elektrostatik - Fakult at f ur Physik

Kapitel 2
ELEKTROSTATIK
In der Elektrostatik geht es um stationäre Probleme unbewegter Ladungen in
"
"
Abwesenheit von Magnetfeldern. Im statischen Fall (∂ E/∂t
= ∂ B/∂t
= 0) separieren die Maxwell-Gleichungen im Vakuum in zwei Paare:
Dynamik
! ·E
! = 1ρ
∇
"0
!
! ×E
! = − ∂B
∇
∂t
! ·B
! =0
∇
!
! ×B
! = µ0 !j + 1 ∂ E
∇
c2 ∂t
Statik
! ·E
! = 1ρ
∇
"0
! ×E
! =0
∇
! ·B
! =0
∇
! ×B
! = µ0 !j
∇



Elektrostatik



Magnetostatik




Statik:
" und B̄ kommen in getrennten Gleichungen vor.
• E
• Elektrizität und Magnetismus sind völlig getrennte Phänomene, solange
die elektrischen Ladungen und die Ströme stationär sind.
• Erst wenn sich das Magnetfeld mit der Zeit ändert, oder sich der Strom
" und B̄ voneinander ab.
mit der Zeit ändert, hängen E
"
• mehr noch: ∂ E/∂t
muß schnell sein gegenüber c2 µ0 "j,
" und B̄ eine starke Abhängigkeit voneinander zeigen.
damit E
Magnetostatik:
" mit Divergenz=0
Vektorfeld B
und gegebener Rotation.
Elektrostatik:
" mit Rotation=0
Vektorfeld E
und gegebener Divergenz.
11
12
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
2.1
Coulombsches Gesetz
Nach dem Gauß’schen Satz gilt: Produkt der Normalkomponente des Feldes mit
der Oberfläche = Divergenz des Feldes aus dem umschlossenen Volumen.
Die Divergenz ist proportional zur Ladung im Inneren.
&
& '
%
(
ρ
1
" ·E
" dV =
" · dS
"=
∇
E
dV = Q
(2.1)
$0
V $0
V
S
Wir betrachten eine Kugeloberfläche mit dem Radius r und setzen eine Punktladung (Ladung Q) in
den Mittelpunkt der Kugel. Das Feld einer Punktladung muss kugelsymmetrisch sein. Die elektrische
Feldstärke hat also denselben Wert an jedem Punkt
der Kugeloberfläche. Wir fordern auch, dass das Feld
nur eine radiale Komponente hat. Für den Betrag |E|
der Feldstärke auf der Kugeloberfläche gilt
|E| 4πr2 =
# $% $& ! "!
'
"
!
(
1
Q
$0
(2.2)
Mit dem Ansatz für die Kraft auf eine Probeladung q, die sich auf der Ku" befindet
geloberfläche im Feld E
"
F" = q E
(2.3)
erhalten wir das Coulombsche Gesetz
1 qQ
|F | =
4π$0 r2
(2.4)
Der Vorfaktor ist im SI-System definiert als:
) *
N
1
−7 2
= 10 c
.
4π$0
A2
(2.5)
Dabei ist c die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit (c = 3 · 108 m/s). Die Größe
$0 ist die Dielektrizitätskonstante. Damit wird der Vorfaktor1
fc =
N · m2
V olt · m
1
= 8.99 · 109
= 8.99 · 109
4π$0
C2
C
(2.6)
und die Dielektrizitätskonstante
$0 = 8.854 · 10−12
A·s
A2 · s4
= 8.854 · 10−12
kg · m3
V ·m
(2.7)
wobei 1 kg·m2 ·s−2 = 1 N ·m = 1 V ·A·s. Die Ladung eines Elektrons beträgt
q = e = 1.602 · 10−19 C
(2.8)
Im SI-System wird die Ladungsmenge über die Stromstärke definiert.
Strom = Ladungsmenge pro Sekunde.
1 Zur
Größe
Einheit
Abkürzung
Umrechnung
Strom
Ladung
Ampere
Coulomb
A
C
1 A = 1 C/s
1C = 1As
Definition der Spannung in Einheiten von Volt siehe Seite19.
13
2.2. ELEKTRISCHES FELD
Ladungsmessung:
!
• Im Drehzeiger Elektrometer
ergibt sich der Ausschlag aus dem
Gleichgewicht:
!
Drehmoment durch Abstoßung =
