Versuch 2 - Institut für Elektrische Energiewandlung

V2 / 1
Praktikum ETiT 1
Vorbereitungsaufgaben V2
2.11 Vorbereitungsaufgaben (Versuch 2)
1.
Summe pro Aufgabe 4 Punkte
a) Geben Sie die Formel für die Kapazität eines Plattenkondensator mit Dielektrikum
an (1P). Wie groß ist 0 (0.5P)?
b) Wie kann die Kapazität des Plattenkondensators in der Versuchsanleitung
verändert werden (1P)?
c) Geben Sie die Differenzialgleichung für den Strom in einem RC-Glied in
Abhängigkeit der Gesamtspannung u(t) an (1,5 P).
A
1
x
0,5
 0  8.854  10 12 V.s/(A.m): die Dielektrizitätskonstante des Vakuums
Lösung: a) C   0   r 
r : die relative Dielektrizitätszahl des verwendeten Dielektrikums zwischen den Elektroden.
b) Die Kapazität dieses Plattenkondensators kann durch Veränderung verschiedener
Parameter beeinflusst werden.
1
1) Plattenabstand x
2) relative Dielektrizitäskonstante (verschiedene Materialien, die eingeschoben werden)
3) Mehrschichtkondensator (mehrere Materialien werden eingeschoben)
0,5
1
t
di(t )
1
1 du (t )
1
c) u (t )  R  i (t )  uC (t ) ; uC (t )   i (t )  dt ;

 i (t )  
C0
dt
RC
R dt
2.
a) Berechnen Sie die Kapazität eines Plattenkondensators Crech (in pF) mit
kreisförmigen Platten-Elektroden mit dem Plattendurchmesser d = 256 mm
(0 = 8,85410-12 F/m, r = 1) für Plattenabstände x = 1, 2, 5, 10, 20, 30, 40, 50 mm
(1P). Skizzieren Sie den Graph Crech = f(x) (1,5P)!
b) Welche mathematische Kurve ist dies (0.5P)?
c) Wie groß sind die Grenzwerte Crech(x → 0) und Crech(x → ∞) (1P)?
Lösung: a) Crech 
0 r  A

 d 2  51,47 mm2
x
4
x / mm
1
2
5
10 20 30 40 50
Crech / pF 455,7 227,8 91,1 45,6 22,8 15,2 11,4 9,1
; mit A 
1
500
450
400
C rech / pF
350
300
0,5
250
200
150
100
50
0
0
10
20
30
40
50
x / mm
b) Hyperbel 0,5
c) Für x → 0: Crech → ∞ und für x → ∞: Crech → 0
0,5
TU Darmstadt
0,5
Institut für Elektrische Energiewandlung
V2 / 2
Praktikum ETiT 1
3.
Vorbereitungsaufgaben V2
a) Leiten Sie die 3-dB Eckkreisfrequenz eines RC-Glieds her (2P)!
b) Berechnen Sie die 3-dB Eckkreisfrequenz (1P) und die Eckfrequenz (1P) eines RCGlieds für R = 1 k und C = 1 F.
Lösung: a)
1
1
1
1
UC
j C



