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Formelsammlung Elektrotechnik im Technischen Gymnasium Baden-Württemberg
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10-10-29
Inhaltsverzeichnis
Ladung......................................................................................................................................................................2
Spannung..................................................................................................................................................................2
Potenzial....................................................................................................................................................................2
Strom........................................................................................................................................................................2
Ohmsches Gesetz.......................................................................................................................................................3
Reihenschaltung.........................................................................................................................................................3
Parallelschaltung.........................................................................................................................................................3
Knoten- und Maschenregel..........................................................................................................................................4
Widerstand und Temperatur........................................................................................................................................4
Leistung.....................................................................................................................................................................4
Arbeit.........................................................................................................................................................................4
Wirkungsgrad.............................................................................................................................................................4
Spannungsteiler..........................................................................................................................................................5
Brückenschaltung.......................................................................................................................................................5
Spule.........................................................................................................................................................................6
Einschaltvorgang bei Spulen........................................................................................................................................6
Elektrostatisches Feld..................................................................................................................................................7
Kondensator...............................................................................................................................................................7
Ladungsvorgang beim Kondensator.............................................................................................................................8
Wechselstrom.............................................................................................................................................................9
Zeigerdarstellung........................................................................................................................................................9
Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis (Wirkwiderstand R)................................................................................10
Kapazität im Wechselstromkreis.................................................................................................................................11
Induktivität im Wechselstromkreis..............................................................................................................................11
Reihenschaltung R (Wirkwiderstand) und XL (induktiver Blindwiderstand)....................................................................12
Reihenschaltung R (Wirkwiderstand) und XC (kapazitiver Blindwiderstand)...................................................................13
Reihenschaltung R, XL und XC (RLC - Reihenschwingkreis)..........................................................................................14
Parallelschaltung R und XL........................................................................................................................................15
Parallelschaltung R und XC........................................................................................................................................16
Parallelschaltung R, XL und XC (RLC - Parallelschwingkreis).........................................................................................17
Äquivalente Schaltungen...........................................................................................................................................18
Blindleistungs-Kompensation.....................................................................................................................................18
Siebschaltungen (passive Filter).................................................................................................................................19
RC- und LR-Tiefpässe................................................................................................................................................20
CR- und RL-Hochpässe..............................................................................................................................................20
Dreiphasiger Wechselstrom.......................................................................................................................................21
Symmetrisches Dreiphasensystem.............................................................................................................................22
Verkettetes Dreiphasensystem...................................................................................................................................23
Digitaltechnik (Begriffe).............................................................................................................................................24
Zahlensysteme.........................................................................................................................................................24
Schaltalgebra (Verknüpfungsregeln)...........................................................................................................................25
Schaltnetze...............................................................................................................................................................27
Spezielle Schaltnetze (Addierer, Multiplexer, Komparator)...........................................................................................27
Codes.......................................................................................................................................................................30
spezielle Bauteile (Takt, Monoflop, Treiber, Pull-Up, Pull-Down)...................................................................................31
Speicher (Flipflops)...................................................................................................................................................32
Impulsdiagramme (Zeitablaufdiagramme)..................................................................................................................32
Schaltwerke..............................................................................................................................................................33
Zustandsdiagramm...................................................................................................................................................33
Spezielle Schaltwerke (Zähler, Speicher, Schieberegister)............................................................................................34
Programmierbare Logik.............................................................................................................................................35
KV-Diagramme.........................................................................................................................................................36
Schaltzustände eines NPN-Transistors........................................................................................................................38
Zehnerpotenzen........................................................................................................................................................39
E-Reihen von Widerständen.......................................................................................................................................39
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29. Okt 10
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Ladung
Als Ursache für messbare physikalische Erscheinungen (Kräfte, Licht...) wird in der Elektrotechnik eine
Größe „elektrische Ladung“ mit nebenstehenden
Eigenschaften definiert
•
•
•
•
Q = N⋅ e
2 Arten (positiv und negativ)
gleichartige Ladungen stoßen sich ab, ungleichartige ziehen sich an
Ladung ist übertragbar
im Raum zwischen Ladungen wirken Kräfte auf Ladungen,
die durch ein „elektrischen Feld“ erklärt werden
[Q] = C = As
e
Elementarladung
(kleinstmögliche Ladung
Anzahl der Ladungsträger
N
-
+
Spannung
Elektrische Spannung =
Arbeit beim Transport der Ladung
Ladungsmenge
U=
W
Q
[U] = V =
Ws
As
Die Spannung ist eine wichtige elektrotechnische Grundgröße, die als „Nennspannung“ über den Einsatz von Geräten entscheidet.
Potenzial
Elektrisches Potenzial φ: Spannungsangabe bezogen auf einen Bezugspunkt (oft Schaltungsmasse)
→ Spannung eine Potenzialdifferenz:
U21=φ2 – φ1
φ4
φ1 = 0V
D
U43
φ2 = 2V, φ3=5V, U41 = 10V.
φ3
U21 = φ2 - φ1 = 2V – 0V = 2V
U32 = φ3 - φ2 = 5V – 2V = 3V
U31 = φ3 - φ1 = 5V – 0V = 5V
U41 = 10V = φ4 – φ1 → φ4 = 10V weil φ1 = 0V
U43 = φ4 – φ3 = 10V – 5V = 5V
C
U41
U32
φ2
U31
B
U21
Am Widerstand liegt eine Spannung von 5V an.
Am Punkt D beträgt das Potential 10V.
φ1
A
Strom
Unter einer elektrischen Strömung („Strom“) versteht
man einen Transport von Ladungsträgern.
Ladungsmenge
Stromstärke =
Zeit
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I=
Q
t
I ==
ΔQ
dQ
dt
Δt
Gleichspannung
[I] = A =
As
s
Wechselspannung
29. Okt 10
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Ohmsches Gesetz
I
U
R
I
elektrische Spannung
ohmscher Widerstand
elektrischer Strom
R
[V]
[Ω]
[A]
U
U= R⋅I
l
A
ρ
γ
Leiterlänge
Leiterquerschnitt
[m]
[mm2]
spezifischer Widerstand
[Ω·mm2/m]
spezifischer Leitwert
(auch χ )
2
−5 ⋅mm
Kupfer: ϱCu =17,8⋅10
m
ρ ⋅l
l
=
A
γ⋅A
R=
[m/Ω·mm2]
Reihenschaltung
U
U1, U2, U3
R
R1, R2, R3
Gesamtspannung
Teilspannungen
Gesamtwiderstand
Einzelwiderstände
Durch jeden Widerstand fließt der selbe Strom I
I
R1
R2
R3
U1
U2
U3
U = U1+U2+U3
U = U1+U2+U3
R = R1+R2+R3
Parallelschaltung
I
I1, I2, I3
R
R1, R2, R3
Gesamtstrom
Teilströme
Gesamtwiderstand
Einzelwiderstände
I = I1+I2+I3
I1
I2
I3
An jedem Widerstand liegt die selbe Spannung U
U
I
R1
R2
U
R3
I2+I3
I = I1+I2+I3
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U
1
1
1
1
=
+
+
R R1 R2 R3
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Knoten- und Maschenregel
Knotenregel
Maschenregel
R1
I1
I3
I4
I2
I1
I2
U1
U2
U4
R4
I1 + I2 + I3 + ... = 0
R2
R3
I3
U3
U1 + U2 + U3 − U4 = 0
Widerstand und Temperatur
∆R
α
RK
RW
∆ϑ
=
=
=
=
Widerstandsänderung
Temperaturbeiwert
Kaltwiderstand
Warmwiderstand
= Temperaturänderung
[Ω ]
[-]
∆ R=α ⋅ ∆ ϑ ⋅ R K
R W = RK + ∆ R
[K]
Leistung
P
P = U⋅ I
= elektrische Leistung
P = I2 ⋅ R
P=
U2
R
[P] = V ⋅ A = W
Arbeit
W
t
= elektrische Arbeit
= Zeit
W = P⋅ t
[W] = V ⋅ As = Ws = J
Wirkungsgrad
W1
W2
WV
= zugeführte Arbeit (Energie)
= abgegebene Arbeit (Energie)
= Verluste
P1,2,V
= entsprechende (Leistung)
η
η 1,η 2
= Wirkungsgrad
= Einzelwirkungsgrade
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W1
W2
η=
W2
W1
η=
P2
P1
WV
WV = W1 − W2
PV = P1 − P2
η = η1 ⋅ η2
29. Okt 10
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Spannungsteiler
unbelastet (Reihenschaltung)
U2 =
I
U1
belastet (Gruppenschaltung)
R2
⋅U
R1 + R 2
U2 =
I*
R1
U1
R1
R 2L
⋅U
R 1 + R 2L
R 2L =
U
I2 = I q
R2 ⋅ RL
R2 + RL
IL
UL
R2
U2
U2
R2
Iq
RL
R2L
RL
= Querstrom
= Lastwiderstand
= Ersatzwiderstand für R2 und RL
Brückenschaltung
I ges
U
I 12
I 34
U
R1
1
UAB = U2 − U4
UAB = φA - φB
R3
3
wenn: UAB = 0 (Abgleich)
U
A
φA
U
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2
R2
U
B
AB
φB
U
4
⇒
R1 R 3
=
R2 R4
R4
29. Okt 10
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Spule
Das Material in dem die magnetischen Feldlinien verlaufen, beeinflusst die Induktivität.
A
= vom Feld durchsetzte Fläche (Spulenquerschnitt)
Vs
µ 0  1,257 ⋅ 10 − 6
Feldkonstante des magnetischen Feldes
Am
I
+
_
µ r  Permeabilitätszahl
µ r (Eisen) 200...6000
µ r (Elektroblech) 500...7000
µ r (Supermalloy)100 000...
L ≈ µ 0 ⋅ µ r ⋅ N2 ⋅
Die Permeabilitätszahl steigt zunächst mit zunehmender Feldstärke
und und nimmt bei hohen Feldstärken wieder ab.
Reihenschaltung von Spulen
L1
A
l
Parallelschaltung von Spulen
L2
L3
L1
L = L1 + L2 + L3
L2
L3
1 1
1
1
=
+
+
L L1 L2 L3
V⋅ s
[L] =
= 1H(Henry)
A
Einschaltvorgang bei Spulen
I
τ =
R
UR
U
UL
L
Formeln Einschaltvorgang:
t
−
uL (t) = U ⋅ e τ
L
R
τ  Zeitkonstante des RL-Gliedes
t
uR (t) = U ⋅ (1 − e τ )
t
−
U
i(t) = ⋅ (1 − e τ )
R
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R=1kΩ , L=1H, τ=L/R=1ms
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
i(t)
uL(t) in V
i(t) in mA
uL(t)
0
−
Ausschaltvorgang Spule
Einschaltvorgang Spule
uL(t) in V,
I(t) in mA
1
2
3
4
5
Zeit in ms
uL(t) in V,
i(t) in mA
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
R=1kΩ , L=1H, τ=L/R=1ms
i(t)
i(t) in mA
uL(t) in V
uL(t)
0
1
2
3
4
5
Zeit in ms
29. Okt 10
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Elektrostatisches Feld
Die einfachste Form bildet sich zwischen zwei parallelen
Platten
E
d