Drehmoment durch Schwerkraft
"# $ %& '$ (
• im Faden-Elektroskop beobachtet man die Abstoßung zweier gleichnamig geladener Lamettastreifen.
Beide Geräte messen den Betrag der Ladung.
• Ladungsmessung
über den Strom, der über einen Widerstand fließt:
+∞
Q = 0 I(t)dt. In der folgenden Zeichnung ist eine solche Messung zur
Bestimmung des Stromstoßes einer einzelnen Elektronenlawine skizziert.
, -&. /
0 ! 12 $3 14 ! 1
" !
/8 ' ' '
/* ' ' '
" !
" !
=
' (
!
: 2 ; <
) * ' ' ' (
# ! $% &&
2.2
5 " 6 2 7 " 6 1
* ' +!
!
9
$
#" = . $ > ? > 9 > " # @ . $ > ? > 9 A
Elektrisches Feld
Das Coulomb-Gesetz liefert ein anschauliches Bild, wie zwei Ladungen auf sich
gegenseitig eine Kraft ausüben. Die Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie.
Wie bei der Gravitation wurde angenommen, dass diese Kraftwirkung instantan
über beliebig große Entfernungen wirksam ist. Wie sich später erst herausstellte, ist diese Annahme inkonsistent mit der Relativitätstheorie, die fordert, dass
kein Signal zwischen zwei Punkten schneller als mit Lichtgeschwindigkeit unterwegs sein kann. Das Feldmodell bietet dazu eine Alternative, in der man
davon ausgeht, dass der Raum um eine Ladung herum von einem elektrischen
Feld erfüllt ist. Diesem Feld kommt insofern Realität zu, als man dem Feld
(wie auch einem Teilchen) Energie und Impuls zuschreiben kann, und auch
Bewegungsgleichungen, die vorhersagen, wie sich die Form des Feldes - in
Antwort auf die Umgebung - mit der Zeit entwickelt.
In diesem Feldmodell erlebt die zweite Ladung das Feld, das die erste Ladung
am Ort der zweiten Ladung erzeugt. Das Feld ist der Vermittler der CoulombKraft. Bewegt sich die erste Ladung, führt dies zu einer Veränderung des Feldes. Diese Veränderung pflanzt sich mit einer Geschwindigkeit v ≤ c fort. Die
Veränderung wird erst später von der zweiten Ladung wahrgenommen.
14
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
Definition der elektrischen Feldstärke
Eine Ladung Q befindet sich im Ursprung.
"
Die Kraft auf die Probeladung q am Ort R
ist
#$
"
" = fc q · Q êR
F" (R)
R2
!
Dabei ist êR der Einheitsvektor, der zum Ort der Probeladung zeigt. Die elek" erzeugt wird, definiert man
trische Feldstärke, die von der Ladung Q am Ort R
über die Kraft auf eine Probeladung q
" = q · E(
" R)
"
F" (R)
(2.9)
Damit ist
" R)
" =
E(
1 Q
êR
4π$0 R2
(2.10)
Damit ergibt sich eine Felddefinition, die unabhängig
ist von der Größe der Probeladung. Das Feld ist
auch im Grenzfall q → 0 definiert. Aus Streuexperimenten von Elektronen auf Positronen (e+ − e− )
weiß man, daß dieses Gesetz bis 4×10−17 m gilt, aus
Experimenten mit Radiowellen, daß es bis mehrere
km gilt.
Befindet sich die Ladung Q am Ort "r1 , so gilt für das
"
Feld am Ort R
" R)
" =
E(
1
Q
" − "r1 )
(R
"
4π$0 | R − "r1 |3
(2.11)
" explizit
Wenn wir die Vektorkomponenten von E
ausschreiben wollen, berücksichtigen wir

 
 

" − "r1 = 
R
X
Y
Z
und erhalten damit
"
E(X,
Y, Z)
−
x1
y1
z1
=
X − x1
Y − y1
Z − z1

