Magnetohydrodynamik (MHD)

Magnetohydrodynamik (MHD)
„
Übersicht:
„
„
„
„
„
„
„
Voraussetzungen:
„
„
28.04.2005
Grundgleichungen
magnetischer Zug und Druck (Magnetohydrostatik)
eingefrorene Magnetfelder (Magnetohydrokinematik)
Dissipation von Feldern (Magnetohydrokinematik)
Feldlinienverschmelzung (Reconnection)
Magnetohydrodynamischer Dynamo
Teilchen werden als Flüssigkeit behandelt (keine Verteilungsfunktion, monoenergetisches Teilchenensemble; → kinetische Theorie)
das elektromagnetische Feld wird nicht vorgegeben sondern ist
durch die Positionen und Bewegungen der Ladungen bestimmt
⇒ selbst-konsistente Lösungen gesucht (zeitabhängig!)
Space Physics WS 2003/2004 - Kap. 3: Magnetohydrodynamik
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Allgemeines
„
„
„
Bewegungsgleichung: Übergang vom Einzelteilchen zur
Teilchendichte und damit zur Kraftdichte
mit u=<v>.
zusätzlich interne Kräfte (WeWi der Teilchen unter einander)
die totale zeitliche Ableitung setzt sich zusammen aus der
lokalen zeitlichen Ableitung und der Advektion/Konvektion
lokale zeitliche
Ableitung
Ableitung nach Kettenregel ε=ε(x,y,z,t)
28.04.2005
Space Physics WS 2003/2004 - Kap. 3: Magnetohydrodynamik
advektiver Term
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Grundannahmen MHD
„
„
„
„
28.04.2005
Das Medium kann weder polarisiert noch magnetisiert werden:
ε=µ=1.
Strömungsgeschwindigkeiten und Änderungsgeschwindigkeiten
sind klein gegen die Lichtgeschwindigkeit:
u/c<<1
v_phase/c <<1
Daher können elektromagnetische Wellen im Rahmen der MHD
nicht beschrieben werden.
Die Leitfähigkeit ist hoch:
σ→∞
Daher können sich keine starken elektrischen Felder ausbilden.
MHD basiert auf den wesentlichen Erhaltungsgrößen der
Strömungsmechanik: Masse, Impuls und Energie
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Grundgleichungen MHD I
„
Maxwell Gleichungen:
„
Ohm´sches Gesetz:
Lorentz
„
Gravitation
Bewegungsgleichung (Navier-Stokes):
Coriolis
Zentrifugal
Schubspannungstensor
Druckgradientenkraft
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Reibungskräfte
Gravitation
Lorentz-Kraft
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Grundgleichungen MHD II
„
Anmerkung Bewegungsgleichung: einfach, da keine Coulomb-Stöße,
keine Reibung zwischen unterschiedlichen Plasmakomponenten,
keine Quellen und Senken (z.B. Ionisation, Rekombination)
Kontinuitätsgleichung:
„
Zustandsgleichung:
„
Charakterisierung: Plasma-β
„
28.04.2005
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Grundgleichungen MHD 2-Fluid
„
„
Maxwell Gleichungen:
Ohm´sches Gesetz:
Hall effect (Lorentz-Kraft)
Diffusionsstrom durch
Druckgradienten
Strombeschleunigung
28.04.2005
„
Bewegungsgleichung:
„
Kontinuitätsgleichung:
„
Zustandsgleichung:
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Reibungskräfte
(Coulomb-Stöße)
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Magnetohydrostatik
„
Voraussetzung: das Medium ist in Ruhe, d.h. der Trägheitsterm
in der Bewegungsgleichung verschwindet
„
betrachtet wird die Energiebilanz von Teilchen und Feld
„
Konzepte:
„
„
28.04.2005
magnetischer Druck: die Tendenz magnetischer Feldlinien, sich ab
zu stoßen
magnetischer Zug: die Tendenz magnetischer Feldlinien, sich zu
verkürzen
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Magnetischer Druck
„
Formale Basis: Bewegungsgleichung (Trägheitsterm
verschwindet) + Ampere´sches Gesetz:
dyadischs Produkt (Tensor),
Tangentialspannungen (erst
bei magnetischem Zug
„
Formal: magnetischer Druck (entspricht Energiedichte)
„
Anschaulich:
ACHTUNG:
magnetischer Druck nicht isotrop
sondern senkrecht zum Feld!!
