12-5 Magnetisches Feld und Induktion

LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
8.
1
Magnetisches Feld und Induktion
8.1. Magnetisches Feld
Magnetisches Feld ist der Raum um Ströme elektrischer
Ladungsträger und um Dauermagnete. Es wird
qualitativ durch ein magnetisches Feldlinienbild
beschrieben. Die quantitative Beschreibung
r
erfolgt u.a. durch die magnetische Flussdichte B .
Magnetische Feldlinien Die Richtung der Feldlinien
wird durch den Nordpol eines magnetischen
Probekörpers angezeigt. Magnetische Feldlinien
treten am magnetischen Nordpol aus, treten im
magnetischen Südpol ein und setzten sich im
felderzeugenden Körper fort d.h. die Feldlinien
haben keinen Anfang und kein Ende, sie sind
immer geschlossen.
Magnetfeld der Erde ist ein inhomogenes magnetostatisches Feld. Der magnetische Südpol befindet sich in der
Nähe des geographischen Nordpols. Der magnetische
Nordpol befindet sich in der Nähe des geographischen
Südpols.
Dauermagnetismus hat elektrische Ursachen z.B. durch Ströme
innerhalb der Atome und Moleküle.
Magnetfeld um einen geraden stromdurchflossenen Leiter
Zur symbolischen Darstellung von Stromrichtung und
Feldlinienrichtung in der Zeichenebene wird folgendes festgelegt:
Strom bzw. Feldlinien kommen aus der Ebene heraus
Strom bzw. Feldlinien gehen in die Ebene hinein
HANS CHRISTIAN OERSTED (1777 - 1851) entdeckte im Jahre 1820 die magnetische Wirkung elektrischer Ströme und damit den Zusammenhang zwischen Elektrizität und
Magnetismus.
Rechte-Hand-Regel (auch UVW-Regel) ermöglicht
den Zusammenhang zwischen der Bewegungsrichtung
der Ladungsträger (Daumen), der Richtung des
Magnetfeldes (Zeigefinger) und der Richtung der
Kraft auf die Ladungsträger (Mittelfinger) zu erfassen.
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
8.2 Kraftwirkung auf einen stromdurchflossenen Leiter
8.2.1 Leiterschaukel - Grundversuch
Ein stromdurchflossener Leiter erfährt in einem
Magnetfeld eine Kraftwirkung. Die Richtung der
Kraft ist erstens durch die Stromrichtung und
zweitens durch die Richtung der Feldlinien
gegeben. (vgl. Rechte-Hand-Regel)
8.2.2 Die magnetische Flussdichte – Messversuch mit der Stromwaage
Versuchsanordnung:
Index: L ... Leiterdaten; S ... Spulendaten
Wegen der Verwechslung der Buchstaben von Strom und Leiterlänge (im Druck) wird der
Strom wenn erforderlich mit J (JOT) geschrieben!
2
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
3
Versuchsbeschreibung:
zu untersuchende Formen der Leiterschleife
Versuchsdurchführung und Messwerttabelle:
F = f ( J L ; lL ; J S ;
Vermutete Abhängigkeiten - Hypothese:
NS
)
lS
Vers.-Nr.
1
2
3
4
5
6
7
lL in 10-2 m
2,0
4,0
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0
JL in A
10
10
10
5,0
2,5
10
10
JS in A
5,0
5,0
5,0
5,0
5,0
2,5
5,0
NS
in m-1
lS
400
400
400
400
400
400
200
F in mN
0,5
1,0
2,0
1,0
0,5
1,0
1,0
Auswertung:
Spulendaten konstant: J S = 5,0 A ;
NS
= 400m −1
lS
Leiterdaten variabel:
1. F = f ( J L ) ; l L = 8,0 ⋅10 −2 m = konstant
Vers.-Nr
JL in A
F in mN
F in mN·A-1
JL
Folgerung:
3
10
2,0
4
5,0
1,0
5
2,5
0,5
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
4
2. F = f ( lL ) ; J L = 10,0 A = konstant
Vers.-Nr
lL in 10-2 m
F in mN
1
2,0
0,5
2
4,0
1,0
3
8,0
2,0
F in 10-1Nm-1
lL
0,25
0,25
0,25
Folgerung:
Zusammenfassung:
F ~ J L ∧ F ~ lL
k=
Definition:
B=
⇒
F ~ J L ⋅ lL
⇒
F = k ⋅ J L ⋅ lL
F
= konstant
J L ⋅ lL
Diese Konstante ist durch das Magnetfeld bestimmt k = B
F
magnetische Flussdichte
J L ⋅ lL
[ B] =
1N
= 1T
1A ⋅1m
T ... Tesla1
Bedeutung der Flussdichte von 1 Tesla einer Spule:
Eine Spule hat die magnetische Flussdichte von 1 Tesla, wenn ein Leiter mit der Länge von
1 Meter (senkrecht zu den Feldlinien) der von einem Strom von 1 Ampere durchflossen wird,
eine Kraftwirkung von 1 Newton erfährt.
8.2.3 Vektordarstellung
aus B =
F
umgestellt nach F ⇒ F = I · (l · B) bzw.
I ⋅l
(
v v
v
als Vektorprodukt F = I ⋅ l × B
)
v
v
Die Vektoren l und B bilden ein Rechtssystem,
d.h. sie stehen paarweise aufeinander senkrecht.
vgl. Dreifingerregel:
v
F
v
B
UVW-Regel
v
l
1
Tesla, Nikola – kroatisch-amerikanischer Elektroingenieur (1856-1943) – 1883 Wechselstrom-Induktionsmotor
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
5
8.3 Lorentzkraft
8.3.1 Definition
aus
(
)
v v
v
F = I ⋅ l ×B ⇒
mit
r
Q
r l
I=
und v =
t
t
r
v Q r v
l v
F = ⋅ l × B = Q ⋅  × B 
t
t

(
⇒
)
v
v v
F = Q ⋅ (v × B )
r r
v⊥B ⇒
für den Sonderfall:
F = Q⋅v⋅ B
mögliche Bedeutung der Geschwindigkeit v - bewegte Ladung im Magnetfeld:
1.
2.
3.
Ein Leiter bewegt sich mit seinen „gebundenen“ Elektronen mit der Leitergeschwindigkeit v im Magnetfeld. Die Elektronen sind zum Leiter relativ in Ruhe.
Anwendung: Generator
Ladungen bewegen sich in einem Leiter mit der Driftgeschwindigkeit v.
Der Leiter befindet sich im Ruhezustand.
Anwendung: Elektromotor, Hallgenerator
Freie Ladungen (positiv bzw. negativ geladene) bewegen sich in einem Magnetfeld mit
der konstanten Fluggeschwindigkeit v.
Anwendung: Fadenstrahlrohr
Überlagerung von elektrischem Feld und magnetischem Feld:
v
v
Elektrisches Feld:
Fe = Q ⋅ E
Die elektrische Kraft wirkt auf ruhende und
bewegte Ladungen.