Q
" − "r1 )
(R
" − "r1 |3
|R


X − x1
Q
Y − y1 
= fc 3
d
%
! $"
#
"
&'
#
!
= fc
(2.12)
Z − z1
wobei
d=
0
(X − x1 )2 + (Y − y1 )2 + (Z − z1 )2 .
(2.13)
15
2.3. SUPERPOSITIONSPRINZIP
2.3
Superpositionsprinzip
Das Feld von im Raum verteilten Ladungen bestimmt man über Vektoraddition:
" R)
"
E(
"1 + E
"2 + E
"3 + . . .
= E
1 Qi
" ri )
= fc
3 (R − "
d
i
i
(2.14)
Bilder für das Feld zweier Ladungen (Dipolfeld für Q1 = −Q2 ).
$#
! " #
Skalare Ladungsdichte:
Bei räumlich kontinuierlichen Ladungsverteilungen wird die diskrete Struktur der Ladung im makroskopischen Bereich nicht beobachtet.
Dann ist es bequemer von Punktladungen auf
eine kontinuierliche Verteilung überzugehen.
Die skalare Ladungsdichte ρ("r) (Dimension
C/m3 ) ist über die Gesamtladung
Q=
&
ρ("r) dV
! "$ %
&
! #"
"
'(
!
(2.15)
V
definiert. Damit wird
&
" − "r
R
" R)
" = fc
E(
ρ("r)dV
" − "r |3
V |R
(2.16)
Feld eines geladenenen Drahtes
Wenn wir den Querschnitt des Drahtes (Länge L) mit A bezeichen, dann ist
die Ladung in einem Drahtstück der Länge dx gleich λ = ρA dx, wobei die
Gesamtladung des Drahtes Q = ρAL ist. Die Größe λ = Q/L gibt uns die
Ladung pro Längeneinheit an. Wir berechnen das Feld an einem Punkt P , der
im Abstand y = r vom Schwerpunkt des Drahtes liegt. Die x-Achse legen wir
in die Richtung des Drahtes. Das Drahtstück an der Position xi gibt uns zum
elektrischen Feld am Orte P den Beitrag


xi
dx
dx
"
 r 
E(P,
i) = fc λ 3 "rP i = fc λ 2
(2.17)
rP i
(xi + r2 )3/2
0
16
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
Integration über die Länge des Drahtes (−L/2 < x < +L/2) liefert