„
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Bsp: homogenes Magnetfeld, B=5T, magnetischer Druck
entspricht 100fachem Atmosphärendruck am Boden
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Sonnenfleck und magnetischer Druck
„
Beobachtung:
„
„
„
„
kalt, daher dunkel (4000 K statt 6000 k)
starkes Magnetfeld (3000 G statt wenige G)
dunkel ist relativ (vergleichbar Vollmond)
Modell: Druckgleichgewicht + hydrostatische
Grundgleichung + ∂B/∂z=0 + Zustandsglg:
nur erfüllbar wenn entsprechend der
Beobachtungen die Temperatur im Fleck
geringer ist als außen.
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Magnetischer Zug
„
„
„
28.04.2005
Formale Basis: Magnetfeld wird durch ein senkrecht darauf
stehendes Geschwindigkeitsfeld verformt
Magnetfeldlinien haben das Bestreben, sich zu verkürzen (wie
magnetischer Druck ein anisotropes Phänomen!)
Anwendung: Alfven-Welle
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Filament und magnetischer Zug
„
Beobachtungen Filament/Protuberanz:
„
„
„
„
„
„
kalt, da in Draufsicht dunkel (7000 K vs. 1 Mio K)
dicht, da am Rand gesehen hell (ca. 100fach)
Höhe 30 Mm (ca. 100 Skalenhöhen)
über viele Rotationen stabil, können dann aber
als CME explosiv frei gesetzt werden
ungefähr entlang einer Neutrallinie orientiert
Ausgangsgleichungen
magnetischer Zug
Gravitation
N
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Neutrallinie
S
erlauben Berechnung der Details der
Magnetfeldkonfiguration, insbesondere im
„Aufhängungspunkt“ des Filaments
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Magnetohydrokinematik
„
Formale Voraussetzungen:
„
„
„
„
„
Konzepte:
„
„
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vorgegebenes Geschwindigkeitsfeld (Bewegungsglg. muss nicht gelöst
werden)
gesucht: dadurch bewirkte Änderung des elektromagnetischen Feldes
Annahme: keine Rückwirkung der elektromagnetischen Felder auf das
Geschwindigkeitsfeld, d.h. großes Plasma-β
relevante Gleichungen: Maxwell und Ohm
eingefrorene Magnetfelder: ein bewegtes Plasma führt ein Magnetfeld mit
sich (Voraussetzung: Leitfähigkeit unendlich)
Dissipation von Magnetfeldern: ein Magnetfeld verschwindet um so
schneller, je kleiner seine räumlichen Skalen sind (Leitfähigkeit endlich)
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Eingefrorene Magnetfelder I
„
„
C bewegt sich: Änderung im magnetischen Fluss
„
Umformen:
„
„
28.04.2005
magnetischer Fluss durch eine Fläche S umrandet
von C:
eingefrorenes Magnetfeld:
Anwendung: interplanetares Magnetfeld
(Archimedische Spirale)
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Eingefrorene Magnetfelder II
„
„
eingefrorenes Feld:
ausgefrorenes Feld:
Φ≠0
Φ=0
28.04.2005
eingefrorenes Feld: das Plasma
führt das Magnetfeld mit sich,
z.B. interplanetares Feld
ausgefrorenes Feld: Plasma
dringt nicht in ein Magnetfeld
ein, z.B. Sonnenwind dringt
nicht in die Magnetosphäre ein.
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Deformation von Magnetfeldern
„
Annahme: σ räumlich und zeitlich konstant
Ausgangsgleichungen: Faraday und Ohm
„
stationäre Gleichung:
„
Lösung: ein Plasmastrom ⊥ B verformt das Feld so lange, bis
erfüllt ist. Dann strömt Plasma senkrecht zum Feld.
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Dissipation von Magnetfeldern
„
Annahme: das äußere Geschwindigkeitsfeld verschwindet
„
formal analog:
Wärmeleitungsglg., Vorticityglg.
„
eindimensional B=B(Bx(y,t),0,0)
„
Skalenanalyse → magnetischer Diffusionskoeffizient Dm
Dissipationszeit:
„
28.04.2005
Bsp: Magnetfeld Sonne 1.2E10a, Sonnenfleck 1000a
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Magnetohydrodynamik
„
Voraussetzungen:
„
„
„
Konzepte:
„
„
28.04.2005
Grundvoraussetzungen der MHD (s.o.)