Beispiel: Millikan-Versuch, Oszilloskop
(Braunsches Rohr)
v
v v
Magnetisches Feld: Fm = Q ⋅ (v × B )
Die magnetische Kraft wirkt nur auf bewegte
Ladungen.
Beispiel: Fadenstrahlrohr
Wirken beide Felder gleichzeitig, so kommt es zu einer Überlagerung der beiden Felder.
(
)
(
r
r r
r
r r r
r r
Fges = Fe + Fm = Q ⋅ E + Q ⋅ v × B = Q ⋅ E + v × B
(
r
r r r
Fges = Q ⋅ E + v × B
)
)
r
r r
d.h. die Richtungen von E und v × B sind entscheidend über die Kraftwirkung F auf eine
Ladung Q
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
6
8.3.2 Hallgenerator - Halleffekt
Versuchsanordnung
v ... Driftgeschwindigkeit der Elektronen im Leiter - entspricht der physikalischen
Stromrichtung!
v
B
v -e
v
d
V
I
S
Betriebsspannung
Versuchsbeschreibung und Aufbau:
„Anlaufvorgang“:
Gleichgewichtssituation - stationärer Zustand:
v
v
v
v
Fe = Q ⋅ E mit Q = -e ⇒ Fe = −e ⋅ E , Kraftvektor entgegen dem Feldvektor !
Es baut sich ein elektrisches Feld auf, bis gilt:
r
r
U
U
Fe = Fm ⇒ − e ⋅ E = −e ⋅ v ⋅ B ⇒ mit E = H ⇒ H = v ⋅ B ⇒
d
d
UH = d ⋅v ⋅ B
... Hallspannung
1
1
ungestellt nach der Flussdichte: B =
⋅U H
mit
= konstant
d ⋅v
d ⋅v
⇒ B ~ UH
Ein Spannungsmesser kann in Tesla geeicht werden. ⇒ Messung von Magnetfeldern
- Flussdichtemessgerät (Teslameter)
UH
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
7
8.3.3 Spezifische Ladung eines Elektrons Versuchsanordnung und – beschreibung
Elektronen werden mit der Geschwindigkeit v (Elektronenkanone) senkrecht in ein
r r
Magnetfeld eingeschossen. v ⊥ B
Bedingung für Kreisbahn:
1.
zeitlich konstantes und homogenes Magnetfeld
r r
2.
v ⊥ B ⇒ Bewegung in einer Ebene (keine Spirale)
r r
r
r
3.
F ⊥ v ⇒ v = konstant ⇒ F = konstant
FL ist Zentralkraft ⇒ Kreisbahn
Fz = Fm
me ⋅ v 2
= e⋅v⋅ B
r
e
⋅r ⋅B
v=
me
Herleitung:
Quadrieren
2
v
2⋅
2
e
⋅U A
me
e
me
 e 
=   ⋅ r 2 ⋅ B 2
 me 
2
 e  2 2
=   ⋅ r ⋅ B
 me 
2 ⋅U
= 2 A2
r ⋅B
mit ve2 = 2 ⋅
e
⋅U A
me
Mit dem bekannten Wert der Elementarladung e ist die Masse des Elektrons me berechenbar.
e
me = e
me = 9,1094 ⋅10 −31 kg
me
Aufgabe:
FOS AP 2005/II 1.0...
FOS AP 2000/II 1.0...
FOS AP 2001/I 1.0...
FOS AP 1998/II 2.0...
FOS AP 2008/III 1.0...
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
8
8.3.4 Wienfilter
hier als Beispiel die Ladung eines Elektrons
+ U
v
B
v
E
e-
d
v
v
Fe = Fm
Für die geradlinige Flugbahn des Elektrons gilt:
e⋅ E = e⋅v⋅ B
E
B
U
v=
d ⋅B
v=
Das Vorzeichen der Ladung und die Masse der Teilchen haben hier keine Bedeutung. Diese
Anordnung ist für alle Ladungsarten geeignet. Nur Teilchen einer ganz bestimmten
Geschwindigkeit können den Kondensator passieren (verlassen). Die anderen werden je nach
Ladung und Geschwindigkeit auf die Kondensatorplatten aufprallen bzw. abgelenkt.
Geschwindigkeitsfilter
Die herausgefilterten Teilchen (alle gleiche Geschwindigkeit) werden danach senkrecht zu
den Feldlinien eines Magnetfeldes weiterfliegen. Hier werden sie je nach ihrer spezifischen
Ladung
und
Q
auf verschiedene Kreisbahnen abgelenkt
m
treffen
an
verschiedenen
Anzeigeschirms auf.
- vereinfachter Massenspektrograph
Stellen
eines
Wienfilter
U
Magnetfeld
von
Ionenquelle
d
Radius r
Schlitzblenden
Photoplatte
Aufgabe:
FOS AP 2004/III 2.0...
Massenspektrograph
r
B
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
9
8.4 Magnetische Flussdichte einer langgestreckten Spule
Der Innraum der Spule ist leer. Die Spulenlänge lS ist mindestens 10 mal größer als der
Spulendurchmesser (⇒ langgestreckt). Die Windungen NS sind einlagig aufgebracht.
Die Flussdichte B wird mit einer Hallsonde gemessen.
Versuchsanordnung
wie 8.2.2
Messwerttabelle
Vers.-Nr.
1
2
3
4
5
6
7
lL in 10-2 m
2,0
4,0
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0
JL in A
10
10
10
5,0
2,5
10
10
JS in A
5,0
5,0
5,0
5,0
5,0
2,5
5,0
NS
in m-1
lS
400
400
400
400
400
400
200
F in mN
0,5
1,0
2,0
1,0
0,5
1,0
1,0
Auswertung:
Untersucht wird die Abhängigkeit der Flussdichte B von den Kenngrößen der Spule
(Windungszahl NS, Spulenlänge lS und Stromstärke JS). Da die Flussdichte B ~ F ist, wird
anstelle der Flussdichte B die Kraft F betrachtet.
Die Leiterdaten aus dem Versuch 8.2.2 bleiben konstant: J L = 10 A ; l L = 8,0 ⋅10 −2 m
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
1. F = f ( J S ) ;
10
NS
= 400m −1 = konstant
lS
Vers.-Nr
JS in A
F in mN
3
5,0
2,0
6
2,5
1,0
F
in mN·A-1
JS
0,4
0,4
Folgerung:
2. F = f (
NS
) ; lS = 5,0 A = konstant
lS
Vers.-Nr
NS
in m-1
lS
F in mN
F
NS
lS
in 10-6Nm
8
7
400
200
2,0
1,0
5,0
5,0
Folgerung:
Zusammenfassung:
⇒
F ∼ JS ∧ F ∼
⇒
B ∼ JS ∧
⇒
B = k ⋅ JS ⋅
B ∼
NS
bei konstanten Leiterdaten J L und lL ist F ∼ B
lS
NS
lS
⇒ B ∼ JS ·
NS
lS
⇒
N
B = µ0 ⋅ µr ⋅ J S ⋅ S
lS
µ0 = 12,566 ⋅10−7
Vs
Am
= 4 ⋅ π ⋅10 −7
Vs
Am
k=
NS
lS
⇒
B
=µ
N
JS ⋅ S
lS
mit µ = µ0 ⋅ µ r
µ 0:
...
magnetische Feldkonstante
µ r:
...