mit  0 
1
1  jRC 1  j 
RC
U
R
0
jC
2
UC

U
b)  0 
1
1 j

0

1

1   
 0 
2
Für =0 :
2
1
= 1000 s-1 ;
RC
f 3dB 
1
1
1
UC
 1 


; L  20  lg
  3 dB.
U
2
 2
12  12
0
 159,155 Hz
2
1
a) Beschreiben Sie, wie die Kapazität C eines R-C-Glieds mit einem
Rechteckgenerator messtechnisch bestimmt wird (2P). b) Geben Sie die
Auswerteformel an (1P)! c) Zeichnen Sie die Schaltung dazu (1P).
Lösung:
4.
1
Schaltung zur Bestimmung der Kapazität
Aus dem zeitlichen Verlauf der Spannung uC(t) kann man die Kapazität C bestimmen. Wird
an den Zweipol des R-C-Gliedes eine Spannung u(t) mit einem zeitlichen Rechteckverlauf
gelegt, so entsteht durch den Wechsel von Auf- und Entladevorgängen eine Spannung uC(t) 2
am Kondensator C. Diese Spannung ist eine auf- und abklingende Exponential-Funktion.
Zwischen der maximalen Spannung Uc,max und dem Spannungsminimum Uc,min herrscht die
einfache Beziehung
Uc,min = Uc,max . e-  /T
Über das Oszilloskop misst man die Höhe des Minimums Uc,min und des Maximums Uc,max,
sowie die Abklingzeit t dieser Funktion uc(t). So lässt sich die Kapazität bestimmen:
C
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t
.
 UC , max  1
R  ln

 UC , min 
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V2 / 3
Praktikum ETiT 1
Vorbereitungsaufgaben V2
5.
Wie kann die Zeitkonstante eines R-C-Gliedes aus einem Messschrieb der Spannung
am Kondensator über die Zeit ermittelt werden (2P)? Zeigen Sie dies anhand einer
Skizze (2P)!
Lösung: Der Funktionswert 63% der maximalen Spannung uc,max wird ermittelt. Die Zeit
zwischen uc,min und 0,63·uc,max ist die Zeitkonstante. 2
2
6.
a) Zeichnen Sie qualitativ die Zeitverläufe der Gesamtspannung u1 und des Stroms iC
im Kondensator eines R-C-Gliedes bei sinusförmiger Speisung (1P). Tragen Sie die
Phasenverschiebung (mit richtigem Vorzeichen) ein (1P)!
b) Berechnen Sie diese Phasenverschiebung allgemein (2P).
Lösung: a) Der Strom eilt der Spannung um den Winkel  vor, wobei 0 ≥  ≥ -90° ist.
Zählrichtung vom Strom zur Spannung, daher ist  negativ.
i / mA u 1 / V
3
3
2
2
1
1
0
0
1
ui1
iu

1
1
-1 -1
-2 -2
-3 -3
0,0008
0,0009
0,0010
0,0011
0,0012
0,0013
0,0014
Zeit t / s
Zeitverläufe der Eingangsspannung und des Stroms am Kondensator
b)
I
2
  arctan
U
1
R
j C

U
2
 (R  j
1
)  I1 (cos  j sin )
C
 1 
R2  

 C 
( : Der Winkel von der Spannung U (reell) zum Strom)
Im(I )
1
1
  arctan
 arctan
      arctan
RC
RC
Re( I )
X
Im(Z )
1
  arctan C   arctan
(Rein kapazitiv: -90°, sonst > -90°!)
R
RC
Re( Z )
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V2 / 4
Praktikum ETiT 1
7.
Vorbereitungsaufgaben V2
Erläutern Sie qualitativ das Tiefpassverhalten der Ausgangsspannung eines R-CGlieds (1P). Wie groß ist das Verhältnis Ausgangs- /Eingangsspannung bei der
Eckkreisfrequenz (0.5P)? Mit wie viel dB je Dekade sinkt oder steigt der
Spannungsabfall am Kondensator mit steigender Frequenz (0.5P)? Weisen Sie dies
durch eine kurze Rechnung nach (2P).
0,5
Lösung: Die Eingangsspannungen mit Frequenzen unterhalb der Grenzfrequenz
“Eckkreisfrequenz“0,5werden nahezu unabgedämpft an den Ausgang übertragen. Spannungen
mit Frequenzen oberhalb der Grenzfrequenz “Eckkreisfrequenz“ werden in ihrer Amplitude
abgeschwächt (gefiltert). Bei der “Eckkreisfrequenz“ wird die Ausgangsspannung um 30%
0,5
(=1-1/ 2 ), das sind logarithmisch 20lg(1/ 2 ) = -3 dB, geschwächt. Oberhalb dieser
Frequenz sinkt das Spannungsverhältnis am Kondensator im Bezug zur Eingangsspannung
um 20 dB pro Dekade.
0,5
UC

