23 Induktion
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Induktion 1. Induktion Phänomenologie 2. Induktion in einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld: i. Induktionsgesetz ii. Lenzsche Regel iii. Wirbelströme 3. Induktivität einer Leiteranordnung: i. Gegeninduktivität ii. Selbstinduktivität iii. Schalten von Strömen bei Induktivitäten 4. Anwendungen 5. Maxwellscher Verschiebungsstrom Induktion Grundversuche Ausschlag hängt ab: Geschwindigkeit der Änderung Stärke des Magnetfeldes Anzahl der Windungen Vorzeichen bzw. Richtung der Änderung 1 Induktion mit Elektromagneten Zeitlich konstantes Magnetfeld Spule von Gleichstrom durchflossen U U (t ) Spannung wird in zweiter Spule induziert, wenn: Spule bewegt wird Spule gedreht wird Magnetfeld ein bzw. aus geschalten wird Was wird induziert Strom oder Spannung? Erzeugt der Induktionsvorgang einen a) Stromstoß Q = ∫ I dt b) Spannungsstoß Φ = ∫ U dt Falls a) Strom unabhängig von Widerstand R Uind A R b) Strom abhängig von Widerstand R Es trifft b zu ⇒ Spannung wird induziert 2 Magnetischer Fluss Φ Magnetischer Fluss Φ ist ein Maß für die Anzahl der Feldlinien, die eine Fläche A durchsetzen B A Φ: = ∫ B d A A [Φ] = [A] [B] = m2 Vs/m2 = Vs = Wb (Weber) In einem homogenen Magnetfeld gilt A B rr Φ = BA Φ = BA cos( B A) = Bn A Steht das Magnetfeld nicht senkrecht auf die Fläche A, spielt für den Betrag des Flusses nur die Normalkomponente von B eine Rolle Faradaysches Induktionsgesetz Ein Magnetfeld induziert in einer Leiterschleife eine Spannung Uind, wenn 1. das von der Leiterschleife umschlossene Magnetfeld B sich verändert, 2. die Fläche A der Leiterschleife, die von dem Magnetfeld durchsetzt wird, sich verändert. Faraday'sches Induktionsgesetz: Die in einer Leiterschleife induzierte Spannung Uind ist gleich der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Leiterschleife . U ind dΦ = −N dt M. Farady 1791-1867 N Anzahl der Leiterschleifen bzw. Windungszahl der Spule 3 Wie macht man Flussänderung? 1. Flussänderung durch Änderung des Magnetfeldes i) Änderung eines Spulenstromes ii) Änderung von Abstand oder Orientierung eines zeitlich konstanten Magnetfeldes 2. Flussänderung durch Änderung der Fläche Leiterschleife bzw. Spule mit Fläche A in homogenen Magnetfeld B gedreht 2 L 1 jϕ r v Φ = ∫ B ⋅ dA = B ⋅ A ⋅ cos ϕ U ind = − dΦ = +B ⋅ A ⋅ ω sin ωt dt r B 3 ϕ = ωt r 4 ω Induktionsspannung durch Bewegung ,w =0 eil st kon = B Induzierte Spannung Uind = - dΦ/dt= - (B dA/dt + A dB/dt) Leiter bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit in x-Richtung ⇒ Fläche A ändert sich A1 = ℓ x → A2 = ℓ (x + dx) mit dx = vx dt und N Windungen Uind = -N B dA/dt = -N B ℓ vx In Leiter wird Spannung induziert, auch wenn er sich mit konstanter Geschwindigkeit im Magnetfeld bewegt 4 Bewegter Leiter im Magnetfeld Gerader Leiter