Permeabilitätszahl
(Stoffkonstante – Luft: µ r ≈ 1)
Nm
1VAs
Vs
[ µ0 ] = 1 A1⋅1Tm−1 = 11TmA = 11Am
⋅ A = 1 Am⋅ A = 1 Am
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
8.5 Aufgaben zu den Kapiteln 8.1 - 8.4
e/m - Bestimmung
AP 1981 IV
11
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
12
Hinweis zu 6) Feldstärke im Mittelpunkt einer
kreisförmigen Leiterschleife: H = I / (2·r)
Empfehlung:
Bearbeiten Sie auch aus dem Buch die entsprechenden Übungsaufgaben!
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
13
8.6 Induktion
8.6.1 Grundversuche und qualitative Aussagen
Faraday’scher Grundversuch (Michael Faraday, 1791 - 1867)
Im Magnetfeld eines Dauermagneten (Hufeisenmagnet) wird eine Leiterschleife
bewegt.
Folgerung: An den Enden der Leiterschleife
wird eine Spannung (Polarität) gemessen.
Diese Spannung wird induzierte Spannung
oder Induktionsspannung bezeichnet.
Verantwortlich für die Ladungsverschiebung
ist die Lorentzkraft:
v
v
v v
Fm = FL = Q ⋅ (v xB)
Qualitative Versuche
Ein Leiter wird zu einer Spule gewickelt und
im Magnetfeld eines Hufeisenmagneten
bewegt.
Es werden nun verschiedene Möglichkeiten
der „Bewegung“ untersucht.
Fall a) Magnet in Ruhe - Spule bewegt sich achsial über einen Schenkel des Magneten.
Folge:
Die Richtung der Spulenbewegung wird umgekehrt:
Folge:
Fall b) Spule in Ruhe - ein Schenkel des Magneten bewegt sich achsial in der Spule.
Folge:
Die Richtung der Magnetenbewegung wird umgekehrt:
Folge:
Fall c) gleiche Anordnung wie b) jedoch bewegt sich die Spule nicht gegenüber dem
Magneten. Relativgeschindigkeit ist null. Beiden bewegen sich mit gleicher Geschwindigkeit.
Folge:
Fall d) Magnet in Ruhe - Spule bewegt sich achsial entlang der Feldlinien des Magneten
Folge:
Fall e) Magnet in Ruhe - die Spule liegt achsial entlang der Feldlinien des Magneten
Die Spule wird senkrecht zu den Feldlinien aus dem Magnetfeld gezogen.
Folge:
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
14
Die Versuche a) bis e) lassen sich in gleicher Weise durchführen und führen zu den gleichen
Ergebnissen, wenn man den Dauermagneten
durch einen Elektromagneten ersetzt.
Dieser Elektromagnet besteht aus einer
Feldspule (Erregerwicklung) und einem
Weicheisenkern in Hufeisenform. Die
Erregerwicklung wird mit Hilfe eines
Schalters an eine Erregerspannung gelegt.
Zusammenfassung: Eine Induktionsspannung entsteht dann, wenn sich ein
elektrischer Leiter (Spule) und ein Magnetfeld relativ zueinander bewegen. Die
Polarität dieser Spannung und als Folge die Richtung eines Stromes bei belasteter
Spannungsquelle ist von der Bewegungsrichtung abhängig.
GENERATORPRINZIP
Die Induktionspule ist in Ruhe - über einen Schenkel des Weicheisenkerns geschoben:
Induktion ohne „Bewegung“
Fall f) Die Erregerspannung wird mit dem Schalter angeschaltet bzw. abgeschalten. Ein
magnetisches Feld wird aufgebaut bzw. „bricht“ zusammen.
Folge: In beiden Fällen wird .......
Fall g) Die Erregerspannung wird über einen Schiebewiderstand mit dem Schalter
angeschaltet. Ein magnetisches Feld wird aufgebaut. Die Änderung des Magnetfeldes wird
durch Veränderung des Widerstandes (Strom ändert sich) bewirkt.
Folge:
Eine Induktionsspannung entsteht, wenn sich das magnetische Feld, das sich im
Inneren der Induktionsspule befindet, ändert, also auch wenn keine
Relativbewegung zwischen Spule und Elektromagnet stattfindet.
TRANSFORMATORPRINZIP
Untersuchung der Abhängigkeit der induzierten Spannung von der Windungszahl N i der
Induktionsspule:
Ein Stabmagnet wird aus einer bestimmten Höhe h in das Innere der Induktionsspule fallen
gelassen. Dadurch ist gewährleistet, dass bei verschiedenen Versuchen immer die gleiche
Geschwindigkeitsänderung stattfindet. Als Unterlage wird eine Styroporplatte verwendet.
Stabmagnet
V-Nr.
Induktionsspule
h
V
Ni
Ui
1
250
Voltmeter
Ui
Folgerung:
2
500
Ui
Ni
3
1000
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
15
8.6.2 Bewegter Leiter in einem homogenen Magnetfeld
8.6.2.1 Vermutung - Hypothese der Abhängigkeiten
Bisherige Kenntnisse:
v v
v
Fm = ( J ⋅ l ) × B
⇒
v v
v⊥B
v
v
v v
Fm = FL = Q ⋅ (v × B) ⇒
aus Qualitative Versuche 8.6.1: Hypothese
Fm = J ⋅ l ⋅ B ;
Fm = Q ⋅ v ⋅ B
U i = f ( B ; l; v )
8.6.2.2 Theoretische Herleitung
Gedankenversuch: Auf zwei blanken (im Abstand l ) Metallschienen wird ein ebenfalls
blankes Leiterstück (Länge l ) mit konstanter Geschwindigkeit v bewegt. Senkrecht zu dieser
Anordnung wirkt ein homogenes magnetisches Feld der magnetischen Flussdichte B.
v
B
C
Ui
V
v
Fm
v
Fe
v
v
D
v v
v ⊥ B ; CD = l
F = e⋅v⋅ B ; v =
s
t
An C bildet sich ein Elektronenüberschuss (- Pol)
An D bildet sich ein Elektronenmangel (+ Pol)
Anlaufvorgang - bis stationärer Zustand erreicht ist (ähnlich wie bei Hallgenerator)
v
v
v r
Fm ⇒ Ladungsverschiebung
v×B
⇒
⇒
ein elektr. Feld mit E baut
v
v
Fe wirkt auf Elektronen
Fe
⇒
v
wirkt solange auf die Elektronen, bis zwischen der magn. Kraft Fm und der elektr. Kraft
v
Fe Gleichgewicht herrscht.
sich zwischen C und D auf
Stationärer Zustand:
⇒
Fe = Fm
e⋅ E = e⋅v⋅ B
Ui
= v⋅B
l
Ui = B ⋅l ⋅v
... die Hypothese hat sich bestätigt
Der Vorteil, dass zuerst die theoretischen Methode (deduktive2 Methode) vor der
experimentellen Methode (induktive3 Methode) durchgeführt wird, ist, dass man aus der
Theorie für den Versuchsaufbau schon Hinweise auf die Gerätschaften hat.