E
+Q
= elektrische Feldstärke
= Plattenabstand
Die Kapazität eines Kondensators beschreibt den Zusammenhang zwischen gespeicherter Ladung Q und der
Spannung U
C
d
= Kapazität
C=
Q
U
-Q
[C] =
U = E⋅ d
A⋅s
= 1F (Farad)
V
Kondensator
Das Material zwischen den Platten beeinflusst die Kapazität.
ε r = 27
Tantal
A
= Plattenfläche einer Platte
As
ε 0 = 0, 885 ⋅ 10 − 11
Feldkonstante des el. Feldes
V
εr = 1
ε r (Tantal) ≈ 27
C = ε0 ⋅ εr ⋅
ε r  relative Dielektrizitätszahl
ε r (Luft) ≈ 1
ε r (dest. Wasser) ≈ 80
Reihenschaltung von Kondensatoren
C1
C2
A
d
Parallelschaltung von Kondensatoren
C3
C1
1
1
1
1
=
+
+
C C1 C2 C3
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Luft
C2
C3
C = C1 + C2 + C3
29. Okt 10
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Ladungsvorgang beim Kondensator
I
τ  Zeitkonstante des RC-Glied
τ = R⋅C
R
UR
Formeln Aufladung:
t
uR (t) = U ⋅ e τ
−
U
UC
C
t
uC (t) = U ⋅ (1 − e τ )
−
t
U − τ
i(t) = ⋅ e
R
Aufladevorgang Kondensator
uc(t) in V,
i(t) in mA
R=1kΩ , C=1µF, τ=R*C=1ms
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
uC (t)
uC(t) in V
i(t) in mA
i(t)
0
1
2
3
4
5
Zeit in ms
Entladevorgang Kondensator
uc(t) in V,
i(t) in mA
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
uC (t)
uC(t) in V
i(t) in mA
i(t)
0
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R=1kΩ , C=1µF, τ=R*C=1ms
1
2
3
4
5
Zeit in ms
29. Okt 10
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Wechselstrom
û =
f (Frequenz)
1
T=
f
û A Scheitelwert bzw. Amplitude
2 ⋅U
ω = 2⋅ π ⋅ f A
Kreisfrequenz
[Hz]
[s]
[Hz]
U = Ueff (Effektivwert)
t (Zeit)
T (Periodendauer)
Zeigerdarstellung
Sinusförmige Wechselgrößen können durch einen (im Gegenuhrzeigersinn) drehenden Zeiger dargestellt werden.
Die Zeigerlänge entspricht dem Scheitelwert die Drehfrequenz der Kreisfrequenz der Wechselgröße.
t2
t2
t1
ω
t1
t0
t0
t
mit diesem rotierenden Zeiger können die Augenblickswerte für jeden Zeitpunkt ermittelt werden.
In der Praxis sind jedoch häufig die zeitunabhängigen Effektivwerte von Bedeutung. Sie lassen sich durch nicht rotierende
Zeiger darstellen. Die Zeigerlänge entspricht dann dem Effektivwert der Wechselgröße - der Winkel entspricht der
Phasenverschiebung gegenüber einem (meist willkürlich gewählten) . Zeitnullpunkt.
Mit diesen Zeigern lassen sich elektrische Wechselgrößen (Spannungen, Ströme und Leistungen) die gegeneinander
phasenverschoben sind, leicht addieren und subtrahieren.Voraussetzung ist, dass die zu verknüpfenden Größen
sinusförmig sind und die gleiche Frequenz haben.
Beispiel (grafische Addition durch Zeigerverschiebung)

U2
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ϕ2

U1



Uges = U1 + U2

Uges

U2
ϕ ges

U1
29. Okt 10
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Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis (Wirkwiderstand R)
A
Liniendiagramm
u, i
1
i(t)
u
0,5
i

