Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen

Skriptum zur Vorlesung
Elektronische Grundlagen
Ronny Harbich
22. Juli 2005
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
2
Vorwort
Das hier vorliegende Skriptum wurde natürlich mit größter Sorgfalt angefertigt. Trotzdem sind mit an
Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit Fehler in dieser Mitschrift enthalten. Falls der Leser ein
Fehler erkennt, möge er mir bitte diesen unter [email protected] mitteilen.
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
3
Inhaltsverzeichnis
1.
ELEKTRISCHE LADUNG UND ELEKTRISCHER STROM
6
1.1.
Elektrische Ladung
6
1.2.
Kräfte zwischen Ladungen
6
1.3.
Elektrische Feldstärke
6
1.4. Elektrischer Strom
1.4.1.
Stromstärke
Stromrichtung
1.4.2.
Zählpfeil/Bezugspfeil
1.4.3.
1.4.4.
Haupteigenschaften des elektrischen Stromes
6
6
7
7
8
2.
ELEKTRISCHE SPANNUNG UND ELEKTRISCHES POTENTIAL
9
2.1.
Zusammenhang zwischen Spannung und Potential
9
2.2.
Spannungsrichtung
9
2.3.
Spannungsquelle
10
2.4.
Haupteigenschaften der elektrischen Spannung
10
3.
DER ELEKTRISCHE WIDERSTAND
11
3.1.
Definition
11
3.2.
Temperaturabhängigkeit von Widerständen
11
3.3.
Stromstärke-Spannungs-Verhalten eines Widerstandes
12
4.
GRUNDLAGEN ELEKTRISCHER NETZWERKE
4.1.
Einführung
4.2. Grundgesetze für lineare Widerstandsnetzwerke
4.2.1.
Ein Netzwerk
4.2.2.
Netzwerkelemente
4.2.3.
Kirchhoff’sches Gesetz 1 (Knotenregel)
4.2.4.
Kirchhoff’sches Gesetz 2 (Maschenregeln)
4.2.5.
Berechnung eines Netzwerkes
4.2.6.
Anwendungen der Kirchhoff’schen Gesetze
4.2.6.1.
Reihenschaltung von Widerständen
4.2.6.2.
Parallelschaltung von Widerständen
4.2.7.
Brückenschaltung aus Widerständen
4.2.8.
Reihen- und Parallelschaltung von Spannungs- und Stromquelle
4.2.8.1.
Spannungsquelle
4.2.8.2.
Stromquelle
4.2.9.
Spannungsteilerregel
4.2.9.1.
Allgemein
4.2.9.2.
Spezialfall
4.2.10. Stromteilerregel
4.2.11. Weitere Netzwerkelemente
14
14
15
15
16
17
18
19
19
19
20
20
22
22
22
23
23
24
24
25
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
4.3. Zweipoltheorie/Grundstromkreis
4.3.1.
Definition
4.3.2.
Ersatzschaltungen für passive Zweipole
4.3.3.
Ersatzschaltung für aktive Zweipole
4.3.4.
Modelle einer realen Spannungsquelle
4.3.5.
Der Grundstromkreis
4.3.5.1.
Aufbau
4.3.5.2.
Besondere Betriebszustände
4.3.5.3.
Spannungs-Strom-Kennlinie
5.
BERECHNUNGSMETHODEN FÜR NETZWERKE
5.1.
Übersicht
4
27
27
27
28
30
31
31
31
32
33
33
5.2. Handanalyse
5.2.1.
Superposition
5.2.1.1.
Beispiel: mechanisches Modell
5.2.1.2.
Beispiel: Überlagerung
5.2.1.3.
Beispiel: keine Überlagerung
5.2.2.
Rechenprogramm
33
34
34
35
35
35
5.3. Zweigstromanalyse
5.3.1.
Methode des vollständigen Baumes
5.3.2.
Problem: unabhängige Stromquellen in Netzwerken
37
37
38
6.
ZEITVERÄNDERLICHE VORGÄNGE IN NETZWERKEN
39
6.1. Netzwerkselemente
6.1.1.
Elementares
6.1.2.
Induktivität
6.1.3.
Kapazität
39
39
39
40
6.2.
Einführung in die Berechnungsmethodik
40
6.3.
Klassifikation zeitlich veränderlicher Vorgänge
41
6.4.
Parameter periodischer Signale (periodischer Größen)
42
6.5. Harmonische Wechselgrößen
6.5.1.
Überlagerung von harmonischen Funktionen
42
44
6.6. Übersicht zu Berechnungsmethoden
6.6.1.
Gleichstromerregung
6.6.2.
Harmonische Erregung
6.6.3.
Nichtharmonische periodische Erregung
6.6.4.
Schaltvorgang, Ausgleichsvorgang, Übergangsverhalten
6.6.5.
Restliche Signale
6.6.6.
Beispiel
44
44
45
45
45
45
46
6.7.
47
Mathematische Beschreibungsformen
6.8. Sonderfälle
6.8.1.
Multiplikation
47
47
6.9.
47
Häufige Umrechnung
6.10.
Anwendung auf harmonische Zeitfunktion
48
6.11.
Eigenschaften des Bildbereichs
48
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Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
5
6.12.
Anwendung auf Netzwerk-Analyse
6.12.1. Definition Impedanz
6.12.2. Zusammenfassung
6.12.3. Beispiel
48
49
49
49
6.13.
Frequenzabhängigkeit von Schaltkreisen
6.13.1. Frequenzabhängigkeit bei Zweipolen
6.13.2. Resonanz
6.13.3. Frequenzabhängigkeit von Vierpolen
6.13.4. Bode-Diagramm
6.13.5. Grenzfrequenz
50
50
51
52
53
53
7.
AUSGLEICHVORGÄNGE IN LINEAREN NETZWERKEN
55
7.1.
Problemstellung
55
7.2.
R; C; L bei Schaltsprünge
55
8.
LINEARE NETZWERKE BEI HARMONISCHER ERREGUNG
8.1.
Randbedingungen
57
8.2.
Behandlung im Zeitbereich
57
57
8.3. Behandlung mit Zeigerbild
8.3.1.
Definition
8.3.2.
Grundoperationen
8.3.3.
Vor- und Nachteile der Methodik
57
57
58
58
8.4.
59
Symbolische Methode
8.5. Netzwerke mit einem Speicherelement
8.5.1.
Beispiel: Einschalten einer Gleichspannung
59
59
8.6.
Verkürztes Lösungsverfahren für Netzwerke mit einem Speicherelement
61
8.7.
Anwendung in der Digitaltechnik
62
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Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
6
1. Elektrische Ladung und elektrischer Strom
1.1.
•
Elektrische Ladung
die Erscheinung und Wirkung der Elektrizität beruhend auf dem Vorhandensein elektrischer Ladung
Q
[Q] = As = C ( Coulomb )
•
Grundgesetzte:
Q p + = Qe = e
Q=n e
o
o
1.2.