selbstkonsistente Lösung von Feld- und Bewegungsgleichungen
Feldlinienverschmelzung: erlaubt die Umwandlung von im
Magnetfeld gespeicherter Energie in kinetische Energie des Plasmas
Magnetohydrodynamischer Dynamo: erlaubt die Erzeugung
magnetischer Energie aus der kinetischen Energie eines Plasmas
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Feldlinienverschmelzung I
„
„
Idee: explosive Freisetzung von Energie durch Umstrukturierung
eines Magnetfeldes, ermöglicht die Speicherung (und das
Anwachsen der gespeicherten Energie über längere Zeiträume)
Hinweise aus Beobachtungen:
„
„
„
„
„
28.04.2005
Umstrukturierung Magnetfeldtopologie auf der Sonne im
Zusammenhang mit Flares und Koronalen Massenauswürfen
Flux-Transfer Events an der Magnetosphäre
Teilchenbeschleunigung im Schweif der Magnetosphäre
Formale Voraussetzungen: hohe Leitfähigkeit (eingefrorene
Felder)
Problem: spezielle Magnetfeldtopologie benötigt
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Feldlinienverschmelzung II
„
Topologie:
„
Strom in der Neutralschicht:
„
Ablauf:
⇒
⇒
⇒
⇒
28.04.2005
eingefrorenes Feld
Plasmastrom komprimiert Feld an Neutralschicht
Strom in Neutralschicht nimmt zu
Dissipation des Feldes wandelt magnetische Feld in kinetische Energie um
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Details in der Neutralschicht
„
„
Annahme: Neutralschicht unendlich dünn,
gleichförmiger Widerstand
Magnetfeld parallel zum Plasmastrom kann
bestimmt werden
„
zeitliche Variation Dicke der Neutralschicht:
„
zur Umwandlung zur Verfügung stehende Energie
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Stationäre Reconnection
„
Annahme: Beginn der Reconnection verändert die allgemeine
Feld- und Plasmakonfiguration nicht grundlegend
Ohm und Ampere:
„
stationär: Faraday gibt E = const, also
„
Breite der Neutrallinie:
„
28.04.2005
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Energiebilanz
28.04.2005
„
Kontinuität Magnetfeld:
„
skalar (u⊥B):
„
Kontinuitätsgleichung (Massenbilanz):
„
ergeben zusammen:
„
Energiebilanz:
„
Reconnectionrate:
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und
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Reconnectionrate
„
Sweet-Parker Reconnection:
„
„
„
„
Petchek Reconnection:
„
„
„
„
„
28.04.2005
langsamer Prozess
ca. Hälfte der zugeführten magnetischen Energie wird in kinetische
umgewandelt
Flux-Transfer Events
kleinere räumliche Skalen
schneller auf Grund kleinerer Skalenlänge
3/5 der magnetischen Energie wird in kinetische Energie umgewandelt
Stoßwellen
Flares und koronale Massenausstöße
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Feldlinienverschmelzung in der
Magnetosphäre
Flux Transfer Events
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Polarlichtteilchen
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Simulation Feldlinienverschmelzung
Feldlinienkonvektion:
„
„
„
„
Flux Transfer Events
auf der Tagseite
Konvektion der
Magnetfeldlinien mit
dem Sonnenwind auf
die Nachtseite
Feldlinienverschmelzung im Schweif
Rotation dort
geschlossener
Feldlinien auf die
Tagseite
http://www.ess.washington.edu/Space/SpaceModel/tailreconnection.html
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Feldlinienverschmelzung
auf der Sonne
28.04.2005
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MHD Dynamo I
„
Idee: Umwandlung Rotationsenergie in magnetische Energie
„
Hinweise aus Beobachtungen:
„
„
„
„
Formale Voraussetzungen:
„
„
28.04.2005
planetare Magnetfelder hängen von Rotationsrate ab
magnetisches Moment parallel Rotationsachse
Umpolung planetarer und stellarer Magnetfelder
hohe Leitfähigkeit (eingefrorene Felder)
Problem: Dynamo-Modelle haben Schwierigkeiten mit der
Umpolung
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MHD Dynamo II
„
„
Ströme erzeugen Magnetfelder ⇒ bewegtes
Plasma erzeugt B.
homogener Dynamo: keine Spulen, Drähte etc.
sondern rotierendes homogenes Medium:
„
„
„
„
„
„
„
28.04.2005
Saatfeld parallel Drehachse;
Lorentzkraft erzeugt radiale elektromotorische Kraft
(Strom);
Durch geschickte Anordnung der Kontakte
Verstärkung des Saatfeldes;
Mechanische Energie wird in Feldenergie konvertiert.
Felder sind axialsymmetrisch: unipolarer Induktor?
Cowlings Theorem: es gibt kein endliches
Geschwindigkeitsfeld, das stationäres
axialsymmetrisches Feld erhalten kann (Herleitung
aus Induktionsgleichung)
Sonne: v = 1E-9 m/s ausreichend
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Formal Grundlagen Dynamo
„
Induktionsgleichung
Bei verschwindendem Geschwindigkeitsfeld Dissipation
(Zeitskala Erde 24 000 Jahre)
„
Umwandlung mechanische
Energie in Feldenergie
Eingefrorene Felder (Erhaltung des magnetischen Flusses)
zusammen mit Massenerhaltung:
in inkompressiblen turbulenten Feldern ergibt sich eine
Dynamowirkung!