V
u(t)
u
0
R
i
-0,5
-1
0
90
180
π
ˆ ⋅ sin(ω ⋅ t) = u
ˆ ⋅ sin(2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t)
u(t) = u
i(t) =
270
360 φ
2π
Strom und Spannung sind „in Phase“
(gemeinsame Nulldurchgänge).
ˆ
u(t) u
= ⋅ sin(2π f ⋅ t)
R
R
Zeiger (Effektivwerte)
U
I
Beispiel:
u(t), i(t), p(t) am Wirkwiderstand R
u(t) in V
i(t) in A
p(t) in W
û=10V, R=4Ω, f=50Hz
25
p(t)
20
15
10
u(t)
5
i(t)
0
-5
-10
0
5
10
15
20
25 Zeit in ms
Strom, Spannung und Leistungsschwingung am Widerstand
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29. Okt 10
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Kapazität im Wechselstromkreis
Liniendiagramm
u, i
X C kapazitiver Blindwiders tan d
1
u
0,5
XC =
1
2⋅ π ⋅ f ⋅ C
u
0
i
i
-0,5
-1
A
0
i(t)
C

V
u(t)
90
180
270
π
360 φ
2π
Strom und Spannung sind „phasenverschoben“ (der Strom
verläuft 90° „voreilend“).
Zeiger (Effektivwerte):
I
i(t) =
ˆ ⋅ sin(2π f ⋅ t )
u(t) = u
U
û
π
⋅ sin(2π f ⋅ t + )
XC
2
Induktivität im Wechselstromkreis
X L Induktiver Blindwiderstand
Liniendiagramm
u, i
1
XL = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L
i
0,5
u
0
A
i(t)
i
u
-0,5
-1

V
u(t)
L
0
90
180
270
π
360 φ
2π
Strom und Spannung sind „phasenverschoben“ (der Strom
verläuft 90° „nacheilend“).
Zeiger (Effektivwerte):
U
I
ˆ ⋅ sin(2π f ⋅ t )
u(t) = u
i(t) =
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û
π
⋅ sin(2π f ⋅ t − )
XL
2
29. Okt 10
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12 / 39
Reihenschaltung R (Wirkwiderstand) und XL (induktiver Blindwiderstand)
R
I
XL
L
UR
Induktiver Blindwiderstand
XL = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L
UL
U
Z
Scheinwiderstand
U
I
Gesamtspannung
Strom
Spannungsdreieck
U
UL
ϕ
UR
ϕ
UL
I
UL = U ⋅ sin ϕ
UR 2 + UL 2
R = Z ⋅ cos ϕ
Z2 = R 2 + XL 2
XL = Z ⋅ sin ϕ
Q=UL ⋅ I
P=UR ⋅ I
Normierung mit 1/I (ähnliches Dreieck)
R 2 + XL 2
Z=
U
I
cos ϕ = Wirkleistungsfaktor
Leistungsdreieck
ϕ
UR = I ⋅ R
  
Z = R + XL
Z=
Normierung mit I (ähnliches Dreieck)
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U2 = UR 2 + UL 2
UL = I ⋅ X L
U
R= R
I
S=U ⋅ I
UR = U ⋅ cos ϕ
I
XL =
[Z] = Ω
 

U = UR + UL
U=
Widerstandsdreieck
U
Z=
I
[X L ] = Ω
  
S = P + QL
P = S ⋅ cos ϕ
S2 = P2 + QL 2
QL = S ⋅ sin ϕ
P2 + QL 2
S = U⋅ I
S
Scheinleistung
P
Wirkleistung
Q
Blindleistung
[S] = V ⋅ A
[P] = W
[Q] = var
S=
29. Okt 10
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13 / 39
Reihenschaltung R (Wirkwiderstand) und XC (kapazitiver Blindwiderstand)
R
I
XC
C
UR
Kapazitiver Blindwiderstand
XC=
UC
[X C ] = Ω
1
2⋅ π ⋅ f ⋅ C
U
 

U = UR + UC
UR = U ⋅ cos ϕ
I
U2 = UR 2 + UC 2
UC = U ⋅ sin ϕ
UC
U=
Spannungsdreieck
UR
ϕ
U
UR 2 + UC 2
UR = I ⋅ R
UC = I ⋅ X C
Widerstandsdreieck
ϕ
U
R= R
I
U
Z=
I
U
XC = C
I
Leistungsdreieck
P=UR ⋅ I
ϕ
Q=UC ⋅ I
S=U ⋅ I
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  
Z = R + XC
R = Z ⋅ cos ϕ
Z2 = R 2 + X C2
X C = Z ⋅ sin ϕ
Z=
R 2 + X C2
Z=
U
I
  
S = P + QC
P = S ⋅ cos ϕ
S2 = P2 + QC 2
QC = S ⋅ sin ϕ
S=
P2 + QC 2
S = U⋅ I
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14 / 39
Reihenschaltung R, XL und XC (RLC - Reihenschwingkreis)
R
I
L
UR
C
UL
UC
U
 


U = UR + UL + UC
Spannungsdreieck
UL
U2 = UR 2 + (UL − UC )2
UC
ϕ
U=
U
UR
I
UR 2 + (UL − UC )2
UR = U ⋅ cos ϕ
Widerstandsdreieck
  

Z = R + XL + X C
XL
XC
Z
Z2 = R 2 + (XL − X C )2
Z=
ϕ
R 2 + (XL − X C )2
R
R = Z ⋅ cos ϕ
Leistungsdreieck
ϕ
QC
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P
XC=
1
2⋅ π ⋅ f ⋅ C
X = Z ⋅ cos ϕ
  

S = P + QL + QC
QL
S
XL = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L
S2 = P2 + (QL − QC )2
S=
P2 + (QL − Q C )2
S = U⋅ I
P = S ⋅ cos ϕ
Q = S ⋅ sin ϕ
29. Okt 10
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15 / 39
Parallelschaltung R und XL
L
I
IR
R
IL
U = UR = UL
IL
IR
I
U
Z
L
Zeigerdiagramm der Ströme
U
ϕ
IR
IL
Induktivität
Spulenstrom (Blindstrom)
Wirkstrom
Gesamtstrom
Gesamtspannung
Scheinwiderstand
 

I = IR + IL
I R = I ⋅ cos ϕ
I2 = I R 2 + I L 2
I L = I ⋅ sin ϕ
IR 2 + IL 2
I=
I
I R=
U
R
IL =
U
XL
Leitwertsdreieck
1 IR
=
R U
ϕ
1 1 1
 =  + 
Z R XL
1
I
= L
XL U
1 I
=
Z U
1
=
Z
1
1
+
2
R
XL 2
cos ϕ =
Z
R
Normierung mit 1/U (ähnliches Dreieck)
Leitwert =
1
1
1
= 2 +
2
Z
R
XL 2
1
I
=
Z
U
sin ϕ =
Z
XL
1
Widerstand
Leistungsdreieck
P=U ⋅ IR
ϕ
Q=U ⋅ IL
S=U ⋅ I
Formelsammlung_TGT.odt
  
S = P + QL
P = S ⋅ cos ϕ
S2 = P2 + QL 2
QL = S ⋅ sin ϕ
S=
P 2 + QL 2
S = U⋅ I
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
16 / 39
Parallelschaltung R und XC
I
IR
R
IC
U = UR = UC
C
C
IC
IR
I
U
Zeigerdiagramm der Ströme
I
IC
ϕ
IR
Kapazität
Kondensatorstrom (Blindstrom)
Wirkstrom
Gesamtstrom
Gesamtspannung
 

I = IR + I C
I R = I ⋅ cos ϕ
I2 = I R 2 + I C 2
I C = I ⋅ sin ϕ
I=
IR 2 + IC 2
U
1 I
=
Z U
1 IR
=
R U
ϕ
S=U ⋅ I
I
1
= C
XC U
QC =U ⋅ IC
1 1 1
 =  + 
Z R XC
1
=
Z
P=U ⋅ IR
Formelsammlung_TGT.odt
U
R
IC =
1
I
=
Z
U
P = S ⋅ cos ϕ
S2 = P 2 + QL 2
QL = S ⋅ sin ϕ
P2 + QL 2
1
1
= ⋅ sin ϕ
XL Z
U
XC
1
1
1
= 2+
2
Z
R
X C2
  
