Fourieroptik

Fakultät für Maschinenbau
Fachgebiet Technische Optik
Praktikumsanleitung zum Versuch
Fourieroptik
konzipiert von Carolin Rosenberger und Lucia Lorenz
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Versuchsziel
Die Fourieranalyse hat im vergangenen Jahrhundert für viele Technik- und Wissenschaftsbereiche an enormer Bedeutung gewonnen. Neben der klassischen Elektrotechnik wurde
auch die Optik als ein weiteres Anwendungsfeld erschlossen. Ziel dieses Versuches ist es, die
theoretischen Grundlagen der Fouriertransformation anhand anschaulicher Experimente
nachzuvollziehen. Im Mittelpunkt stehen dabei Untersuchungen einfacher Beugungsobjekte
wie Spalt, Doppelspalt und Gitter sowie deren Raumfrequenzspektren.
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Versuchsaufgaben
•
•
•
3
Erprobung verschiedener Objekte und Filter sowie Interpretation der
Raumfrequenzspektren
Ausführen verschiedener Messungen und Berechnungen
qualitative Untersuchung verschiedener Eigenschaften der Fouriertransformation
Grundlagen
3.1 Beugungstheorie und Fourieroptik
Die Beugung ist ein Phänomen, das im Allgemeinen die Lichtausbreitung im Wellenmodell
beschreibt. Im Speziellen versteht man darunter die Ausbreitung des Lichts in den
geometrischen Schatten. Diese Erscheinung ist dann gut zu beobachten, wenn die Dimension
des beleuchteten Objekts im Bereich der Wellenlänge liegt.
Zur Beschreibung der Beugung wird meist das Huygens-Fresnelsche Prinzip verwendet:
Jeder Punkt einer Wellenfront bildet zu einem bestimmten Zeitpunkt eine Quelle sekundärer
Elementarwellen, deren Frequenz mit jener der Primärwelle übereinstimmt. In jedem
nachfolgenden Punkt ist die Amplitude des optischen Feldes durch die Überlagerung aller
dieser Elementarwellen unter Berücksichtigung der Amplituden und relativen Phasen
gegeben [1].
In Abhängigkeit vom Abstand z zwischen beugendem Objekt und Beobachtungsebene
unterscheidet man prinzipiell zwei Fälle (b: Breite des Spalts, :Wellenlänge):

Fresnelbeugung tritt im Nahfeld des Objekts auf,

Fraunhoferbeugung ist im Fernfeld zu beobachten, d.h.
Abbildung 1 zeigt exemplarisch die Beugungsbilder für Nah- und Fernfeld hinter einer
Öffnung der Breite b. Für die Fourieroptik steht die Fraunhoferbeugung im Vordergrund,
weshalb diese im Folgenden näher beschrieben wird.
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Abb.1: Beugung im Nah- und Fernfeld.
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Dazu wird zunächst eine beliebig geformte beugende Öffnung A betrachtet, die kohärent,
d.h. mit ebenen monochromatischen Wellen beleuchtet wird. Da wir Fraunhoferbeugung
betrachten, sind | ⃗| und R sehr groß gegenüber den Abmessungen der Öffnung. Abbildung 2
zeigt die Geometrie.
Abb.2: Beugung an einer beliebig geformten Öffnung.
Auf jedem infinitesimal kleinen Flächenelement dA wird ein Feldstärkeanteil dE erzeugt, der
sich als Kugelwelle (Elementarwelle) ausbreitet:
| ⃗|
(
|⃗⃗ || ⃗|)
( )
Die Konstante
gibt dabei die Ausgangsfeldstärke in der Öffnung an, ⃗⃗ steht für den
Wellenvektor, der den Betrag
hat.
1 Quelle: W. Demtröder. Experimentalphysik 2. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009.
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Der Vektor ⃗⃗⃗ lässt sich durch mehrere Umformungen ersetzen:
 im Faktor vor der Exponentialfunktion verwendet man die Näherung | ⃗|

im Exponenten wird der Term | ⃗|
Reihenentwicklung vereinfacht.