•
e -Elementarladung; p + -Proton; e -Elektron
n -Anzahl der Elementarladungsträger; n
Kräfte zwischen Ladungen
Coulomb-Kraft:
FC =
1
4
0 r
( Newton )
FC = N
o
0
-elektrische Feldkonstante;
r
Q1 Q2
r2
-relative Dielektrizitätskonstante
Q1
+
Q2
F1
F2
r
•
•
•
Gleichnamige Ladungen stoßen einander ab und ungleichnamige Ladungen ziehen einander an.
Ladungen treten nur paarweise auf.
Ladungen können nach außen hin neutral sein (z.B. Atom).
1.3.
•
Elektrische Feldstärke
Die elektrische Feldstärke ist folgendermaßen definiert:
E=
F
Q
E =
1.4.
Elektrischer Strom
1.4.1.
Stromstärke
•
Strom bedeutet immer: Menge je Zeit
N
C
Ronny Harbich
•
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7
Elektrischer Strom:
dQ
dt
[i ] = A
i=
( Ampere )
•
Der Elektrische Strom ist die gerichtete Bewegung von Ladung. Für
•
(Gleichstrom).
Die Stromstärke ist eine skalare Größe.
1.4.2.
•
I=
Q
t
Stromrichtung
Ladungen bewegen sich immer vom gleichnamigen Pol zum ungleichnamigen Pol, da gleichnamigen Ladung einander anziehen und ungleichnamige Ladungen einander abstoßen (CoulombKraft).
o Elektronen bewegen sich vom Minuspol zum Pluspol.
o Protonen bewegen sich vom Pluspol zum Minuspol.
+
+
+
+
•
i ( t ) = const.
+
+
+
Festlegung: Eine positive Stromrichtung entspricht der Bewegung positiver Ladungen durch einen
Leiter:
positive Stromrichtung
+
1.4.3.
•
•
Zählpfeil/Bezugspfeil
Besonders in einem Netzwerk ist es erforderlich die Richtung des Stromes festzulegen.
ist ein Zählpfeil/Bezugspfeil und wird wie folgt verwendet (in der Abbildung ist die Stromrichtung
positiv):
1
i
•
Wenn die Stromstärke
oder
i
oder
2
i 2;1
i positiv ( i > 0 ) ist, dann ist auch die Stromrichtung positiv (wenn i < 0 ,
dann ist die Stromrichtung negativ).
Ronny Harbich
1.4.4.
•
•
•
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
Haupteigenschaften des elektrischen Stromes
thermische Wirkung
o Beispiel: elektrische Heizung, Glühbirne (Draht glüht)
magnetische Wirkung
o Beispiel: Generator, Motor, Transformator
chemische Wirkung
o Beispiel: Elektrolyse
8
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9
2. Elektrische Spannung und elektrisches Potential
2.1.
•
Zusammenhang zwischen Spannung und Potential
Bei einer Verschiebung von Ladung in einem elektrischen Feld von einem Raumpunkt
nem Raumpunkt B tritt eine Energiedifferenz auf:
A zu ei-
Q
+ A
Q
+ B
•
Es gilt:
WAB = WA
WB
B
= Fds; E =
A
B
F
Q
F = EQ
B
= EQds = Q Eds
A
A
B
U AB =
WAB
= Eds;
Q
A
[ U ] = V ( Volt )
U AB bezeichnet man auch als Potentialdifferenz zwischen den Raumpunkten A
•
Die Spannung
•
und B .
weiterhin gilt für das Potential
:
A
= u AO
B
= u BO
O
=0
u AB
A
B
A
B
PO
2.2.
•
Spannungsrichtung
Zählpfeilsystem:
B
u
A
•
Wird in Richtung
zeichnet.
B
oder
A
B
u
oder
u AB
A
A nach B dem Feld Energie entzogen, so wird u AB als Spannungsabfall be-
Ronny Harbich
•
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
10
Der Spannungsabfall ist in Richtung des Stromes gerichtet:
i
u
•
Im umgekehrten Fall (dem Feld wird Energie zugeführt), wird
u AB als Quellenspannung bezeich-
net:
i
u
•
Andere Bezeichnungen (veraltete) für Quellenspannung:
o Urspannung
o elektromotorische Kraft (EMK): E = u q
2.3.
•
Spannungsquelle
Elemente, die die Fähigkeit besitzen, durch innere Effekte Ladungsträger zu beschleunigen, werden als Spannungsquellen bezeichnet:
Potentiallinien
+
+
Spannungsquelle
2.4.
•
•
Haupteigenschaften der elektrischen Spannung
Eine elektrische Spannung zwischen 2 Punkten eines Leiters ist die Ursache für den elektrischen
Strom.
Spannungsführende Leiterteile ziehen sich an (Leiter sind unterschiedlich geladen).
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11
3. Der elektrische Widerstand
3.1.
•
Definition
elektrischer Widerstand zwischen
2 Punkten einer leitenden Strecke ohne Quellenspannung:
R AB =
U AB
;
I AB
[R ] =
V
=
A
U AB
A
B
I AB
•
Achtung: Das ohmsche Gesetz ist nur für
•
gültig.
Leitwert:
G=
•
3.2.
[G ] =
1
R=
l
=
A
l
= S (Siemens)
A
;
=
1
l - Länge des Leiters
A - Fläche des Leiterquerschnitts
- spezifischer Widerstand (Materialkonstante)
- Leitfähigkeit (Materialkonstante)
Temperaturabhängigkeit von Widerständen
Die elektrische Leitfähigkeit jedes Materials ist temperaturabhängig.
Kennzeichnung:
o Temperaturkoeffizient
(auch TK-Wert genannt)
o
•
•
1
;
R
U
= const. (auch für zeitliche Veränderungen)
I
Bemessungsgleichung:
o
o
o
o
•
•
R=
[ ]=
1
K
Der Widerstand von Kaltleitern (PTC) nimmt bei Temperaturerhöhung zu:
>0
Der Widerstand von Heißleitern (NTC) nimmt bei Temperaturerhöhung ab: < 0
R
>0
R0
<0
O
0
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o
o
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0
- Betriebstemperatur
R 0 - Normalwiderstand
R = R 0 (1 +
)
•
als Näherung gilt:
•
tatsächlich gilt:
•
im gesamten Temperaturbereich gilt:
•
o für typische Materialen liegt
Beispiel:
o
12
R =f(
R =f(
);
)
( )
const.
zwischen 50°C und 200°C
U = 230V; P = 100W sind Werte einer Glühlampe.
R ( in )
500
400
300
200
100
O
500
o
Glühlampe steht unter Last:
o
Glühlampe beim Einschalten:
3.3.
1000
1500
2200°C; R
20°C; R
2000
U2
500 ; P =
106W
R
90 ; P 589W
Stromstärke-Spannungs-Verhalten eines Widerstandes
U AB
A
B
I AB
•
( in °C )
Fall a (linearer Widerstand):
I; R =
U
U
I
U
U1
U
U0
O
o
R=
U U1 U 0
=
I
I1 I0
I
I0
I1
I
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•
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
Fall b (nicht linearer Widerstand):
13
R = f ( I) R = g ( U )
U
U1
U0
O
o
•
I0
I1
I
für Gleichstrom gilt: R > 0
o
U0
I0
o
R
U1
I1
tan (
)
Fall c (differentieller Widerstand):
r=
dU
dI
o
kennzeichnet den Anstieg der Kennlinie in einem Punkt:
o
Anwendung: Berechnung von Stromstärke-Änderungen bei kleinen Spannungs-Änderungen
um einen (Arbeits-)Punkt herum (Kleinsignalaussteuerung).