S = P + QL
S=
ϕ
1
1
+
2
R
X C2
I R=
S = U⋅ I
1 1
= ⋅ cos ϕ
R Z
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
17 / 39
Parallelschaltung R, XL und XC (RLC - Parallelschwingkreis)
UR
I
IL
IC
Abhängig von der Frequenz kann die Schaltung induktiv, kapazitiv oder als ohmscher Widerstand wirken.
R
IR
UL
L
C
UC
IC

U=

I=
IL
I
ϕ



UR = UL = UC gemeinsame Spannung
  
IR + IL + IC
I2 = IR 2 + (IL − IC )2
IR
U
I=
IR 2 + (IL − IC )2
IR = I ⋅ cos ϕ
1 1
1
1
 =  +  + 
Z R XL X C
1
XC
ϕ
1
Z
1
XL
1
1
1
1 
=
+
−


Z2 R 2  XL X C 
1
R
1
=
Z
QC
ϕ
Formelsammlung_TGT.odt
P
1
1 
 1
R +  X − X 
 
C 
 L
2
Formeln s. Reihenschaltung RLC.
QL
S
2
2
Induktive und kapazitive Blindleistung sind um 180°
phasenverschoben  sie kompensieren sich
(wenn QC = QL  vollständige Kompensation).
Die Scheinleistung S ist eine reine Rechengröße die
nicht direkt gemessen werden kann.
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
18 / 39
Äquivalente Schaltungen
Reihen und Parallelschaltung sind nur dann elektrisch gleichwertig, wenn ihre Scheinwiderstände in Betrag und Phasenlage übereinstimmen!
R par
XL
Zpar = Zrei
par

R rei
XL
rei
und
ϕ par = ϕ rei
die Umrechnung ist immer nur für eine bestimmte Frequenz zulässig.
Z par 2 = Z rei2 = Z 2 = R rei ⋅ R par
Z 2 = X L rei ⋅ X L par
Z 2 = X C rei ⋅ X C par
R par
XC
par
Schaltungsumwandlungen könne die Berechnung der Werte
für Zges, Uges oder Iges erleichtern

XC
R rei
rei
zur Bestimmung Teilgrößen (In, Un ...) in bestimmten Leitungsabschnitten muss in die ursprüngliche Schaltung
zurück gewandelt werden.
Blindleistungs-Kompensation
cos =
Leistungsfaktor
R
Iges
Ic
P
, wobei φ der Winkel zwischen Uges und Iges ist
S
L
IRL
UR
C
QL
UL
QC
S
ϕ
Uges=Uc
P
S 2=P 2Q L −QC 2
wobei (P=P1+P2+...), (QC=QC1+QC2+...), (QL=QL1+QL2+...)
Vollständige Kompensation
QC = QL
UL
S=P
cosφ=1
Z = R.
Teilweise Kompensation
Uges
Iges
Uges
UL
IC
φ
IRL
Formelsammlung_TGT.odt
UR
Iges
IC
IRL
UR
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
19 / 39
Siebschaltungen (passive Filter)
Grenzfrequenz:
Die Grenze zwischen Durchlass- und Sperrbereich ist durch die
Grenzfrequenz festgelegt.
Tiefpass
Durchlassbereich
bei f = fg gilt :
Ua =
Ue
2
Ue
Ua
= 0,707 ⋅ Ue
UR = UC
bzw.
UL = UR
R = XC
bzw.
XL = R
Ue
Sperrbereich
Ua
f
P
Pa = e
2
fg
f
Hochpass
Amplitudengang
Ue
Die Ausgangsspannung Ua ist in Abhängigkeit von der Frequenz
stets kleiner (oder gleich) der Eingangsspannung Ue.
Ua
Ue
Das Verhältnis Ua/Ue wird als Amplitudengang bezeichnet.
Ua
= Amplitudengang = f(Frequenz)
Ue
Ua
f
f
Bandpass
Phasengang
Ue
Die Phasenverschiebung zwischen Ein- und Ausgangsspannung
ist ebenfalls frequenzabhängig und wird als Phasengang
bezeichnet.
Ua
Ue
Ua ,Ue = Phasengang = f(Frequenz)
Ua
f
f
Bandsperre
Verstärkungsmaß
Die Dämpfung (Verstärkung) der Eingangsspannung wird oft im
Verstärkungsmaß a angegeben.
U
a= a
Ue
dB
Ue
Ue
Ue
U 
= 20 ⋅ log  a 
 Ue 
Ua
f
f
[a] = dB (Dezibel)
Tiefpass: Verstärkung in dB
Ua/Ue in dB
Beispiel: fg = 10kHz
0
-10
Beispiele:
Ua
1
=
Ue
2
-20
Verstärkung
⇒
Ua
Ue
= 20 ⋅ log ( 0,707 ) = − 3dB (Dezibel)
-30
dB
-40
Ua
1
=
Ue 10
Verstärkung
Formelsammlung_TGT.odt
⇒
Ua
Ue
= 20 ⋅ log ( 0,1) = − 20dB (Dezibel)
dB
-50
0,01
f in kHz
0,10
1,00
10,00
100,00
1000,00
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
20 / 39
RC- und LR-Tiefpässe
Grenzfrequenz
UR
1
2⋅ π ⋅ R ⋅ C
fG =
I
R
U1
U2
C
(= UC )
fG =
UL
L
I
U2
U1
R
(RC-Tiefpass)
1
(RL-Tiefpass)
L
2⋅ π ⋅
R
U2
U1
1
1
= 70, 7%
2
Sperrbereich
Durchlassbereich
(= UR )
fg
f
CR- und RL-Hochpässe
UC
I
fG =
C
U1
U2
R
(= UR )
fG =
UR
I
1
R
U1
L
U2
1
2⋅ π ⋅ R ⋅ C
(RC-Hochpass)
1
2⋅ π ⋅
U2
U1
(RL-Hochpass)
L
R
1
2
= 70, 7%
Sperrbereich
Durchlassbereich
(= UL )
fg
Formelsammlung_TGT.odt
f
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
21 / 39
Dreiphasiger Wechselstrom
120 °
U2
R1
Generator
U2
U1
f ,t
R2
0° U 1
R3
U3
unverkettetes Dreiphasensystem
U3
240°
Das unverkettete Dreiphasensystem benötigt für die
Energieübertragung bis zum Verbraucher 6 Leitungen
Sternschaltung:
Dreieckschaltung:
Verschalten (verketten)
von Generator oder Verbraucher im Stern
Verschalten (verketten)
von Generator oder Verbraucher im Dreieck
L2
U 12
R2
U 1N
L1
I2
I2
N
U2
N
I2
I1
N
L1
IN
I1N R 1
R3
1
I3
L3
4
L3
230 V / 400 V
Transformator
3
I3
Niederspannungsübertragung
110 / 220 / 380 KV
Transformator
R2
I31
In Dreieckschaltung werden vom Generator
bis zum Verbraucher 3 Leitungen benötigt
Hochspannungsübertragung
10 / 20 KV
U 23
U3
I 3N
U 3N
Mittelspannung
I23
R1
I12
R3
In Sternschaltung werden vom Generator
bis zum Verbraucher 4 Leitungen benötigt
Generator
I1
L2
Verbraucher
4
Transformator
Generator
3
Formelsammlung_TGT.odt
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
22 / 39
Symmetrisches Dreiphasensystem
U 12
U 12
I2
R1
U 31
U 1N
R3
U 1N
L1
U3
I23
U 23
L3
U 2N
I3
1
I31
R2
L3
I1N
I2N
I3N
U 3N R 1
R2
R3
Schaltungstechnische
Verkettung der Spannungen
IN
N
U
U1N = U2N = U3N =
3
= 230V
U12 = U23 = U31 = U = 400V
Ströme in der Sternschaltung
Ströme in der Dreieckschaltung
I2