→ Kinematischer Dynamo: Saatfeld und Geschwindigkeit werden
vorgegeben, eine Rückwirkung des erzeugten Feldes auf das
Geschwindigkeitsfeld erfolgt nicht.
28.04.2005
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Statistischer Dynamo I
turbulente Bewegung in der
Konvektionszone der Sonne:
„
mittleres Magnetfeld axialsymmetrisch
turbulentes Feld überlagert, nicht
axial-symmetrisch
„
„
„
Korrelationsfunktion (Produkt der fluktuierenden Größen):
„
„
„
28.04.2005
verschwindet nicht, da Fluktuationen nicht unabhängig sind
(eingefrorenes Feld)
kann angenähert werden als
α,β sind aus den Eigenschaften der fluktuierenden Größen zu
bestimmen
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Fluktuierende Größen
„
28.04.2005
die physikalischen Größen in den Grundgleichungen lassen sich
durch einen Mittelwert und ihre Fluktuationen darstellen:
„
der Mittelwert über die Fluktuationen verschwindet:
„
die Fluktuationen sind klein gegen die Mittelwerte:
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Reynolds-Axiome I
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„
Mittelwert einer Summe fluktuierender Größen:
„
Mittelwert der Produkte fluktuierender und mittlerer Größen:
„
Mittelwert der Produkte mittlerer Größen:
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Reynolds-Axiome II
28.04.2005
„
Produkte momentaner Größen:
„
Kovarianz oder Korrelationsprodukt:
„
Differentiation und Integration:
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33
Statistischer Dynamo II
„
28.04.2005
Herleitung der Korrelationsfunktion aus den Feldgleichungen
unter Verwendung von Mittelwert und Fluktuation:
„
Ohm‘sches Gesetz
„
Induktionsgleichung:
„
Proportionalitäten:
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Korrelationsfunktion
„
Korrelationsfunktion:
„
„
„
β-Term: Zunahme magnetische Diffusion durch turbulente
Bewegung
α-Term: Abweichung von Axial-Symmetrische
Im Gegensatz zur Diffusionsgleichung
gilt Cowlings-Theorem hier nicht.
28.04.2005
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Toroidale und Poloidale Felder
„
„
„
„
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Magnetfeld divergenzfrei → darstellbar als
Summe aus toroidalem und poloidalem Feld
Erzeugende Funktionen:
Zusammenhang: ein toroidales Feld kann
durch ein poloidales Stromsystem erzeugt
werden und umgekehrt:
Darstellung z.B. in Kugelflächenfunktionen;
Anwendung im Bullard-Gellman-Ansatz
(Reihenansatz; konvergiert leider nicht)
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αΩ-Dynamo
„
αΩ-Dynamo aus
„
„
differentieller RotationΩ
α-Effekt
„
Ohm‘sches Gesetz:
„
mit Faraday und turbulenter Leitfähigkeit:
„
turbulente Dissipationszeit:
28.04.2005
Space Physics WS 2003/2004 - Kap. 3: Magnetohydrodynamik
37
αΩ-Dynamo im Detail
„
„
„
28.04.2005
Erzeugung des
toroidalen Feldes aus
dem poloidalen (ωEffekt) trivial
Problem: Erzeugung
des poloidalen Feldes
aus dem toroidalen
(ω-Effekt)
Daher Probleme mit
der eigentlichen
Umpolung!
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Dynamo-Simulation
http://www.psc.edu/research/graphics/gallery/CORRECTno_earth.mpg
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Zusammenfassung MHD
„
„
Grundgleichungen: Erhaltungsgrößen Masse, Ladung, Impuls,
Energie sowie Feld- und Zustandsgleichungen
Unterscheidung 1-Flüssigkeits- oder 2-Flüssigkeitsmodell
„
„
Randbedingung:
„
„
sehr hohe Leitfähigkeit
Grundkonzepte (aus 1-Flüssigkeitsmodell):
„
„
„
28.04.2005
für viele Plasmen sind die Ionen ein stationärer Hintergrund und
nur die Elektronen mobil (1-Flüssigkeitsbild ausreichend)
magnetischer Zug und Druck in der MHStatik
eingefrorene Felder und Dissipation von Feldern in der
MHKinematik
Feldlinienverschmelzung und magnetohydrodynamischer Dynamo
in der MHDynamik
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