√(
)
(
)
,
mittels einer
Wendet man das Huygens-Fresnelsche Prinzip an, berechnet sich die elektrische Feldstärke
im Punkt P durch Integration über alle Elementarwellen der Öffnung:
(
|⃗⃗ | )
(
)
|⃗⃗ |(
∬
)
( )
Es existieren jedoch nicht nur einfache Öffnungen als Beugungsobjekte, deshalb ist es
sinnvoll, das beugende Objekt durch die Feldstärkeverteilung innerhalb der Ebene zu
beschreiben.
Diese Funktion, die sogenannte Blendenöffnungsfunktion (
), gibt Amplitude und
) an und wird folgendermaßen
Phase der komplexen Amplitude in jedem Punkt (
notiert:
(
)
(
Der Ausdruck
(
)
)
( )
enthält alle vor dem Integral stehenden Faktoren und ist proportional zu
(
), sodass sich der Ausdruck vereinfacht zu:
(
)
(
∬
|⃗⃗ |(
)
)
( )
Nun folgt die Einführung der räumlichen Kreisfrequenzen
Beobachtungsebene eine Frequenz zugeordnet wird:
| ⃗⃗ |
| ⃗⃗ |
| ⃗⃗ |
, wobei jedem Punkt in der
| ⃗⃗ |
( )
und bezeichnen dabei die Beugungswinkel in x- und y-Richtung. Setzt man diese in das
Integral ein, ergibt sich die elementare Feststellung der Fourieroptik: Das Fraunhofersche
Beugungsbild geht als Fouriertransformation aus der Ausgangsverteilung hervor und es gilt
(
)
∬
(
)
(
)
( )
Geht man vom eindimensionalen Fall aus, berechnet sich die Transformierte wie folgt:
4
(
)
∫
( )
( )
3.2 Optische Abbildung
Die Fourieroptik stellt ein wellenoptisches Modell für die Bildentstehung bei der Abbildung
mit optischen Systemen dar. Fraunhoferbeugung wird stets im Unendlichen registriert. Bei
der Abbildung kommt demzufolge das Fraunhofersche Beugungsbild bzw. das
Raumfrequenzspektrum in der bildseitigen Brennebene der Optik zustande. Dessen Bild
entsteht wiederum durch eine inverse Fouriertransformation, das Beugungsbild wird dabei
wieder nach Unendlich abgebildet.
Zur Veranschaulichung der Fourieroptik wird meist der 4f-Aufbau genutzt, der aus zwei
Optiken gleicher Brennweite besteht, deren Brennpunkte zusammenfallen. Das Objekt
befindet sich dabei in der objektseitigen Brennebene der ersten Optik, sodass das
Raumfrequenzspektrum in der bildseitigen Brennebene entsteht.
Abb.3: 4f-Aufbau.
Aus den Beugungsbeziehungen und der Geometrie des Aufbaus lässt sich folgende Formel
für den Abstand
der m-ten Ordnung in der Filterebene von der optischen Achse folgern:
( )
wobei die Gitterperiode oder –konstante bezeichnet. Da das Raumfrequenzspektrum für
jedes Objekt spezifisch ist, enthält es die gesamte Bildinformation. Soll also das Objekt durch
die Abbildung perfekt rekonstruiert werden, muss das gesamte Spektrum übertragen
werden. Aufgrund der räumlich begrenzten Ausdehnung jeder Optik ist dies jedoch praktisch
nicht möglich. Frequenzen, die über einer bestimmten Grenzfrequenz liegen, können nicht
mehr übertragen werden. Dies hat zur Folge, dass sehr feine Strukturen nicht mehr sichtbar
sind und die Schärfe des Bildes beeinträchtigt ist. Je mehr die höchsten Frequenzanteile
verloren gehen, desto weicher sind die Kanten des entstehenden Bildes.
Verwendet man eine kohärente Lichtquelle zur Beleuchtung des Beugungsobjektes, so
fehlen alle Frequenzen oberhalb der Kreiswellenzahl
. Möchte man die
Grenzfrequenz verkleinern, was beispielsweise durch das Einbringen einer Irisblende in die
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Fourierebene leicht realisierbar ist, lässt sich als Effekt im Bildraum eine Verringerung des
Auflösungs-vermögens beobachten. Unter Verwendung verschiedener Raumfilter ist es
ebenfalls möglich, einzelne Beugungsordnungen gezielt zu unterdrücken oder die
Phasenlage des Lichtes zu manipulieren. Man spricht von räumlicher bzw. optischer
Filterung.