Beispiel: Glimmlampen-Kennlinie
o
U AB
A
B
I AB
I
80V
O
o
Glimmlampe zündet bei ca.
80V .
U
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14
4. Grundlagen elektrischer Netzwerke
4.1.
•
•
•
•
Einführung
Ein Netzwerk ist das Zusammenschalten von Bauelementen.
Ziel: Berechnung von Kenngrößen (z.B. Stromstärke und Spannung) an beliebiger Stelle einer
beliebigen Zusammenschaltung von elektrischen Bauelementen.
Problem: Für die meisten real existierenden Bauelemente lässt sich entweder keine exakte mathematische Beschreibung finden oder sie ist zu kompliziert.
Beispiel:
i
u
12V;100Ah
Autobatterie
o
•
•
•
Die Spannung hängt von zu vielen Parametern ab:
u = f ( Ladezustand; i; Alter; ...)
Ausweg Modellbildung: Modellierung realer Bauelemente aus idealen Bauelementen, die dann als
Netzwerkelemente bezeichnet werden. Es werden Netzwerke zur Berechnung der gesuchten
Größen erstellt.
Einschränkung: Das Modell stimmt nur unter ganz bestimmten Rahmenbedingungen mit der Realität überein.
Beispiel: Drahtwiderstand
o reales Bauelement:
u
i
Isolator
Draht
o
Modell 1 (Netzwerkelement für Gleichstrom):
u
i
es gilt:
R=
u
= const.; u
i
f ( t );
= const.
Ronny Harbich
o
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15
Modell 2 (Netzwerkelement für Wechselstrom):
u
i
R
L
C
o
es gilt:
u = f ( t );
= const.
4.2.
Grundgesetze für lineare Widerstandsnetzwerke
4.2.1.
Ein Netzwerk
Knoten
Masche
u
i
Element
•
durch ein Knoten ersetzbar
Ziel der Berechnung: Ermittlung aller Spannungen und Stromstärken
Ronny Harbich
4.2.2.
•
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Netzwerkelemente
Widerstand:
u
i
i
i
i
u
o
•
es gilt:
R=
u
i
u
u
U
= const.
I
unabhängige Spannungsquelle:
u
i
+
i
i
u
o
i
u
es gilt:
u = U 0 = const.
i - beliebiger Strom (beschaltungsabhängig)
i
u
u
Ronny Harbich
•
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unabhängige Stromquelle:
u
i
+
i
i
i
u
o
•
u
u
i = I0 = const.
u - beliebige Spannungen (von der Beschaffenheit abhängig)
( R = 0)
o
ideale Drähte
o
kein Spannungsabfall
Kirchhoff’sches Gesetz 1 (Knotenregel)
Die Summer der hinführenden Ströme und wegführenden Ströme ist 0 :
i1
i0
in
n
o
es gilt:
!i
k =1
o
u
es gilt:
Verbindungsleiter:
4.2.3.
•
i
k
i2
=0
Konvention:
+1A
1A
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4.2.4.
Kirchhoff’sches Gesetz 2 (Maschenregeln)
• ein Netzwerk in dem eine Masche M eingezeichnet ist:
u1
un
M
u2
u4
u3
Platzhalter für Netzwerkelemente
•
Platzhalter für Netzwerkelemente:
o 1 n Netzwerkelemente können sich zwischen zwei Knoten befinden oder
o es besteht nur eine Verbindung u = 0 oder
o keine Verbindung
•
es gilt:
n
!u
k =1
•
k
=0
Konvention:
+1V
1V
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4.2.5.
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19
Berechnung eines Netzwerkes
u1
u2
i1
k1
i2
u0
I0
u3
M1
uy
M2
k2
M3
R ; u 0 ; I0
•
gegeben: alle
•
•
gesucht: alle Stromstärken und Spannungen
Mit den folgenden Gleichungen können die gesuchten Größen berechnet werden:
k1 : + I0 i1 i 2 = 0
k2 :
I0 + i1 + i 2 = 0
M1 : + u 0 u1 + u 3 = + u 0 R1i1 + R 3i 2 = 0
4.2.6.
M2 :
u 3 u 2 + u y = R 3i 2 R 2 I0 + u y = 0
M3 :
u 0 u y + u 2 + u1 = u 0 u y + R 2 I0 + R1i1 = 0
Anwendungen der Kirchhoff’schen Gesetze
4.2.6.1. Reihenschaltung von Widerständen
•
Herleitung:
u2
u AB
u1
i
R2
R1
M
B
A
i
R ersatz
A
u AB
M:
u 2 u1 + u AB = 0
u1 = R1i
u 2 = R 2i
R 2i R1i + u AB = 0
i ( R 2 + R1 ) + u AB " R 1 + R 2 = R ersatz =
u
i
B
Ronny Harbich
•
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20
allgemein:
A
R1
Rn
A
B
B
R ersatz
n
R ersatz = ! R i
•
es gilt:
•
Alle Widerstände werden vom selben Strom durchflossen (entspricht der Reihenschaltung).
i =1
4.2.6.2. Parallelschaltung von Widerständen
•
•
Herleitung: Die Herleitung kann vom Leser erarbeitet werden.
allgemein:
R1
A
B
A
B
R ersatz
Rn
1
n
=!
1
Ri
•
es gilt:
•
Alle Widerstände werden von einem anderen Strom durchflossen (entspricht der Parallelschaltung).
4.2.7.
R ersatz
i =1
Brückenschaltung aus Widerständen
A*
R1
R2
C*
B*
R3
A
A
R ersatz
B
R4
B
•
•
R ersatz kann direkt berechnet werden oder durch Anwendung von Transformationsregeln.
- Y – Transformation:
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21
A
A
R AB
RA
R AC
RB
B
R BC
RC
C
C
B
•
Ziel der Transformation ist es gleiches Klammerverhalten zu erreichen:
R AB R AC
R*
R R
R B = AB * BC
R
R R
R C = AC * BC
R
*
R = R AB + R BC + R AC
RA =
•
für das obige Netzwerk ergibt sich:
A*
A
C*
B*
R3
R4
B
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4.2.8.
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22
Reihen- und Parallelschaltung von Spannungs- und Stromquelle
4.2.8.1. Spannungsquelle
A
A
u0
u
u
u = u 0 + u1
u1
B
B
A
A
u0
u
u1
u
u = u 0 = u1
B
B
•
Eine Parallelschaltung von idealen Spannungsquellen unterschiedlicher Größe ist nicht möglich
bzw. bei gleicher Größe nicht sinnvoll.
4.2.8.2. Stromquelle
i
A
A
i
i0
i = i 0 = i1
B
i1
B
•
Eine Reihenschaltung von idealen Stromquellen unterschiedlicher Größe ist nicht möglich bzw. bei
gleicher Größe nicht sinnvoll.