2
3
Ableiten des Besonderen aus dem Allgemeinen
Schlussfolgern vom Besonderen auf das Allgemeine
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
16
8.6.2.3 Messversuch
Versuchsbeschreibung und –aufbau
v
... Geschwindigkeit - „Seilwinde“ mit Motorantrieb und konstanter Drehzahl
An der Motorwelle befinden sich Scheiben mit folgenden Durchmessern:
0,75cm; 1,5cm; 3,0cm. v ∼ r
l
... Leiterlänge - Querstab veränderlicher Länge zur Bewegung - wird von Seilwinde
gezogen
B
... Flussdichte des homogenes Magnetfeldes - zwischen zwei Eisenplatten (leiten die
magn. Feldlinien) werden an den Randbereichen kleine runde Stabmagnete gelegt
Ui
... Induktionsspannung - Voltmeter
Die Schlittenlänge beträgt s = 49cm. Die Zugzeit t für diese Länge s wird mit einer Stoppuhr
gemessen. Daraus kann man die Geschwindigkeiten errechnen.
Eisenplatten
Motor
Rundmagnete B
Zugseil
v
v
l
Schlitten
Messverstärker
V
Ui
Voltmeter
Rundmagnete
Die magnetische Flussdichte B wird durch Veränderung der Anzahl der Rundmagnete
verändert und mit der Hallsonde gemessen.
Die wirksame Leiterlänge l wird durch die Veränderung des Querstückes geändert:
2cm, 3cm; 4cm
Es ergeben sich drei Versuchsreihen: jeweils zwei der freien Variablen müssen konstant
bleiben.
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
17
Messwerttabellen:
konstant ... B = 58mT; l = 4,0cm
1. Versuch:
t
s
v
cm ⋅ s −1
Ui
mV
Ui
v
mV ⋅ cm −1 ⋅ s
17
9
5,5
2,9
5,8
11,5
0,07
0,13
0,24
0,02
0,02
0,02
Folgerung:
konstant ... B = 58mT; v = 11,5cm ⋅ s −1
2. Versuch:
l
cm
Ui
mV
Ui
l
mV ⋅ cm−1
4
3
2
0,24
0,17
0,12
0,06
0,056
0,06
Folgerung:
konstant ... v = 11,5cm ⋅ s −1 ; l = 4,0cm
3. Versuch:
B
mT
Ui
mV
Ui
B
V ⋅T −1
58
43
29
0,24
0,19
0,13
0,004
0,004
0,004
Folgerung:
Zusammenfassung:
Ui ∼ v ∧ Ui ∼ l
U i = k·v·l·B
[k ] =
⇒
V ⋅s
=
m ⋅ m ⋅T
∧ U i ∼ B ⇒ U i ∼ v·l·B
k=
⇒
Ui
v⋅l ⋅ B
=1
... überprüfen Sie!
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
18
Berechnen Sie aus einer Messung den absoluten Fehler ∆k = k soll − kist .
Berechnen Sie den relativen Messfehler ∆k .
k soll
Induktionsspannung für eine Schleife (eine Windung):
Ui = B ⋅l ⋅v
Ui = Ni ⋅ B ⋅l ⋅ v
für N-Windungen gilt:
Diese Spannung ist bei konst. Geschwindigkeit konstant und damit eine Gleichspannung.
8.6.3 Magnetischer Fluss Φ
Die Stärke des magnetischen Feldes in einem Raum kann man modellhaft durch die Anzahl
der Feldlinien darstellen die durch ein kleines Flächenstück hindurchgehen.
Feld 1
Feld 2
A1
A2
Feld 3
A3
A2
A2
Die Gesamtzahl der Feldlinien entspricht dem magnetischen Fluss Φ.
Man umfasst einen magnetischen Fluss analog wie ein „Strohbündel“. Die Feldlinien liegen
verschieden dicht. Mit der Größe der magnetischen Flussdichte B beschreiben wir diese
Wirkung.
Bei gleicher Fläche A = konstant gilt:
Φ~B
Bei gleicher Flussdichte B = konstant gilt: Φ ~ A
Definition:
Φ = B⋅A
für
r r
B || A0
r r
allgemein gilt: Φ = B ⋅ A0 = B ⋅ A ⋅ cos α
r
r
α ist der Winkel zwischen B und A0 .
r
A0 : Normalvektor der Fläche A.
[Φ] = 1T ⋅1m 2 = 1
Nmm
J
Ws
VAs
=1 =1
=1
= 1Vs = 1Wb
Am
A
A
A
...Weber (dt. Physiker, 1804 - 1891)



Φ ~ B·A
r
A0
α
r
B
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
8.6.4
19
Das Induktionsgesetz in differentieller Form
Betrachtet man die qualitativen Versuche von Kap. 8.6.1 mit der neu definierten Größe des
magnetischen Flusses, so folgt:
Ändert sich die durch den Querschnitt A der Leiterschleife (Induktionsspule) hindurchgehende „Anzahl der Feldlinien“ des magnetischen Flusses, so wird in der Leiterschleife eine
Spannung induziert.
Die Größe der induzierten Spannung hängt von der Änderungsgeschwindigkeit
∆Φ
und
∆t
von der Windungszahl ab.
Es gibt zwei Möglichkeiten zur Änderung des magnetischen Flusses
∆Φ = ∆ ( B ⋅ A) ⇒ ∆Φ = ∆B ⋅ A ∨ ∆Φ = B ⋅ ∆A
1. Änderung der magnetischen Flussdichte B bei konstanter Fläche A
- Transformator, Zündspule
2. Änderung der Fläche A bei konstanter magnetischer Flussdichte B
- Generator für Wechselspannung
Induktion durch Flächenänderung ∆A
8.6.4.1
Theoretische Herleitung
bekannt: U i = B ⋅ l ⋅ v
für v = konstant
überstrichenen Fläche ∆A in der Zeit ∆t
Leiterlänge l
v
B
C +
Ui
v
Fe
v
Fm
V
D –
t0 = 0s
(Startpunkt)
∆s
v
v
v v
v ⊥ B ; CD = l ; ∆A = l · ∆s
F = e⋅v⋅ B ; v =
∆s
∆t
An D bildet sich ein
Elektronenüberschuss (- Pol).
An C bildet sich ein
Elektronenmangel (+ Pol).
Das Leiterstück CD = l bildet mit den beiden Metallschienen eine „Leiterschleife“. Zum
Zeitpunkt t0 = 0s (Startpunkt) ist die überstrichene Fläche Null. Zu einem beliebigen
Zeitpunkt t1 wurde die Fläche ∆A in dem Zeitintervall ∆t = t1 - t0 überstrichen. Auf den
Schienen wurde der Weg ∆s zurückgelegt.
