge heißt bedeckend, wenn alle
Kanten von ihr bedeckt werden.
Bezeichnet V 0 eine Knotenteilmenge eines Graphen, dann wird die Menge der von
dieser Teilmenge bedeckten Kanten mit Kb (V 0 ) bezeichnet, die der von dieser Teilmenge
unbedeckten Kanten mit Ku (V 0 ).
Die minimale Anzahl der Knoten eines Graphen, die benötigt werden um alle Kanten
zu bedecken heißt Knotenbedeckungszahl und wird formal mit ωV (G) := min{|V 0 | | V ⊃
V 0 und Kb (V 0 ) = K} bezeichnet.
. . . in Graphen
Definition 7.2/355
• unabhängige Knotenmenge
• Knotenunabhängigkeitszahl
Eines Graphen
7 Unabhängigkeit und Bedeckung
Graphentheorie
Eine Teilknotenmenge eines Graphen heißt genau dann unabhängige Knotenmenge
des Graphen, wenn je zwei Knoten aus der Menge nicht adjazent sind.
Die maximale Anzahl unabhängiger Knoten heißt Knotenunabhängigkeitszahl des
Graphen G = (V, K, δ) und wird formal mit ΩV (G) = max{|V 0 | | V ⊃ V 0 unabhängig}
bezeichnet.
. . . in Graphen
Satz 7.3/357
Satz von Gallai zur Knotenbedeckungs- und
Knotenunabhängigkeitszahl
7 Unabhängigkeit und Bedeckung
Graphentheorie
Dieser Satz von Gallai besagt, dass die Summe von Knotenbedeckungszahl und
Knotenunabhängigkeitszahl eines Graphen identisch mit der Anzahl der Knoten des
Graphen ist.
ωV (G) + ΩV (G) = |V |
. . . in Graphen
Definition 7.4/359
• bedeckte und
• unbedeckte Knoten
• Kantenbedeckungszahl eines Graphen
G = (V, K, δ)
7 Unabhängigkeit und Bedeckung
Graphentheorie
Ein Knoten wird genau dann von einer Teilmenge der Kantenmenge eines Graphen
bedeckt, wenn er mit einer der Kanten der Kantenteilmenge inzidiert. Ansonsten ist
der Knoten von der Kantenteilmenge unbedeckt. Die Kantenteilmenge heißt bedeckend,
wenn alle nichtisolierten Knoten von ihr bedeckt werden.
Bezeichnet K 0 eine Kantenteilmenge eines Graphen, dann wird die Menge der von
dieser Teilmenge bedeckten Knoten mit Vb (K 0 ) bezeichnet, die der von dieser Teilmenge
unbedeckten Kanten mit Vu (K 0 ).
Die minimale Anzahl der Kanten eines Graphen, die benötigt werden um alle nichtisolierten Knoten zu bedecken heißt Kantenbedeckungszahl und wird formal mit ωK (G) :=
min{|K 0 | | K ⊃ K 0 und Vb (K 0 ) = {v ∈ V | γ(v ) > 0}} bezeichnet.
. . . in Graphen
Definition 7.5/361
• unabhängige Kantenmenge
• Kantenunabhängigkeitszahl
Eines Graphen
7 Unabhängigkeit und Bedeckung
Graphentheorie
Eine Teilknotenmenge eines Graphen heißt genau dann unabhängige Kantenmenge
des Graphen, wenn je zwei Kanten aus der Menge nicht adjazent sind.
Die maximale Anzahl unabhängiger Kanten heißt Kantenunabhängigkeitszahl des
Graphen G = (V, K, δ) und wird formal mit ΩK (G) = max{|K 0 | | V ⊃ K 0 unabhängig}
bezeichnet.
. . . in Graphen
Satz 7.6/363
Satz von Gallai zur Kantenbedeckungs- und
Kantenunabhängigkeitszahl
7 Unabhängigkeit und Bedeckung
Graphentheorie
Dieser Satz von Gallai besagt, dass die Summe von Kantenbedeckungszahl und
Kantenunabhängigkeitszahl eines Graphen identisch mit der Anzahl der Knoten des
Graphen ist, die einen positiven Knotengrad haben.