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i
i0
23
A
A
i1
i
i = i 0 + i1
B
B
4.2.9.
Spannungsteilerregel
4.2.9.1. Allgemein
A
i1
R1
M
u AB
u1
iC
K
R2
C
u CD
u2
i2
B
D
K : i1 i C i 2 = 0
M : u AB R 2i 2 R1i1 = 0
u1 = i1R1
u CD = i 2 R 2
i2 =
u CD
R2
i1 = i C + i 2
u AB R 2i 2 R1i C R1i 2 = 0
u AB i 2 ( R1 + R 2 ) R1i C = 0
u AB
u CD
( R1 + R 2 ) R1iC = 0
R2
u CD = u AB
R2
R1 + R 2
iC
R 1R 2
R1 + R 2
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4.2.9.2. Spezialfall
•
folgendes gilt nur für einen unbelasteten Stromkreis:
iC = 0
u CD = u AB
•
R2
R1 + R 2
allgemein:
A
R1
u1
u AB
Rn
un
B
{1; 2;
i
ui R i
=
;
uk Rk
; n} ; k
{1; 2;
; n}
ui
R
= n i
u AB
!Rj
j=1
4.2.10. Stromteilerregel
i1
R1
B
A i AB
in
j
ij
ik
{1; 2;
=
iC
Rn
; n} ; k
{1; 2;
ij
R ges
Rk
;
=
Rj
i AB
Rj
; n}
n
1
1
=!
R ges d =1 R d
24
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25
4.2.11. Weitere Netzwerkelemente
•
Nullator:
i
u
Unterbrechung
•
u=0
u-beliebig
i=0
u=0
i=0
i-beliebig
Verbindung
Norator:
i
u-beliebig
u
•
i-beliebig
gesteuerte Quellen:
gesteuerte Quellen
Spannungsquelle
spannungsgesteuert
stromgesteuert
Stromquelle
spannungsgesteuert
stromgesteuert
Ronny Harbich
•
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
spannungsgesteuerte Spannungsquellen:
u 2 = v u1
u2
u1
v = const.
sind im Netzwerk miteinander verbunden
•
stromgesteuerte Stromquelle:
i2
i 2 = % i1
i1
% = const.
sind im Netzwerk miteinander verbunden
26
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
4.3.
Zweipoltheorie/Grundstromkreis
4.3.1.
Definition
•
27
Zweipol (Eintor) – Netzwerk mit zwei Anschlüssen (Klemmen):
i
A
i
Ersatzschaltung
u
A
u
B
B
•
•
•
Ziel: Ersetzen einer komplexen Schaltung durch eine einfache Schaltung (Ersatzschaltung)
Eine Ersatzschaltung muss ein gleiches Klemmverhalten aufweisen (alles andere ist nicht von
Bedeutung).
1
Eine Ersatzschaltung ist mindestens bei linearen Schaltungen anwendbar.
4.3.2.
•
Ersatzschaltungen für passive Zweipole
Passive Zweipole enthalten keine Energiequellen und keine unabhängigen Quellen:
i
i
A
A
R ersatz
passiver
Zweipol
u
B
1
Linear bedeutet: Klemmstrom ist proportional zur Klemmspannung.
u
B
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
28
u
R=
u
= const.
i
O
•
Ermittlung von
o
o
i
R ersatz :
Die Widerstände müssen nach den Gesetzen der Reihen-/Parallelschaltung berechnet werden (induktive und kapazitive Widerstände werden zu diesem Zeitpunkt noch nicht berücksichtigt). Gegebenenfalls müssen Brückentransformationen angewandt werden.
andere Möglichkeit:
i
passiver
Zweipol
i
u
u
R ersatz
R=
4.3.3.
•
u
= const.
i
Ersatzschaltungen für aktive Zweipole
enthalten im Gegensatz zu den passiven Zweipolen Energiequellen:
i
A
u
uL
aktiver
Zweipol
u
B
O
u L -Leerlaufspannung ( i = 0 )
i K -Kurzschlussstrom ( u = 0 )
iK
i
Ronny Harbich
•
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
29
Ersatzspannungsquelle:
i
A
Ri
u
u0
B
•
Ersatzstromquelle:
i
A
I0
u
Ri
B
•
Bestimmung von
u0 :
i=0
A
uL = u0
aktiver
Zweipol
B
•
Bestimmung von
I0 :
i K = I0
A
u=0
aktiver
Zweipol
B
Ronny Harbich
•
Bestimmung von
o
o
o
4.3.4.
•
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
30
Ri :
Die unabhängigen Spannungsquellen werden durch eine Verbindung ersetzt. Folge: Es entsteht ein Kurzschluss.
Die unabhängigen Stromquellen werden durch Unterbrechungen ersetzt (Stromquellen
werden entfernt).
R i wird wie beim passiven Zweipol berechnet.
Modelle einer realen Spannungsquelle
Bespiel einer realen Spannungsquelle:
A
B
Zn
Cu
H 2SO 4 + H 2 O
•
Modell:
u
A
A
B
Ri
R1
R2
u
u0
R0
u1
u2
u 0 = u1 + u 2
R i = R 0 + R1 + R 2
B
Ronny Harbich
4.3.5.
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
31
Der Grundstromkreis
4.3.5.1. Aufbau
A
aktiver
Zweipol
i
passiver
Zweipol
Ri
ua
Ra
u0
B
ua = u0
i=
Ra
Ri + R a
u0
Ri + Ra
4.3.5.2. Besondere Betriebszustände
•
Ra & ' :
•
ua = uL = u0
o für realen (praktischen) Leerlauf gilt: R a
Ri i 0 ( ua
Ra = 0 :
o
•
für idealen (theoretischen) Leerlauf gilt:
o
für idealen (theoretischen) Kurzschluss gilt:
o
für realen (praktischen) Kurzschluss gilt:
Ra
u a = 0; i = i K =
Ri
Ra = Ri :
ua =
1
1
u0 = uL
2
2
1
i = iK
2
ua
u0
u0
Ri
0(i
u0
Ri
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
4.3.5.3. Spannungs-Strom-Kennlinie
i passiv
i aktiv
Ri
u aktiv
u passiv
Ra
u0
u aktiv = R i i aktiv + u 0 ; u passiv = R a i passiv
u
uL
Leerlauf
Kennlinie
des
aktiven Zweipols
u AP
Kennlinie des passiven Zweipols
Arbeitspunkt (AP)
Kurzschluss
O
i AP
iK
i
32
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
33
5. Berechnungsmethoden für Netzwerke
5.1.
•
•
Analysemethoden:
o Handanalyse:
Kirchhoff’sches Gesetz 1
Kirchhoff’sches Gesetz 2
I U - Beziehungen
o systematische Analyse:
Zweigstromanalyse
Maschenstromanalyse
Knotenspannungsanalyse
Für kleine Netzwerke können folgende Methoden benutzt werden:
o Zweipoltheorie
o Überlagerungsverfahren (Superposition)
5.2.