wird im Magnetgeld bewegt: Lorentzkraft auf Elektronen Ladungstrennung Elektrisches Feld Kräftegleichgewicht elektrische Kraft = Lorentzkraft Uind qE = qvB E = vB U E ∝ = vB l U ind = l v B Fmagn Das heißt: ein bewegter Beobachter (Elektron) sieht beim Flug durch ein Magnetfeld ein elektrisches Feld. Aber der ruhende Beobachter im Labor nicht! Ein zeitlich veränderliches B-Feld ist umgeben von einem elektrischen Wirbelfeld Wirbelfeld Elektrostatik Induktion - + ds E Feldlinien gehen von + nach Quellenfeld Integral längs geschlossenen Weges r r ∫ Ed s = 0 Uind Potenzial: keine Arbeit wenn geschlossene Kurve, Potenzialdifferenz U = 0 wegen (W=eU) E Magnet v Feldlinien sind geschlossen: Wirbelfeld Integral längs geschlossenen Weges r r dΦ E ∫ ds = Uind = −N dt ≠ 0 Potenzial keine richtige Beschreibung mehr Potenzialdifferenz ≠ 0 nach vollständigem Umlauf 5 Wirbelfeld E A Magnet v A Strom fließt wenn: Stromkreis geschlossen Spannungsquelle vorhanden Strom fließt wenn: Stromkreis geschlossen Stromkreis von zeitlich veränderlichem Fluss Φ durchsetzt wird „keine Spannungsquelle“ notwendig Differenzielles Induktionsgesetz dΦ Einsetzen der Definitionen dt r r d r r = − E d s Bd A ∫ dt ∫ Stokescher Integralsatz r r r r d = − rot E d A B d A ∫ dt ∫ r r dB Gilt immer rotE = − dt U ind = − r rotE = 0 Gilt nur in der Elektrostatik 6 Elektrisches Wirbelfeld Das elektrische Feld, das Uind erzeugt existiert unabhängig von der Leiterschleife! r E r B (t ) r E dΦ >0 dt r B (t ) dΦ <0 dt Ein zeitlich veränderliches B-Feld ist umgeben von einem elektrischen Wirbelfeld r B (t ) Lenzsche Regel Leiterschleife Fläche A Änderung des Flusses Φ(t) = B(t) A Spannung wird induziert: Uind = -dΦ/dt Strom fließt in Leiterschleife Iind= Uind/R Induziertes Magnetfeld Bind durch Iind erzeugt Heinrich Friedrich Emil Lenz ( 1804-1865 ) Induzierter Strom Iind Der in einer Schleife induzierte Strom erzeugt selbst einen magnetischen Fluss, der so gerichtet ist, dass er der Änderung des ursprünglichen Flusses entgegenwirkt: Lenz‘sche Regel 7 Thomsonscher Ring Magnetfeld ein Spannung in Ring induziert Stromrichtung entsprechend Lenzscher Regel Bspule Strom im Ring I = Uind /R Alu Ring Strom in Spule Spule Gegensinnig fließende Ströme stoßen einander ab Geschlitzter Ring: kein Strom Ring wird nicht beschleunigt Waltenhofen‘sches Pendel Kupferplatte geschlitzt Kupferplatte Kupferplatte Adalbert von Waltenhofen ( 1828 - 1914 ) Massive Kupferplatte Magnetfeld ein: starke Bremswirkung Geschlitzte Kupferplatte, Magnetfeld ein: schwache Bremswirkung 8 Waltenhofensches Pendel Modell für Bremswirkung Ring tritt in Magnetfeld mit v ein ⇒ Kraft auf Ladungsträger Bewegung mit v ⇒ Stromfluss I (techn. Stromrichtung) ⇒ Kraft F* auf stromdurchflossenen Leiter F* = L I B entgegen der Bewegungsrichtung ⇒ Bremswirkung Wirbelstrombremse Ring