SLE Spezifische Ladung eines Elektrons

SLE
Spezifische Ladung eines Elektrons
1 Ziel des Versuches:
Wir bestimmen die spezifische Ladung eines Elektrons e/m (e: Ladung, m: Masse des
Elektrons) durch messen des Radius eines kreisförmigen Elektronenstrahls in einem
nahezu homogenen Magnetfeld.
2 Physikalische Grundlagen:
2.1 Bewegung einer Ladung in einem Magnetfeld
Ein Magnetfeld wird durch die magnetische Feldstärke H beschrieben. H ist ein Vektor. Bei
unserem Versuch beschreiben wir das magnetische Feld durch die Induktionsflussdichte
B:
B = µ0 µr H
µ0 ist die absolute und µr ist die relative Permeabilität. Der Wert von µ0 beträgt 1.256 E-6
(V s)/(A m). µr ist materialabhängig und dimensionslos. Im Gegensatz zu elektrischen
Feldlinien, die auf elektrischen Ladungen beginnen bzw. enden, sind magnetische
Feldlinien immer in sich geschlossen.
Bewegt sich ein Elektron der Ladung e mit der Geschwindigkeit v in einem Magnetfeld B,
so wirkt auf diese Ladung die Lorentz-Kraft FL :
v
FL
FL = e v x B
B
Abb.1
Diese Kraft wirkt immer senkrecht zur Richtung der Geschwindigkeit und immer senkrecht
zur Richtung des B-Feldes (Abb.1). Sorgt man einerseits dafür, dass die Richtung der
Anfangsgeschwindigkeit auch senkrecht zum B-Feld ist und andererseits dafür, dass sich
die Bahn der Ladung immer in einem homogenen Magnetfeld befindet, so ändert die
Lorentz-Kraft kontinuierlich die Richtung der Geschwindigkeit v. Die Ladung bewegt sich
somit auf einer Kreisbahn. Die Lorentz-Kraft zeigt immer in Richtung der Kreismitte und
wirkt somit als Zentripetalkraft (Abb.2).
1
v
FL
Die Vektoren des B-Feldes zeigen senkrecht
aus der Papierebene heraus
(grüne Kreise mit Punkt).
FL
v
Abb.2
Die Zentripetalkraft wird kompensiert durch die Zentrifugalkraft FZ :
FZ = m a = m dv/dt
m: Masse des Elektrons, a: seine Beschleunigung, t: Zeit
Die Geschwindigkeit v ist gegeben durch den Betrag v, der hier konstant ist, und durch die
Richtung, die hier durch den Einheitsvektor u repräsentiert wird:
v=v*u
Zeitlich ändert sich nur die Richtung u (Abb.3):
dα
dv/dt = v du/dt = v dα/dt
v1= v * u1
v2= v * u2
Fz= m v ω
Dabei ist ω= dα/dt die Winkelgeschwindigkeit.
Abb.3
Mit v= ω r (siehe Kinematik, Kreisbewegung) wird:
FZ = m v ω =m v2 / r
Aus FL = FZ folgt:
e v B =m v2 / r
(1)
2
2.2 Bewegung einer Ladung in einem elektrischen Feld
Ein elektrisches Feld wird beschrieben durch die Feldstärke E. In einem elektrischen Feld
wirkt auf ein Elektron mit der Ladung e die Kraft FE:
FE = e E
Wenn ein Elektron im Feld E die Wegstrecke s durchlaufen hat, so ist seine potentielle
Energie WE:
WE = s FE = e s E = e U
U=s E: elektrische Spannung
Die im E-Feld aufgenommene Energie WE wird in kinetische Energie Wk umgewandelt:
Wk = ½ m v2
Aus WE = Wk folgt somit:
e U = ½ m v2
(2)
In unserem Versuch werden Elektronen zwischen Kathode (negatives Potential) und
Anode (positives Potential) auf die Geschwindigkeit v beschleunigt (Abb.4). Zwischen
Anode und Kathode (Abstand s) liegt die Beschleunigungsspannung UB. Die Elektronen
bewegen sich also im elektrischen Feld E=UB /s. Damit die Elektronen das
Kathodenmaterial verlassen können, wird dieses erwärmt (Heizspannung).
s
e
UB
Kathode
Anode
Abb.4
3
2.3 Gleichung für e/m:
Aus Gleichung (1) folgt:
v = e r B /m
bzw. v2 = ( e r B /m )2
v2 = 2 e UB /m
Aus Gleichung (2) folgt:
( e r B /m )2 = 2 e UB /m
Gleichsetzen liefert:
e/m = ( 2 UB ) / ( r2 B2 )
Für e/m folgt:
(3)
Nach dieser Formel werten wir unseren Versuch aus.
