und Organisationswissenschaften Prof. Dr. G. Uebe Herbst
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UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR HAMBURG
Fachbereich Wirtschafts- und Organisationswissenschaften
Prof. Dr. G. Uebe
Frau Dipl.-Wirtsch.math. S. Rosenow
Herbst-Trimester 2001
Übungen zu Statistik II
Blatt 4
Aufgabe 22:
Herr S. vergißt häufig seine Monatskarte auf seinem Schreibtisch, so daß er öfters DM 5
für den erhöhten Arbeitsaufwand der Kontrollbeamten zu bezahlen hat. 40 Werktage lang
zeichnet er auf, wieviele Tage bis zur erneuten Kontrolle vergehen.
4, 1, 3, 2, 3, 3, 4, 5, 2, 3.
1) Herr S. vermutet eine geometrisch verteilte Zufallsvariable X, welche der Stichprobe
zugrundeliegt.
a1) Berechnen Sie den Momentenschätzer für den Parameter p der Verteilung.
b1) Geben Sie die Likelihoodfunktion für die obige Stichprobe an und bestimmen Sie
den Maximum-Likelihood-Schätzer für p.
2) Andererseits kann diese Stichprobe auch als gedächtnislose Zeiteinheiten zwischen zwei
Kontrollen aufgefaßt werden und somit eine exponentialverteilte Zufallsvariable Y
dahinterstehen.
a2) Berechnen Sie den Momentenschätzer für den Parameter λ der Verteilung.
b2) Geben Sie die Likelihoodfunktion für die obige Stichprobe an und bestimmen Sie
den Maximum-Likelihood-Schätzer für λ.
c) Schätzen und vergleichen Sie für beide Fälle die erwartete Anzahl an Tagen bis zur
nächsten Kontrolle.
Aufgabe 23:
Für 0 ≤ b ≤ 1 besitze die Zufallsvariable X die Dichte
3 2
bx ; falls – 1 ≤ x ≤ 1,
2
f(x) = 1 – b ; falls 1 < x ≤ 2,
0
; sonst.
Eine Stichprobe ergab die Werte 1.2, 1.8, 0.5, 1.5, 1.6, 1.3, -0.5, 1.7, -0.1 .
a) Stellen Sie die Likelihoodfunktion für die obige Stichprobe auf.
b) Berechnen Sie den Maximum-Likelihoodschätzer für b.
c) Berechnen Sie den Momentenschätzer für b.
d) Ist der Schätzer für b erwartungstreu?
2
Aufgabe 24:
Eine Kiste mit 2000 Glühbirnen wurde unsachgemäß gelagert. Um zu entscheiden, ob sie
noch zum Verkauf weitertransportiert werden können, entnimmt man zur Kontrolle 5
Glühbirnen.
a) Bestimmen Sie einen Schätzer für die Wahrscheinlichkeit, daß eine Glühbirne defekt ist,
wenn von den 5 entnommenen Glühbirnen 2 defekt sind.
b) Die Aufzeichnungen gehen verloren, so daß zur Kontrolle weitere 6 Glühbirnen untersucht werden. Hiervon sind wiederum 2 defekt. Wiederholen Sie ihre Schätzung.
c) Beurteilen Sie die beiden Schätzer hinsichtlich Erwartungstreue und Effizienz.
d) Sei nun eine Probe von 100 Glühbirnen untersucht, von denen 20 defekt sind. Nehmen
Sie erneut eine Schätzung vor.
Aufgabe 25:
Seien T1 und T2 zwei voneinander unabhängige erwartungstreue Schätzer für den
Parameter α einer Zufallsvariablen. Seien var(T1) = 1, var(T2) = 2. Es seien drei weitere
Schätzer T3, T4 und T5 wie folgt definiert:
1
T3 := (T1 + T2)
2
1
T4 := (T1 + T2)
3
1
T5 := (T3 + 3 T4)
2
a) Prüfen Sie die Erwartungstreue von T3 T4, und T5 für α.
b) Welcher Schätzer T1, T2, T3, T4 und T5 ist am effizientesten?