ωK (G) + ΩK (G) = |{v ∈ V | γ(v ) > 0}|
. . . in Graphen
Satz 7.7/365
Abschätzungen für Unabhängigkeitszahlen
7 Unabhängigkeit und Bedeckung
Graphentheorie
Sowohl die Kanten- als auch die Knotenunabhängigkeitszahl wird durch die Kantenbedeckungszahl nach oben abgeschätzt; die Kantenunabhängigkeitszahl wird außerdem
auch noch durch die Knotenbedeckungszahl nach oben abgeschätzt.
Die Knotenunabhängigkeitszahl eines durch eine Knotenteilmenge erzeugten Untergraphen wird von der Knotenunabhängigkeitszahl dieses Graphen nach oben abgeschätzt.
Die Kantenunabhängigkeitszahl eines durch eine Knotenteilmenge erzeugten Untergraphen wird von der Kantenunabhängigkeitszahl dieses Graphen nach oben abgeschätzt
Die Knotenunabhängigkeitszahl eines durch eine Kantenteilmenge erzeugten Untergraphen schätzt allerdings die Knotenunabhängigkeitszahl dieses Graphen nach oben
ab.
Die Kantenunabhängigkeitszahl eines durch eine Kantenteilmenge erzeugten Untergraphen wird von der Kantenunabhängigkeitszahl dieses Graphen nach oben abgeschätzt.
Schließlich ist noch die Kantenunabhängigkeitszahl eines Graphen identisch mit der
Knotenunabhängigkeitszahl seines Kantengraphen.
. . . in Graphen
Definition 7.8/367
• bipartite Graphen
• vollständig bipartite Graphen
7 Unabhängigkeit und Bedeckung
Graphentheorie
Ein Graph heißt genau dann bipartit, wenn es eine (disjunkte) Zerlegung seiner
Knotenmenge derart gibt, so dass die Randknoten einer jeden Kante stets aus beiden
Mengen der Zerlegung stammen.
Ein bipartiter Graph heißt genau dann vollständig bipartit, wenn jeder Knoten der
einen Teilmenge der Knotenzerlegung mit jedem Knoten der anderen Teilmenge der
Knotenzerlegung adjazent ist.
. . . in Graphen
Satz 7.9/369
Äquivalenzkriterium (Charakterisierung) für bipartite
Graphen
7 Unabhängigkeit und Bedeckung
Graphentheorie
Ein Graph ist genau dann pipartit, wenn er keinen Kreis ungerader Länge enthält.
. . . in Graphen
Definition 7.10/371
• innere Knoten und
• äußere Knoten
eines zusammenhängenden bipartiten Graph
7 Unabhängigkeit und Bedeckung
Graphentheorie
Enthält eine Teilmenge der Knotenzerlegung eines zusammenhängenden bipartiten
Graphen nur Knoten deren Knotengrad zwei ist, dann heißen die Knoten dieser Knotenteilmenge innere Knoten und die der anderen äußere Knoten.
. . . in Graphen
Satz 7.11/373
Zu Unabhängigkeits- und Bedeckungszahlen von
zusammenhängenden bipartiten Graphen deren
Knotenmenge in eine innere und äußere zerfällt, als
Baumcharakterisierung
7 Unabhängigkeit und Bedeckung
Graphentheorie
Wenn ein bipartiter zusammenhängender Graph dessen Knotenmengen in eine innere und äußere zerfallen ein Baum ist, dann lassen sich Knotenbedeckungszahl und
Kantenunabhängigkeitszahl mit der Anzahl der inneren Knoten identifizieren, ebenso
wie sich die Knotenunabhängigkeitszahl und die Kantenbedeckungszahl mit der Anzahl
der äußeren Knoten identifizieren lässt.
Ist dieser Graph kein Baum, dann lassen sich Knotenbedeckungszahl und Kantenbedeckungszahl mit der Anzahl der inneren Knoten identifizieren, sowie sich die Knotenunabhängigkeitszahl und Kantenbedeckungszahl mit der Anzahl der äußeren Knoten
identifizieren lässt.
