Satz des Pythagoras - Luitpold

Der Satz des Pythagoras
Das rechtwinklige Dreieck
Jedes rechtwinklige Dreieck besitzt eine Hypotenuse (c), das ist die längste Seite des
Dreiecks (bzw. diejenige gegenüber dem rechten Winkel). Die anderen beiden Seiten
heißen Katheten (a, b).
Abb. 1
Jeder Winkel besitzt eine An- und eine Gegenkathete. Die Ankathete ist diejenige Seite,
die direkt am Winkel anliegt. Die dem betreffenden Winkel gegenüberliegende Seite
heißt Gegenkathete.
Die Ankathete vom Winkel α ist b. Sie ist gleichzeitig die Gegenkathete von β.
Die Gegenkathete von α ist a. Sie ist gleichzeitig die Ankathete von β.
Umgekehrt gilt das ebenso.
Der Satz des Pythagoras
Das Seitenverhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ist im Satz des
Pythagoras beschrieben:
a2 + b 2 = c2
Er lässt sich mithilfe von Umformungen nach den verschiedenen Seiten auflösen, um
deren Länge zu berechnen:
c = √ a 2 + b2
a = √ c 2− b 2
b = √ c 2− a 2
Der Satz des Pythagoras gilt unabhängig von den Bezeichnungen der Seiten. Die
Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks kann auch anders genannt werden, zum
Beispiel z oder a.
Grundsätzlich gilt:
Quadrat der Hypotenuse = Summe aus den Quadraten der Katheten
Hierbei sind einfach die Bezeichnungen in den Aufgaben zu beachten und einzusetzen.
1
Höhen- und Kathetensatz
Hier wird die Hypotenuse c in die Teilstücke p und q unterteilt.
Unabhängig von den Bezeichnungen einer Grafik ist p dasjenige Stück, das an die
Kathete a angrenzt. Umgekehrt ist q der Teil von der Hypotenuse c, das direkt an b
anliegt.
Abb. 2
Höhensatz:
h2 = p⋅q
2
2
Kathetensatz: a =c⋅ p bzw . b =c ⋅q
Für b gilt das gleiche.
Die beiden entstandenen Flächen sind jeweils gleich groß.
2
Diagonale im Rechteck
Auch die Diagonale eines Rechtecks lässt sich über den Satz des Pythagoras
bestimmen:
l
d
b
b
l
Das Rechteck lässt sich in zwei deckungsgleiche rechtwinklige Dreiecke mit der
Hypotenuse d teilen. Will man nun die Diagonale d berechnen, kann man den Satz des
Pythagoras aufstellen und nach d auflösen:
d = √l + b
2
2
Soll man in einem Quadrat die Diagonale berechnen, sind l und b gleich. l = b = a
Damit sieht die Formel dann so aus: d = √ a 2 + a 2 = √ 2⋅ a2 = a⋅√ 2
3
Beispielaufgaben
Satz des Pythagoras
Seitenlänge
a
b
a) 3cm
4cm
b) 6m
c)
d)
c
10m
8dm
√ 3 mm
20dm
5mm
a) a = 3cm; b = 4cm
2
2
2
Der Satz des Pythagoras lautet a + b =c . a und b sind gegeben, also muss nur nach
c aufgelöst werden, indem man die Quadratwurzel zieht:
2
2
2
2
c = √ a +b = √ 3 + 4 = √ 25 = 5
=> c = 5cm
b) a = 6m; c = 10m
a und c sind gegeben. Der Satz muss also nach b aufgelöst werden:
2
2
2
2
b = √ c −a = √ 10 −6 = √ 64 = 8
=> b = 8m
c) b = 8dm; c = 20dm
b und c sind gegeben. Der Satz muss also nach a aufgelöst werden:
2
2
2
2
a = √ c −b = √ 20 −8 = √ 336 ≈ 18,3
=> a ≈ 18,3dm
d) a = √ 3 mm ; c = 5mm
a und c sind gegeben. Also dieselbe Vorgehensweise wie in b). Dass a als Wurzel
angegeben ist, ist unerheblich, da die Wurzel quadriert wird und damit verschwindet.
√
b = √ c −a = 5 −( √ 3) = √ 25−3 ≈ 4,6 => b ≈ 4,6mm
2
2
2
2
Seitenlänge
a
b
c
a) 3cm
4cm
5cm
b) 6m
8m
10m
c) 18,3dm
8dm
20dm
4,6mm
5mm
d)
√ 3 mm
4
Beispielaufgaben
Satz des Pythagoras und Flächensätze kombiniert
Seitenlänge a
b
c
a)
b)
p
q
4cm
9cm
7m
h
A
3m
a) p = 4cm; q = 9cm
2
Beide Variablen sind in h = p⋅ q enthalten
2
2
=> h = p⋅q muss nach h aufgelöst werden: h =p⋅ q ∣√
h = √ p ⋅q = √ 4 ⋅9 = √ 36 = 6
=> h = 6cm
2
2
2
In Dreieck ∆ ALC gilt: b =h +q => b = √ h2 + q2= √ 36 + 81 ≈ 10,8 => b = 10,8cm
2
2
2
2
2
In Dreieck ∆ LBC gilt: a =h + p => a = √ h + p = √ 36 + 16 ≈ 7,2 => a = 7,2cm
Nach dem Satz des Pythagoras gilt: c = √ a2 + b2 = √ 18 ≈ 4,2
=> c = 4,2cm
Der Flächeninhalt A kann auf zwei Wegen berechnet werden:
1
1
A ∆ = ⋅ h⋅c oder A ∆ = ⋅ a⋅ b
2
2
Je nachdem, welche Größen gegeben sind, sollte man die Formel wählen.