 &
x dx
 & (x2 + r2 )3/2

r dx
" ) = fc λ 
E(P


(x2 + r2 )3/2

0
0



1
2λ 

 0
 = fc


r 
1 + (2r/L)2


0






(2.18)
Der Feldvektor zeigt je nach
Vorzeichen der Ladung in die
±y-Richtung. Für r & L ( unendlich langer Draht ) wird
*
(
&
'
%
)
Ey = fc
%
! "#
2λ
r
(2.19)
$ %
Flächenladungsdichte Die Gesamtladung auf
einer Metallfläche ist definiert als das Integral der
Flächenladungsdichte σ über die Fläche S
&
Q=
σ dS .
(2.20)
! "$ %
"
! "#
S
Die Dimension von σ ist C/m2 .
Feld einer homogen geladenen Platte: Wir gehen von einer homogenen
Ladungsdichte aus und untersuchen das Feld im Abstand a von der Platte.
Der Beitrag eines Flächenelementes dS
zur Feldstärke E im Abstand b ist
!
"
!
" = fc σ
dE
#$
!
&
%
)
' (
"
dS
êb
b2
(2.21)
wobei êb der Einheitsvektor in Richtung
des Wegstückes b ist. Das Flächenelement ist dS = r dr dϕ, b = a/ cos α und
r = a tan α. Damit wird
dr
a
=
dα
cos2 α
(2.22)
Für eine unendlich ausgedehnte Platte kompensieren sich die Horizontalkomponenten der Feldstärke auf Null. Nach Integration über dϕ bleibt für die Vertikalkomonente
dEv = fc σ 2π sinα dα
(2.23)
Die Integration über den Winkel α von 0 bis π/2 ergibt Ev = σ/2$0 . Das Feld
ist homogen, unabhängig vom Abstand von der Platte.
" = σ êa
E
2$0
(2.24)
17
2.4. ELEKTRISCHER KRAFTFLUSS
" hängt vom Vorzeichen der Ladungsdichte σ ab. Im HalbDie Richtung von E
raum unterhalb der Platte hat die Feldstärke dieselbe Größe wie oberhalb, aber
umgekehrtes Vorzeichen. Daraus folgt:
Die Normalkomponente der Feldstärke macht beim Durchgang durch die
geladene Platte einen Sprung von σ/$0 .
Plattenkondensator:
Wir betrachten 2 Platten mit entgegengesetzt gleichen Ladungen Q1 = −Q2 .
Wenn der Abstand zwischen den Platten sehr klein ist gegenüber ihrer Ausdehnung, dann gilt für die Feldstärke zwischen den Platten
E = σ/$0
(2.25)
Das Feld ist um den Faktor 2 höher als im obrigen Fall, weil zwei Platten mit
entgegengesetztem Ladungsvorzeichen zum Gesamtfeld beitragen. Im Aussenraum kompensieren sich die Beiträge jeder Platte zum Feld ±σ/(2$0 ) zu Null.
Für unendlich ausgedehnte Platten ist das Feld im Innenraum homogen. Bei
endlichen Plattenabmessungen treten Randeffekte auf (inhomogenes Feld).
!
!!
!
"
! " #$ #
!!!
$ " #$ #
%
$ " #$ #
%
! " #$ #
%
%
• Elektrische Ladungen verändern den leeren Raum.
" r).
• Sie sind Ursache für das Vektorfeld E("
" ist durch die Kraft
• Die Stärke und Richtung von E
" r).
auf eine Probeladung q bestimmt, F" ("r) = q E("
• Feldlinien veranschaulichen dieses Feld.
• Die Tangente an die Feldlinie gibt die Kraftrichtung an.
2.4
Elektrischer Kraftfluss
Die elektrischen Ladungen sind die Quellen des elektrischen Feldes. Ein Maß für
die räumliche Dichte der elektrischen Feldlinien erhält man über die Definition
des Kraftflusses
" · dS
"
dΦel = E
(2.26)
18
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
Der Kraftfluss durch eine Fläche ist gegeben als
&
" · dS
".
E
Φel =
! "
S
#
Der Kraftfluss durch eine Kugeloberfläche mit Radius r,
in deren Mitte eine Ladung Q liegt, ist demnach
%
r̂
"
Φel = fc Q
· dS
2
r
S
& π & 2π
1 2
= fc Q
r sin θ dθ dϕ
r2
o
0
Q
= f c Q 4π =
.
(2.27)
$0
Der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche
hängt nur von der Gesamtladung im eingeschlossenen Volumen ab.
Nach dem Gauß’schen Satz gilt für eine geschlossenen Oberfläche:
%
&
"
"
" · E)
" dV
Φel =