. . . in Graphen
Korollar 7.12/375
Folgerungen für Bäume aus der vorhergehenden
Charakterisierung
7 Unabhängigkeit und Bedeckung
Graphentheorie
Bei einem bipartiten Baum dessen bipartite Knotenzerlegung in eine äußere und
innere Knotenmenge zerfällt ist die innere Knotenmenge, die einzige bedeckende Knotenmenge deren Mächtigkeit mit der Knotenbedeckungszahl übereinstimmt.
Die äußere Knotenmenge ist die einzige unabhängige Knotenmengen deren Mächtigkeit mit der Knotenunabhängigkeitszahl übereinstimmt.
Zu jeder Kante eines solchen Baumes gibt es eine bedeckende Kantenmenge, die diese Kante enthält und deren Mächtigkeit mit der Kantenbedeckungszahl übereinstimmt.
Zu jedem Knoten der äußeren Knotenmenge existiert genau eine unabhängige Kantenmenge, die den Knoten unbedeckt lässt und deren Mächtigkeit der Kantenunabhängigkeitszahl entspricht.
Die Knotenmenge einer baryzentrische Unterteilung eines zusammenhängenden Graphen lässt sich bipartit zerlegen in die Menge der Knoten und der Kanten des ursprünglichen Graphen; dabei erfüllt die Menge der Kanten die Anforderungen an eine innere
Knotenmenge.
. . . in Graphen
Definition 7.13/377
Barybaum
7 Unabhängigkeit und Bedeckung
Graphentheorie
Die letzte Folgerung der vorhergehenden Folgerungen motivieren eine eigenständige
Bezeichnung für bipartite Bäume deren bipartite Knotenzerlegung in eine innere und
äußere Knotenmenge zerfällt.
Ein bipartiter Baum dessen bipartite Knotenzerlegung in eine innere und äußere
Knotenmenge zerfällt heißt Barybaum.
. . . in Graphen
Definition 7.14/379
• Barybaum in G
• abtrennbar er Barybaum in einem Graphen G
7 Unabhängigkeit und Bedeckung
Graphentheorie
Gibt es in einem Graphen G einen Untergraphen, der eine Barybaum ist, heißt dieser
Untergraph Barybaum in G.
Ist jeder äußere Knoten eines Barybaumes in einem Graphen nur zu inneren Knoten
des Barybaumes adjazent, dann heißt dieser Barybaum in einem Graphen abtrennbar.
. . . in Graphen
Satz 7.15/381
Notwendige Kriterien für die Abtrennbarkeit eines
Barybaums in einem Graphen
7 Unabhängigkeit und Bedeckung
Graphentheorie
Setzt man voraus, dass es in einem zusammenhängendenn Graphen einen abtrennbaren Barybaum gibt. Dann ist die Knotenbedeckungszahl des Graphen identisch mit
der Summe der Knotenbedeckungszahl des Barybaumes und der Knotenbedeckungszahl
des Kographen des von der Knotenmenge des Barybaumes erzeugten Untergraphen.
Weiter ist die Knotenunabhängigkeitszahl identisch mit der Summe Knotenunabhängigkeitszahl des Baribaumes und der Knotenunabhängigkeitszahl des Kographen des
von der Knotenmenge des Barybaumes erzeugten Untergraphen.
Schließlich ist die Kantenunabhängigkeitszahl identisch mit der Summe der Kantenunabhängigkeitszahl des Baribaumes und der Kantenunabhängigkeitszahl des Kographen des von der Knotenmenge des Barybaumes erzeugten Untergraphen.
. . . in Graphen
Zusammenfassung 7.16/383
Definitionen und Sätze die im Satz von König
gipfeln.
7 Unabhängigkeit und Bedeckung
Graphentheorie
TODO
. . . in Graphen
Satz 7.17/385
Satz von König
7 Unabhängigkeit und Bedeckung
Graphentheorie
Für einen bipartiten Graphen gilt
• Die Knotenbedeckungszahl des Graphen ist identisch mit der Kantenunabhängigkeitszahl des Graphen.
• Die Knotenunabhängigkeitszahl des Graphen lässt sich mit der Summe der Kantenbedeckungszahl und der Anzahl von Knoten mit verschwindendem Knotengrad
des Graphen identifizieren.
• Die Anzahl der Knoten des Graphen mit positivem Knotengrad ist identisch mit
der Summe der Knoten- und Kantenbedeckungszahl des Graphen.