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
Ui = B ⋅ l ⋅ v = B ⋅ l ⋅
⇒
Ui =
∆Φ
∆t
20
∆s
l ⋅ ∆s
∆A
= B⋅
= B⋅
mit B ⋅ ∆A = ∆Φ
∆t
∆t
∆t
für v = konstant
Φ
Bis tFeldende erfolgt die Zunahme des Flusses
„gleichmäßig“, da die Geschwindigkeit konstant
∆Φ
ist. Ab tFeldende verlässt der Leiter das magne-
∆t
tische Feld. Es erfolgt keine Änderung des
t Feldende t
Ui
Flusses mehr, d.h. die induzierte Spannung ist
danach Null.
t Feldende t
Ist die Änderungsgeschwindigkeit des
Φ (t )
magnetischen Flusses v ≠ konstant, so ist
auch die induzierte Spannung nicht konstant.
Der magnetische Fluss Φ = Φ ( t ) ist
zeitabhängig.
Es gilt für ∆t → 0
∆Φ dΦ(t )
&
U i = lim
=
= Φ′(t ) = Φ
∆ t → 0 ∆t
dt
Für Ni Windungen gilt:
∆t
U i = N i ⋅ Φ′(t )
Unter Beachtung der Vorzeichenregel gilt allgemein:
∆Φ
&
= − Ni ⋅ Φ
∆ t → 0 ∆t
U i = − N i ⋅ lim
Induktionsgesetz in differentieller Form FS.S. 57
Aufgaben:
FOS AP 1998/III 2.0... FOS AP 1995/III 1.0... FOS AP 2001/III 1.0...
t
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
21
8.6.4.2 Induktion durch Flussdichteänderung ∆B
Zur Flussänderung gibt es außer der Möglichkeit der Flächenänderung noch die Möglichkeit
der Flussdichteänderung ∆Φ = ∆ ( B ⋅ A) = ∆B ⋅ A ; A = konstant
aus U i = − N i ⋅
∆Φ
∆ ( B ⋅ A)
∆B
= − Ni ⋅
= − Ni ⋅
⋅ A folgt mit
∆t
∆t
∆t
B = µ0 ⋅ µ r ⋅ J S ⋅
NS
bzw.
lS
NS
⋅ ∆J S
lS
(Änderung der Flussdichte ∆B durch Änderung der Spulenstromstärke ∆ J S )
∆B = µ 0 ⋅ µ r ⋅
U i = − N i ⋅ µ0 ⋅ µ r ⋅ A ⋅
∆J
N S ∆J S
N
⋅
= −k ⋅ S mit k = N i ⋅ µ0 ⋅ µ r ⋅ A ⋅ S
l S ∆t
∆t
lS
konstant
Erfolgt die Änderung der Spulenstromstärke ∆J S nicht gleichmäßig (linear) dann gilt:
U i = − Ni ⋅ µ0 ⋅ µr ⋅ A ⋅
NS
⋅ J S′ (t ) = − k ⋅ J S′ (t )
lS
Messversuch - Versuchsaufbau und -beschreibung
Induktionsspule
Funktionsgenerator
JS
Messverstärker
A
MV
Ui
V
Feldspule
Die Induktionsspule ( N i ) liegt axial in der Feldspule ( N S , lS ). Der Erregerstrom der Feldspule
J S wird über einen Funktionsgenerator geliefert.
Einstellmöglichkeiten des Funktionsgenerators:
JS
Man kann die Höhe der maximalen Stromstärke
und die Änderungszeiten für das Ansteigen und
Abfallen der Stromstärke
∆J S
einstellen.
∆t
t
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
22
Messtabellen:
1. Versuch: konstant ... ∆J S = 2 , 2 A , N i ; Ui ... qualitativ in Skt (Skalenteilen)
Ui
∆t
s
Ui
Skt
U i ⋅ ∆t
Skt ⋅ s
15
9,0
5,1
2,5
4
6
12
24
60
59
61
60
Folgerung:
1
∆t
2. Versuch: konstant ... ∆t = 4 , 6 s , N i
∆JS
A
Ui
Skt
Ui
∆J s
Skt ⋅ A −1
Ui
2,2
1,4
0,8
11,5
7,4
4,2
5,23
5,29
5,25
Folgerung:
∆J S
Zusammenfassung:
1
U i ∼ ∆t
⇒
∧ U i ∼ ∆JS ⇒ U i ∼
Ui = k ⋅
∆J
∆t
∆J S
∆t
⇒ Index für Spule S wird weggelassen
für Ni Windungen gilt
Es zeigt sich, dass das Vorzeichen und die Größe der
U i = k ⋅ Ni ⋅
∆J
∆t
JS
induzierten Spannung Ui von der Steigung der
Stromstärkeänderung
∆J S
abhängt.
∆t
Φ
Aufgaben:
FOS AP 1997/III 2.0 …
FOS AP 2001/III 2.0 …
FOS AP 2002/II 2.0 …
Ui
t
t
LZ F12.5/B12.8 Elektrisches Feld
23
8.6.4.3 Lenz’sche Regel4
Der induzierte Strom ist stets so gerichtet, dass das von ihm erzeugte Magnetfeld der
Ursache seiner Entstehung entgegenwirkt. (LENZ, 1834)
I
r
B
Wird ein Stabmagnet mit seinem Nordpol voran gegen einen Drahtring geführt, so wird in
dem Drahtring ein Induktionsstrom erregt. Dieser Strom ruft ein Magnetfeld hervor, das dem
Magnetfeld des Stabmagneten entgegengerichtet ist.
Bei Annäherung an den Ring muss Arbeit gegen diese abstoßende Kraft verrichtet werden.
Diese Arbeit liefert die Energie, die für die Ausbildung des Induktionsstromes notwendig ist Energieerhaltungssatz.
Wird die Bewegungsrichtung umgedreht, so muss Arbeit gegen die anziehende Wirkung des
Magnetfeldes des Drahtringes verrichtet werden. Ursache ist der Strom im Ring, dessen
Richtung sich auch umgekehrt hat.
Im Induktionsgesetz kommt die Energieerhaltung durch das Minuszeichen zum Ausdruck.
8.6.4.4 Wirbelströme
Versuch: Lässt man eine Aluminiumplatte (keine Eisenplatte) im magnetischen Feld zwischen
den Schenkeln eines Elektromagneten pendeln, so ist eine starke Abbremsung zu beobachten.
Ersetzt man die Platte durch eine geschlitzte Platte, so ist dieser Effekt nicht mehr bemerkbar.
4
Lenz, Heinrich, dt. Physiker 1804 - 1865
LZ F12.5/B12.8 Magnetisches Feld und Induktion
24
Erklärung
„Feldrand“
r r v
v v
v ⊥ B ; Fm1 = (−e) ⋅ (v xB ) ⇒ linker „Feldrand“ wird negativ, rechter „Feldrand“ wird
positiv. Diese beiden „Pole“ - Spannungsquelle sind außerhalb des
durch die
v Feldbereiches
v
Platte leitend verbunden ⇒ es fließt ein Strom J ⇒ Fm 2 = ( J ⋅ l ) xB ⇒ diese Kraft Fm2
v
wirkt entgegen der Bewegung v und hemmt die Bewegung.