•
•
•
•
Übersicht
Handanalyse
nicht-systematische Analysemethode
Vorgehen:
o Netzwerk betrachten
o Anwendung der Kirchhoff’schen Gesetzte, Aufstellung der I U - Beziehungen, Verwendung der Zweipoltheorie und der Superposition, sowie eine Ausrechnung der gesuchten
Größen
wichtig:
o Mit den Gleichungssystemen ausschließlich Ströme berechnen!
o Maschengleichung bei Stromquellen meiden!
Beispiel:
R1
i1
R2
K
I0
u1
u0
u2
R3
M
u3
i3
u 0 ; I0 ; alle R
• gesucht: alle u und alle i
•
gegeben:
•
Lösung:
K : i1 i3 + I0 = 0
M:
i1 = i3 I0
u 0 + R1i1 + R 3i3 = 0
u 0 + R 1i3 R 1I0 + R 3i3 = 0
u 0 + i 3 ( R 1 + R 3 ) R 1I 0 = 0
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
i3 =
34
u 0 + R1I0
R1 + R 3
u 3 = i3R 3 = R 3
u 0 + R1I0
R1 + R 3
i1 = i 3 I0 =
u1 = i1R1 =
u 2 = R 2 I0 =
5.2.1.
•
Superposition
Wirken in einem linearen System mehrere Ursachen, so ergibt sich die Gesamtwirkung aus der
ungestörten Überlagerung der Einzelwirkungen.
5.2.1.1. Beispiel: mechanisches Modell
l1
m1
l2
l1 + l 2
m2
m2
m1
l
O
m
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
5.2.1.2. Beispiel: Überlagerung
u2
u
R
u1
i
i=
u u 1 + u 2 u1 u 2
=
= +
= i u1 + i u 2
R
R
R R
5.2.1.3. Beispiel: keine Überlagerung
u2
R = f ( i ges )
u
u1
i ges
i
i1 + i 2
i ges
i2
i1
O
u1 u 2 u1 + u 2 u
i ges
5.2.2.
1.
2.
3.
4.
u1 u 2
+
R R
Rechenprogramm
Alle Spannungsquellen kurzschließen.
Alle Stromquellen entfernen.
Nacheinander je eine einzelne Quelle wieder aktivieren und gesuchte Größen berechnen.
Teilergebnisse aus 3. summieren.
35
Ronny Harbich
•
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
36
Beispiel:
R2
R1
I0
u0
R3
"
u3
R2
R1
(
u0
R3
I0
R1
u 31
R3
u 32
u 3 = u 31 + u 32
) 1
R3
1 *
++
+
, I0
R 3 + R1 - R 3 R1 .
R3
R R
= u0
+ 3 1 I0
R 3 + R1 R 3 + R1
= u0
=
o
R 3 ( u 0 + I0 R 1 )
R1 + R 3
Leistung:
Die Leistung wird mit Hilfe des Ergebnisses
P = u i; i =
u 3 berechnet:
u
u2
; P=
R
R
u 2 R ( u 0 + I0 R1 )
P3 = 3 = 3
2
R3
( R1 + R 3 )
Die Leistung wird mit Hilfe der Teilergebnisse
2
u 31 und u 32 berechnet:
P3* = P31 + P32
=u
2
0
P3
R 32
( R 3 + R1 )
2
R3
+
R 32 R12
( R 3 + R1 )
2
R3
I02
Ronny Harbich
5.3.
•
•
•
•
•
Vorteil: systematische Analyse
Nachteil: Große Netzwerke sind aufwendig zu berechnen.
Ziel: Berechnung aller Zweigströme (über z Zweige fließen z Ströme); Zur Berechnung sind z
unabhängige Gleichungen erforderlich.
6
7
8
E
3
11
10
F
C
unabhängige Maschen:
o 4 : BADC
o 5 : EBA
o 6 : EBAD
o 8 : EBADC
o 9 : FCD
o 11: EBADCF
für k Knoten und z Zweige gilt:
o
o
o
•
5
4
B
•
Methode des vollständigen Baumes
Aufzeichnen des Streckenkomplexes (Graph) zum Netzwerk:
o Knoten werden hierbei als Punkte dargestellt.
o Zweige werden durch Linien repräsentiert.
Aufstellen der unabhängigen Knotengleichungen, wobei von n Knoten n 1 Knotengleichungen
unabhängig sind.
Aufstellen der unabhängigen Maschengleichungen. In den Streckenkomplex wird ein beliebiger
Linienzug gezeichnet, der alle Knoten enthält und der keine Maschen bildet. Die restlichen Linien
(Zweige) sind dann die unabhängigen Linien. Jeder dieser Zweige (also die restlichen Linien)
schließt eine Masche über den Baum (hieraus folgen die unabhängigen Maschengleichungen).
• 11 Zweige: Es fließen 11 Zweigströme.
A
D
2
• 6 Knoten: Es existieren 6 Knotengleichungen.
9
• Es gibt 11 6 = 5 unabhängige Zweige.
1
•
37
Zweigstromanalyse
5.3.1.
•
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
( k 1) Knotengleichungen.
Es gibt ( z ( k 1) ) Maschengleichungen.
zusammen: ( k 1) + ( z ( k 1) ) = z Gleichungen
Es existieren
Auflösen des Gleichungssystems
o von Hand
o maschinell
Ronny Harbich
5.3.2.
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
Problem: unabhängige Stromquellen in Netzwerken
R2
K
i1
I0
iy
R1
•
•
38
u0
M1
ux
M2
1 Knotengleichung
2 Maschengleichungen
K : i1 + i y + I0 = 0
M1 : i1R1 + u 0 = 0
M 2 : u 0 u x + I0 R 2 = 0
i1;i y ; u x
•
Unbekannte:
•
Die Gleichungen reichen zur Berechnung der gesuchten Größen aus, das Verfahren wird dann
aber unsystematisch.
Lösung:
o Der vollständige Baum muss so gewählt werden, dass der Zweig mit der Stromquelle in einen unabhängigen Zweig (nicht im Baum) liegt.
o Der Zweigstrom ist bekannt und benötigt keinerlei Berechnung.
•
R2
K
i1
I0
iy
R1
u0
M1
i1
R1
ux
M2
(
u0
"
R2
I0
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
39
6. Zeitveränderliche Vorgänge in Netzwerken
6.1.
Netzwerkelemente
6.1.1.
Elementares
i(t)
u (t)
R
R=
6.1.2.
i(t)
u (t)
i(t)
u (t)
= const.
Induktivität
i(t)
•
L
u (t)
u (t) = L
di ( t )
dt
speichert elektrische Energie in Form eines magnetischen Feldes (Feldenergie)
Ronny Harbich
6.1.3.
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
40
Kapazität
i(t)
u (t)
C
1
i ( t )dt
C
du ( t )
i(t) = C
t
u (t) =
•
speichert elektrische Energie im elektrischen Feld
6.2.
•
Einführung in die Berechnungsmethodik
Beispiel:
i(t)
R
uR ( t )
C
uC ( t )
L
uL ( t )
u (t)
u ( t ) + uR ( t ) + uC ( t ) + uL ( t ) = 0
di ( t )
1
i ( t ) dt + L
=0
C
dt
du ( t )
di ( t ) 1
d 2i ( t )
+R
+ i(t) + L
=0
dt
dt
C
dt
du ( t )
di ( t )
d 2i ( t ) 1
=R
+L
+ i(t)
dt
dt
dt
C
u (t) + i(t) R +
o
Ein Netzwerk liefert bei zeitlicher Abhängigkeit ein System von Differenzialgleichungen. Eine Lösung dieser ist allerdings ehr aufwendig.