E · dS =
(∇
S
(2.28)
V (S)
oder
" ·E
" = div E
" = ρ
∇
$0
(2.29)
Elektrische Ladungen sind die Quellen und Senken
des elektrostatischen Feldes.
2.5
Elektrostatisches Potential
Wir definieren die Arbeit, die zur Verschiebung einer
" vom Ort a nach b
Ladung q im elektrischen Feld E
notwendig ist:
& b
& b
"
W =
F" (r) · d"r = q
E(r)
d"r
a
!
#
"
a
Im Feld einer Punktladung Q gilt:
4
5
& r2
d"r
1
1
W = fc qQ
=
f
qQ
−
c
2
r1
r2
r1 r
Energie wird gewonnen (W > 0), wenn sich gleichnamige Ladungen voneinander weg bewegen (r2 > r1 ).
!
"
!
#
%
$
!
#
!
"
19
2.5. ELEKTROSTATISCHES POTENTIAL
Die Coulombkraft ist eine Zentralkraft. Damit ergibt sich ein konservatives
Kraftfeld, das Arbeitsintegral ist unabhängig vom Weg, es hängt nur von der
Wahl der Endpunkte ab. Die Gesamtarbeit für jeden geschlossenen Weg ist Null.
Für solche Kraftfelder lässt sich ein Potential definieren.
Man definiert das elektrostatische Potential φ am Ort P über die Energie
q·φ, die notwendig ist, um eine Probeladung q von P ins Unendliche zu bringen
& ∞
"
φ(P ) =
E(r)
· d"r
(2.30)
P
Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten
& P2
"
E(r)
· d"r
φ(P1 ) − φ(P2 ) =
(2.31)
P1
nennt man die elektrische Spannung:
U = φ(P1 ) − φ(P2 )
(2.32)
Eine Probeladung, die eine Potentialdifferenz U durchläuft, erfährt eine Änderung
der potentiellen Energie
∆Epot = −q · U
(2.33)
Da die Gesamtenergie konstant ist, folgt
∆Ekin = −∆Epot = q · U
(2.34)
Die Definition der Spannung ist
[U ] =
[Energie]
kg · m2 · s−2
N ·m
=
=
= V olt .
[Ladung]
A·s
C
(2.35)
Im atomaren Bereich wird häufig die Einheit Elektronenvolt [eV] verwendet.
1 eV ist die Energie, die ein Elektron gewinnt, wenn es eine
Potentialdifferenz von U = 1 V olt durchläuft:
1 eV = 1.6022 · 10−19 C · V = 1.6022 · 10−19 J
Nach einer Beschleunigung über die Potentialdifferenz U beträgt die Geschwindigkeit eines Elektrons (nicht-relativistisch):
6
√
1
2eU
2
me v = e U ⇒ v =
= 6 · 105 U [m/s]
(2.36)
2
me
Auf der Baiss der Beziehung
E = M c2 gibt man die
Ruheenergie von elementaren
Teilchen in Elektronenvolt an.
(M=Ruhemasse)
Teilchen
Elektron
Proton
Neutron
Ruheenergie
Ee = me c2
Ep = mp c2
En = mn c2
[M eV ]
0.511
938.279
939.573
20
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
Die elektrische Feldstärke ist als Gradient des Potentials definiert
4
5
" = −grad φ = −∇
" φ = − ∂φ , ∂φ , ∂φ
E
(2.37)
∂x ∂y ∂z
Die elektrische Feldstärke zeigt in Richtung der größten Abnahme des Potentials.
Das statische elektrische Feld kann entweder durch die skalare Potentialfunkti"
y, z) = {Ex , Ey , Ez } beschrieben
on φ(x, y, z) oder durch das Vektorfeld E(x,
werden. Führt man den Ausdruck (2.37) für die Feldstärke in die 1. Maxwell
Gleichung ein, so erhält man
" ·E
" = −∇
" · (grad φ) = −∆φ = ρ
∇
$0
(2.38)
" 2 der Laplace-Operator ist. Dieser skalare Operator schreibt sich
wobei ∆ = ∇
in kartesischen Koordinaten
∆=
∂2
∂2
∂2
+
+
.
∂x2
∂y 2
∂z 2
(2.39)
Die Poisson-Gleichung
∆φ = −
ρ
$0
(2.40)
erlaubt durch Integration einer gegebene Ladungsverteilung das Potential, bzw.
die Feldstärke zu bestimmen. Dieser Ausdruck stellt die differentielle Form der 1.
Maxwellgleichung für das Potential dar. Wenn keine Ladungen im betrachteten
Raum vorhanden sind, wird daraus die Laplace-Gleichung
∆φ = 0 .
(2.41)
Das Potential einer Punktladung:
Mit der Definition φ(R → ∞) = 0 wird das Potential einer Punktladung