• Schließlich ist die Anzahl der Knoten des Graphen identisch mit der Summe von
Knoten- und Kantenunabhängigkeitszahl des Graphen.
. . . in Graphen
Satz 7.18/387
Satz von Hall
7 Unabhängigkeit und Bedeckung
Graphentheorie
Die Anzahl der Knoten eines bipartiten Graphen ist genau dann das Doppelte der
Kantenunabhängigkeitszahl des Graphen, wenn die Mächtigkeit zweier Mengen einer
bipartiten Zerlegung der Knotenmenge des Graphen übereinstimmt und für jede Teilmenge einer Teilmenge der Zerlegung gilt, dass ihre Mächtigkeit durch die Anzahl aller
zu dieser Teilmenge adjazenten Knoten nach oben abgeschätzt wird.
|V | = 2ΩK (G) ⇔ |V 0 | = |V 00 | ∧ ∀Ṽ ⊂ V 0 : |Ṽ | ≤ |A(Ṽ )|
Wobei V 0 und V 00 die bipartite Zerlegung des Graphen sind und A(Ṽ ) die Menge aller
Knoten ist, die zu wenigstens einem der Knoten aus Ṽ adjazent sind.
. . . in Graphen
Satz 7.19/389
Satz von Tutte (eine Verallgemeinerung des Satzes
von Hall)
7 Unabhängigkeit und Bedeckung
Graphentheorie
Die Anzahl der Knoten eines Graphen ist genau dann mit dem Doppelten der Kantenunabhängigkeitszahl des Graphen identisch, wenn für jede Teilmenge der Knotenmenge
des Graphen die Anzahl der Zusammenhangskomponenten mit ungerader Knotenanzahl
des Kographen des von dieser Teilmenge erzeugten Untergraphen höchstens der Mächtigkeit dieser Teilmenge entspricht.
G := (V, K, δ).
|V | = 2ΩK (G) ↔ ∀Ṽ ⊂ V : Z(G \ Ṽ [V \ Ṽ 6 |2]) ≤ |Ṽ |
Wobei Z(G \ Ṽ [V \ Ṽ 6 |2] die Zusammenhangskomponenten der Kographen G \ Ṽ mit
ungerader Knotenanzahl bezeichnet.
Anmerkung: Laut einer Bemerkung während des Studientages von Herrn Dr.
Müller würde der Algorithmus, der einen Graphen auf die Eigenschaft bipartit
prüft, auch schon einen Beweis für die Sätze von König und Tutte liefern.
Färbungen
Definition 8.1/391
• n-Knotenfärbung eines Graphen
• n-knotenfärbbar
• Knotenfarbklassen eines Graphen
• chromatische Knotenzahl eines Graphen
8 Färbung von Graphen
Graphentheorie
Eine surjektive Abbildung von den Knoten eines Graphen nach den ersten n natürlichen Zahlen heißt genau dann n-Knotenfärbung des Graphen, wenn zwei adjazente
Knoten unter der Abbildung stets verschiedene Bilder haben. Dabei repräsentieren die
n natürlichen Zahlen n verschiedene Farben.
Existiert eine n-Knotenfärbung eines Graphen, dann heißt der Graph n-knotenfärbbar.
Eine Knotenteilmenge die sich mit dem Urbild einer Farbzahl unter der Umkehrabbildung einer n-Knotenfärbung eines Graphen identifizieren lässt, heißt Knotenfarbklasse
dieses Graphen.
Die chromatische Knotenzahl eines Graphen ist die kleinste natürliche Zahl n für
die eine n-Knotenfärbung von G existiert. Formal wird die chromatische Knotenzahl
mit χV (G) = min{n ∈ N | G ist n-knotenfärbbar} bezeichnet.
Färbungen
Definition 8.2/393
• n-Kantenfärbung eines Graphen
• n-kantenfärbbar
• Kantenfarbklassen eines Graphen
• chromatische Kantenzahl eines Graphen
8 Färbung von Graphen
Graphentheorie
Eine surjektive Abbildung von den Kanten eines Graphen nach den ersten n natürlichen Zahlen heißt genau dann n-Kantenfärbung des Graphen, wenn zwei adjazente
Kanten unter der Abbildung stets verschiedene Bilder haben. Dabei repräsentieren die
n natürlichen Zahlen n verschiedene Farben.
