R - Die spezielle Relativitätstheorie

Musso: Physik I
Tipler-Mosca
Teil R Spez. Relativität
Seite 1
R. Die spezielle Relativitätstheorie (Special relativity)
R.1 Das Relativitätsprinzip und die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
R.2 Bewegte Stäbe (Moving sticks)
R.3 Bewegte Uhren (Moving clocks)
R.4 Noch einmal bewegte Stäbe (Moving sticks again)
R.5 Weit voneinander entfernte Uhren und Gleichzeitigkeit (Distant clocks and simultaneity)
R.6 Anwendung der Gesetzmäßigkeiten der speziellen Relativitätstheorie (Applying the rules)
R.7 Relativistischer Impuls, Masse und Energie (Relativistics Momentum, Mass, and Energy)
siehe auch Teil 39: Relativitätstheorie
Begriff Lichtjahr
1 Lichtjahr = 1 c ⋅ y
Beispiel: Teilchen v = 0.1c
Strecke ΔA = 25 Lichtjahre = 25 c ⋅ y ⇒
ΔA
= 250 Jahre
benötigte Zeit Δt =
v
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Teil R Spez. Relativität
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R.1 Das Relativitätsprinzip und die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit (The principle of relativity and the constancy of light)
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Unter gleichförmiger Bewegung versteht man dabei die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit
relativ zu einem Inertialsystem.
(Siehe Teil 2 bzw. 4) Jedes Bezugssystem, in dem ein Teilchen, auf das keine Kräfte einwirken, sich
mit konstanten Geschwindigkeit bewegt, ist ein Inertialsystem.
1887 Michelson und Morley: interferometrisches Experiment ⇒ Geschwindigkeit der Erde relativ
zum "Äther" = 0
1905 Einstein: Aufstellung der speziellen Relativitätstheorie, konsistent mit den experimentellen
Beobachtungen, Äther unnötiges Konstrukt
Die intuitive Vorstellung von Raum und Zeit ist zu revidieren
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R.2 Bewegte Stäbe (Moving sticks)
Ruhender Stab A
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Ruhender Stab A
Das Bezugssystem, in dem die beiden Stäbe in Ruhe sind,
wird Eigen- oder Ruhebezugssystem genannt.
Die Länge eines Stabs in seinem Ruhebezugssystem
bezeichnet man als Eigenlänge oder Ruhelänge.
Vorbeifliegender Stab B
Annahme: Verkürzung bei Bewegung
Nach dem Vorbeiflug
ruhender Stab B
Nach dem ersten Postulat (Relativitätsprinzip) gleichwertige Situation gegeben durch
Stab B in Ruhe beim Vorbeiflug, Stab A bewegt ⇒
aus Befund (rote Markierungen auf Stab B) ⇒ bewegter Stab A länger als ruhender Stab B ⇒ Widerspruch
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R.3 Bewegte Uhren (Moving clocks)
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Lichtuhr, bewegt
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Relativ zum Bezugssystem bewegte Uhr:
Zurückgelegte Entfernung zwischen
zwei Lichtpulsen:
Uhr ⇒ vT
⎛1 ⎞
Lichtpuls ⇒ cT = 2 L20 + ⎜ vT ⎟
⎝2 ⎠
1
mit L0 = cT0 ⇒
2
2
2
1
⎛1
⎞ ⎛1 ⎞
cT = ⎜ cT0 ⎟ + ⎜ vT ⎟
2
⎝2
⎠ ⎝2 ⎠
1
1
1
⇒ c 2T 2 = c 2T02 + v 2T 2
4
4
4
(
)
T 2 c 2 − v 2 = c 2T02
Lichtuhr, ruhend
2
⇒
T=
⇒
T0
1−
Eigenbezugssystem:
v2
c2
Zurückgelegte Entfernung zwischen zwei Lichtpulsen: 2L0 = cT0
Beispiel R.1: Die schlummernden Astronauten
Raumschiff v = 0.6 c
Astronaut im Raumschiff: Eingenzeitintervall T0 = 1 h
gesucht: Zeitintervall im Bezugssystem der Erde
T0
1h
⇒ T =
= 1.25 h
aus Gl. R-3 T =
2
v2
1 − ( 0.6 )
1− 2
c
26 ns
Übung: Pion T0 = 26 ns v = 0.995 c ⇒ T =
= 260 ns
2
1 − ( 0.995 )
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Zwei synchronisierte Uhren ticken im Eigensystem jeder Uhr und in einem mit v bewegten sich gleichförmig
bewegenden Bezugssystem simultan
Etwas, das zu einem bestimmten Moment in der Zeit an einem bestimmten Ort
im Raum geschieht, nennt man Raumzeitereignis oder Ereignis.