Aufgabe 26:
Die Zufallsvariable X sei exponentialverteilt mit Parameter λ. Bei einer Stichprobenlänge
von n = 5 werden als Schätzer für λ folgende Funktionen vorgeschlagen:
1
λ 1 = 2 (X1 + X 5)
1
λ 2 = (5X4 - X2)
4
1
λ 3 = (X2 + X 3 + X 4)
5
a) Welche Schätzfunktionen sind unverzerrt?
b) Bestimmen Sie die Varianzen der Schätzfunktionen.
c) Welche Schätzfunktion(en) würden Sie verwenden?
d) Die Stichprobe ergab: 2, 3, 2, 1, 2. Berechnen Sie die Schätzwerte der Schätzfunktionen.
3
Aufgabe 27:
Das Lieblingsspiel einiger Kindergartenkinder besteht aus einer Spielfigur, einem gespensterähnlich modellierten Hohlkörper und einem Würfel mit den Zahlen 1, 2, 4, 5, sowie
zweimal dem Bild eines Gespenstes auf den verbleibenden Seiten. Die Zahlen 1, 2, 4 und 5
treten mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Für die zwei bebilderten Seiten trifft dieses
nicht notwendig zu. Für den Spielspaß wichtig ist, daß das Gespenst gewürfelt wird und so
die Spielfigur mit dem Hohlkörper gefangen werden kann.
Wir ziehen eine Stichprobe für X: Anzahl der Würfe bis das Gespensterbild gewürfelt
wird, und erhalten dafür {3, 4, 1, 5, 7}.
Schätzen Sie den Parameter p für die Wahrscheinlichkeit, daß das Gespensterbild
gewürfelt wird.
Geben Sie eine Schätzung für die erwartete Schrittzahl, die die Spielfigur bis zum ersten
Zug des Gespenster-Hohlkörpers zurücklegt, an.
4
Aufgabe 28 (Die Schätzung einer stetigen Verteilung, die Rolle der Optimierung):
Eine Zufallszahl X sei mit folgender Dichte verteilt:
1
1 + (2π –1)⋅cos(x)
6
f(x) =
, 0 ≤ x ≤ 5π
5π
die wie folgt aussieht:
Die zugehörige Verteilung ist
1
x + (2π –1)⋅sin(x)
6
F(x) =
, 0 ≤ x ≤ 5π mit F(0)=0, F(5π) = 1
5π
mit der Abbildung:
5
Um aus diesem Zusammenhang ein Schätzproblem zu machen, sei nun angenommen, für
die Dichte sei nur die allgemeine parametrische Gestalt bekannt:
1
1 + (2a –1)⋅cos(x)
6
f(x) =
,0≤x≤b
b
Bestimmen Sie mit Hilfe ihres PC für eine Stichprobe von 2 oder 3 Beobachtungen (z.B.
x1= 5, x2 = 2, x3 = 12) einen Maximum-Likelihood-Schätzwert für a. Für b nehmen Sie
dabei an, (um das Problem nicht zu schwer zu machen) Sie wüßten den Wert und fixieren
b auf einen geeigneten numerischen Wert.
Eine Lösungsskizze folgt auf der nächsten Seite.
6
Lösungshinweis:
Die Likelihood-Funktion wird direkt aufgestellt und dann gezeichnet, worauf aus der
Abbildung der ML Schätzer ablesbar ist.
Mit der Fixierung b = 5π sowie {x1= 5, x2 = 2, x3 = 12} ergibt sich z.B. folgendes Bild der
Likelihood-Funktion
Mit der Fixierung b = 5π sowie {x1= 3, x2 = 6, x3 = 6} ergibt sich z.B. folgendes Bild der
Likelihoodfunktion
Um das Ergebnis zu verstehen, ist es hilfreich mit verschiedenen Sctichproben herumzuprobieren. Das hier benutzte Programm ist Mathematica.