Ronny Harbich
6.3.
•
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
41
Klassifikation zeitlich veränderlicher Vorgänge
Darstellung im Liniendiagramm:
y
y1
O
t1
t
y ist ein Platzhalter für die elektrische Spannung bzw. für den elektrischen Strom.
y1 - Momentanwert (Augenblickswert)
•
•
zeitabhängige Größen
Gleichgrößen
periodische Größen
y
O
y
t
nicht-periodische Größen
y
O
t
y
O
t
T
•
Der Funktionsverlauf wiederholt sich nach der Zeit
T
•
Wechselgrößen:
T (Periodendauer).
u ( t ) dt = 0
0
u (t)
O
t
T
O
t
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
T
•
Mischgröße:
u ( t ) dt
42
0
0
u (t)
O
t
T
•
„Mischgröße = Wechselgröße + Gleichgröße“
6.4.
Parameter periodischer Signale (periodischer Größen)
•
Periodendauer und Frequenz
•
Spitzenwerte:
f=
1
;
T
[ T ] = s; [ f ] =
yss = y max
y min = y pp
y
y max
O
O
y min
o
6.5.
t
arithmetisches Mittel (Mittelwert, linearer Mittelwert, Gleichwert):
quadratisches Mittel (Effektivwert):
1
T
y eff =
tx + T
y=
y 2 ( t ) dt
tx
Harmonische Wechselgrößen
f ( x ) = a sin ( bx + c )
•
y ( t ) - Momentanwert
•
y - Spitzenwert, Amplitude, Scheitelwert
•
/ - Kreisfrequenz (Winkelgeschwindigkeit): / =
•
y
t
Mittelwerte:
o
•
( Hertz )
y
y
•
1
= Hz
s
- Nullphasenwinkel
/t - Phasenwinkel
y ( t ) = y sin ( /t +
2
=2 f
T
)
1
T
tx + T
tx
y ( t ) dt
Ronny Harbich
•
Darstellung als
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
43
y(t) :
y
y
O
t0
t
/
T
o
Nulldurchgang:
y ( t 0 ) = 0 = y sin ( /t 0 +
•
)
" sin ( /t 0 +
)=0
" /t 0 + = 0 " t 0 =
/
Darstellung als Funktion vom Phasenwinkel:
y
y
O
t
2
•
Eine Sinusgröße wird durch die 3 Parameter Amplitude, Frequenz und Nullphasenwinkel vollständig beschrieben.
•
arithmetisches Mittel: y =
•
quadratisches Mittel:
•
Kosinus-Funktion:
2
y eff =
y
1
y
2
)
*
y = y cos ( /t ) = y sin + /t + ,
2.
-
Ronny Harbich
6.5.1.
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
44
Überlagerung von harmonischen Funktionen
u2
u
u1
( Frequenz )
f1 = f 2
u = u1 + u 2
a1 = a1 sin ( /t +
1
a 2 = a 2 sin ( /t +
)
2
)
a = a1 + a 2 = a sin ( /t +
2
)
2
a = a1 + a 2 + 2a1 a 2 cos (
=
•
a1 sin (
a1
) + a2
cos ( 1 ) + a 2
1
sin (
2
1
)
)
cos ( 2 )
2
Sinusgrößen unterschiedlicher Frequenz in einem Netzwerk ergeben nichtharmonische periodische Größen.
6.6.
Übersicht zu Berechnungsmethoden
6.6.1.
Gleichstromerregung
u 0 = U 0 = const.;
i 0 = I0 = const.;
i(t)
C
u (t)
du ( t )
t
di ( t )
t
=0
=0
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
45
i(t)
u (t)
L
6.6.2.
Harmonische Erregung
u ( t ) = u sin ( /t +
i ( t ) = i sin ( /t +
6.6.3.
•
);
du ( t )
t
= u/ cos ( /t +
) = u/
)
*
sin + /t + + ,
2.
-
)
Nichtharmonische periodische Erregung
Jede dieser Funktionen kann aus der Summe von sinusförmigen Funktionen zusammengesetzt
werden (Annäherung: Fourier-Reihe).
6.6.4.
Schaltvorgang, Ausgleichsvorgang, Übergangsverhalten
y
stationär
stationär
O
t1
t2
t
Testsignale
y
Sprung
O
•
Die Lösung erfolgt über Differentialgleichungen.
6.6.5.
•
Restliche Signale
Lösung: an dieser Stelle nicht bekannt
Impuls
t
Ronny Harbich
6.6.6.
•
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
46
Beispiel
Die nun folgende Schaltung soll für das unterschiedliche Verhalten der genannten Erregungen
verwendet werden:
R
u (t)
•
uC ( t )
C
zu 6.6.1:
u (t)
u0
uC ( t ) = u ( t )
O
•
t
zu 6.6.2/6.6.3:
u (t)
u (t)
uC ( t )
O
•
zu 6.6.4:
t
u (t)
u0
u (t)
uC ( t )
O
t
Ronny Harbich
6.7.
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
Mathematische Beschreibungsformen
bj
Z
O
•
arithmetische Form:
o
Betrag:
z = a + bj
z = z = a 2 + b2
b
a
a = z cos (
• trigonometrische Form:
b = z sin (
o
Winkel:
a
tan (
Z
)=
cos (
•
eulersche Form:
•
exponential Form:
) ± sin ( ) j = e± j
z = z ej
6.8.
Sonderfälle
6.8.1.
Multiplikation
)10
2 z = z ( cos ( Z ) + sin ( Z ) j)
Z )1
3
Z
Z
A1 = a1 + b1 j
A2 = j
A1 A 2 = b1 + a1 j
a1
b1
b1
6.9.
O
a1
Häufige Umrechnung
1.: A = a + bj = a + b e
2
2
)b*
j arctan + ,
-a.
1
1
2.: A =
=
e
a + bj
a 2 + b2
)b*
j arctan + ,
-a.