Wenn zwei Ereignisse zur selben Zeit und am selben Ort stattfinden,
bezeichnet man dieses Ereignispaar als Raumzeitkoinzidenz.
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R.4 Noch einmal bewegte Stäbe (Moving sticks again)
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Ereignis 0: Der Lichtpuls wird am linken Spiegel reflektiert
Ereignis 1: Der Lichtpuls wird am rechten Spiegel reflektiert
Ereignis 2: Der Lichtpuls wird am linken Spiegel reflektiert
Parallel bewegter Stab:
Im Eigenbezugssystem der Lichtuhr ⇒ t2 − t0 =
2L0
c
Im Bezugssystem, in dem sich die Lichtuhr mit
Geschwindingkeit v nach rechts bewegt:
(
)
zwischen t0' und t1' : Lichtuhr bewegt sich um v t1' − t0' ,
(
Lichtpuls bewegt sich um c t1' − t0'
(
)
(
)
)
⇒
L
+ t0'
c −v
'
'
zwischen t1 und t 2 : Lichtuhr v t 2' − t1' , Lichtpuls c t 2' − t1'
c t1' − t0' = L + v t1' − t 0'
⇒ t1' =
(
(
)
(
c t 2' − t1' = L − v t 2' − t1'
)
t 2 − t0
v2
1− 2
c
mit Gl. R-1 (Eigenbezugssystem) t 2 − t0 =
v
c 1− 2
c
L = L0 1 −
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2
⇒
2L
⎛ v2 ⎞
c ⎜1− 2 ⎟
⎝ c ⎠
Mit Gl. R-3 (Zeitdilatation) t 2' − t0' =
2L0
)
)
t1' eingesetzt ⇒ t 2' − t0' =
t 2' − t0' =
(
⇒ mit t 2' − t0' =
und
2L0
c
2L
⎛ v2 ⎞
c ⎜1− 2 ⎟
⎝ c ⎠
⇒
⇒
v2
c2
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R.5 Weit voneinander entfernte Uhren und Gleichzeitigkeit (Distant clocks and simultaneity)
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Bezugssystem 1: Ruhebezugssystem S
Uhren synchronisiert
Lichtpuls ⇒ Ausbreitungszeit von A nach B:
Synchronisation von B bezüglich A: δ t = t1 −
Bezugssystem 2 (S'): Uhren bewegen sich mit v
L0
c
L0
c
⇒ t A,S =tB,S
⇒
v2
Abstand zwischen den Uhren L = L0 1 − 2
c
Lichtpuls ⇒ Zurückgelegte Strecke ct AB = L − vt AB ⇒
L
c +v
da bewegte Uhren langsamer gehen (Zeitdilatation) ⇒
t AB =
t AB,S' =
v2
L
1− 2
c +v
c
⇒ mit L = L0 1 −
v2
c2
⇒
t AB,S' =
L0 ⎛ v 2 ⎞
L0 c 2 − v 2
L ( c + v )( c − v )
1
−
=
= 0
⇒
⎜
2 ⎟
2
c +v ⎝ c ⎠ c +v c
c +v
c2
t AB,S' =
L0 L0
− v
c c2
L0
(Raumzeitkoinzindenz)
c
L L
Uhr A: Anzeige beim Auftreffzeitpunkt Lichtblitz 0 − 02 v
c c
Uhr B: Auftreffzeitpunkt Lichtblitz
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R.6 Anwendung der Gesetzmäßigkeiten der speziellen Relativitätstheorie (Applying the rules)
Beispiel R.2: Ein Zug fährt durch einen Tunnel
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Tunnel: Eigenlänge LT,S = 1.2 km (Bezugssystem S = Berg), Zug: Eigenlänge LZ,S' = 2.0 km (Bezugssystem S' = Zug),
im Bezugssystem S = Berg sei LZ,S = 1.2 km
synchronisierte Uhren A und B fest mit Bezugssystem S = Berg
Teil a) gesucht Geschwindigkeit des Zuges und Durchlaufzeit:
aus Gl. R.9 (Längenkontraktion) LZ,S = LZ,S'
v2
1− 2
c
⇒
L2Z,S
v2
1
=
−
L2Z,S'
c2
Im Eigensystem S = Berg Zug mit v = 0.8 c ⇒ Durchlaufzeit ΔtS =
⇒
LT,S
v
=
(1.2 km )
1−
2
( 2.0 km )
2
L2Z,S
v = c 1− 2
LZ,S'
⇒
v =c
= 0.8 c
1.2 × 103 m
= 5.0 μ s
0.8 3.0 × 108 ms-1
(
)
Teil b) gesucht Länge des Tunnels LT,S' und Uhrzeiten am Ein- und Ausgang
v2
Im Bezugssystem S' = Zug hat Berg v = 0.8 c ⇒ aus Gl. R.9 Längenkontraktion ⇒ LT,S' = LT,S 1 − 2 = 0.72 km
c
Annahme: wenn Zug bei A ⇒ t A,S = 0 (Raumzeitkoinzidenz); bezogen auf S' ist A vordere Uhr, B hintere Uhr bewegt mit v ⇒
v LT,S
1.2 × 103 m
=
0.8
= 3.2 μ s
3.0 × 108 ms-1
c2
c c
= 5 μ s (Raumzeitkoinzidenz); bezogen auf S' ist A vordere Uhr, B hintere Uhr bewegt mit v ⇒