Existiert eine n-Kantenfärbung eines Graphen, dann heißt der Graph n-kantenfärbbar.
Eine Kantenteilmenge die sich mit dem Urbild einer Farbzahl unter der Umkehrabbildung einer n-Kantenfärbung eines Graphen identifizieren lässt, heißt Knotenfarbklasse
dieses Graphen.
Die chromatische Kantenzahl eines Graphen ist die kleinste natürliche Zahl n für
die eine n-Kantenfärbung von G existiert. Formal wird die chromatische Kantenzahl
mit χV (G) = min{n ∈ N | G ist n-kantenfärbbar} bezeichnet.
Färbungen
Korollar 8.3/395
Unmittelbare Folgerungen für die chromatischen
Zahlen aus den Färbarkeitsbegriffen
8 Färbung von Graphen
Graphentheorie
Die chromatische Knotenzahl für einen Untergraphen eines Graphen wird durch die
chromatische Knotenzahl des Graphen nach oben abgeschätzt. Analoges gilt für die
chromatische Kantenzahl eines Untergraphen.
Die chromatische Knotenzahl eines Kantengraphen eines Graphen ist mit der chromatischen Kantenzahl des Graphen identisch
Färbungen
Satz 8.4/397
chromatische Knotenzahlen für spezielle Typen von
Graphen
8 Färbung von Graphen
Graphentheorie
Die chromatische Knotenzahl eines knotentrivialen Graphen mit nichtleerer Knotenmenge ist eins.
Die chromatische Knotenzahl eines bipartiten Graphen mit nichtleerer Kantenmenge
ist genau zwei.
Damit ergibt sich, dass die chromatische Knotenzahl größer als zwei ist, falls der
Graph nicht bipartit ist.
Für einen vollständigen Graphen benötigt man für eine Knotenfärbung genauso viele
Farbe wie Knoten; die chromatische Knotenzahl eines vollständigen Graphen lässt sich
also mit der Mächtigkeit der Knotenmenge des Graphen identifizieren.
Wie für einen bipartiten Graphen mit wenigstens einer Kanten werden auch für einen
Kreisgraphen der eine gerade Anzahl von Knoten hat nur zwei Farben benötigt.
Ein Kreisgraph mit einer ungeraden Anzahl von Knoten benötigt hingegen wenigstens drei Farben zur Färbung.
Färbungen
Satz 8.5/399
chromatische Kantenzahlen für spezielle Typen von
Graphen
8 Färbung von Graphen
Graphentheorie
Die chromatische Knotenzahl eines Kantentrivialen Graphen mit nichtleerer Kantenmenge ist eins.
Die chromatische Kantenzahl eines bipartiten Graphen, dessen Knoten höchstens
den Knotengrad zwei haben, ist genau zwei.
Damit ergibt sich, dass die chromatische Kantenzahl größer als zwei ist, falls der
Graph nicht bipartit ist oder er wenigstens einen Knoten enthält dessen Grad größer als
zwei ist.
Die chromatische Kantenzahl eines Graphen ist mit der Anzahl der Kanten identisch,
wenn es sich um den vollständigen Graphen mit drei Knoten handelt oder wenn es sich
um einen bipartiten Graphen handelt dessen pipartite Zerlegung der Knotenmenge eine
Knotenteilmenge mit einem Knoten und eine Knotenteilmenge mit den übrigen Knoten
ist.
Für einen Kreisgraphen der eine gerade Anzahl von Kanten hat werden ebenfalls
nur zwei Farben benötigt.
Ein Kreisgraph mit einer ungeraden Anzahl von Kanten benötigt hingegen wenigstens drei Farben zur Färbung.
Färbungen
Definition 8.6/401
• minimaler Knotengrad
• maximaler Knotengrad
eines Graphen
8 Färbung von Graphen
Graphentheorie
Der Knoten eines Graphen dessen Knotengrad der nicht größer ist als alle übrigen
Knotengrade der übrigen Knoten des Graphen bestimmt den minimalen Knotengrad,
der formal mit δ(G) = min{γ(v ) | v ∈ V } bezeichnet wird.