I 1N =I 1


I 2N =I 2
IN N 

I 3N =I 3
   
I N =I 1 +I 2 +I 3
L3
I1N
I3N
L1
I2N
I2
L2
I1
N
U 3N
L2
U2
I12
U 23
I1
L1
L2
Dreieckschaltung
N
Sternschaltung
L2
I1
L1
I31
I23
L3
I3
I3
Bei symmetrischer Belastung gilt (analog zu den Spannungen)
für die Ströme:
I1N , I2N , I3N
 Strangströme
I1 , I2 , I3
 (Außen − )Leiterströme
û1
60°
û2
90°
30°
1
û12
2
Formelsammlung_TGT.odt
 

I 1=I 12 - I 31
 

I 2=I 23 - I 12
 

I 3=I 31- I 23
I12
I1 = I2 = I3 =
I12 , I23 , I31
3 ⋅ IStr
 Strangströme
Verkettungsfaktor
1
û12
1
cos30° =
3= 2
⇒
ˆ2
2
u
U
=
U
3
230V =
3 =
û12 U12
=
ˆ2
u
U2
400V
3
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
23 / 39
Verkettetes Dreiphasensystem
Beispiel:
L1
L2
L3
Sternschaltung
U1N
ϕ1
U3
Z3 / ϕ 3
IN
I3 ϕ 3
U2
Z2 / ϕ 2
N
U3N
U1
Z1 / ϕ 1
I3
I2
ϕ2
I1
IN
I1
I2
U2N
-
Durch Verkettung der drei Systeme werden 2 (Rück-)Leitungen eingespart.
Sternpunkt von Generator (Quelle) und Verbraucher werden durch den Neutralleiter verbunden
Zwischen den Außenleitern (L1,L2,L3) entstehen eine verkettete Spannungen (U12, U23 und U31)
Die verketteten Spannungen sind untereinander ebenfalls 120° phasenverschoben.
u12 (t) =
ˆ1 ⋅ sin(2 ⋅ π ⋅ f −
3 ⋅u
π
)
6
U12 =
3 ⋅ U1
Beispiel:
I1
Dreieckschaltung
L1
I1
L2
I2
L3
I3
Z12 / ϕ 12
U12
I12
U23
U23
Z 23 / ϕ 23
ϕ 31
I31
I31
U31
I23
I31
Z 31 / ϕ 31
U31
I23
− I12
ϕ 12
ϕ 23
I12
U12
Formelsammlung_TGT.odt
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
24 / 39
Digitaltechnik (Begriffe)
Schaltalgebra (auch boolesche Algebra)
Liefert die mathematischen Grundlagen der Digitaltechnik.
Sie beschreibt das Verhalten von Funktionen mit binären
Variablen
Schaltfunktionen (logische Funktionen)
Diese Gleichungen dienen der mathematischen Beschreibung digitaler Schaltungen
KV-Tafeln (Karnaugh und Veitch)
Grafisches Hilfsmittel, das zur Minimierung von Schaltfunktionen benutzt wird und nach den Erfindern benannt wurde
Gatter (Verknüpfungsbausteine)
Schaltnetze (kombinatorische Schaltung)
Schaltwerke
Digitaler Schaltkreis, in dem eine logische Verknüpfung
zwischen Ein- und Ausgangssignal stattfindet.
Schaltungen, die kein Speicherverhalten aufweisen
(abgesehen von Laufzeiteffekten zeigen diese Schaltungen
kein Zeitverhalten).
Schaltungen mit Speichern (Flipflops)
(Zeitverhalten)
Zahlensysteme
Die Anzahl der Zeichen (Zeichenvorrat) und das Bildungsgesetz (Codierung) bestimmen ein Zahlensystem.
Das „übliche“ dezimale Zahlensystem basiert auf 10 unterschiedlichen Zeichen (Ziffern 0...9) – man spricht von der Basis 10 – und hat folgendes Bildungsgesetz:
Dualzahlen haben „nur“ 2 unterschiedliche Zeichen (0, 1)  die Basis ist 2:
N=
n
∑
i= 0
N=
n
∑
i= 0
Das Hexadezimalsystem (Sedezimalsystem) unterscheidet 16 verschiedne Zeichen
(0, 1, 2, ...9, A, B, C, D, E, F)  die Basis ist 16:
N=
n
∑
i= 0
ai ⋅ 10i
a i ⋅ 2i
ai ⋅ 16i
Zur eindeutigen Identifizierung ist es (bei der Verwendung unterschiedlicher Zahlensysteme) notwendig, dass
diese gekennzeichnet werden!
1010b (Dualzahl – binär)
1010d (Dezimalzahl – dezimal)
1010h (Hexadezimalzahl – hex..)
Formelsammlung_TGT.odt
auch:
1010bin
1010dez
1010hex
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
25 / 39
Schaltalgebra (Verknüpfungsregeln)
NOT (Negation)
A
1
Y
auch zulässig:
Y
Y
Y
Y
Y
=
=
=
=
=
!A
Y
Y
Y
Y
=
=
=
=
A&B
A AND B
A●B
A∧ B
B
X
0
1
A
0
X
1
Y
0
0
1
Y
Y
Y
Y
=
=
=
=
!(A & B)
NOT(A AND B)
/(A ● B)
A∧ B
B
0
X
1
A
X
0
1
Y
1
1
0
Y
Y
Y
Y
=
=
=
=
A+B
A OR B
A + B (nicht in ABEL)
A∨ B
B
0
X
1
A
0
1
X
Y
0
1
1
Y
Y
Y
Y
=
=
=
=
!(A + B)
NOT (A AND B)
/(A + B)
A∨ B
B
0
X
1
A
0
1
X
Y
1
0
0
Y
Y
Y
Y
=
=
=
=
A$B
A XOR B
A/B + /AB
A⊕ B
B
0
0
1
1
A
0
1
0
1
Y
0
1
1
0
Y
Y
Y
Y
=
=
=
=
A !$ B
A XNOR B
AB + /A/B
A⊕ B
B
0
0
1
1
A
0
1
0
1
Y
1
0
0
1
NOT A
/A
A
¬A
A
0
1
Y
1
0
Negation / Complement
AND (Konjunktion)
A
&
B
Y
NAND
A
&
B
Y
Eine UND Verknüpfung ist dann (und nur
dann) high, wenn alle Eingänge high sind.
OR (Disjunktion)
A
1
Y
B
NOR
A
1
Y
B
XOR (Antivalenz)
A
B
=1
Y
XNOR (Äquivalenz)
A
=
B
Y
UND / ODER / NAND / NOR
XOR und NXOR
Formelsammlung_TGT.odt
Eine ODER Verknüpfung ist dann (und nur
dann) low, wenn alle Eingänge low sind
Verknüpfungen können beliebig viele Eingänge haben.
... nur 2 Eingänge.
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
26 / 39
Regeln für zwei und mehr Variablen
(AND
/ OR A + / NOT A !)
●
A B C
=A C B
A+B+C
= A + C + B = C + A + B = ...
●
Vertauschbarkeit (Kommutatives Gesetz)
A
●
●
●
= C A B = ...
●
●
die Reihenfolge ist beliebig!
A (B C)
= (A C) B = C A B = ...
A + (B + C)
= (A + C) + B = C + A + B = ...
●
Vereinigung (Assoziatives Gesetz / Verbindung)
●
●
●
●
●
Größen, die durch gleiche Operation verknüpft sind können durch Klammern beliebig zusammengefasst werden
Eine gemeinsame Variable kann ausgeklammert werden
(sowohl bei AND als auch bei OR)
Verteilung, Auflösung (Distributives Gesetz)
(A B) + (A C)
●
=
●
A (B + C)
●
AND vor OR
Wenn keine Klammern gesetzt sind, gilt:
(A B) + (A C)
●
A+ A B
A (A + B)
A (!A + B)
A + !A B
(A B) + (A !B)
(A + B) (A + !B)
●
●
●
Absorptionsgesetze
=
●
●
●
●
●
=
=
=
=
=
=
AB + AC
●
●
A
A
A B
A+B
A
A
●
Sind keine Klammern gesetzt gilt folgende Reihenfolge:
Priorität (Reihenfolge der Verknüpfungen))
1. Negation (NOT)
2. Konjunktion (AND)
3. Disjunktion (OR)
Negationsregel (de Morgan)
Eine NAND-Verknüpfung kann durch eine
OR-Verknüpfung ersetzt werden, wenn alle
Eingänge negiert werden.
!(A B C) =
!(A + B + C) =
●