zeitlicher Vorsprung von Uhr B gegenüber Uhr A im Bezugssystem Zug = S': δ t AB =
wenn Zug bei B ⇒ tB,S
zeitlicher Vorsprung von Uhr B gegenüber Uhr A im Bezugssystem Zug = S': δ t AB =
vLT,S
=
vLT,S
= 3.2 μ s
c2
also wenn Zug bei B ⇒ tB,S = tB,S' = t A,S = 5 μ s aber t A,S' = 5 − 3.2 μ s = 1.8 μ s
Teil c) Passagier auf S' ⇒ Tunneldurchfahrzeit bei v = 0.8 c: aus LT,S' = 720 m ⇒ t T,S' =
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LT,S'
v
=
720 m
= 3.0 μ s
0.8 c
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Teil R Spez. Relativität
R.7 Relativistischer Impuls, Masse und Energie (Relativistics Momentum, Mass, and Energy)
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Genauso wie in der klassischen Physik bleiben auch in der speziellen Relativitätstheorie
Impuls und Energie erhalten.
Impuls und Masse
mit mrel =
Energie
m0
wobei m0 Ruhemasse (im Ruhebezugssystem v = 0 ⇒ mrel = m0 ) ⇒
v2
1− 2
c
p = mrelv
Genauso wie in der klassischen Mechnanik gilt in der relativistischen Mechanik:
dp
dp
ds
(eindimensionaler Fall): F =
ds = dp
⇒ dsF = dW =
= vdp = dEkin ⇒
dt
dt
dt
m0c 2
aus Teil 39 ⇒ Ekin =
-m0c 2
2
v
1− 2
c
mit E =
m0c 2
1−
2
relativistische Gesamtenergie ⇒
v
c2
Aus Gl. R.10 p =
m0v
v2
1− 2
c
m0v
⇒ mit Gl. R.10 p =
v2
1− 2
c
⇒
pc =
⇒
m0vc
p=
E = Ekin + m0c 2 wobei E0 = m0c 2 Ruheenergie
⇒ mit Gl. R.15 ⇒
v2
1− 2
c
m0 pc 2
2
pc
E 1− 2
E
2
⇒
m0vc
pc
=
E
v2
1− 2
c
E 2 − p 2c 2 = m0c 2
siehe auch http://teachers.web.cern.ch/teachers/archiv/HST2002/Bubblech/mbitu/basic_formulae.htm
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v2
c2
m0c 2
1−
⇒
(
pc v
=
E
c
⇒ E 2 = p 2c 2 + m0c 2
)
Gl. R.16
Gl. R.17
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Alonso-Finn
Teil R Spez. Relativität
v
0.8 c
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19. Das Relativitätsprinzip
19.1 Einführung
19.2 Die Lichtgeschwindigkeit
19.3 Die Lorentz-Transformation
19.4 Lorentz-Transformation der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen
19.5 Folgen der Lorentz-Transformation
19.6 Spezielle Relativitätstheorie
19.7 Impuls
19.8 Kraft
19.9 Energie
19.10 The allgemeine Relativitätstheorie
20. Hochenergieprozesse
20.1 Einführung
20.2 Energie und Impuls
20.3 Teilchensysteme
20.4 Hochenergiekollisionen
20.5 Teilchenzerfall
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Universität Salzburg
Teil R Spez. Relativität
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Seite 12
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Musso: Physik I
20.1 Einführung
Teil R Spez. Relativität
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Hochenergieprozesse verlangen die Einstein-Theorie der Relativität für ihre Analyse
http://teachers.web.cern.ch/teachers/archiv/HST2005/bubble_chambers/BCwebsite/gallery33.htm
20.2 Energie und Impuls
http://teachers.web.cern.ch/teachers/archiv/HST2002/Bubblech/mbitu/default.htm
Um viele Hochenergieprozesse zwischen Elementarteilchen zu analysieren ist oft ausreichend die
Impuls und Energie eines Teilchens mit Masse m und Geschwindigkeit v
G
p =
G
m v
r
T = ln 2 / λ
v
1 −
c
2
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mc 2
1−
2
wobei die Ruheenergie miteinbezogen ist.
anders ausgedrückt:
E=
v2
c2
E 0 = mc 2
G c2 G
v=
p
E
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