U
1
1 j

0

1

12   
 0 
2
1
U C , 2 1 1
1

 ; L  20  lg  20 dB
U C ,1 2 10
10
8.
UC
1
 ; Eine Frequenzdekade: 2/1 = 10

U
Für >>0 :
1
Zeichnen Sie das BODE-Diagramm (L (1P) und (1P)) des R-C-Glieds als Tiefpass.
Skalieren Sie die Achsen im Frequenzbereich 0,01 ≤ /0 ≤ 100. Bezeichnen Sie
numerisch den Wert von L und  bei der Eckkreisfrequenz (1P). Zeichnen Sie die
Asymptoten (1P)!
0,5
1
0,5
Asymptoten
0,5
0,5
1
BODE-Diagramm des R-C-Glieds: oben: Amplitudengang, unten: Phasengang
9.
Geben Sie die Schaltung zur Messung des BODE-Diagramms des R-C-Glieds (siehe
Versuchdurchführung) an (1P). Erläutern Sie die Versuchdurchführung (2P). Wie
werden die Auswertegrößen L und  aus den Oszilloskopgrößen erhalten (1P)?
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V2 / 5
Praktikum ETiT 1
Vorbereitungsaufgaben V2
0,5
Lösung: Der Funktionsgenerator ist auf "Sinussignal" zu stellen und speist als Spannung u1
0,5
das R-C-Glied. Bei verschiedenen Frequenzen werden mit dem Oszilloskop der Effektivwert
0,5
der Eingangsspannung u1(t) und der Effektivwert der Spannung am Kondensator uC(t) sowie
0,5
0,5
0,5
U
die zeitliche Phasenverschiebung t gemessen. Daraus: L  20  lg C ;    f  t  2 .
U1
FG 200
1
Frequenzzähler
AC
Rvc
5
V
6
3
u1(t)
C2
2
uc(t)
1
4
Masse
Schaltung zur Bestimmung des BODE-Diagramms des R-C-Gliedes
10.
Geben Sie die Schaltung zur Messung der Strom-Ortskurve I() des R-C-Glieds an
(1P). Erläutern Sie den Versuchsablauf (2P). Wie werden die Größen der Ortskurve
I() aus den Messgrößen ermittelt (1P) ?
0,5
Lösung: Der Funktionsgenerator ist auf "Sinussignal" zu stellen. Bei konstantem
0,5
Spannungseffektivwert U1, gemessen mit dem Voltmeter, wird bei verschiedenen Frequenzen
0,5
am Vorwiderstand Rvc sowie die zeitliche
f mit dem Oszilloskop
der Spannungsabfall URvc
0,5
Phasenverschiebung t zwischen uRvc und u1 gemessen. Der Effektivwert des Stroms i wird
0,5
über den Spannungsfall URvc am Vorwiderstand Rvc durch I = URvc/Rvc bestimmt. Der
Phasenwinkel des Stroms wird mit    f  t  2   f  t  360 berechnet.
0,5
FG 200
uRvc(t) ~ i(t)
Masse
1
AC
Frequenzzähler
Rvc
5
6
1
V
u1(t)
C2
4
A
i(t)
3
2
Schaltung zur Messung der Ortskurve I() des RC-Gliedes
11.
Für folgende Kreisfrequenzen berechnen Sie und zeichnen Sie maßstäblich für ein RC-Glied mit R = 1 k und C = 1 F (Bild 2.7-3) die Strom-Ortskurve I() für einen
konstanten Spannungseffektivwert U1 = 3 V (3P). Markieren Sie den Punkt der
Eckkreisfrequenz (0.5P). Welcher Form hat die Strom-Ortskurve (Gerade, Kreis,
Ellipse…) (0.5P)?
ω /s-1 0,0001 50 314 628 1000 2000 5000 10000 100000
Lösung: I 
U1
1
Rvc 
j C 2
TU Darmstadt
;    arctan
1
Rvc C 2
1
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V2 / 6
1
ω /s-1
I /mA φ /°
0,0001 0,000 -90,000
50
0,150 -87,138
314 0,899 -72,568
628 1,595 -57,871
0,5
1000 2,121 -45,000
2000 2,683 -26,565
5000 2,942 -11,310
10000 2,985 -5,711
50000 2,999 -1,146
100000 3,000 -0,573
Die Ortskurve ist ein Halbkreis!
12.
IRe/mA
0,000
0,007
0,269
0,849
1,500
2,400
2,885
2,970
2,999
3,000
IIm/mA
0,000
0,150
0,857
1,351
1,500
1,200
0,577
0,297
0,060
0,030
Vorbereitungsaufgaben V2
RC-Strom-Ortskurve
3,0
1
2,0
Re( I ) / mA
Praktikum ETiT 1