Der Knoten eines Graphen dessen Knotengrad wenigstens so groß ist wie alle übrigen
Knotengrade der übrigen Knoten des Graphen bestimmt den maximalen Knotengrad des
Graphen, der formal mit ∆(G) = max{γ(v ) | v ∈ V } bezeichnet wird.
Färbungen
Satz 8.7/403
Szekeres und Wilf über eine erste Abschätzung zur
chromatischen Knotenzahl
8 Färbung von Graphen
Graphentheorie
Die chromatische Knotenzahl eines Graphen G ist wenigstens so groß wie die Anzahl
der Knoten des vollständigen Subgraphen, der die meisten Knoten enthält.
Nach oben abgeschätzt wird die chromatische Knotenzahl durch den größten minimalen Knotengrad der durch eine Knotenteilmenge erzeugten Subgraphen plus eins.
Wobei dieser durch den um eins erhöhten maximalen Knotengrad nach oben begrenzt
ist.
v (G) ≤ χV (G) ≤ d(G) + 1 ≤ ∆(G) + 1
mit
v (G) = max{i |Gi ⊂ G}
und
d(G) = max{δ(G ∩ V 0 ) | V 0 ⊂ V }.
Färbungen
Satz 8.8/405
Satz von Vizing über eine erste Abschätzung
chromatischen Kantenzahl
8 Färbung von Graphen
Graphentheorie
Die chromatische Kantenzahl eines Graphen ist selbstredend so groß wie der maximale Knotengrad, denn so viele Kanten sind zueinander unmittelbar adjazend. Viel
mehr Farben werden allerdings auch nicht benötigt; maximal noch eine mehr als der
maximale Knotengrad des Graphen.
Färbungen
Satz 8.9/407
Satz über die chromatische Kantenzahl vollständiger
Graphen
8 Färbung von Graphen
Graphentheorie
Für einen vollständigen Graphen mit mehr als einem Knoten gilt für eine gerade
Anzahl von Knoten, dass die chromatische Kantenzahl mit dem maximalen Knotengrad
des Graphen identisch ist.
χK (Gm ) = ∆(Gm ) = m − 1 für m gerade
Für den Fall, dass die Anzahl der Knoten ungerade ist, ist die chromatische Kantenzahl eins größer als der maximal Knotengrad des Graphen.
χK (Gm ) = ∆(Gm ) + 1 = m für m gerade.
Färbungen
Definition 8.10/409
• Kontraktion in zwei Knoten eines Graphen
• Expansion in zwei Knoten eines Graphen
8 Färbung von Graphen
Graphentheorie
Bei der Kontraktion eines Graphen in zwei Knoten werden zwei nichtadjazente Knoten gewählt, die zu einem Knoten zusammengezogen werden wobei entstehende parallele Kanten verschwinden. Formal wird die Kontraktion eines Graphen G in zwei
nichtadjazenten Knoten v 0 und v 00 mit G/{v 0 , v 00 } = G ∗ bezeichnet.
Bei der Expansion eines Graphen in zwei Knoten werden zwei nichtadjazente Knoten
als Randknoten für ein neue Kante gewählt, die dem Graphen hinzugefügt wird. Formal
¯ 00 } = G ∗∗
wird die Expansion eines Graphen G in zwei Knoten v 0 und v 00 mit G + {v 0 ×v
bezeichnet.
Färbungen
Satz 8.11/411
Abschätzungen für die chromatischen Knotenzahlen
von kontrahierten und expandierten Knoten
8 Färbung von Graphen
Graphentheorie
Die chromatische Knotenzahl eines in zwei Knoten kontrahierten Graphen wird
nach unten durch die chromatische Knotenzahl des (nicht-kontrahierten) Graphen abgeschätzt und nach oben durch die um eins erhöhte chromatische Knotenzahl des Graphen.
Analoges gilt für die chromatische Knotenzahl des in den zwei Knoten expandierten
Graphen.
Schließlich ist die chromatische Knotenzahl eines Graphen identisch mit dem Minimum aus der chromatischen Knotenzahl des in zwei Knoten kontrahierten und expandierten Graphen.