3.3 Anwendungen räumlicher Filterung
Bei der räumlichen Filterung können sowohl Amplituden- als auch Phasenobjekte
manipuliert werden. Während sich der praktische Versuchsteil hauptsächlich mit der
Filterung von Amplitudenobjekten beschäftigt, sollen nachfolgend Verfahren, die sich auch
mit dem Sichtbarmachen von Phasenobjekten beschäftigen, erläutert werden. Letztere
spielen vornehmlich in der Mikroskopie eine wichtige Rolle. Des Weiteren ist zu erwähnen,
dass auch die Mustererkennung im Teilgebiet der räumlichen Filterung eine Rolle spielt. Mit
Hilfe von Korrelationsfiltern, welche auf holografischem Wege herstellbar sind, kann die
Identifikation der Zeichen unter bestimmten Randbedingungen erfolgen.
3.3.1. Visualisierung schwach streuender Amplitudenobjekte
Beim Dunkelfeldverfahren wird das Maximum nullter Ordnung aus der Fourierebene
ausgeblendet. Die Beugungsmaxima erster und höherer Ordnungen, welche Träger der
gesamten Objektinformation sind, dürfen den Filter passieren. Durch das Fehlen der 0.
Ordnung erfährt das Bild einen Helligkeitsverlust. Der Beobachter sieht die Struktur des
Objekts aus den Maxima höherer Ordnung über dunklem Untergrund. Diese Methode
ermöglicht es besonders kleine nicht leuchtende Objekte, wie z.B. Staub auf einer
Oberfläche oder ferner Fingerabdrücke sichtbar zu machen, da das Licht an ihren
Phasengrenzen gebrochen oder gestreut wird. Würde man die zu untersuchende Probe von
allen Seiten beleuchten, so würde sie förmlich überstrahlt werden. Das Objekt ist dann nicht
sichtbar, da der an ihm gestreute Anteil des Lichtes im Vergleich zum ungestreuten sehr
gering ist.
In der Praxis wird das Ausblenden der nullten Ordnung beispielsweise durch Platzierung
einer geeigneten Abdeckung über dem zentralen Beugungsfleck des Raumfrequenzspektrums realisiert. Die Filterung des Gleichanteils begünstigt das Hervortreten der
Konturen, was allerdings mit einem Lichtverlust des Bildes gegenüber dem Original
verbunden ist.
3.3.2. Visualisierung von Phasenobjekten
Transparente Objektstrukturen mit schwacher Phasenvariation können sehr einfach mittels
spatialer Filterung in der Fourierebene sichtbar gemacht werden. Ein solches Objekt sei
durch die Transmission t(x,y) beschrieben. Diese kann in grober Näherung in einen konstant
durchlässigen Realteil (=1, Hintergrund) und einen Imaginärteil ϕ(x,y), der für die schwache
Phasenmodulation steht, zerlegt werden:
6
(
(
)
)
(
)
( )
In der Bildebene (z.B. Auge des Beobachters, CCD Kamera, …) wird die Intensität registriert:
(
)
| (
)|
|
(
)|
(
)
(
)
Die Intensitätsverteilung IDF(x,y) besitzt einen hellen Hintergrund t = 1 mit einer
Helligkeitsmodulation, die von der Phasenmodulation ϕ(x,y) quadratisch abhängt. Somit
geht die Vorzeicheninformation verloren und wegen des geringen Betrages von ϕ(x,y) ist die
Phaseninformation schlecht sicht- und messbar. Die störende dominierende
Hintergrundintensität muss deshalb eliminiert werden. Dies kann zum einen durch die
räumliche Filterung in der Fourierebene, bei der eine kleine Zentralblende die dort
fokussierte 0. Beugungsordnung abschattet, oder durch eine ringförmige Beleuchtung, die
unter einer Beleuchtungsapertur auf das Objekt strahlt, die außerhalb der
Beobachtungsapertur liegt, realisiert werden.
Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Phasenlage des Hintergrundes um π/2 zu
schieben. Entsprechend Gl. (11) interferieren dann der Gleichanteil sowie der Imaginärteil
der komplexen Transmissionsfunktion ϕ(x,y) gleichphasig:
(
)
| (
)|
|
(
)|
|
(
)|
(
)
(
)
Es ist nun eine Intensitätsverteilung messbar, die eine lineare Abhängigkeit zur schwach
modulierten Phaseninformation besitzt. Die starke Hintergrundintensität kann mit den
obigen Maßnahmen wirkungsvoll unterdrückt werden. In der Praxis erfolgt
dementsprechend die Beleuchtung des Objekts mittels einer Ringblende in der
Beleuchtungsoptik, die Phasenschiebung von π/2 hinter dem Objekt mit einem zur
Ringblende optisch konjugierten λ/4 Phasenring, der nur schwach lichtdurchlässig ist. Dieses
Phasenkontrastverfahren nach Zernike wird beispielsweise in der Mikroskopie angewandt,
um Zellstrukturen zu untersuchen, die sonst angefärbt werden müssten. Hierbei werden
Objekte höherer Dichte und somit höherer Brechzahl wie beispielsweise der Zellkern meist
dunkler abgebildet als die Strukturen geringerer Dichte.
Der geringe Lichtverlust sowie die reine Phasenverschiebung der Struktur ohne die Frequenz
zu beeinflussen sind ferner als vorteilhafte Eigenschaften anzuführen.
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Abb.4: Zwiebel-Innenepidermis im Hellfeld (links) und im Phasenkontrast.
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3.3.3. Toeplersches Schlierenverfahren
Das Toeplersche Schlierenverfahren dient dazu Schlieren, wie beispielsweise die von einem
fliegenden Geschoss erzeugten Wirbel, sichtbar zu machen. Als Schlieren bezeichnet man
hier Bereiche, die sich von ihrer Umgebung in der Dichte bzw. im Brechungsindex
unterscheiden.
Abb.5:Toeplersches Schlierenverfahren.
Eine Schneide, welche als Filter fungiert, blendet alle negativen Beugungsordnungen und je
nach Justierung einen Teil der nullten Ordnung aus. Die Wirkung der Schneide entspricht
einer Multiplikation des Raumfrequenzspektrums mit einer Stufenfunktion. Durch diesen
Eingriff in das Raumfrequenzspektrum entsteht ein Amplitudenkontrast in dem vom Objektiv
erzeugten Bild, sodass das Objekt sichtbar ist. Die Intensitätsverteilung im Bild ist dabei
proportional zum Quadrat der Phasenverschiebung durch das Objekt.
2 Universität Wien. Amplituden- & Phasenobjekte
http://www.univie.ac.at/mikroskopie/2_kontraste/phasenkontrast/2_phasenobjekte.htm.
Abruf: 02.06.2010.
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Man kann dem Bild jedoch nicht entnehmen, ob die durch eine helle Linie angezeigte
Änderung der Phase einer positiven oder negativen Phasenänderung bzw. Anstieg oder
Abfall entspricht. Weiterhin nachteilig ist die bedingt durch die Schneide entstehende
Vorzugsrichtung, welche dem Bild aufgeprägt wird.
3.4 Periodische Strukturen
Ein periodisches Gitter kann mit Hilfe einer Fourierreihe beschrieben werden. Die komplexe
Amplitudentransmissionsfunktion wird dann mit
( )
∑
(
)
(
)
ausgedrückt. Dabei bestimmt die Art des Gitters die Fourierkoeffizienten
∫ ( )
Die Beugungseffizienzen () der einzelnen Ordnungen ergeben sich aus dem Betragsquadrat
der Fourierkoeffizienten:
|
|
(14)
3.5 Babinet‘sches Theorem
Das Babinet’sche Theorem besagt, dass die Intensitätsbeugungsbilder zweier
komplementärer Beugungsobjekte tO(x,y) und tC(x,y) mit Ausnahme des ungebeugten
Anteils identisch sind. Es gilt für komplementäre Transmissionen tO(x,y) und tC(x,y):
(
)
(
)
(
)
(
)
Passiert eine ebene Wellenfront die jeweilige Transmission, ergibt sich unter Annahme einer
Fraunhoferbeugung in der Beugungsebene eine Amplitudenverteilung proportional der
Fouriertransformierten des Beugungsobjektes:
(
)
(
{
)}
(
)
mit νx,νy als laterale Koordinaten der Fourierebene. Wegen Gl. (15) gilt dort folgender
Zusammenhang für die (komplexen) Amplitudenverteilungen:
(
)
(
)
(
)
(
)
Der Term δ(0,0) steht für einen Dirac Impuls im Zentrum der Fourierebene und stellt den
ungebeugten Anteil dar. Um ihn herum ist das gebeugte Spektrum TC(νx,νy) angeordnet. Die
beiden Komplementärspektren unterscheiden sich nur durch ihr Vorzeichen. Dieses
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verschwindet bei Aufnahme der Intensitätsverteilung IFou (Betragsquadrat der Amplitude,
Wiener-Chinchin Theorem):
|
4
(
(
)|
)
| (
)|
(
)
Vorbereitung
1.) Machen Sie sich mit den Grundlagen der Fourieroptik und der räumlichen Filterung
vertraut. Von welchen Näherungen geht man bei der Fresnel- und der
Fraunhoferbeugung aus?
