1. Vierecke - Maria-Theresia

Maria-Theresia-Gymnasium München
Grundwissen Mathematik
8. Klasse Geometrie
1. Vierecke
Übersicht verschiedener Viereckstypen:
Allgemeines Viereck
Trapez
Parallelogramm
Rechteck / Raute
Quadrat
Zur Konstruktion:
Aus den Kongruenzsätzen für Dreiecke folgt, dass ein Viereck durch die
geeignete Wahl von mindestens fünf Größen (Strecken, Diagonalen,
Winkeln) eindeutig festgelegt werden kann.
Definition:
Wenn in einem Viereck die gegenüberliegenden Seiten (Gegenseiten)
jeweils parallel sind, dann nennt man es Parallelogramm.
Satz 1:
Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn die Gegenseiten
jeweils gleich lang sind.
Satz 2:
Ein Viereck ist genau dann punktsymmetrisch (zum
Diagonalenschnittpunkt S), wenn es ein Parallelogramm ist.
Definition:
Wenn in einem Viereck alle Seiten gleich lang sind, dann nennt man es
Raute.
Satz 1:
Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren
sich gegenseitig.
Satz 2:
Eine Raute ist achsensymmetrisch bzgl. jeder ihrer Diagonalen. Sie ist
punktsymmetrisch bzgl. ihres Diagonalenschnittpunktes S.
Definition:
Wenn in einem Viereck alle Winkel gleich groß (also jeweils 90°) sind,
nennt man es Rechteck.
Satz 1:
Die Diagonalen eines Rechtecks sind gleich lang und halbieren sich
gegenseitig.
Satz 2:
Ein Rechteck ist achsensymmetrisch bzgl. der Mittelsenkrechten jeder
Seite. Es ist punktsymmetrisch bzgl. seines Diagonalenschnittpunktes S.
Definition:
Wenn in einem Viereck alle Seiten und alle Winkel gleich groß (also
jeweils 90°) sind, dann nennt man es Quadrat.
Satz 1:
Die Diagonalen eines Quadrats stehen senkrecht aufeinander, halbieren
sich gegenseitig und sind gleich lang.
Satz 2:
Ein Quadrat ist achsensymmetrisch bzgl. seiner Diagonalen und der
Mittelsenkrechten jeder Seite. Es ist punktsymmetrisch bzgl. seines
Diagonalenschnittpunktes S.
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Januar 2004
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Definition:
Wenn in einem Viereck zwei Gegenseiten parallel sind, nennt man
es Trapez. Diese beiden Seiten heißen Basis, die anderen beiden
Seiten nennt man Schenkel. Die Verbindungslinie der beiden
a+c
.
Schenkelmitten heißt Mittellinie und es gilt: m =
2
Ein Trapez mit gleich langen Schenkeln heißt gleichschenkliges
Trapez.
Satz 1:
Die Diagonalen eines gleichschenkligen Trapezes sind gleich lang
und schneiden sich auf der Mittelsenkrechten der Basis.
Satz 2:
Ein gleichschenkliges Trapez ist achsensymmetrisch bzgl. der
Mittelsenkrechten seiner Basis.
2. Vektoren und Vektoraddition
Die Menge aller Pfeile einer Verschiebung nennt man Vektor. Die
einzelnen Pfeile heißen Repräsentanten des Vektors.
Bezeichnung: a , b , ... oder AB , PQ , ...
Die Verkettung zweier Verschiebungen a und b ist wieder eine
Verschiebung. Der dazugehörige Vektor heißt
Summenvektor a + b .
3. Geraden und Winkel am Kreis
Eine Gerade, die mit einem Kreis
- einen gemeinsamen Punkt besitzt, heißt Tangente.
- zwei gemeinsame Punkte besitzt, heißt Sekante.
- keinen gemeinsamen Punkt besitzt, heißt Passante.
Eine Gerade t durch B ist genau dann eine Tangente, wenn die
Gerade senkrecht zum Radius [MB] verläuft. Aus dieser Tatsache
lässt sich sofort eine Tangente konstruieren.
Wenn in einem Viereck die Gesamtlänge zweier Gegenseiten
gleich der Gesamtlänge der beiden anderen Seiten ist, genau
dann ist das Viereck ein Tangentenviereck.
(hier: a + c = b + d)
Wenn in einem Viereck die gegenüberliegenden Winkel 180°
ergeben, genau dann ist das Viereck ein Sehnenviereck.