●
!A + !B + !C
!A !B !C
●
●
Dasselbe gilt entsprechend für NOR
Formelsammlung_TGT.odt
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
27 / 39
Schaltnetze
Definition Schaltnetz:
Der Ausgang ist eine direkte und unverzögerte Funktion der Eingänge:
X= f(Ei) ⇒ Das Eingangsmuster Ei legt direkt den Ausgang fest.
Schaltnetz (SN)
Ei (i=1..n)
X
Ausgangsvariable von Schaltnetzen werden häufig „kombinatorische Ausgänge“ genannt.
Schaltnetze werden mit Funktionstabellen beschriebenen
E0
Eine Funktionstabelle berücksichtigt alle möglichen Kombinationen der Eingangsvariablen (E0...E3) und enthält in den entsprechenden Spalten für die
Ausgänge die zugehörigen Werte der Ausgangsvariablen (A0...A7).
X/Y
E1
E2
E3
A0
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
n Eingangsgrößen ergeben 2n mögliche Eingangskombinationen
Spezielle Schaltnetze (Addierer, Multiplexer, Komparator)
Addierer:
Werden zwei Dualzahlen addiert, dann wir die unterste Stelle über einen Halbaddierer, alle
folgenden Stellen müssen einen Übertrag berücksichtigen und brauchen einen Volladdierer.
Halbaddierer
A
S
B
CO
=ˆ
CO
B
CO
S
0
0
0
0
0
1
0
1
Output:
1
0
0
1
CO
1
1
1
0
CI
A
B
CO S
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
S1, S0:Summanden
S
Carry OUT
Volladdierer
S
A
B
CI
CI
Input:
A
CO
=ˆ Carry IN
Formelsammlung_TGT.odt
Übertrag für nächste Stelle
(höhere Wertigkeit)
Summe (gleiche Wertigkeit)
Input:
S1, S0 Summanden
CI
carry = Übertrag
Output:
CO
Übertrag für nächste Stelle
höhere Wertigkeit
S
Summe
gleiche Wertigkeit
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
28 / 39
Multiplexer
A
G0
1
A
E0
&
X
MUX2
>1
E1
E0
E1
MUX2-1 (Blockschaltbild)
E
A=0
E0
X
E1
&
A=1
Schalteräquivalent
aufgelöste Darstellung
A
Demultiplexer
A
X
A=0
G0
1
Demux
(DX)
X0
&
X0
E
E
A=1
X1
&
DX1-2 (Blockschaltbild)
X0
X1
X1
Schalterstellung mit A
aufgelöste Darstellung
A1
MUX 4-1
A0
E0
&
A0
A1
0 G0
} 3
1
E1
&
MUX4
X
>1
E2
E0
E1
E2
E3
&
X
E0
E1
E2
E3
00
001
X
01
10
11
Schalterstellung mit A1A0
E3
&
MUX4-1 (Blockschaltbild)
Schalteräquivalent
aufgelöste Darstellung
A1
DX 1-4
A0
A1
0 G0
} 3
1
A0
&
X0
X0
00
X1
E
MUX4
&
X1
X2
E
X3
DX1-4 (Blockschaltbild)
Formelsammlung_TGT.odt
01
X0
X1
10
X2
X3
E
11
&
X2
&
X3
Schalterstellung mit A1A0
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
29 / 39
MUX 8-1
C
X
0
0
0
0
1
1
1
1
MUX
EN
EN
A
B
C
0
G
2
D0
D1
D2
D3
0
1
2
3
D4
D5
4
5
D6
D7
6
7
0
7
Y
B
X
0
0
1
1
0
0
1
1
A
X
0
1
0
1
0
1
0
1
/EN
1
0
0
0
0
0
0
0
0
Y
0
D0
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
MUX
EN
EN
0
A...C
3
D0...D7
verkürzte Schreibweise
8
G
2
0
7
Y
0...7
Adress- und Datenleitungen können
auch zusammengefasst werden
Demultiplexer DX 1-4
(mit Enable)
A
X
0
0
1
1
DX
A
0
B
1
0
G
3
EN
EN
0
Y0
1
Y1
2
Y2
3
Y3
B
X
0
1
0
1
/EN
1
0
0
0
0
Y0
0
S
0
0
0
Y1
0
0
S
0
0
Y2
0
0
0
S
0
Y3
0
0
0
0
S
S
S
Mehrfachmultiplexer
SEL
SEL
MUX 4 x 2-1
A0
A1
A2
A3
A0
in diesem Fall sind 4 MUX2-1 in einem
Gehäuse untergebracht.
Die Steuerleitungen sind zusammen
geschaltet.
B0
B1
B2
B3
Q0
Q1
Q2
Q3
Komparator
n
A
X0
B1
A2
X1
B2
A3
X2
B3
X3
Beispiel: n=2, A und B werden als Dualzahlen interpretiert
A2: Wertigkeit 2 A1: Wertigkeit 1
COMP
A<B
A=B
n
B0
A1
B
Formelsammlung_TGT.odt
A>B
dezimal
A
B
0
0
0
1
0
2
0
3
1
0
1
1
1
2
1
3
2
0
dual
A2
0
0
0
0
0
0
0
0
1
A1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
dual
B2
0
0
1
1
0
0
1
1
0
usw.
B1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
A<B
0
1
1
1
0
0
1
1
0
A=B
1
0
0
0
0
1
0
0
0
A>B
0
0
0
0
1
0
0
0
1
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
30 / 39
Codes
Dual- Code (8-4-2-1-Code)
Gray- Code
Dezimal 23=8 22=4 21=2 20=1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
2
0
0
1
0
3
0
0
1
1
4
0
1
0
0
5
0
1
0
1
6
0
1
1
0
7
0
1
1
1
8
1
0
0
0
9
1
0
0
1
10
1
0
1
0
11
1
0
1
1
12
1
1
0
0
13
1
1
0
1
14
1
1
1
0
15
1
1
1
1
BCD- Codes / 4-Bit Codes
Dez.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
BCD
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
Ziffern > 9 sind nicht definiert
HEX
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
G0
B
G1
C
G2
D
G3
Formelsammlung_TGT.odt
Ziffer
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
keine
E
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
Gewichtung
D C B
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
A
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
Dez.
BCD
...
10 0001 0000
11 0001 0001
12 0001 0010
Dez.
BCD
...
123 0001 0010 0011
456 0100 0101 0110
Umcodierer mit 7-Segmentanzeige
BCD / dez.
A
keine Gewichtung
D C B
A
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
(Binär Codierte Dezimalzahl)
Spezielle Umcodierer
BCD / Gray
Johnson- Code
A
B
C
D
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
BCD / 7-Seg.
A
B
C
D
a
b
c
d
e
f
g
DPY
a
f
g
b
c
e
d
dp
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
31 / 39
spezielle Bauteile (Takt, Monoflop, Treiber, Pull-Up, Pull-Down)
Takt(generator)
Periodendauer T
10 Hz
Frequenz f
Monoflop
E
1
Anzahl der Impulse
1Sekunde
E
A
τ
f=
A
nachtriggerbar
A
nicht nachtriggerbar
τ
Verzögerungselement
Bustreiber
EN
EN
Negation am Eingang
X0
Y0
X1
Y1
X2
Y2
X3
Y3
Ein- oder Ausgang mit
Hysterese
Treiberausgang
Tri-State-Ausgang
Tristate
EN
0
0
1
1
Y
A
EN
Z
A
0
1
0
1
Y
Z
Z
0
1
=ˆ hochohmig
Pull Up / Down
V
CC
V CC
R
A
offen:
zu:
Y
GND
Formelsammlung_TGT.odt
offen: A = 0:
zu:
A = 1:
A
PullUp
Widerstand