1,0
φ
0,0
3,0
2,0
1,0
0,0
Im(I ) / mA
0,5
Berechnen Sie die Induktivität L (2P) und den OHM'schen Widerstand R (2P) bei
20°C einer zylindrischen Luftspule der Länge lsp = 628 mm, mit N = 1500 Windungen
( = 57106 S/m, Drahtquerschnitt qcu = 7,8510-7 m2, 0 = 4 10-7 Vs/(Am)). Nehmen
Sie dabei an, dass eine Windung als Kreis mit einem mittleren Durchmesser von dm =
40 mm ausgeführt ist.
Lösung:  = 57 106 (m)-1; qCu = 7,85 10-7 m² ; N = 1500 ; dm = 40 mm ; lsp = 628 mm, lcu =
dm = 0,1256 m
2
2
A
  d m2
l N
 4,21  ; L  0  N 2   4  10 7  15002 
 5,655 mH
R  cu
  qcu
lsp
4  lsp
13.
a) Leiten Sie de Formel für die Eckkreisfrequenz eines RL-Glieds her (Bild 2.5-4)
(2P).
b) Berechnen Sie die 3-dB Eckkreisfrequenz (1P) und die Eckfrequenz (1P) eines RL-Glieds (Bild 2.8-3) mit einer Luftspule LSp = 5,655 mH, die den Widerstand RSp
= 4,21  hat und einem Vorwiderstand RVSp = 100 .
Lösung: a)
UL
j L


U
R  jL
R
UL
jL

mit 0 
U
R  jL
L
L
 / 0

2
2
R  (L)
1   / 0 
 1 
L  20  lg
  3 dB.
 2
b) Rges = RSp + RVSp = 104,21 ;
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=0:
Für
2
1
1
UL


;
2
2
U
2
1 1
2
0 
Rges
L
1
1
-1
= 18427,94 s ;
f 3dB

 0  2932,898 Hz
2
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V2 / 7
Praktikum ETiT 1
14.
Vorbereitungsaufgaben V2
a) Berechnen Sie die Formeln für den Amplitudengang L (1,5P) und den Phasengang
 (1,5 P) der Spannung an der Spule UL /U1 für die angegebene Schaltung. b) Zeigen
Sie den Sonderfall Rsp = 0 für L (0.5P) und  (0.5P) und vergleichen Sie das Ergebnis
mit den Formeln im Skript.
Rvsp
5
1
6
3
Rsp
V
u1(t)
uL(t)
Lsp
2
Lösung: a)
4
Rsp2  (Lsp ) 2
Rsp  jLsp
UL


U1
Rv  Rsp  jLsp
( Rv  Rsp ) 2  (Lsp ) 2



Rsp2  (Lsp ) 2
Rsp2  (Lsp ) 2
UL
  10  lg

 20  lg
2
2
2
2
 ( R  R )  (L ) 
 ( Rv  Rsp )  (Lsp ) 
U1
v
sp
sp




2
Rsp  jLsp
R ( R  Rsp )  (Lsp )  jLsp Rv
UL
1,5

 sp v
2
2
U 1 Rv  Rsp  jLsp
( Rv  Rsp )  (Lsp )
L  20  lg



R
(
R
R
)
(

L
)


sp
v
sp
sp



  arctan
Lsp Rv
2
1,5
b) Sonderfall: Rsp = 0;

