1 Elektrische Felder

Formelsammlung GET B, Prof. Dr.-Ing. S. Dickmann, HSU HH (Stand: 06.06.14)
1
Elektrische Felder
Elektrische Feldstärke
~
~ r) = FQ (~r)
E(~
Q
Spannung
Z~r2
U12 =
~
~ · ds
E
~
r1
Potential im konservativen elektrischen Feld
~ r) = −grad ϕ(~r)
E(~
U12 = ϕ(~r1 ) − ϕ(~r2 )
~ · d~s = E ds, d.h. für Integrationswege entlang der Feldlinien gilt
Für E
Z~r
dϕ
E=−
ds
⇔
ϕ(~r) = −
E ds + ϕ(~r1 )
~
r1
1.1
Stationäres Strömungsfeld
Elektrischer Strom
Z
I=
~
J~ · dA
A
Ohmsches Gesetz
~
~ = 1E
J~ = κ E
%
1.2
Elektrostatisches Feld
Raumladungsdichte
Z
dQ
%=
dV
Q=
%(~r) dV
V
Flächenladungsdichte
σ=
Z
dQ
dA
Q=
σ(~r) dA
A
Elektrischer Fluss, Satz vom elektrischen Hüllenfluss
I
~ · dA
~=Q
D
Ψ=
∂V
Elektrische Flussdichte, Materialgleichung
~
D
=
~ = ε0 εr E
~
εE
Kapazität
Q
U
Energie im elektrischen Feld bei linearer Materie und im Kondensator
Z
2
1
~ ·E
~ dV = 1 CU 2 = 1 Q
Wel =
D
2
2
2 C
C=
V
Elektrische Feldenergiedichte in linearer Materie, Kraftdichte auf Grenzfläche
dWel
1~ ~
1
dF
wel =
= D
· E = εE 2 =
dV
2
2
dA
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2
Magnetisches Feld
Kraft auf stromdurchflossenen Leiter
dF~
dV
~
F~ = l · (I~ × B)
~
= J~ × B
Lorentzkraft auf bewegte Ladung Q im Magnetfeld
~
F~Q = Q (~v × B)
Magnetischer Fluss
Z
Φ=
~ · dA
~
B
A
Magnetische Flussdichte, Materialgleichung
~ = µH
~ = µ0 µr H
~
B
Magnetische Spannung, magnetische Feldstärke
Z
Vm =
~ · d~s
H
C
Magnetische Umlaufspannung
I
◦
V m=
~ · d~s
H
∂A
Durchflutung
Z
~=
J~ · dA
Θ=
N
X
In
n=1
A
Durchflutungsgesetz
I
~ =
~ ds
H
~
∂D
J~ +
∂t
Z
!
~ =Θ+
dA
dΨ
dt
A
∂A
Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises
Vm12
= Rm12 Φ
Magnetischer Widerstand allgemein und bei homogenem Feld
Rm12
R ~r2
~ d~s
H
Vm12
l
=
= R~r1
=
~
~
Φ
µA
B dA
A
Induktionsgesetz
◦
I
u=
∂A
~ d~s = −
E
Z
~
∂B
~
dA
∂t
I
ui =
A
~ + ~v × B)
~ d~s = − dΦ
(E
dt
∂A
Induktivität bei Selbstinduktion
L=
NΦ
N2
=
I
Rm
Energie im magnetischen Feld bei linearer Materie und in einer Spule
Z
1
~ ·H
~ dV = 1 LI 2
Wm =
B
2
2
V
Magnetische Feldenergiedichte in linearer Materie, Kraftdichte auf Grenzfläche
wm =
dWm
1~ ~
1
dF
= B
· H = µH 2 ≈
dV
2
2
dA
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3
Zeitabhängige Spannungen und Ströme bei Kondensatoren und Spulen
Bauelementgleichung des Kondesators
duC (t)
iC (t) = C
dt
Zt
1
uC (t) =
C
⇔
iC (t0 ) dt0 + uC (t0 )
t0
Bauelementgleichung der Spule
diL (t)
uL (t) = L
dt
1
iL (t) =
L
⇔
Zt
uL (t0 ) dt0 + uL (t0 )
t0
Lösungsansatz für die inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
τ
df (t)
+ f (t) = const
dt
t − t0
f (t) = K1 + K2 · exp −
τ
=⇒
4
Fourierreihen
Allgemeiner Ausdruck für die approximierende Funktion g(t):
f (t) ≈ g(t) =
n
n
X
X
a0
+
am cos(mωt) +
bm sin(mωt)
2
m=1
m=1
mit den Fourierkoeffizienten
a0
=
tZ
0 +T
2
2 · f (t) =
T
f (t) dt
t0
am
=
2
2 · f (t) · cos(mωt) =
T
tZ
0 +T
f (t) · cos(mωt) dt
t0
bm
=
2 · f (t) · sin(mωt) =
2
T
tZ
0 +T
f (t) · sin(mωt) dt
t0
Komplexe Schreibweise
n
X
g(t) =
cm e jmωt
m=−n
wobei
cm =
f (t) e− jmωt
1
=
T
tZ
0 +T
f (t) e− jmωt dt
t0
Es gilt für m > 0
c0
=
cm
=
c−m
=
a0
2
am − jbm
2
am + jbm
= c∗m
2
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Symmetrien
f (t) = f (−t)
f (t) = −f (−t)
T
f (t) = −f (t + )
2
T
f (t) = f (t + )
2
5
⇔
⇔
bm = 0
am = 0
⇔
a2k = b2k = 0
⇔
a2k+1 = b2k+1 = 0
Laplace-Transformation
Laplace-Transformation – Formelzusammenstellung
Originalfunktion
Bildfunktion
Z∞
f (t)
Definition
F (s) =
f (t) e−ts dt
0
komplexe Umkehrformel
f (t) =
1
2π j
c+
Z j∞
F (s) ets ds
F (s)
c− j∞
c1 f1 (t) + c2 f2 (t)
Linearkombination
Zt
Integration
funktion
der
Original-
df (t)
dt
d2 f (t)
dt2
..
.
sF (s) − f (0)
s2 F (s) − s f (0) −
..
.
f (t) e−at
Zt
Faltung der Originalfunktionen
1
F (s)
s
f (t0 ) dt0
0
Differentiation der Originalfunktion
Dämpfung der Originalfunktion
c1 F1 (s) + c2 F2 (s)
f1 (t) ∗ f2 (t) =
df
(0)
dt
F (s + a)
f1 (t0 )f2 (t − t0 ) dt0
F1 (s) F2 (s)
0