Y=1
Y=0
A = 0:  Y = 0
A = 1:  Y = 1
Y
R
PullDown
Widerstand
GND
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
32 / 39
Speicher (Flipflops)
RS-FlipFlop (statisch)
Reset
R
Set
Q
S
Zustandsfolgetabelle
S
0
0
0
0
1
1
1
R
0
0
1
1
0
0
1
Qn
0
1
0
1
0
1
?
Qn+1
0
1
0
0
1
1
?
E
0
0
1
1
1
1
D
X
X
0
0
1
1
Qn
0
1
0
1
0
1
Qn+1
0
1
0
0
1
1
speichern
Reset (R)
Set (S)
Qn+1 = (Qn & !R + !R & S)
Qn+1 = S + !R& Qn
(Minimalform)
nicht sinnvoll
Daten-Latch (statisch)
Data
Enable
D
Q
E
keine
Änderung
0 speichern
1 speichern
Impulsdiagramme (Zeitablaufdiagramme)
Tabellen stellen den Zusammenhang digitaler
Variablen statisch dar, also ohne Rücksicht auf eine
konkret zeitlich ablaufende Situation.
Zeitliche Abläufe werden mit Impulsdiagrammen
dargestellt und veranschaulicht. Im Beispiel unten
wird das Verhalten eines RS-FF dargestellt,welches
mit Q=1 anfänglich gesetzt ist und dann mehreren
Setz- und Rücksetz-Vorgängen unterworfen wird.
R
S
Q
t
D-Flip-Flop (dynamisch)
D0
Takt
Q0
1D
C1
T-Flip-Flop (dynamisch)
Q
Takt
T
c
Formelsammlung_TGT.odt
Impulsdiagramm
n+1
C
1
0
pos
pos
neg
D
X
X
0
1
X
Q
Qn
Qn
0
1
Qn
C
1
0
pos
pos
neg
T
X
X
0
1
X
Qn+1
Qn
Qn
1
0
Qn
pos
neg
=ˆ positive Taktflanke
=ˆ negative Taktflanke
Takt
D0
Q0
Ein Toggle FF entsteht aus
dem D-FF durch
Rückkopplung der
negierten Ausgangs auf
den Dateneingang D.
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
33 / 39
Schaltwerke
Definition Schaltwerk: Der Ausgang ist eine Funktion der Eingänge und von im Schaltwerk
gespeicherten Speichervariabeln X = f(Ei , Qj) .
Schaltwerk (SW)
Ei
Takt
X = f(Ei , Qj)
Q 4 Q3 Q 2 Q 1
j=1..s
Der Takt definiert die Zeitpunkte, zu denen sich die Speichervariablen (Zustände) ändern können.
S=1
Zustandsdiagramm
RESET
Z0
Zustandsdiagramme
beschreiben das
Verhalten von
Schaltwerken
Z3
wenn es sich offensichtlich um ein
getaktetes Schaltwerk handelt,
kann die Angabe des Taktes als
Übergangskriterium entfallen.
●
Zusätzliche Übergangsbedingungen müssen angegeben werden
Z2
die Angabe von Ausgabewerten
(Y0, Y1...) in einem Zustand
werden durch einen
(Unter-)Strich vom Zustandsnamen getrennt
Z0
Y0,Y1,Y2
U=1
Z2
Z1
Y0,Y1,Y2
Y0,Y1,Y2
Formelsammlung_TGT.odt
●
S=0
ELSE
RESET
Z1
(die „else“ - Angabe
Codierte Zustandsübergangstabelle
(Codierte Zustandsfolgetabelle)
n
U
0
1
x
x
Q1
0
0
0
1
n+1
Q0
0
0
1
0
Q1
0
0
1
0
Q0
0
1
0
0
... kann entfallen).
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
34 / 39
Spezielle Schaltwerke (Zähler, Speicher, Schieberegister)
Zähler (Blockschaltbild)
Zustandsdiagramm (für den 2-Bit Zähler)
RESET
CTR DIV4
Takt
Z0
Q0
Takt
Z1
Takt
Z2
Z3
Q1
CLR CT=0
Takt
+ CLK
Zustandscodierung
Zustand
Dynamischer Eingang
aktiv bei positiver Flanke
… aktiv bei negativer Flanke
Vorwärtszähler
+
Zähler mit m Bits / Zykluslänge = 2 m
CTR m
CTR DIV
Codierung
(Kennzeichnungder Zustände)
Z0
Q1
0
Q0
0
Z1
0
1
Z2
1
0
Z3
1
1
Zähler mit Zykluslänge m
m
Zähler (4-Bit)
CTR DIV16
CLR
CT=0
LOAD
EN
+ CLK
A
B
C
D
20
21
QA
22
23
QC
•
CTR =ˆ Zähler
•
DIV 16 =ˆ 16 verschiedene binäre Zustände
•
Vorwärtszähler (+)
•
EN = 1 und die positive Taktflanke führen zum nächsten
Zählzustand
•
Mit /LOAD kann ein Anfangszustand geladen werden
•
4-Bit Speicherregister (4 flankengesteuerte D-Flipflops)
•
Paralleles Einlesen mit der positiven Taktflanke (Wenn der
Baustein ausgewählt ist (EN = 0), werden mit der ansteigenden Flanke des Takt-Signals die an den Eingängen D 0 …
D3 anstehenden Daten übernommen).
•
Mit einem 0-Signal am R (/CLR)-Eingang kann das Register
gelöscht werden.
•
EN (/CS) ermöglicht es, die Ausgänge in Tri-State zu schalten (EN=1) oder den Speicherinhalt auszulesen (EN=0)
QB
QD
Speicherregister
CLR
R
CS
EN
CLK
D0
C1
1D
Q0
D1
Q1
D2
Q2
D3
Q3
Formelsammlung_TGT.odt
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
35 / 39
Schieberegister
SRG 4
S0
S1
0
M
1
•
•
0
4-Bit Schieberegister
Links- Rechtsbetrieb:
3
CLK
CLR
SR SER
A
Mode
0
1
2
S1
0
0
1
S0
0
1
0
3
1
1
QA
QB
B
C
D
SL SER
•
•
•
QC
QD
Funktion
rechts
links
parallele
Eingabe
mit serieller Eingabe
paralleler Ausgabe
Vorwärtsschieben mit der positiven Taktflanke und der
Möglichkeit, das gesamte Register zu löschen
Speicher (ROM / RAM)
RAM
ROM
ROM 1K x 4
RAM 64x4
/WR
A0
WR
/RD
OE
/CS
EN
6
A9
EN
A
9
0
1023
EN
OE
A0 ...A5
D0...D3
0
Q1
Q2
4
Q3
Q4
•
Read Only Memory
•
mit den Adressen 0 … 1023
•
einer Wortbreite von 4 Bit
•
und einem Freigabeeingang
Schreib- Lesespeicher mit 64 x 4 Bit
Programmierbare Logik
PLDs (Progammable Logic Device) bestehen aus einer
programmierbaren UND / ODER – Matrix, mit deren Hilfe man
eine DNF bilden kann. Dieser Matrix sind D-FFs nachgeschaltet,
deren Ausgänge wieder in die Matrix zurückgeführt werden.