(Lsp ) 2
UL

 20  lg
L  20  lg
 Rv2  (Lsp ) 2
U1

 R 
 
  arctan v   arctan 0  0,5
 
 Lsp 
15.
2


 ( / 0 ) 2 
  10  lg (Lsp )



10
lg


 R 2  (L ) 2 

1  ( / 0 ) 2 
v
sp




0,5
a) Erläutern Sie qualitativ das Hochpassverhalten der Ausgangsspannung eines R-LGlieds (1P). b) Zeichnen Sie die Schaltung dazu (1P). c) Mit wie viel dB je Dekade
sinkt oder steigt der Spannungsabfall an der Induktivität mit steigender Frequenz
(0.5P)? d) Zeigen Sie dies durch eine einfache Rechnung (1.5P)!
0,5
Lösung: a) Die Amplitude der Eingangsspannungen mit Frequenzen oberhalb der
Grenzfrequenz “Eckkreisfrequenz“ werden am Ausgang nahezu unabgedämpft übertragen.
0,5
Die Amplitude der Spannungen mit Frequenzen unterhalb der Grenzfrequenz
“Eckkreisfrequenz“ werden abgeschwächt (gefiltert). c) Mit steigender Frequenz steigt der
Spannungsfall an der Induktivität um 20 dB pro Dekade, bei der “Eckkreisfrequenz“ wird die
Ausgangsspannung um 3 dB geschwächt. 0,5
1
b)
R-L-Hochpass
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V2 / 8
Praktikum ETiT 1
d)
UL

U
(Lsp ) 2
R  (Lsp )
2
v
Für <<0 :
2

 / 0
1   / 0 
2
0,5

UL

; Eine Frequenzdekade: 2/1 = 10
0
U
U L , 2 2

 10; L  20  lg10  20 dB
U L ,1 1
16.
Vorbereitungsaufgaben V2
0,5
0,5
Zeichnen Sie das BODE-Diagramm (L (1P) und (1P)) des R-L-Glieds als Hochpass.
Skalieren Sie die Achsen im Frequenzbereich 0,01 ≤ /0 ≤ 100. Bezeichnen Sie
numerisch den Wert von L und  bei der Eckkreisfrequenz (1P). Zeichnen Sie die
Asymptoten (1P)!
0,5
1
0,5
Asymptoten
0,5
1
0,5
BODE-Diagramm des R-L-Glieds: oben: Amplitudengang, unten: Phasengang
17.
a) Geben Sie die Schaltung zur Messung der Strom-Ortskurve I() des R-L-Glieds an
(1P). b) Beschreiben Sie den Messablauf (2P). c) Wie werden die Größen der
Ortskurve I() aus den Messgrößen ermittelt (1P)?
uR(t) ~ i(t)
FG 200
Masse
1
5
Verstärker
Rvsp
6
3
Rsp
1
V
AC
u1(t)
Lsp
A
Lösung: a)
2
4
i(t)
Schaltung zur Bestimmung der Ortskurve des RL-Gliedes
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V2 / 9
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Vorbereitungsaufgaben V2
0,5
b) Der Funktionsgenerator ist auf "Sinussignal" zu stellen. Er speist das R-L-Glied mit der
Spannung u1(t). Bei konstanter Spannungsamplitude U1, gemessen mit dem Voltmeter,
0,5
0,5
werden bei verschiedenen Frequenzen mit dem Oszilloskop der Spannungsabfall
UR am
0,5
Vorwiderstand Rvsp sowie die zeitliche Phasenverschiebung t gemessen. Der Effektivwert
des Stroms I wird über den Spannungsabfall UR am Vorwiderstand Rvsp aus I = UR/Rvsp 0,5
bestimmt. c) Mit dem Betrag des Stroms I und dem Phasenwinkel
  f  t  2  f  t  360 wird die Ortskurve gezeichnet.
0,5
18.
a) Für folgende Kreisfrequenzen berechnen und zeichnen Sie maßstäblich die StromOrtskurve I() eines R-L-Glieds bei konstantem Spannungseffektivwert U1 = 3,5 V am
Eingang (3P). Die Luftspule (LSp = 6 mH, RSp = 5,05 Ω) ist in Reihe mit einem
ohmschen Vorwiderstand RVSp = 100 Ω geschaltet (Bild 2.8-3). b) Zeichnen Sie die
Lage des Stromzeigers bei der Eckkreisfrequenz (0.5P) ! c) Welche Form hat die
Ortskurve (Gerade, Kreis, Ellipse…) (0.5P)?
ω /s-1 0 600 3000 6000 11000 17508,3 35000 70000 125000 106
Lösung: a) I 
1
ω /s-1
( RVSp  R Sp )  jL Sp
I /mA
φ /°
;
  arctan
IRe/mA IIm/mA
  LSp
RVSp  RSp
RL-Strom-Ortskurve
33,317 0,000 33,317 0,000
30
33,298 1,963 33,278 1,140
25
32,839 9,723 32,367 5,546
20
31,518 18,916 29,816 10,218
15
28,212 32,140 23,888 15,008
23,559 45,000 16,659 16,659
0,5
10
φ
35000 14,906 63,424 6,669 13,331
5
70000 8,084 75,957 1,962 7,843
0
125000 4,622 82,027 0,641 4,577
0
1000000 0,583 88,997 0,010 0,583
b) Siehe Skizze! c) Die Ortskurve ist ein Halbkreis ! 0,5
19.
1
35
1
Re( I ) / mA
0
600
3000
6000
11000
17508,3
U1