47
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
48
6.10. Anwendung auf harmonische Zeitfunktion
•
Es lässt sich folgende formale Identität finden:
o
Re ( z ) und Im ( z ) definiert sein, die stets den Real-
An dieser Stelle sollen die Funktionen
z zurückgeben.
teil bzw. den Imaginärteil einer komplexen Zahl
z ( t ) = z cos ( /t +
(
= Re ( z e e )
)
= Re z cos ( /t +
j
)+z
sin ( /t +
)
j
/t
z ( t ) = WW ( z )
o
z ( t ) - Zeitbereich
o
WW ( z ) - Bildbereich
o
Sinusfunktion entsprechend (in Kosinusfunktion umrechnen)
6.11. Eigenschaften des Bildbereichs
•
WW ist linear, d.h.:
o
o
•
(
x ( t ) + y ( t ) = WW x + y
x ( t ) = WW (
Ableitung wirkt über
)
x)
WW als Multiplikation mit j/ :
dx ( t ) d
=
x cos ( /t ) + x sin ( /t +
dt
dt
d
=
Re z e j e j/t
dt
(
( (
))
/j e )
(
j/t
= Re z e j
6.12. Anwendung auf Netzwerk-Analyse
•
Kirchhoff’sche Gesetze:
! u (t) = 0
!i (t) = 0
K
K
•
WW
55&
WW
55&
!u = 0
!i = 0
K
K
Ohm’sches Gesetz:
u ( t ) = R i ( t ) & u = Ri
•
Kapazität:
i(t) = C
•
du ( t )
dt
i = /Cj u
&
u=
1
i
/Cj
Induktivität:
u (t) = L
di ( t )
dt
& u = /Lj i
) j)
)
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
49
6.12.1. Definition Impedanz
•
Impedanz (Widerstandsoperator, komplexer Widerstand):
z=
u
=z e
i
z= z =
z
=
j
u eff u
=
i eff
i
u
(Scheinwiderstand)
i
z = R + xj
•
o R - Wirkwiderstand
o x - Blindwiderstand
Widerstand: z R = R
1
C
/j
• Induktivität: z R = /Lj
zR =
•
Kapazität:
•
Addmittanz:
y=
1
z
6.12.2. Zusammenfassung
•
•
•
Transformation in den Bildbereich
bekannte Berechnungsmethodik verwenden
Rücktransformation in den Zeitbereich
o kann entfallen, wenn die gesuchten Parameter in Bildbereich abgelesen werden können
6.12.3. Beispiel
R
uC ( t )
u (t)
•
gegeben:
•
gesucht:
R
u ( t ) = u eff
uC ( t )
C
2 cos ( /t ) ; R; C
u
1
/Cj
uC
Ronny Harbich
•
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
50
Lösung:
u = u eff e0 j = u eff
Spannungsteilerregel:
1
1
/Cj
uC = u
=u
1
1 + /CRj
+R
/Cj
1
u C = u eff
1 + /CRj
Exponentialform:
u eff
j arctan ( /CR )
uC =
e
2
1 + ( /CR )
Rücktransformation:
uC ( t ) =
u eff
2
1 + ( /CR )
2
cos ( /t arctan ( /CR ) )
6.13. Frequenzabhängigkeit von Schaltkreisen
6.13.1. Frequenzabhängigkeit bei Zweipolen
i(t)
passiver
Zweipol
u (t)
•
z=
z
u
u
, d.h. das Verhalten des Zweipols wird durch die Impedanz z ausreichend beschrieben.
i
Zweipolcharakteristik
•
i(t)
z=z e
zj
o
z = f ( /j) - Ortskurve
o
z = f ( /) - Betragscharakteristik
o
u Z = f ( /) - Phasenwinkelcharakteristik
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
R
C
L
zR = R
z L = j/ L
zR = zR = R
z L = Z L = /L
z
51
=0
z
1
1
= j
j/ C
/C
1
z C = ZC =
/C
90
=
°
z
zC =
= 90°
zL
zR
zC
R
O
/
/
O
O
/
6.13.2. Resonanz
•
•
•
•
•
Resonanz ist das mitschwingen eines Schwingungsfähigen Systems bei Einwirkung einer Erregergröße mit einer Frequenz nahe oder gleich der Eigenfrequenz des Systems (Resonanzfrequenz).
einmalige Anregung
freie Schwingung bis Energie durch Dämpfung umgewandelt ist
stationäre erzwungene Schwingung
System schwingt mit der Eigenfrequenz
Schwingung
Schwingungsintensität abhängig von der Differenz der Erregerfrequenz und Eigenfrequenz
Beispiel: Reihenschwingkreis (stationäre erzwungene Schwingung)
R
j/ L
u
1
j/ C
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
z = R + j/ L +
52
1
j/ C
1 *
)
= R + j + /L
,
/C .
Exponentialform:
2
1 *
)
z = R + + /L
, e
/C .
Betragscharakteristik:
2
1 *
)
z ( / ) = R + + /L
,
/C .
-
1 *
)
+ /L /C ,
j arctan +
,
R
++
,,
.
2
2
z
R
O
/0
•
/0 = 2 f 0 - Resonanzfrequenz
•
Resonanzbedingung:
•
/0 L
/
Im ( z ) = 0
1
1
= 0 & /0 =
/0 C
LC
z wird im Resonanzfall reell.
• Für R = 0 wirkt ein Reihenschwingkreis bei Resonanz wie ein Kurzschluss.
•
6.13.3. Frequenzabhängigkeit von Vierpolen
u1
Vierpol bzw. Zweitor
u2
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
•
Definition: Übertragungsfunktion
•
Exponentialform:
H ( j/ ) =
u2
H ( j/ ) =
o
Festlegung:
1
u1
u2
u1
u 2 e j 2 u 2 j(
=
e
u1 e j 1 u1
=
2
1
)
=0
H ( j/) =
2
53
u2 j
e
u1
2
- Phasengang
u2
= H = f ( /) - Amplitudengang
u1
Phasengang und Amplitudengang bilden zusammen den Frequenzgang.
6.13.4. Bode-Diagramm
•
•
•
logarithmisch geteilte Frequenzachse
logarithmisch geteilte Amplitudenachse
oder Umrechnen in dB (Dezibel)
o
Amplitudengang:
H dB = 20 lg
o
Phasengang:
= f ( log ( /) )
2
u2
= f ( lg ( /) )
u1
6.13.5. Grenzfrequenz
•
Definition: Granzfrequenz ist die Frequenz, bei der das maximale Spannungsteilerverhältnis auf
den
1
fachen Wert abgesunken ist:
2
u2
u1
•
•
=
/g
1 u2
2 u1
max
1
entsprechen ca. 3 dB .
2
Beispiel:
R
u1
1
j/ C
u2
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
H=
1
1 + ( /CR )
H ( /) = 20 lg
( /) =
o
Grenzfrequenz:
O
/g =
2
e
j arctan ( /CR )
1
1 + ( /CR )
2
arctan ( /CR )
1
CR
0, 01 0,1 1 10 100 1000
CR CR CR CR CR CR
Idealverlauf
20
40
60
80
H in dB
54
Realverlauf
/ in s
1
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
55
7. Ausgleichvorgänge in linearen Netzwerken
7.1. Problemstellung
•
Einschaltvorgang:
t=0
u i = 0 ; ii = 0
o
vor dem Schließen des Schalters:
o
nach dem Schließen des Schalters: elektrischer Ausgleichsvorgang;
o
nach der Zeit
u i = f u ( t ) ; ii = f i ( t )
t (theoretisch: t & ' ): stationärer Zustand; für Gleichgrößen: u i = const. ;
ii = const. ; für harmonische Wechselgrößen: u i = const. ; ii = const.
•
•
Ausschaltvorgang
2
o dito , nur umgekehrte Reihenfolge
Lösungsverfahren
( j/) ist nicht geeignet
o
symbolische Methode
o
o
Laplace-Transformation
für einfache Fälle: Rechnung im Zeitbereich
7.2. R; C; L bei Schaltsprünge
iR
R
iC
C
iL
uC
uR
u R = R iR
iC = C
y
y
uR
uL
du C
dt
uL = L
uC
t
O
t
Die Spannung kann sich
nicht Sprunghaft ändern.