2.4 Die Helmholtz Spule:
Eine der vier Maxwell Gleichungen besagt, dass elektrische Ströme ein B-Feld erzeugen
(Ampere`sches Gesetzt). Wie oben erwähnt sind magnetische Feldlinien immer in sich
geschlossen. Sie haben keinen Anfang und kein Ende. Die B-Felder sind „quellenfrei“.
Für die einfache Geometrie einer kreisförmigen Leiterschleife (Abb. 5) haben Biot und
Savart eine Formel gefunden, mit der das B-Feld entlang der Zentralachse z der
Leiterschleife mit dem Radius R berechnet werden kann. Die z-Achse sei senkrecht zu der
Ebene, in der sich die Leiterschleife befindet. Außerdem gehe die z-Achse durch den
Mittelpunkt der Leiterschleife. Hier ist z=0. Durch die Leiterschleife fließt der elektrischen
Strom I. An dem Punkt auf der z-Achse, der den Abstand a vom Schleifenmittelpunkt hat,
beträgt das B-Feld:
Leiterschleife
I
B = µ0 / 2 I
R2
a2 + R2
3
(4)
a
R
z
Abb.5
Das B-Feld wird in T (Tesla) oder G (Gauß) gemessen:
1G = 1.e-4 T
1T = 1 V s / m²
Wenn wir nicht nur eine Leiterschleife haben, sondern N Leiterschleifen, dann erhöht sich
der Wert von B um den Faktor N. Dabei sollte die resultierende Spule aber „schmal“
bleiben. Dies bedeutet, die Ausdehnung der N Windungen (dicht nebeneinander gewickelt)
sollte klein gegenüber R und klein gegenüber den Ausdehnungen entlang der z-Achse
bleiben.
4
Eine Helmholtz-Spule besteht nun aus zwei schmalen Spulen, deren Abstand gleich dem
Radius R ist (Abb.6):
R
In der Mitte zwischen den schmalen Spulen überlagert
sich das B-Feld der Einzelspulen nach dem Gesetz von
Biot-Savart (2a=R):
B(-R/2) + B(+R/2) = µ0 8/(125)0.5 N I / R
R
z
(5)
Abb.6
Ein wesentlicher Vorteil der Helmholtz-Spule ist, dass in einem großen Bereich innerhalb
der Spule das B-Feld nahezu homogen ist.
2.5 Die Hall Sonde:
Die Funktion der Hall Sonde resultiert auf dem Hall-Effekt, der wiederum durch die
Lorentz-Kraft erzeugt wird. Hierzu benötigt man ein leitendes Material (Halbleiter), in dem
sich frei bewegliche Elektronen befinden. Dieses Material sei quaderförmig und habe die
Abmessungen a,b und d (Abb.7):
d
a
b
Abb.7
Mit Hilfe einer Hilfsspannung Usupp (Abb.8) wird ein elektrischer Strom I im Sensor
erzeugt. Dieser Strom ist um so größer, je größer sein Querschnitt d*b ist. Er ist um so
größer, je größer die Anzahl der Elektronen n pro Volumen ist. Der Strom nimmt auch zu,
wenn die Elektronen eine höhere Geschwindigkeit v haben:
I = d*b e n v
oder
v = I /( d*b e n )
(6)
Befindet sich der Sensor in einem Magnetfeld B (Abb.8), dann wirkt auf die Elektronen
eine Lorentz-Kraft.
FL = e v x B
Gemäß der Anordnung in Abb.8 wirkt die Lorentz-Kraft vertikal. Die Elektronen werden in
vertikaler Richtung verschoben. Die lokale Ladungsneutralität wird gestört, d.h. die
Elektronen hinterlassen positive Ladungen, die sie ohne B-Feld kompensiert haben.
5
Durch diese Ladungsverschiebung entsteht ein elektrisches Feld (Hall-Effekt). Die
zugehörigen Feldlinien beginnen und enden bei den Ladungen mit verschiedenem
Vorzeichen + und -. Diese zeigen ebenfalls in vertikale Richtung (parallel zu b, Abb.7).
Usupp
v
B
B
e
UHall
B
Abb.8
Ein elektrisches Feld erzeugt laut Abschnitt 2.2 eine elektrische Kraft FE = e E. Im
Kräftegleichgewicht sind Lorentz-Kraft und elektrische Kraft gleich groß:
FL = e v B = e E = FE
Mit Gleichung (6) und E = Uhall / b (siehe Abschnitt 2.2) folgt daraus
e I / (d*b e n) B = e Uhall / b
oder
Uhall = Khall I B
Bei bekanntem Strom I und bei bekannter Hall-Konstante Khall=1/(e n d) lässt sich durch
messen der Hall-Spannung das Magnetfeld B bestimmen.
Die Hall-Konstante ist spezifisch für den Sensor. Bei unserem Sensor (Honeywell
SS495A) wird die Hall-Konstante und der Strom I zur Sensitivität S zusammen gefasst.