Durch diese Rückkopplung können Zustandsmaschinen (Zähler,
Register...) realisiert werden.
D
D
CPLDs (Complex PLD) bestehen aus vielen PLD-Blöcken, die
Formelsammlung_TGT.odt
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
36 / 39
über eine Busstruktur miteinander verbunden sind.
(Bsp. >6000 Gates / ca. 300 Regs)
Sie eignen sich besonders zur Implementierung von schneller
kombinatorischer Logik (Schaltnetzen) und sequentieller Logik
(Schaltwerken).
FPGAs (Flied Programmable Gate Array) bestehen aus vielen
kleinen Logikzellen (Funktionseinheiten), die über ein Netzwerk
von Verbindungsleitungen miteinander verbunden sind.
(Bsp. >50 000 Logicblocks mit je 4 Ffs)
Geeignet für Anwendungen mit weniger Logik – dafür aber
mehr Speicherbedarf – arithmetische Funktionen mit breiten
Datenpfaden.
KV-Tafeln sind Funktionstabellen, die matrixförmig
so aufgebaut sind, dass zwei horizontale bzw. vertikal benachbarte Felder sich nur im Wert einer Variablen unterscheiden.
Nr.
0
1
2
3
B
0
0
1
1
A
0
1
0
1
Y
X0
X1
X2
X3
Y
A
B
KV-Diagramme
X3
X2
X1
X0
Beispiel (XOR)
Für jede Ausgangsvariable ist ein getrenntes Diagramm erforderlich wobei die Kennzeichnung des
entsprechenden Ausgangs in der linken oberen Ecke
erfolgt.
Formelsammlung_TGT.odt
Nr.
0
1
2
3
B
0
0
1
1
A
0
1
0
1
Y
0
1
1
0
Y
A
B
Die Kennzeichnung der einzelnen Plätze erfolgt
durch Angabe der Variablen außerhalb der Tafel.
Der Inhalt des Platzes (0, 1 oder X) stellt den Funktionswert der Ausgangsgröße der betreffenden
Kombination dar.
0
1
3
1
1
0
2
0
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
C
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
A
0
1
0
1
0
1
0
1
Y (Bsp.)
0
1
1
0
0
1
0
0
A
Y
0
B
Platz-Nr.
0
1
2
3
4
5
6
7
37 / 39
1
3
1
0
1
0
7
0
5
1
6
0
4
Die Vereinfachung geht von benachbarten Plätzen aus.
2
Benachbart sind alle Felder, die
sich nur im Wert einer Variablen
unterscheiden.
0
C
Y = (A !B) + (!A B !C)
●
●
Es können 2er- 4er- 8er- und 16er Felder zusammengefasst
werden.
●
Nicht immer sind alle möglichen Kombinationen einer Funktionstabelle eindeutig festgelegt.
Bei einem 2er Block entfällt eine Variable.
Bei einem 4er Block entfallen zwei Variable.
Bei einem 8er Block entfallen drei Variable.
A
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
X
X
X
X
X
X
Q0
A
1
X
1
0
0
3
X
11
X
9
1
1
7
15
13
5
1
X
X
0
0
6
X
14
0
12
1
4
2
10
Q3
Q3 Q2 Q1 Q0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
Q1
Nr.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Im KV-Diagramm wurden die fehlenden Kombinationen durch „Xen“
(Don’t care Positions) ersetzt.
8
0
Q2
A = (Q0 Q1 !Q2) + (Q0 Q3) + (Q0 !Q1 Q2) + (!Q0 Q1 Q2) + (!Q0 !Q1 !Q2 !Q3)
●
●
Formelsammlung_TGT.odt
●
●
●
●
●
●
●
●
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
38 / 39
Schaltzustände eines NPN-Transistors
I
Schaltzustände eines idealen
Schalters
R
I
UR
UR
R
AUS  Schalter geöffnet (kein Strom)
U0
EIN  Schalter geschlossen (der Strom
wird durch den Widerstand
begrenzt)
S
U0
USchalter
offener Schalter:
I = 0A
⇒ UR = 0V
⇒
USchalter
S
geschlossener Schalter:
U
U
I= R = 0
R
R
⇒ USchalter = 0V
USchalter = U0
AUS bei der Transistorschaltung:
wenn UE = 0V
 UBE = 0V und IB = 0A
IC
 IC ≈ 0A
R
UR
 UCE = U0
RB
UE URB
IB B
IE
U0
C
E
UCE
EIN bei der Transistorschaltung:
wenn UE ≥ 0,7V  UBE ≈ 0,7V
Transistor durchgeschaltet:
IC =
Minimal notwendiger Basisstrom:
Übersteuerung:
IBü = ü ⋅ IB
URB = UE − U BE
RB =
URB
IBü
Maximal zulässige Verlustleistung
Ptot ≈ UCE • IC
Formelsammlung_TGT.odt
 Transistor leitet
U0 − U CEsat
 Ic wird durch R bestimmt
R
IB =
IC
B
ü: Übersteuerungsfaktor
(ü ≈ 2...6)
Wenn der Kollektorstrom IC nicht mehr durch den Basisstrom
IB sondern nur noch durch den Widerstand R und die
Spannung U0 bestimmt wird, spricht man von
„Übersteuerung“.
Den entsprechenden Wert nennt man Übersteuerungsfaktor ü
29. Okt 10
Br / Bu / Is / Vo / ... 
39 / 39
Zehnerpotenzen
Symbol
Name
Wert
P
Peta
1015
1.000.000.000.000.000
Billiarde
T
Tera
1012
1.000.000.000.000
Billion
9
G
Giga
10
1.000.000.000
Milliarde
M
Mega
106
1.000.000
Million
3
k
Kilo
10
1.000
Tausend
h
Hekto
102
100
Hundert
da
Deka
101
10
Zehn
100
1
Eins
d
Dezi
10−1
0,1
Zehntel
c
Zenti
10−2
0,01
Hundertstel
m
Milli
10−3
0,001
Tausendstel
μ
Mikro
10−6
0,000.001
Millionstel
n
Nano
10−9
0,000.000.001
Milliardstel
p
Piko
10−12
0,000.000.000.001
Billionstel
f
Femto
10−15
0,000.000.000.000.001
Billiardstel
E-Reihen von Widerständen
E3
E6
E12
E24
1,0
1,0
1,0
1,0
1,1
1,2
1,2
1,3
1,5
1,5
1,5
1,6
1,8
1,8
2,0
2,2
2,2
2,2
2,2
2,4
2,7
2,7
3,0
3,3
3,3
3,3
3,6
3,9
3,9
4,3
4,7
4,7
4,7
4,7
5,1
5,6
5,6
6,2
6,8
6,8
6,8
7,5
8,2
8,2
9,1
Formelsammlung_TGT.odt
29. Okt 10
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