2.) Warum stellt jede Linse einen Tiefpass für räumliche Frequenzen dar? Welche
Konsequenz ergibt sich daraus für die optische Abbildung?
3.) Worin unterscheiden sich Amplituden- und Phasenobjekte?
4.) Vergleichen Sie qualitativ Dunkelfeld- und Phasenkontrastverfahren miteinander.
Ordnen Sie das Toeplersche Schlierenverfahren in die im Abschnitt 3.3 beschriebenen
Verfahren ein!
5.) Berechnen Sie mit Hilfe der Formel (8) die Fouriertransformierte einer
Rechteckfunktion:
( )
{
6.) Gegeben sei ein Rechteckamplitudengitter mit einem Tastverhältnis von
. Die Variable
ist die Breite des durchsichtigen Streifens und
die
Gitterperiode. Die Amplitudentransmissionsfunktion für eine Periode ist gegeben
durch:
( )
{
| |
a) Bestimmen Sie mit Gleichung (13) die Fourierkoeffizienten und mit Gleichung (14)
die zu erwartenden Beugungseffizienzen (
).
b) Welche Ordnungen werden theoretisch nicht ausgebildet?
c) Bei welchem Tastverhältnis verschwindet die dritte Ordnung?
Anmerkung:
und
10
7.) Ermitteln Sie die Fouriertransformierte eines Doppelspaltes, bestehend aus zwei
Rechteckfunktionen aus Aufgabe 5.) mit dem Abstand D.
( )
( ) [ (
)
(
)]
Anmerkung:
Sie können dazu den Faltungssatz
{
( )
( )}
( )
( )
sowie den Verschiebungsatz
{ (
)}
und die Beziehung
nutzen.
Wie sieht das Intensitätsbild in der Fourierebene aus (Betragsquadrat der
Amplitude)? Wie verändert sich das Beugungsbild, wenn sich der Abstand D zwischen
den Spalten vergrößert?
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5
Versuchsaufbau
Der in diesem Versuch verwendete Aufbau ist eine Abwandlung des bereits erwähnten 4fAufbaus. Auf die zweite Linse wird verzichtet und ihre Wirkung durch eine hinreichend große
Entfernung zur Bildauffangebene erreicht. Die nachfolgende Abbildung zeigt die Anordnung
der Elemente.
1 Laser incl. Aufweitungsoptik
2 Planspiegel
3 Objekthalterung
4 50%-Strahlteilerwürfel
5 Linse (f’=250mm)
6 justierbare Filterhalterung
7 optische Bank
8 Planspiegel
9 Tessar-Objektiv (4,5/250)
10 Schirm
Abb.6: Versuchsaufbau.
Licht eines He-Ne-Lasers der Wellenlänge 632,8 nm wird mittels spezieller in das Gerät
integrierter Optik (umgekehrtes Keplersystem mit Modenblende) aufgeweitet. Nach dem
Passieren des Objekts wird das Licht mittels Strahlteilerwürfel (4) in zwei Teilbündel gleicher
Intensität aufgespalten. Durch die Linse (5) wird das Beugungsbild in die Filterebene (6)
fokussiert, in der die Manipulation des Raumfrequenzspektrums erfolgt. Dabei sollte darauf
geachtet werden, dass die Filter mittels der Verstelleinrichtung genau auf das Spektrum
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ausgerichtet werden. Auf dem Schirm (10) können das gefilterte und das ungefilterte Bild
direkt verglichen werden. Wird die Linse (5) aus dem Strahlengang entfernt, erscheint das
Beugungsbild vergrößert auf dem Schirm.