Uhall = S B
(7)
Bei der Hilfsspannung Usupp = 5.0V fließt durch den Sensor ein bestimmter Strom, bei
dem laut Datenblatt gilt:
S = ( 3.125 +/- 0.125 ) mV/G
Bei einem Magnetfeld von z.B. 3 Gauß entsteht somit folgende Hall-Spannung:
Uhall = 3.125 mV/G * 3.G = 9.38mV
6
Da der Strom I proportional zu Usupp ist, kann man die Sensitivität S erhöhen durch
Anlegen einer größeren Hilfsspannung Usupp. Wenn Sie also statt Usupp = 5.0V die
Hilfsspannung 10.V anlegen so verdoppelt sich auch die Sensitivität S.
3. Versuchsdurchführung:
3.1 Informationen
Die Durchführung des Versuches ist beschrieben unter:
http://www.fb06.fh-muenchen.de/fb/praktikum/ph1/sle/sle2.htm
Hier finden Sie auch Internetseiten mit Datenblättern zum Fadenstrahlrohr, zur HelmholtzSpule und zum Hall-Sensor.
Verdrahtungspläne finden Sie auf meiner Seite (Downladbare Files) unter:
https://www.fb06.fh-muenchen.de/fbalt/queries/vita.php?id=615
3.2 Verdrahtung:
Schalten Sie alle Geräte aus und verdrahten Sie die Geräte nach den in Abschnitt 3.1
genannten Plänen. Erst nach der Überprüfung der Verdrahtung durch den Betreuer
dürfen die Geräte eingeschaltet werden. Es kann großer Schaden entstehen.
Besondere Vorsicht ist bei der Verdrahtung der Beschleunigungsspannung UB=300V
angebracht. Benutzen Sie nur Kabel mit Berührungsschutz.
3.3 Bestimmung des B-Feldes auf der Kreisbahn der Elektronen:
Das Biot-Savart-Gesetz (Gleichung (4) und Abb.5) erlaubt die Berechnung des
Magnetfeldes auf der z-Achse. Unsere Elektronen bewegen sich jedoch nicht auf der zAchse, sondern auf einer Kreisbahn mit dem Radius 4cm um die z-Achse herum.
Mit der Hall-Sonde wird bestimmt, wie das Magnetfeld abnimmt, wenn wir uns von der zAchse entfernen. Wie oft vermutet wird, soll mit der Hall-Sonde nicht die Homogenität des
B-Feldes innerhalb der Helmholtz-Spule bestätigt werden.
Die Genauigkeit der Hall-Sonde reicht jedoch nicht aus für eine absolute Bestimmung des
B-Feldes. Die Hall-Sonde stellt lediglich eine relative Korrektur des B-Feldes zur
Verfügung, wenn wir uns von der z-Achse entfernen.
Der absolute Wert des B-Feldes auf der z-Achse wird mit Hilfe von Gleichung (4)
bestimmt. Wenn man die Werte für unsere Spule (Windungszahl N, halber Spulenabstand
a und Spulenradius R) in Gleichung (4) einsetzt, so erhalten wir in der Mitte der beiden
Spulen:
B [T] = 7.48 e-4 [T/A] * I [A]
7
(+/- 2%)
(8)
B ist in Tesla und der Strom in Ampere angegeben. Der Strom I=1A würde also das
Magnetfeld B=7.48 e-4 T erzeugen. Mit Gleichung (8) bestimmen wir das B-Feld im
Zentrum der Spule.
Wir messen nicht die Abmessungen der Spule. Die metallisch scharfen Kanten des
Messschiebers würden den Isolationslack der Spule zerstören.
4. Unsicherheitsrechnung:
Aus Gleichung (4) wird das B-Feld aus den gemessenen Größen I, a und R bestimmt. Die
Windungszahl N habe keine Unsicherheit. Die zugehörige Unsicherheitsrechnung lautet:
bestimme ∆B aus den Eingangsgrößen ∆I, ∆a und ∆R. Beachten Sie, dass in Gleichung
(4) neben Produkten und Potenzen auch eine Addition vorkommt. Eine Zerlegung ist hier
angebracht (siehe Praktikum_Hinweise_UNS auf meiner Download-Seite).
Zur Bestimmung der Ungenauigkeit unseres Endergebnisses ∆(e/m) ist Gleichung (3)
maßgeblich:
e/m = ( 2 UB ) / ( r2 B2 )
Eingangsgrößen sind ∆UB, ∆r und ∆B.
∆UB wird aus der Messgeräteungenauigkeit sowie aus den Schwankungen und/oder der
Drift am Messgerät abgeschätzt.
Die Ablesung von r ist schwierig. Hierzu dient die „Leiter“ mit Querstäben. Verwenden Sie
große Sorgfalt um ∆r nicht unnötig zu vergrößern. Vermeiden Sie Parallaxen. Schauen Sie
parallel zu den Markierungen.
∆B wurde schon bestimmt (s.o.).
5. Letzte Änderung
30.11.2011
8