2
y
di L
dt
iC
iC
iR
O
L
ebenfalls, desgleichen, ebenso
O
uL
t
Der Strom kann sich
nicht sprunghaft ändern.
Ronny Harbich
•
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
56
Beispiel:
Selbstinduktion
u
u=0
u
uI
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
57
8. Lineare Netzwerke bei harmonischer Erregung
8.1.
•
•
•
Netzwerk ist linear
Netzwerk ist eingeschlungen (stationär)
Netzwerkselemente: R; L;C; Quellen
8.2.
•
Randbedingungen
Behandlung im Zeitbereich
Aufstellen und Lösen des Differentialgleichungssystems
8.3.
Behandlung mit Zeigerbild
8.3.1.
Definition
y
y
/t
O
2
umlaufender Zeiger
y
ruhender Zeiger
y
t=0
y
y
y(t)
Phasenbezugsachse
•
•
Phasenbezugsachse
Zeiger haben symbolischen Charakter und gelten nur für harmonische Größen.
Kennzeichnung durch unterstreichen (alt: Fraktur-Schrift)
Ronny Harbich
8.3.2.
•
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
Grundoperationen
Multiplikation mit konstantem Faktor (Widerstand):
u (t) = R i(t)
u = R i;
u
u
=
i
i
i
•
58
=
u
Differentiation (Induktivität):
u (t) = L
di ( t )
u = /L i;
dt
u
=
i
+
2
u
i
i
•
Integration (Kapazität):
u (t) =
1
i ( t ) dt
C
u=
1
i;
/C
u
i
i
u
u
8.3.3.
•
•
Vor- und Nachteile der Methodik
Vorteile:
o einfach Anwendbar
o anschauliche Darstellung der Vorgänge
Nachteile:
o bei großen Netzwerken unüberschaubar
o Genauigkeit auf Zeichengenauigkeit beschränkt
o Einfluss bei Frequenz-Änderungen schwer vorstellbar
=
i
2
Ronny Harbich
8.4.
•
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
Symbolische Methode
Ziel: analytische Behandlung von Zeigerbildern
Zeiger im Koordinatensystem
z
b
z
O
•
59
a
•
benötigte Operationen:
o Längenänderung
o Überlagerung (Addition/Subtraktion)
o Drehung ( ±90° )
Lösung: Zeiger durch gerichtete Strecken in der Gauß’schen Zahlenebene darstellen.
•
symbolische Schreibweise für obigen Zeiger:
z = a + jb; a, b
8.5.
Netzwerke mit einem Speicherelement
8.5.1.
Beispiel: Einschalten einer Gleichspannung
;
j2 = 1
R
u
•
gesucht:
uC ( t )
C
M
uC ( t ); t > 0
1. Aufstellen der Differentialgleichung für die gesuchte Größe:
u u C ( t ) R i ( t ) = 0; i ( t ) = C
u u C ( t ) RC
RC
du C ( t )
dt
i
du C ( t )
dt
+ uC ( t ) = u
RC u C + u C ( t ) = u
=0
du C ( t )
dt
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
60
2. Lösung der homogenen Differentialgleichung:
a 0 x 0 + a 1 x1 + a 2 x 2 +
RC
RC
du C ( t )
dt
du C ( t )
dt
+ uC = 0
= uC
1
du C =
uC
1
dt
RC
1
du C =
uC
1
dt
RC
ln ( u C ) + k1 =
1
t
RC
ln ( u C ) =
uC = e
=e
=e
1
t
RC
1
t
RC
+ an xn = 0
1
t k1
RC
ex
1
t k1
RC
e k1 ; k 2 = e k1 = const.
(
k 2 = u C ; u C - Spannung wird flüchtig lim ( u fl ) = 0
fl
fl
t &'
)
3. Aufsuchen einer partikularen Lösung der vollständigen Differentialgleichung:
t&'
R
u C ( t ) = u ( t ) = u Cst
u Cst - Spannung wird stationär
uC ( t )
u
4. Überlagerung von 2 und 3:
u C = u Cfl + u Cst
= k2 e
1
t
RC
+u
Ronny Harbich
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
61
5. Bestimmung der Integrationskonstanten aus der Anfangsbedingung:
u C = 0 , da die Kapazität vorher entladen war und u C sich nicht sprunghaft ändern kann.
• t=0
Für t = 0:
1
t
RC
uC ( t ) = k2 e
+u =0
u C ( 0 ) = k 2 e0 + u = 0
k2 + u = 0
k2 = u
uC ( t ) = u e
)
= u +1 e
•
1
t
RC
1
t
RC
+u
*
,
.
Definition: Zeitkonstante 6 = RC
t
)
*
u C ( t ) = u +1 e 6 ,
.
u
u
R
O
•
t
Für Induktivitäten ist das Ergebnis Analog.
8.6.
Verkürztes Lösungsverfahren für Netzwerke mit einem Speicherelement
a (t)
•
gesucht:
1.
a fl ( t ) = k e
t
6
mit
6 = C R ersatz bzw. 6 =
L
R ersatz
Gesetze
2.
a st ( t ) = ? für t & '
3. Berechnung von
4.
a (t) = k e
t
6
k : k = a ( t = 0 ) a st ( t = 0 )
+ a st ( t )
;
R - Ersatzwiderstand von C bzw. L aus
Ronny Harbich
8.7.
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
62
Anwendung in der Digitaltechnik
Logikgatter (Digitalschaltung)
1
1
u1 ( t )
u2 ( t )
GND
(ground)
u1 ( t )
H – High
L – Low
uH
uL = 0
O
t1
t
t2
u2 ( t )
•
gesucht:
•
einfacheres Modell:
Ra
Umschalter
Cersatz
u1 ( t )
u
R1
u2 ( t )
Ronny Harbich
•
Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen
63
Einschalten:
t
6
1.
u 2fl = k e
2.
u 2st ( t & ' ) = u H
3.
k = u 2 ( t = 0)
6 = C R Ra
mit
R1
R1
R1 + R a
R1
R1
uH
= 0 uH
R1 + R a
R1 + R a
t
)
*
R1
6
4. u 2 ( t ) = u H
+1 e ,
R1 + R a .
•
Ausschalten:
1.
u 2fl = k e
t
6
mit
2.
u 2st ( t & ' ) = 0
3.
k = uH
R1
R1 + R a
t
)
*
6
u H +1 e , ; 6 R a C für R a
.
R1
6=
0
R1
4. u 2 ( t ) = u H
e
R1 + R a
t
6
t
6
uH e ; 6
R a C für R a
R1
u
u1 ( t )
u2 ( t )
O
•
•
t
u 2 ( t ) ist so unbrauchbar!
6 muss kleiner werden ( C von u 2 ( t ) ) größere Annäherung an u1 ( t )
o
C muss kleiner werden (über Konstruktion erreichbar)
o oder R a muss kleiner werden (anderer Typ von Logikgatter)