(hier: α + γ = β + δ = 180°)
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Januar 2004
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8. Klasse Geometrie
Definitionen:
Umfangswinkel δ sind Winkel, deren Scheitel auf einem Kreis
liegen und deren Schenkel ins Kreisinnere weisen.
Der Bogen, der einen Umfangswinkel von außen umgibt, heißt
Fasskreisbogen. Der andere Teil des Kreisbogens (mit den
Punkten A und B) wird Restbogen genannt.
Satz 1 (Umfangswinkelsatz):
Alle Umfangswinkel, die von demselben Fasskreisbogen umgeben
werden, sind gleich groß.
Satz 2:
Die Umfangswinkel, die zu einem Fasskreisbogen gehören, sind
halb so groß wie der zum Restbogen gehörende
Mittelpunktswinkel.
4. Raumgeometrie
Eine Gerade g ist durch zwei Punkte im Raum eindeutig bestimmt.
Zwei Geraden g und h können folgende Lagebeziehungen
eingehen:
• g ist parallel zu h (g und h besitzen keinen gemeinsamen
Punkt)
• g und h schneiden sich (g und h besitzen genau einen
Schnittpunkt)
• g und h (sind parallel und) liegen aufeinander (g und h
besitzen unendlich viele Schnittpunkte)
• g und h schneiden sich nicht und sind auch nicht parallel
zueinander; d.h. sie verlaufen windschief zueinander (g und h
besitzen keinen Schnittpunkt)
Eine Ebene E ist durch drei Punkte, die nicht auf einer Gerade
liegen, im Raum eindeutig bestimmt.
Zwei Ebenen E1 und E2 können folgende Lagebeziehungen
eingehen:
• E1 ist parallel zu E2 (E1 und E2 besitzen keinen gemeinsamen
Punkt)
• E1 und E2 schneiden sich in einer Geraden (E1 und E2 besitzen
unendlich viele Schnittpunkte)
• E1 und E2 (sind parallel und) liegen aufeinander (E1 und E2
besitzen unendlich viele Schnittpunkte)
Eine Gerade g nennt man senkrecht zur Ebene E, wenn zwei
Geraden der Ebene im Schnittpunkt von g und E senkrecht zu g
verlaufen.
Eine Gerade g nennt man parallel zur Ebene E, wenn alle Punkte
von g den gleichen Abstand zu E haben.
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Januar 2004
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8. Klasse Geometrie
5. Grund-, Aufriss und Schrägbilder
Grund- und Aufriss einer quadratischen Pyramide:
Im Grundriss erscheinen alle horizontalen, im Aufriss
alle vertikalen Strecken in wahrer Länge.
Schrägbild einer quadratischen Pyramide (ω = 45°,
q = 0,5):
Im Schrägbild erscheinen alle zur Bildebene
parallelen Strecken in wahrer Länge und Richtung;
alle zur Bildebene senkrechten Strecken erscheinen
unter demselben Winkel ω (Verzerrungswinkel) gegen
die Rissachse geneigt und im gleichen Verhältnis q
(Verzerrungsverhältnis) gestreckt bzw. gezerrt.
6. Flächen- und Rauminhalte
Flächeninhalt eines Parallelogramms:
Flächeninhalt eines Dreiecks:
A P = a ⋅ ha = b ⋅ hb
AD =
Flächeninhalt eines Trapezes:
Flächeninhalt eines Vielecks:
Um den Flächeninhalt
eines Vielecks zu berechnen,
zerlegt man die Figur
in geeignete Dreiecke
und addiert deren
Flächeninhalte.
AT =
1
⋅ a ⋅ ha =
2
1
= ⋅ b ⋅ hb =
2
1
= ⋅ c ⋅ hc
2
(a + c ) ⋅ h
2
Rauminhalte von Prismen:
Verschiebt man eine Vielecksfläche im Raum um die
Länge h, so entsteht ein gerades (senkrechtes) oder
ein schiefes Prisma der Höhe h. Die Oberfläche
besteht aus zwei kongruenten n-Ecken (Grund- und
Deckfläche) und n Parallelogrammen als
Seitenflächen.
Schneidet man ein Prisma entlang geeigneter Kanten
auf und klappt die Begrenzungsflächen in eine
Zeichenebene auf, so erhält man das Netz eines
Prismas.
Beispiele für bekannte Prismen und ihre Rauminhalte:
Würfel:
VW = a3
Quader: VQ = a·b·c
Rauminhalt eines geraden Prismas:
VP = G·h
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Januar 2004