Verschiebung der Originalfunktion
f (t − t0 )
Differentiation der Bildfunktion
(−1)n tn f (t)
Multiplikation der Originalfunktionen
f1 (t) f2 (t)
e−t0 s F (s) +
Z0

f (t) e−st dt
−t0
dn F (s)
dsn
F (s) =
1
2π j
c+
Z j∞
F1 (s0 ) F2 (s − s0 ) ds0
c− j∞
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Korrespondenzen der Laplace-Transformation
Originalfunktion
Bildfunktion
Originalfunktion
δ(t)
1
e−at
(b − a)(c − a)
δ(t − t0 )
e−t0 s
+
e−bt
(a − b)(c − b)
1 oder σ(t)
1
s
+
e−ct
(a − c)(b − c)
t
1
s2
1 2
t
2
1
s3
tn
n!
1
Bildfunktion
1
(s + a)(s + b)(s + c)
−a e−at
(b − a)(c − a)
sn+1
−
b e−bt
(a − b)(c − b)
−
c e−ct
(a − c)(b − c)
s
(s + a)(s + b)(s + c)
e−at
1
s+a
1
sin ωt
ω
t e−at
1
(s + a)2
cos ωt
s
s2 + ω 2
tn −at
e
n!
1
(s + a)n+1
1
(1 − cos ωt)
ω2
1
s (s2 + ω 2 )
δ(t) − a e−at
s
s+a
sin(ωt + ϕ)
s sin ϕ + ω cos ϕ
s2 + ω 2
1
1 − e−at
a
1
s (s + a)
cos(ωt + ϕ)
s cos ϕ − ω sin ϕ
s2 + ω 2
1
e−at + at − 1
2
a
1
2
s (s + a)
(1 − at) e−at
s
(s + a)2
a cos ωt + ω sin ωt − a e−at
a2 + ω 2
1
1 − (1 + at) e−at
2
a
1
s (s + a)2
1
e−at − e−bt
b−a
1
(s + a) (s + b)
1
a e−at − b e−bt
a−b
s
(s + a) (s + b)
(a − b) + b e−at − a e−bt
a b (a − b)
1
s (s + a) (s + b)
1 −δt
e
sin ωt
ω
δ
cos ωt − sin ωt e−δt
ω
1 − cos ωt + ωδ sin ωt e−δt
δ2 + ω2
1
1
sin
ωt
−
t
cos
ωt
2ω 2 ω
a t 1 − t e−at
2
a2 2
1 − 2 at +
t
e−at
2
s
(s + a)3
t
sin ωt
2ω
s
(s2 + ω 2 )2
s2
(s + a)3
1
(sin ωt + ωt cos ωt)
2ω
s2
(s2 + ω 2 )2
a
ω
sin ωt − cos ωt + e−at
a2 + ω 2
s2
1
+ ω2
1
(s + a) (s2 + ω 2 )
s
(s + a) (s2 + ω 2 )
s2
1
+ 2δs + δ 2 + ω 2
s2
s
+ 2δs + δ 2 + ω 2
1
s (s2 + 2δs + δ 2 + ω 2 )
1
(s2 + ω 2 )2