Färbungen
Definition 8.12/413
Knotenfärbung aus x Farben
8 Färbung von Graphen
Graphentheorie
Eine (nicht notwendige surjektive) Abbildung von den Knoten eines Graphen G nach
den ersten x ∈ N positiven natürlichen Zahlen heißt genau dann Knotenfärbung des
Graphen aus x Farben, wenn alle adjazenten Knoten des Graphen verschiedene Bilder
unter der Abbildung haben. Mit Ψ(G, x) wird die Menge der Knotenfärbungen aus x
Farben bezeichnet und mit χG die Anzahlfunktion der Knotenfärbungen in Abhängigkeit
von der Anzahl der Farben.
Ψ(G, x) = {ψ | ψ : V → hxi ist Knotenfärbung von G aus x Farben}
χG : N → N, x 7→ |Ψ(G, x)|
Färbungen
Satz 8.13/415
Satz von Whitney
8 Färbung von Graphen
Graphentheorie
Whitney hat gezeigt, dass die Abbildungsvorschrift der Anzahlfunktion der Knotenfärbungen eines Graphen als Polynom darstellen lässt. Bezeichne m die Anzahl der
Knoten, n die Anzahl der Kanten und k die Anzahl der Zusammenhangskomponenten
des Graphen. Dann lässt sie die Abbildungsvorschrift von χG wie folgt formulieren:
χG (x) =
m−k
X
(−1)i ai x m−i
i=0
mit 0 < ai = ai (G) ∈ N ?? für 0 ≤ i ≤ m − k, wobei a0 = 1 und a1 = n ist.
Färbungen
Definition 8.14/417
chromatische Polynom eines Graphen
8 Färbung von Graphen
Graphentheorie
Durch den Satz von Whitney wird die Bezeichnung „Polynom“ für die Anzahl der
Knotenfärbungen von G gerechtfertigt, so dass man in Anlehnung zur chromatischen
Zahl die Anzahlfunktion der Knotenfärbungen chromatisches Polynom nennt. Dessen
Bild zu einer Anzahl von Farben die Anzahl von Knotenfärbungen des Graphen liefert.
Damit ist kleinste Anzahl von Farben, die unter dem chromatischen Polynom eines
Graphen nicht verschwindet, die Mindestanzahl von Farben um eine Knotenfärbung des
Graphen zu realisieren.
Färbungen
Lemma 8.15/419
Zurückführung des chromatischen Polynoms eines
Graphen auf das chromatische Polynom der
Kontraktion und Expansion des Graphen.
8 Färbung von Graphen
Graphentheorie
Zerlegt man die Menge der Knotenfärbungen eines Graphen G aus x Farben in
zwei disjunkte Mengen. Wobei eine der Mengen alle Knotenfärbungen sind, in denen
zwei nichtadjazenten Knoten v , v 0 des Graphen die selbe Farbe haben. Die andere
Menge besteht dann aus den Knotenfärbungen in denen diese nichtadjazenten Knoten
verschiedene Farben haben. Dann ist die erste Färbungsmenge der Zerlegung isomorph
zur Menge der Färbungen der Kontraktion des Graphen in gewählten nichtadjazenten
Knoten. Die zweite Menge ist isomorph zu den Färbungen der Expansion des Graphen in
den beiden Knoten. Daraus Folgt dann, dass die Summe der chromatischen Polynome
der Kontraktion und Expansion des Graphen in den beiden Knoten das chromatische
Polynom des Graphen ist.
Ψ(G, x) = Ψ1 (G, x) = {ψ ∈ Ψ(G, x) | ψ(v ) = ψ(v 0 )}
∪˙ Ψ2 (G, x) = {ψ ∈ Ψ(G, x) | ψ(v ) 6= ψ(v 0 )}
⇒ Ψ1 (G, x) ∼
= Ψ(G/{v , v 0 }, x)
und
¯ 0 ), x)
Ψ2 (G, x) ∼
= Ψ(G + (v ×v
⇒ χG = χG/{v ,v 0 } + χG+(v ×v
¯ 0)
Färbungen
Beispiel 8.16/421
Chromatische Polynome
8 Färbung von Graphen
Graphentheorie
Gn : χG : N −→ N, χG (x) =
n−1
Y
(x − i ).
i=0