10
20
- Im(I) / mA
30
a) Geben Sie die Zeitkonstante T einer R-L-Serienschaltung an (1,5P). b) Wie
verändert sich die Zeitkonstante T, wenn die Temperatur des Widerstandes von 20°C
auf 150°C steigt (2,5P)? (Zur Erwärmung des Widerstandes siehe Versuch 1).
1,5
L
; R150C / R20C  1.51 . b) Die Zeitkonstante T wird kleiner:
R
2,5
 0.66
Lösung: a) T 
T150C / T20C
20.
a) Beschreiben Sie, wie die Spuleninduktivität LSp eines R-L-Glieds mit einem
Rechteckgenerator messtechnisch bestimmt wird (2P). b) Geben Sie die
Auswerteformel an (1P). c) Zeichnen Sie die Schaltung dazu (1P).
TU Darmstadt
Institut für Elektrische Energiewandlung
V2 / 10
Praktikum ETiT 1
Vorbereitungsaufgaben V2
Lösung: a) Aus dem zeitlichen Verlauf der Spannung am Vorwiderstand uRvsp(t) kann man die
Induktivität
L bestimmen. Wird an den Zweipol des R-L-Glieds eine Spannung u(t) mit einem
0,5
0,5
zeitlichen Rechteckverlauf
gelegt, so entsteht durch den Wechsel von Auf- und
0,5
Entladevorgängen eine Spannung uRvsp(t), die eine0,5 Exponentialfunktion ist. Zwischen der
maximalen Spannung URvsp,max und dem Spannungsminimum URvsp,min herrscht die einfache
Beziehung
URvsp,min = URvsp,max . e-  /T
b) Über das Oszilloskop misst man die Höhe des Minimums URvsp,min und des Maximums
URvsp,max sowie die Zeit t zwischen diesen beiden Werten. So lässt sich die
Spuleninduktivität bestimmen:
t  ( Rvsp  Rsp )
. 1
Lsp 
ln(U Rvsp, max / U Rvsp,min )
uR(t) ~ i(t)
FG 200
Masse
-
1
Verstärker
Rvsp
6
3
Rsp
Frequenzzähler
DC
5
1
u1(t)
Lsp
+
2
4
c) Schaltung zur Bestimmung der Spuleninduktivität
21. Zeigen Sie durch Einsetzen, dass i (t ) 
U t / T
e
eine Lösung der Differentialgleichung
R
(2.1.3-4) ist. (4P).
TU Darmstadt
Institut für Elektrische Energiewandlung