Ist die Platte geschlitzt (Schlitze liegen senkrecht zur Bewegungsrichtung) so wird nur noch
ein kleiner Teil der induzierten Spannung (induzierter Strom) für die hemmende Kraft
wirksam. Die Wirbelstromverluste (hemmende Kraftwirkung, Stromwärme) werden geringer.
Nur noch in Lamelle 4 kann ein kleiner Strom fließen.
Anwendung:
Verringerung der Wirbelströme - Wirbelstromverluste
Transformator: hier keine mechan. Bewegung sondern Wechselfeld - Stromwärmeverluste
verringert durch lamellierten Eisenkern, dünne isolierte Eisenbleche (0,35, 0,5mm)
Generator, Motor: Verluste durch mechan. Bremswirkung, Stromwärmeverluste - Abhilfe
Kern aus dünnen Eisenblechen
Erwünschte Wirbelströme
Wirbelstrombremse
Drehmomentmessung
Elektrizitätszähler
Dämpfung von Zeigerinstrumenten, Waage
Induktionsschmelzofen, usw.
LZ F12.5/B12.8 Magnetisches Feld und Induktion
25
8.6.5 Erzeugung sinusförmiger Wechselspannung
1. Modellgenerator: Spule rotiert langsam im Feld eines Dauermagneten - Zeigerinstrument
schlägt nach beiden Richtungen aus ⇒ Wechselspannung
2. Große kreisförmige Spule rotiert im
Magnetfeld der Erde. Die induzierte
Spannung wird über einen U-t-Schreiber
ω = konst ⇒
aufgezeichnet. Für
Sinuskurve
3. Ebenfalls eine Sinuskurve erhält man,
wenn die große Induktionsspule sich im
homogenen Feld eines HelmholtzSpulenpaares dreht.
Theoretische Herleitung der „Sinuskurve“
Die Feldlinien durchsetzen bei der Rotation eine veränderliche Fläche A(ϕ ) .
Startbedingungen t = 0s:
ϕ0 = 0 ;
ϕ = ω ⋅t ;
Φ = B⋅ A;
A(ϕ ) = A ⋅ cos ϕ ;
r r
A⊥ B;
A(ϕ ) ... wirksame Fläche;
r
A - rotierende Fläche
r
A = A ... maximale Fläche
⇒
A(t ) = A ⋅ cos(ω ⋅ t )
... zeitliche Änderung der wirksamen Fläche
⇒
Φ(t ) = B ⋅ A ⋅ cos(ω ⋅ t )
... zeitliche Änderung des magnetischen Flusses
ˆ = Φm
B⋅ A = Φ
... Maximal- oder Scheitelwert des Flusses
⇒
ˆ ⋅ cos(ω ⋅ t )
Φ(t ) = Φ
... magn. Fluss einer rotierenden Leiterschleife FS. S. 57
⇒
ˆ ⋅ ω ⋅ sin(ωt )
Φ′(t ) = −Φ
... notwendig für das Induktionsgesetz U i = − N ⋅ Φ′(t )
LZ F12.5/B12.8 Magnetisches Feld und Induktion
⇒
⇒
26
ˆ ⋅ ω ⋅ sin(ωt )
Ui = N ⋅ Φ
ˆ ⋅ ω = Uˆ = U m ... Maximal- oder Scheitelwert der Spannung
N ⋅Φ
U = Uˆ ⋅ sin(ωt )
... induzierte Spannung einer Leiterschleife FS. S. 58
i
Technische Anwendungen
Wechselspannungsgenerator:
Spannung wird über Schleifringe abgenommen Innenpol- oder Außenpolmaschine
Gleichspannungsgenerator:
Prinzip
wie
Wechselspannungsgenerator.
Zusatzeinrichtung: Stromwender (Kommutator) jeweils nach einer halben Umdrehung wird die
Spannung umgepolt - Schleifringe sind in der Mitte
geteilt - pulsierende Gleichspannung.
Transformator:
Spannung wird durch Wechselfeld induziert - keine
bewegten Maschinenteile
Effektivwert
Der Effektivwert eines Wechselstromes entspricht demjenigen Wert eines Gleichstromes, der die gleiche (thermische oder mechanische) Leistung hervorbringt.
Wechselstromarbeit
Wechselstromarbeit
Gleichstromarbeit
Gleichstromarbeit
Die Fläche ist die Arbeit W,
die ein Strom der Leistung P
verrichten kann.
W=P·t
1
1
1
PGleichstrom = Peff = U m ⋅ I m =
Um ⋅
I m = U eff ⋅ I eff
2
2
2
I
U
I eff = m
U eff = m
⇒
und
FS. S. 58
2
2
2 ≈ 1.414 ;
1
≈ 0,707
2
Messgeräte der Wechselstromtechnik zeigen die Effektivwerte an!
Beispiel:
Netzspannung U eff = 230V , U m = Uˆ = 325V
W = U ⋅ I ⋅ t = R ⋅ I 2 ⋅ t ⇒ Es ist der zeitliche Mittelwert von I2 zu ermitteln ⇒ I eff2 = I 2 =
T
I2 T
I2
I
1 2
I m sin 2 (ωt )dt = m ∫ sin 2 (ωt )dt = m ⇒ I eff = m
∫
T0
T 0
2
2
LZ F12.5/B12.8 Magnetisches Feld und Induktion
27
8.7 Selbstinduktion
8.7.1 Erscheinung der Selbstinduktion - Grundversuche
Symbol für eine Spule mit Eisenkern:
alt:
Versuch 1: Ein- und Ausschaltvorgänge
Lampe 1; 6V
Widerstand R
Spule L
U = 6V
Lampe 2; 6V
S
Der regelbare Widerstand R wird so eingestellt, dass er gleich dem Widerstand der Spule ist.
Damit leuchten beide Lampen gleich hell.
Einschaltvorgang:
Beobachtung Lampe 1 leuchtet sofort voll auf
Ausschaltworgang:
beide Lampen leuchten noch kurze
Zeit nach
Lampe 2 leuchtet verzögert voll auf
Erklärung
Auf Grund einer Spannung, die in der
Spule beim Feldaufbau induziert wird
(Selbstinduktionsspannung), erreicht
der Strom im Spulenzweig verzögert
seinen Maximalwert.
Lenz’sche Regel
Das Feld in der Spule „bricht
zusammen“ (Feldabbau). In diesem
zusammenbrechenden Feld wird in
der Spule wieder eine Spannung
induziert, die einen Strom hervorruft,
der die gleiche Richtung hat wie der
ursprüngliche Strom.
Lenz’sche Regel
Verlauf von Spannung und Stromstärke bei Ein- und Ausschaltvorgängen:
IR
UR(t) ...
UR (t)
UL(t) ...
IL
UG(t)
+
UL(t)
URSp(t)
I
URSp(t) ...