ganz im Magnetfeld: keine Kraftwirkung Ring verlässt Magnetfeld mit v bremsende Wirkung (siehe oben) Waltenhofensches Pendel Beim Eintauchen der Platte in Magnetfeld bilden sich Wirbelströme Bremswirkung durch Wirbelstrom Schlitze verhindern Ausbildung von Wirbelstrom schwache (keine) Bremswirkung Wirbelströme: Verschleissfreie Bremse (ICE) Verluste (Stromwärme) in Transformatoren (Lamellierung) 9 Induktivität einer Leiteranordnung Leiterschleife 1 Leiterschleife 2 U2 = Uind I1(t) U1(t) Experiment: In Leiterschleife 1 fließt ein zeitlich veränderlicher Strom Zeitlich veränderliches Magnetfeld induziert Spannung in Schleife 2 Wie groß ist die induzierte Spannung U2? Induktivität Spule 1 erzeugt ein Magnetfeld mit der Flussdichte B1: B1(t ) ∝ I1 (t ) Magnetfeld erzeugt in Spule 2 einen Fluss Φ2(t) Es fehlt genaue Kenntnis über die Überlappung, aber es gilt Φ2 proportional zu I1 : Φ2 = L12 I1 L12 Gegeninduktivität Maß für die Felddurchsetzung von Spule 2 [L] = Vs/A = 1 H (= 1 Henry) Ändert sich Strom in Spule 1, ändert sich Φ in Spule 2 und es wird dort eine Spannung induziert: d Φ 2 (t ) U 2 ( t ) = −N 2 dt d I1(t ) dt Induzierte Spannung U2 proportional zu Änderung von Strom I1 Einfach messbare Größen, Information über Geometrie usw stecken in L12 U 2 (t ) = −L12 10 Berechnung der Gegeninduktivität s1 Schleife 1 dF r12 ds1 Schleife 2 I1 s2 r1 r2 Strom in Schleife 1 verursacht Magnetfeld bzw. Vektorpotenzial A an Stelle r2 (Berechnung mit Biot-Savart) r v µ I ds A(r 2 ) = 0 1 ∫ 1 4π s1 r12 Magnetfeld führt zu Fluss Φ m = ∫ BdF = ∫ rot (A )dF = ∫ Ads2 F F s2 r r µ0I1 ds2ds1 Φm = = L12I1 4π s∫1 s∫2 r12 r r ds ds L12 = L21 = ∫ ∫ 2 1 r12 s1 s2 Selbstinduktion Was passiert wenn sich der Strom in einer Spule ändert? I(t) Uind(t) Es ändert sich das Magnetfeld und somit auch der Fluss Flussänderung bedeutet induzierte Spannung Uind Wie hängen Uind(t) und I(t) zusammen? 11 Selbstinduktion Ändert sich Φ, so wird in einer Spule eine Spannung induziert U ind = − N dΦ dt Φ = LI U ind = − L Fluss proportional zu Strom L Selbstinduktionskoeffizient dI dt Die Selbstinduktivität (oder Induktivität) L bewirkt infolge der Lenz‘schen Regel eine Hemmung der Veränderung des Stromes (Der Strom durch eine Spule ist stetig, er springt nicht) [L] = Vs/A = 1Ωs =1 H (= 1 Henry) Schaltzeichen von Spulen Induktivitäten Mechanisches Analogon Geschwindigkeit v Masse m S Kraft F U0 L I m Masse F Kraft v Geschwindigkeit F = m dv/dt L Induktivität U Potenzialdifferenz I Strom U = L dI/dt mv Impuls ½ mv2 kinetische Energie LI Impuls (??) ½ LI2 Energie (???) 