6
Durchführung und Auswertung
Allgemeine Hinweise:






Schauen Sie nie direkt in den Laserstrahl. Verwenden Sie die Laserschutzbrillen, die
am Versuchsstand ausliegen.
Berühren Sie die optischen Oberflächen von Spiegeln, Strahlteiler und Linsen nicht
mit den Fingern.
Die Oberflächen der Filter und Beugungsobjekte sind ebenfalls nicht mit den Fingern
zu berühren, da dies ihre Wirkung beeinträchtigt. Verwenden Sie gegebenenfalls
Laborhandschuhe.
Am Versuchsplatz liegt eine Lupe aus, welche die genaue Betrachtung feiner
Strukturen in der Bildebene ermöglicht.
Die Objekte sollten so in die jeweilige Halterung eingesetzt werden, dass sich die
Beschriftung an der Oberseite befindet.
Bei kreisrunden Filtern ist auf die konzentrische Ausrichtung zum
Raumfrequenzspektrum zu achten.
Aufgaben:
1.) Bauen Sie die Versuchsanordnung nach dem gegebenen Schema auf und justieren Sie
gegebenenfalls die Bauelemente. Der Strahlengang sollte dabei parallel zur optischen
Bank (7) verlaufen und die Bilder vollständig auf dem weißen Papier (10) aufgefangen
werden. Hinweis: Zu Beginn sollte das ungefilterte Bild durch axiale Verschiebung des
Objekts scharfgestellt werden, ehe die Ausrichtung der Linse (5) erfolgt.
2.) Setzen Sie nacheinander Objekt O 01, O 02 und O 03 in den Objekthalter ein und
betrachten Sie die entstehenden Beugungsbilder in der Fourierebene, d.h., in der
Brennebene der Linse 5 (s. Abb. 6). Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede
stellen Sie fest? Um welche Objekte handelt es sich?
3.) Betrachten Sie das Objekt O 04 und dessen Raumfrequenzspektrum. Welches
Problem könnte bezüglich der Filterung einzelner Ordnungen auftreten?
4.) Wählen Sie zwischen Objekt O 05 und O 06 und bringen Sie anschließend Filter F 01
in den Strahlengang. Welche Veränderung ergibt sich hinsichtlich der Gitterperiode
im Bild?
5.) Verwenden Sie Objekt O 08 und berechnen Sie mit Hilfe der Gleichung (10) die
Gitterperioden der vier verschiedenen Richtungen.
6.) Das Objekt O 09 besitzt zwei Flächen mit Gittern unterschiedlicher Orientierungen.
a) Finden Sie mit Hilfe der Filter F 02 und F 03 heraus, wie die Gitter gerichtet
sind.
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b) Welcher Filter besitzt in diesem Fall die gleiche Wirkung wie F 02?
c) Verschieben Sie das Objekt senkrecht zur optischen Achse. Was stellen Sie
bezüglich des Spektrums fest?
7.) Nun soll das bekannte Fourierhaus (O 10) näher untersucht werden. Dazu stehen
Ihnen die Filter F 01 bis F10 zur Verfügung, wobei auch Kombinationen möglich sind.
Betrachten Sie dabei auch das Beugungsbild in verschiedenen Abständen vom
Objekt.
a) Welcher Filter lässt das Dach des Hauses dunkel erscheinen?
b) Welche Gitterperiode besitzt das Objekt?
c) Welchen Effekt hat Filter F 05?
d) Blenden Sie durch Kombination verschiedener Filter alle Strukturen außer die
des Schornsteins aus. Welche Orientierung hat diese?
e) Durch welche Filter wird das Bild invertiert?
f) Setzen Sie gleichzeitig die Filter F 04 und F 06 in die Halterung ein. Was
beobachten Sie im Bild?
8.) Im letzten Teil soll ein Phasenobjekt untersucht werden: Stellen Sie dazu die
brennende Kerze anstelle des Objekthalters in den Strahlengang. Durch welchen
Filter werden die erzeugten Luftströmungen im Bild sichtbar?
7
Literatur
[1] Hecht, E.: Optik, Oldenbourg, 2002
[2] Stößel, W.: Fourieroptik, Springer, 1993
[3] Vorlesungsskript Fourieroptik, TU Ilmenau, Prof. Sinzinger
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