UG(t) ...
am ohmschen Widerstand
messbare Spannung
an der Spule messbare
Spannung
am Widerstand im Spulenkreis messbare Spannung
angelegte Gleichspannung
(Rechteckspannung)
LZ F12.5/B12.8 Magnetisches Feld und Induktion
Einschaltvorgang
U
28
Ausschaltvorgang
U
UR
URsp
UL
Ui
UR
t
t
Ui
⋅
⋅
UL
⋅
⋅
UG(t) = UR(t) = URSp(t) + UL(t)
UL(t) = – Ui(t)
I
UG(t) = 0
UL(t) = – Ui(t) = UR(t) + URSp(t)
I
t
Versuch 2:
1
2
t
A
C
S
R
Spule mit
Eisenkern
A
U = 6V
B
Schalter Stellung 1:
Schalter Stellung 2:
Schalter Stellung 2 öffnen:
D
Strom steigt rasch an
Strom steigt verzögert an
Kontaktblitz (Lichtbogen)
Eine Glimmlampe wird zwischen die Klemmen A-B eingebaut. Beim Öffnen des Kontaktes
Stellung 2 zündet diese Glimmlampe (notwendige Zündspannung ca. 200V). An den
Schaltkontakten tritt ein Funke auf ⇒ Es wurde eine hohe Spannung in der Spule induziert.
Zwischen die Klemmen C-D wird nun zusätzlich ein Kondensator (32µF) parallel zu dem
Schalter und der Glimmlampe geschaltet. Nach dem Öffnen des Kontaktes bei Stellung 2
zündet die Glimmlampe nicht mehr. Auch ist kein Funke zu sehen. ⇒ Funkenlöschung
LZ F12.5/B12.8 Magnetisches Feld und Induktion
Amperemeter in
Mittelstellung
Versuch 3:
29
Joch - beweglich
U = 3V
U-förmiger
Eisenkern
Spule S
Schalter
-
Joch angehoben - Schalter einschalten - Zeiger auf Mittelstellung einstellen.
Joch auflegen ⇒ Zeiger geht zurück, weil B ↑ und Φ ↑ U i < 0 ; I = U +RUi ; I ↓
-
Joch abheben ⇒ Zeiger geht nach rechts (steigt), weil B ↓ und Φ ↓ U i > 0 ;
-
-
I = U +RUi ; I ↑
Nach der Bewegung des Joches geht der Zeiger nach kurzer Zeit wieder auf
Mittelstellung!
8.7.2 Induktivität einer langgestreckten Spule / Selbstinduktionsspannung
aus
U i (t ) = − N i ⋅
dΦ(t )
N
folgt mit B = µ0 ⋅ µ r ⋅ I S ⋅ S ; Φ = B ⋅ A und Ni = NS = N
dt
lS
U i (t ) = − µ0 ⋅ µ r ⋅ N 2 ⋅
A dI (t )
⋅
l
dt
konstant
k=
L = µ0 ⋅ µ r ⋅ N 2 ⋅
A
l
INDUKTIVITÄT
Diese Konstante ist ausschließlich von den Daten der Spule abhängig.
Einheit:
[ L] =
Bedeutung:
Eine Spule, die bei einer Änderung der Stromstärke von 1 Ampere innerhalb
einer Zeit von 1 Sekunde eine Selbstinduktionsspannung von 1 Volt erzeugt,
hat die Induktivität von 1 Henry.
1Vs
1A
= 1H
... 1 Henry5
damit gilt:
Selbstinduktionsspannung Ui an den Enden einer Spule der Induktivität L
U i (t ) = − L ⋅
5
amerik. Physiker, 1797 - 1878
dI (t )
dt
FS.S. 58
LZ F12.5/B12.8 Magnetisches Feld und Induktion
30
8.7.3 Schaltung von Spulen
Parallelschaltung
dJ 1 (t )
dt
L1
1)
dJ (t )
U (t )
=− i
dt
L
dJ 2 (t )
dt
L2
2)
dJ (t ) dJ1 (t ) dJ 2 (t )
=
+
dt
dt
dt
3)
U i (t ) = U i1 (t ) = U i 2 (t )
dJ (t )
dt
U i (t )
aus 2) mit 1) und 3) folgt:
−
U i (t )
U (t )  U (t ) 
1 1
1
= − i +  − i  ⇒ = +
L
L1
L2 
L L1 L2

1 1
1
1
= +
+ ... +
L L1 L2
Ln
n ∈ IN
Reihenschaltung
L1
dJ ( t )
dt
L2
U i1
U i2
U i (t ) = − L ⋅
2)
dJ (t ) dJ1 (t ) dJ 2 (t )
=
=
dt
dt
dt
3)
U i (t ) = U i1 (t ) + U i 2 (t )
U i , ges
aus 3) mit 1) und 2) folgt:
− L⋅
dJ (t )
dt
1)
dJ (t )
dJ (t ) 
dJ (t ) 
= − L ⋅ 1 +  − L ⋅ 2  ⇒ L = L1 + L2
dt
dt
dt 

L = L1 + L2 + ... + Ln
n ∈ IN
8.7.4 Energieinhalt einer stromdurchflossenen Spule
Eine Spule ist in der Lage magnetische Energie Em zu speichern - Aufbau eine Magnetfeldes.
Diese Energie wird z.B. beim Ausschalten der Spule frei und sorgt für den Antrieb des
entstehenden Induktionsstromes.
d I (t )
d Φ (t )
Es gilt: U i (t ) = − L ⋅
= −N ⋅
bzw. vereinfacht L ⋅ I = N ⋅ Φ
dt
dt
und damit:
I ~ Φ für L = konstant
I
Bedeutung der Fläche unterhalb des Graphen ?
[I·N·Φ] = 1A·1Vs = 1VAs = 1Ws = 1J
⇒ Fläche bedeutet Energieinhalt der Spule
Em =
1
L⋅I2
2
FS.S.59
N ⋅Φ
t1
t1
t1
t1
W = ∫ U i ⋅ I dt = ∫ − L ⋅
0
0
dI
1
1 
⋅ I dt = − L ⋅ ∫ I dI = − L ⋅  I 2  = L ⋅ I 2
dt
 2  I0 2
t0
LZ F12.5/B12.8 Magnetisches Feld und Induktion
31
8.8 Widerstände im Wechselstromkreis
8.8.1 Messschaltungen
Unter dem Widerstand eines elektrischen Bauelementes versteht man das Verhältnis
von der angelegten Spannung und der Stromstärke U .
I
Messschaltung I:
Messung von Spannung U und Stromstärke I bei veränderlicher
Frequenz f
U - ... Gleichspannung,
stabilisiertes Netzgerät
U ∼ ... Wechselspannung;
Frequenzgenerator,
sinusförmige Spannung mit
veränderlicher Frequenz
S ... zweipoliger Umschalter
S
A
U-
V
Hz
B
A
U~
Zwischen die Klemmen A-B wird das zu untersuchende Bauelement geklemmt und
Spannung U und Stromstärke I gemessen.
ohmscher Widerstand R
Spule, Induktivität L
Kondensator, Kapazität C
Messschaltung II: Darstellung des Stromstärke- und Spannungsverlaufes am Oszilloskop
Kanal 2
C
U(t)
D
Kanal 1
U~
RI
zum
Zweikanaloszilloskop
UR(t)
Zur Untersuchung des Stromstärke- und Spannungsverlaufes wird das Bauelement (R, C, L)
zwischen die Klemmen C-D angeschlossen.