12 Induktivität einer Zylinderspule Länge l Windungszahl N Querschnittsfläche A Strom I I B = µ0N l ⇒ Φ = BA L proportional zu Gesamtfluss Ψ Alle N Windungen werden von Φ durchsetzt ⇒ Ψ = NΦ L= Ψ NΦ µ0N 2 A = = I I l Induktivität einer Spule Selbstinduktivität einer Doppelleitung d I1 2r0 I2 l Zwei parallele Leiter Hin- und Rückleitung Ströme gleich groß und antiparallel Wie groß ist L? 1. Berechnung des Magnetfeldes außerhalb und innerhalb des Drahtes aufgrund der beiden Ströme 2. Magnetischer Fluss durch Doppelleitung durch Fläche l 2r0 (Beiträge B von anderen Draht, B im Draht B außerhalb Draht) 3. L = Fluss durch Strom L= d − r0 ⎞ µ0 l ⎛ 1 ⎜⎜ + ln ⎟ r0 ⎟⎠ π ⎝2 Wann ist Induktivität minimal? Lösung d = 2 r0 Lmin = L(d = 2r0 ) = µ0l 2π 13 Strom-Spannungsverlauf bei L Maschenregel : U 0 = −U ind = L S U0 L Uind ⇒ I (t ) = t2 1 Udt L t∫1 0 < t < t 1 : U = U 0 ⇒ I (t ) = I Spannung U0 t = 0 angelegt t = t1: Spannung abgeklemmt dI dt t 1 < t : I (t ) = U0 t L U0 t 1 = konst . L ? I(t) U0(t) t 0 t1 Induktivität setzt sich Stromänderung entgegen Einschalten einer Induktivität Einschalten + RG1 Schalter geschlossen: Welche Glühlampe leuchtet bzw. wie ist die zeitliche Reihenfolge? R 10 Ohm RG2 1000 Wdg Induktivität 36 mH L = 36mH 14 Einschalten einer Induktivität t < 0 Schalter offen Stromkreis offen kein Strom fließt t= 0 Schalter geschlossen 1. Masche Ohmscher Widerstand IR = U0 / (R+RG1) Strom fließt sofort ⇒ Glühlampe leuchtet I/I0 IR 1 I L = I 0 (1 − exp(− t / τ )) 0.63 0 0 2. Masche U0 = IL RG2 - Uind = IL RG2 + L dIL/dt Lösung der DG IL(t) = I0 (1 - exp(-t/τ)) mit I0 = U0/RG2 und τ = L/R ⇒ Strom steigt langsam Glühlampe beginnt verzögert zu leuchten 1 2 3 t/τ Ausschalten einer Induktivität Ausschalten Spannung ein Glühlampen leuchten + U0 I R = RG1 + RG2 Spannung aus Glühlampen leuchten zuerst heller und dann noch eine gewisse Zeit nach L 1000 Wdg 36 mH 15 Ausschalten einer Induktivität t<0 eingeschwungener Zustand Strom durch Glühlampen I = U0/R Strom springt? I0 t= 0 Schalter wird geöffnet I(t<0) = U0/R Maschenregel für t>0 0 = I R - Uind = I R + L dI/dt Ansatz I = I0 exp(- t/τ) mit τ = L/R Nach Öffnen des Schalters Lampen leuchten heller ⇒ kurzfristig muss ein höherer Strom fließen d.h. I0 ≠ I(t<0) Stromüberhöhung hängt von genauem Verlauf des Schaltvorgangs ab Energie des magnetischen Feldes Wieviel Energie wird im Magnetfeld gespeichert? Ausschalten der Induktivität: Strom fließt weiter, obwohl Spannungsquelle abgetrennt Energie die im Verbraucher (Glühlampen) umgesetzt wird muss aus Magnetfeld kommen ∞ ∞ 0 0 Wmagn = ∫ IUdt = ∫ I 2R dt ∞ 1 Wmagn = ∫ I02 exp( −2t / τ )R dt = I02L 2 0 Die im Magnetfeld gespeicherte Energie = 1/2 L I2 wobei I ein stationär fließender Strom ist 16 Energiedichte Magnetfeld ∞ Wmagn = ∫ I 2 (t )R dt = 0 1 2 L I0 2 Energiedichte wmagn = Energie pro Volumen w magn W 1 B2 = magn = 2 µ0 V Vergleich E-Feld 1 Wel = CU 2 2 1 w el = ε 0E 2 2 2 ⎛N ⎞ L = µ0 ⎜ ⎟ V ⎝l⎠ ⎛N ⎞ B = µ0 ⎜ ⎟I ⎝l⎠ Typische Werte Wm 400J ≈ Vol 0.1l Wel 10 −3 J ≈ elektrosta t. Energie Vol 0.1l Wchem 10 5 J ≈ chemische Energie Vol 0.1l magn. Energie 17