φ("r) = fc
Q
|"r|
Äquipotentialflächen sind Flächen auf
denen φ("r) konstant ist. Äquipotentiallinien
entsprechen Höhenlinien auf einer Landkarte.
Die Kraft auf eine Probeladung ist
" φ("r) .
F" = −q ∇
Die Äquipotentialflächen sind Orthogonalflächen zu den Feldlinien. Bei Verschiebung
entlang einer Äquipotentialfläche wird keine
Arbeit verrichtet.
(2.42)
#
!
$
#
"
%
21
2.6. LEITER IM ELEKTRISCHEN FELD
Feld einer geladenen Hohlkugel: Eine Hohlkugel mit Zentrum im Ursprung
hat den Radius R und trägt die Flächenladungsdichte σ. Die Gesamtladung ist
Q = 4πR2 σ. Für eine Kugelfläche r > R gilt
%
" · dS
" = |E|
" 4πr2
E
Φel =
(2.43)
S
Anderseits gilt nach dem Gauß’schen Satz
%
%
" · dS
"=
" · E)
" dV = 1 Q
(∇
E
$0
V
S
(2.44)
und damit wird für r > R
!
! "#
Q
"
E(r)
= fc 2 êR
r
$
Das Feld zeigt radial nach außen. Im Außenbereich wirkt es wie eine Punktladung mit der Ladung Q im Zentrum der Kugel. Die Leiteroberfläche ist Äquipotentialfläche. Das Potential im
Abstand r vom Mittelpunkt ist
φ(r) = fc
Q
r
%
(2.45)
' (
&
Bei vorgegebenem Potential φ(R) nimmt die
Feldstärke an der Oberfläche der Kugel mit
abnehmendem Krümmungsradius zu.
)
&
$
#
"
' (
&
Eine geschlossene Fläche im Inneren der Kugel
umschließt keine Ladungen. Die Feldstärke im In" < R) = 0), das Potential im
neren ist Null (E(r
Inneren konstant gleich dem Potential der Kugeloberfläche.
#
$
&
Der Feldstärkesprung an der Hohlkugeloberfläche von |E| = 0 im Inneren auf
den Wert |E| = fc Q/R2 = σ/$0 auf der Kugeloberfläche aussen, entspricht der
Flächenladungsdichte auf der Hohlkugel, σ = Q/(4πR2 ) (siehe auch Seite 17).
2.6
Leiter im elektrischen Feld
Im einem Leiter gibt es frei bewegliche La" verschiebt
dungen. Die Kraft F" = q E
diese Ladungen bis sich ein Gegenfeld
aufbaut, welches das äußere Feld gerade
kompensiert. Als Folge davon ist das Innere von Leitern (in Abwesenheit eines
Stromflusses) feldfrei, die Ladungen sitzen auf der Oberfläche des Leiters (Faraday Käfig).
Die Ladungsverschiebung heißt Influenz.
! " #$ % " & " '
( " )*" '
+ & ! " #$ % " & " '
( " )*" '
22
Versuche zur Ladungstrennung und zum Ladungstransport :
• Zwei Metallplatten berühren sich im Feld eines Plattenkondensators Sie
werden mit isolierten Handgriffen getrennt, und einem Elektroskop wird
die Ladung +Q und −Q übertragen.
!
"
!
"
"
!
"
!
"
"
!
"
# $ % !
"
!
"
!
!
!
"
• Nach Trennung der Metallplatten entsteht ein feldfreies Gebiet zwischen
den Platten.
• Becher-Elektrometer: Bei Aufbringen der Ladung von Außen ist nur die
Maximalspannung der Ladungsquelle ereichbar (Bild links). Es kommt zu
einer Ladungsteilung zwischen den sich berührenden Leitern (=gleiches
Potential) gemäß ihrer Kapazität Ladung zu tragen.
!
!
!
!
"
!
!
!
"
!
"
!
"
!
!
!
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"
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" !
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!" # $% &# '
!
!
!
!
!
" !
" !
!
!
!
" !
"
!
!
!
!
• Becher-Elektrometer: Einbringen einer Ladung liefert Ausschlag ohne Berührung. Eine Aufladung des Bechers auf beliebig hohe Spannung ist
möglich, wenn die Ladung innen (über Berührung) eingebracht wird. Der
Innenraum bleibt dabei feldfrei. (Prinzip des Van-de-Graff Generators).
• Der endliche Isolationswiderstand erlaubt den Ladungsabfluss und begrenzt so die maximal erreichbare Spannung.
.