Kanal 1: Darstellung des Stromstärkeverlaufes ICD(t) des Bauelements
Die Bauelemente sind zum Widerstand RI in Reihe geschalten. Somit gilt für die
Stromstärke I = IR = ICD. Des weiteren gilt: UR(t) = RI · IR(t) bzw. UR(t) ~ IR(t).
U
⇒ I CD = R
⇒ Kanal 1 zeigt den zeitlichen Verlauf von ICD an
R
I
Kanal 2: Darstellung des Spannungsverlaufes UCD(t) des Bauelements
Bei entsprechendem Widerstand RI (RI << RCD) gilt in guter Näherung: U(t) ≈ UCD(t)
U(t) = UCD(t)+ UR(t) mit RI << RCD ist UR << UCD
Übung:
FOS AP 2005 / III
LZ F12.5/B12.8 Magnetisches Feld und Induktion
32
8.8.2 Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis
Messschaltung I:
U
5V
=
= 1kΩ
I 0,005 A
R= = R~
U
5V
Wechselspannung – f = 1kHz
R~ = =
= 1kΩ
I 0,005 A
Ergebnis:
Der Widerstand ist bei Gleichspannung und bei Wechselspannung gleich groß.
R= =
Gleichspannung
8.8.3 Induktiver Widerstand (Spule im Wechselstromkreis)
Messschaltung I:
U 0,85V
=
= 0,85Ω
J
1A
Wechselspannung - f = 3kHz = konst ; Messung von Effektivwerten
R=
Gleichspannung
Ueff in V
Ieff in mA
U eff
in Ω
I eff
Ergebnis:
2,5
65
5,0
129
7,5
192
38
39
39
Eine Spule hat im Gleichstromkreis einen ohmschen Widerstand.
Im Wechselstromkreis vergrößert sich der Widerstand einer Spule. Dieser
zusätzliche Widerstand einer Spule heißt induktiver Widerstand XL.
Bei Vernachlässigung des kleinen ohmschen Widerstandsanteils gilt:
XL =
U eff
I eff
=
Uˆ U m
=
Im
Iˆ
Abhängigkeiten des induktiven Widerstandes
Ueff =
≈ 39Ω = konst
FS.S. 69
X L = f ( f ; L)
V
Versuchs-Nr.
f in kHz
L in mH
Ieff in mA
XL in Ω
Folgerung:
XL =
1
2
3
4
5
LZ F12.5/B12.8 Magnetisches Feld und Induktion
33
8.8.4 Kapazitiver Widerstand (Kondensator im Wechselstromkreis)
Messschaltung I:
U
V
=
=
J
A
kHz = konst ; Messung von Effektivwerten
R=
Gleichspannung
Wechselspannung - f =
Ueff in V
Ieff in mA
U eff
in Ω
I eff
Ergebnis:
Ein Kondensator hat im Gleichstromkreis einen unendlich großen Widerstand.
Im Wechselstromkreis verkleinert sich der Widerstand eines Kondensators.
Dieser Widerstand eines Kondensators heißt kapazitiver Widerstand XC.
Es gilt:
XC =
U eff
I eff
=
Uˆ U m
=
Im
Iˆ
Abhängigkeiten des kapazitiven Widerstandes
Ueff =
X C = f ( f ;C)
V
Versuchs-Nr.
f in kHz
C in
FS.S. 70
F
Ieff in mA
XC in Ω
Folgerung:
XC =
1
2
3
4
5
LZ F12.5/B12.8 Magnetisches Feld und Induktion
34
8.8.5 Phasenverschiebung von ohmschen, induktiven und kapazitiven
Widerständen
8.8.5.1 Ohmscher Widerstand
Messschaltung II:
Liniendiagramm
Zeigerdiagramm
ω
Uˆ
Iˆ
Ergebnis:
Strom und Spannung sind phasengleich, d.h. ∆ϕ = 0
Uˆ
Uˆ
U (t ) = Uˆ ⋅ sin(ωt )
mit R =
⇒ Iˆ =
R
Iˆ
I (t ) = Iˆ ⋅ sin(ωt )
8.8.5.2 Induktiver Widerstand
Messschaltung II:
Liniendiagramm
Zeigerdiagramm
ω
Û
⋅
Ergebnis:
An der Spule tritt die Phasendifferenz ∆ϕ = −
π
2
Iˆ
zwischen Spannung und
Stromstärke auf.
U L (t ) = Uˆ ⋅ sin(ωt )
⇒
π
I (t ) = Iˆ ⋅ sin(ωt − )
2
LZ F12.5/B12.8 Magnetisches Feld und Induktion
35
8.8.5.3 Kapazitiver Widerstand
Messschaltung II:
Liniendiagramm
Zeigerdiagramm
ω
Û
Iˆ
⋅
Ergebnis:
An der Spule tritt die Phasendifferenz ∆ϕ = +
π
2
zwischen Spannung und
Stromstärke auf.
U C (t ) = Uˆ ⋅ sin(ωt )
⇒
π
I (t ) = Iˆ ⋅ sin(ωt + )
2
8.8.6 Theoretische Herleitungen
Induktiver Widerstand
dI (t )
U L (t ) = Uˆ ⋅ sin(ωt ) mit U L (t ) = −U i (t ) = L ⋅
dt
dI (t ) ˆ
L⋅
= U ⋅ sin(ωt )
dt
Uˆ
dI (t ) = ⋅ sin(ωt ) dt d .h. Integration
L
Uˆ
Uˆ
I (t ) = −
⋅ cos(ωt )
mit X L = ωL ∧ Iˆ =
XL
ωL
I (t ) = − Iˆ ⋅ cos(ωt )
π
I (t ) = Iˆ ⋅ sin(ωt − )
2
Kapazitiver Widerstand
Q (t )
U C (t ) = Uˆ ⋅ sin(ωt ) mit U C (t ) =
C
Q (t ) ˆ
= U ⋅ sin(ωt )
C
dQ (t )
Q (t ) = C ⋅ Uˆ ⋅ sin(ωt ) dt mit I (t ) =
dt
1
Uˆ
I (t ) = ωC ⋅ Uˆ ⋅ cos(ωt ) mit X C =
∧ Iˆ =
XC
ωC
ˆ
I (t ) = I ⋅ cos(ωt )
π
I (t ) = Iˆ ⋅ sin(ωt + )
2
8.9 Abschlussprüfungsaufgaben
1991 - III; 90 Minuten, ca. 50 Punkte
1990 - II;
1994 - II; 54 Minuten, ca. 30 Punkte
1995 - III; 49 Minuten, ca. 27 Punkte
1997 - III; 45 Minuten, ca. 25 Punkte
***************************************************************************
Ende - Magnetisches Feld
***************************************************************************
27.02.2009
LZ F12.5/B12.8 Magnetisches Feld und Induktion
36
Notizen/Ergänzungen/Zusammenfassung:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________