1
Grundsätzlich gilt: Flächeninhalt des Dreiecks =
⋅ Grundlinie ⋅ Höhe
2
Je nachdem, wie man das Dreieck dreht, sind Höhe und Grundlinie andere Seiten.
Sind alle nötigen Größen für beide Formeln gegeben, hat man freie Wahl.
2
A = 0,5⋅ h⋅c = 3 cm ⋅4,2 cm = 12,6 cm
b) c = 7m; q = 3m
Seite c setzt sich aus p und q zusammen:
c = p + q → p = c − q = 7 m − 3m = 4 m
=> p = 4m
2
p und q sind im Höhensatz enthalten: h =p⋅ q => h = √ p ⋅q = √ 4 ⋅3 ≈ 3,5
=> h = 3,5m
a und b können wie in a) berechnet werden. => a = 5,3m; b = 4,6m
A kann wie oben berechnet werden..
=> A = 12,25cm2
Seitenlänge a
b
c
p
q
h
A
a) 7,2cm
10,8cm
4,2cm
4cm
9cm
6cm
12,6cm2
b) 5,3m
4,6m
7m
4m
3m
3,5m
12,25m2
5
Beispielaufgaben aus dem BMT 10
BMT 10, 2009:
Aufgabe 7
2
2
2
a) Es gilt 6 = (√ 11) + 5 . Verwenden Sie diese Gleichung, um mit Hilfe des Satzes von
Pythagoras eine Strecke der Länge √ 11 cm zu konstruieren. Markieren Sie diese Strecke in der
Zeichnung.
2
2
2
Der Satz des Pythagoras lautet: c = a + b
2
2
2
Hier ist er so formuliert:
6 = (√ 11) + 5
c entspricht also 6cm, a entspricht √ 11 cm, b entspricht 5cm.
Will man ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren, benötigt man einen Thaleskreis, der
c
eine Halbkreis um die Mitte der Hypotenuse c mit dem Radius ist:
2
c
Jeder Punkt, den man nun auf dem Thaleskreis setzt und mit den Punkten A und B
verbindet, erzeugt nun ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 6cm.
Es wird nach der Seitenlänge √ 11 cm, also nach a, gesucht. Schlägt man nun einen
Kreisbogen um A mit dem Radius b = 5cm, erhält man am Schnittpunkt mit dem
Thaleskreis den Punkt C. Die Strecke BC ist dann a = √ 11 cm. Sie ist in der Zeichnung
unten rot markiert.
6
b) Vereinfachen Sie den Term (n+1)2 − n2 und beschreiben Sie, wie sich damit jede Strecke,
deren Längenmaßzahl die Wurzel aus einer ungeraden Zahl größer 1 ist, mit Hilfe des Satzes
von Pythagoras konstruieren lässt.
Die Vereinfachung des Terms lautet:
2
2
2
2
2
(n+1) − n = (n+1)⋅(n+1) − n = n + 2⋅ n + 1 − n = 2n + 1
(=> der Wert des Terms ist immer eine ungerade Zahl)
2
2
2
Der Satz des Pythagoras lautet c = a + b . Das passt jedoch nicht zum angegebenen
2
2
Term (n+1) − n .
Der Satz des Pythagoras lässt sich so umformen, dass es ein Minuszeichen gibt:
2
2
a=√ c −b .
Dann entspricht (n+1) der Hypotenuse c und n entspricht der Kathete b.
Wenn man die Länge c und die Länge b weiß, kann man die Länge a genau wie in
2
2
Aufgabe a) konstruieren. Ihre Länge ist √(n+1) − n .
BMT 10, 2010:
Aufgabe 5
b) Zeigen Sie:
1
Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge a hat die Länge h = ⋅ √ 3 ⋅a
2
a
a
Um die Höhe mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen zu können, braucht man
zunächst ein rechtwinkliges Dreieck. In der Abbildung ist die gesuchte Höhe in rot
eingetragen. Sie teilt das gleichseitige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Die
Dreiecke ∆ALC und ∆LBC. Sie sind identisch.
Die Hypotenuse der Dreiecke ist a, die Katheten sind h und weil h die Mittelsenkrechte
a
von a ist, ist die zweite Kathete .
2
2
a
2
2
Stellt man hier den Satz des Pythagoras auf, lautet er: a = h + ( )
2
2
a
Nach h aufgelöst: h2 = a2 − ( ) .
2
2
a
1 2
3 2
2
2
Zieht man hier die Wurzel, lautet der Term: h = a − ( ) = a − ⋅a =
⋅a
2
4
4
√
√
√
7
Man kann hier teilweise radizieren:
=>
h=
1
⋅ √ 3 ⋅a ist korrekt.
2
√
√
3 2
3
1
⋅ a = 2 ⋅ a2 = ⋅√ 3⋅a
4
2
2
BMT 10, 2011
Aufgabe 4
Die Abbildung zeigt eine Pyramide der Höhe h. Die quadratische Grundfläche hat die
Seitenlänge a, jedes Seitendreieck die Höhe m.
a) Ergänzen Sie die Gleichung h = _________________ durch einen Term, mit dem h aus a und
m berechnet werden kann.
h und m schließen mit der Hälfte der Seite a ein
rechtwinkliges Dreieck ein. m ist hierbei die
1
Hypotenuse, h und ⋅ a .
2
Der Satz des Pythagoras lautet dann:
2
1
2
2
m = h + ( ⋅a)
2
Diesen kann man nach h auflösen:
√
2
1
h = m − ( ⋅a)
2
2
8