Dreiecke

Geometrie Modul 4b
WS 2015/16
Mi 10-12 HS 1
Benötigte Materialien: Geometrieheft – DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock,
rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere
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28.10. V1
04.11. V2
Geometrische Grundbegriffe
Grundkonstruktionen und Bestimmungslinien
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11.11. V3
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18.11. V4
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25.11. V5
02.12. V6
09.12. V7
Dreiecke und ihre Eigenschaften (Winkel, Kongruenzsätze,
Linien/Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze)
Vierecke und ihre Eigenschaften (Typisierung, besondere Vierecke,
Haus der Vierecke, Symmetrien)
Dreiecke (Flächensätze, Ähnlichkeit)
Vielecke (Sätze, Winkel, Symmetrien, Beziehungen zum Kreis)
Kreis (Geraden, Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze)
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16.12. V8
13.01. V9
Kongruenzabbildungen - Symmetrie
Flächeninhalt und Umfang von Vielecken und Kreisen
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20.01. V10
Typisierung von Körpern (Quader, Prismen, Spitzkörper, Platonische
Körper, Kugel)
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27.01. V11
Rauminhalt von Körpern (Rauminhalt von Prismen und Spitzkörpern,
Rauminhalt und Oberfläche der Kugel)
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03.02. V12
Zusammenfassung
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12.02. (Freitag)
14-16 Uhr, Klausur (HS 1, HS 2)
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V3 Dreiecke und ihre Eigenschaften
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1 Begriffe und Bezeichnungen
2 Winkel im Dreieck
3 Die vier Kongruenzsätze
4 Besondere Linien im Dreieck
5 Praxiskurs Dreiecke
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(1) Begriffe und Bezeichnungen
• Liegen drei Punkte A, B, C einer
Ebene nicht auf einer Geraden
und verbindet man sie durch
Strecken miteinander, so entsteht
ein Dreieck (ABC).
• Die miteinander verbundenen
Punkte nennt man die Ecken, die
sie verbindenden Strecken die
Seiten des Dreiecks.
• Die Strecken AB, BC und CA
bilden zusammen mit den
Punkten im Innern die Fläche des
Dreiecks.
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Man unterscheidet
Dreiecke sowohl nach der
Größe ihrer Winkel als
auch nach der Länge ihrer
Seiten.
• rechtwinklige,
spitzwinklige und
stumpfwinklige Dreiecke
• gleichseitige,
gleichschenklige,
ungleichseitige Dreiecke
• Gleichseitige Dreiecke
sind spitzwinklige
Dreiecke.
• Gleichschenklige
Dreiecke können
spitzwinklig,
stumpfwinklig und
rechtwinklig sein.
• Ungleichseitige Dreiecke
können ebenso
spitzwinklig,
stumpfwinklig und
rechtwinklig sein.
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Quelle: Kusch/Glocke. Geometrie und Trigonometrie. 2008
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Gleichschenklige Dreiecke sind
achsensymmetrisch.
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(2) Winkel im Dreieck
Die Summe der
Größen der
Innenwinkel im
Dreieck beträgt 180°.
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c
Die Summe der Größen der
Innenwinkel eines Dreiecks
beträgt 180°.
Vor.: α, β, γ sind Innenwinkel eines
beliebigen Dreiecks ABC.
Beh.: α + β + γ = 180°
Beweis:
• Beweisidee: Man zeichnet zur
Seite c eine parallele Gerade
und versucht den Winkel γ mit
α’ und ß‘ zu einem gestreckten
Winkel (180°) zu ergänzen.
– α‘ = α; Wechselwinkel an
geschnittenen Parallelelen
– β‘ = β; Wechselwinkel an
geschnittenen Parallelen
• Also gilt α + β + γ = 180°, denn
α‘ kann durch α und β‘ kann
durch β ersetzt werden.
Experiment mit Papier
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Außenwinkel
Ein Außenwinkel ist so groß wie die
beiden nicht anliegenden
Innenwinkel.
Die Summe der Außenwinkel beträgt
360°.
• Wenn man die
Dreiecksseiten verlängert,
erhält man zu jedem
Innenwinkel den
dazugehörigen
Außenwinkel.
• Zusammenhänge:
zugrundegelegt: α + β + γ = 180°
(Innenwinkelsumme)
– α1 ergibt zusammen mit α
180°. Da auch γ und β den
Winkel α zu 180° ergänzen,
muss α1 so groß sein wie β
und γ zusammen.
– α + α1 + β + β1 + γ + γ1 = 540°
(Nebenwinkel)
Jetzt könnte man die
Innenwinkelsumme
subtrahieren. Man erhält für
die Summe der Außenwinkel
360°.
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Ein Außenwinkel ist so groß wie die
beiden nicht anliegenden
Innenwinkel.
• Voraussetzung:
– α, β, γ sind Innenwinkel
und α1, β1, γ1 Außenwinkel
eines beliebigen Dreiecks
ABC.
• Behauptung: α1 = γ + β
• Beweis:
–
–
–
–
α + α1 = 180° (Idee)
α + β +γ = 180°
α + α1 = α + β +γ
α1 = β +γ 
Die Summe der Außenwinkel
beträgt 360°.
• Voraussetzung:
– α, β, γ sind Innenwinkel
und α1, β1, γ1 Außenwinkel
eines beliebigen Dreiecks
ABC.
• Behauptung:
– α1 + β1 + γ1 = 360°
• Beweis:
– Idee:
α+α1+β+β1+γ+γ1=540°
– α + β +γ = 180°
– 540° - 180° = 360°
– α1 + β1 + γ1 = 360° 
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(3) Die vier Kongruenzsätze
SSS
SWS
WSW
SsW
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Zusammenfassend:
• Zwei Figuren, die
deckungsgleich aufeinander
gelegt werden können,
heißen kongruent
zueinander, sind kongruente
Figuren.
• Diejenigen Punkte, Seiten,
Stücke zweier kongruenter
Figuren, die aufeinander
fallen, wenn man diese
Figuren aufeinander legt,
werden als einander
entsprechende Stücke
bezeichnet.
• Ein Dreieck ist eindeutig
konstruierbar, also
eindeutig bestimmt, wenn
man über die Längen
seiner Seiten und die
Größen seiner Winkel drei
Angaben hat und wenn
unter diesen drei Angaben
mindestens eine
Seitenlänge ist.
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Bestimmungsstücke
• Um ein Dreieck eindeutig
bestimmen zu können,
benötigt man 3
Bestimmungsstücke.
• Dies spiegelt sich auch in den
Kongruenzsätzen wider.
• Zwei Dreiecke sind zueinander
kongruent, wenn Sie in
– SSS (allen drei Seiten),
– SWS (zwei Seiten und dem
eingeschlossenen Winkel),
– WSW ( einer Seite und den
beiden anliegenden Winkeln),
– SsW (zwei Seiten und dem der
größeren Seite
gegenüberliegenden Winkel)
Konstruktion von Dreiecken
• Alle Konstruktionen, bei denen
die in den Kongruenzsätzen
gegebenen Stücke gegeben
sind, können eindeutig
ausgeführt werden.
übereinstimmen.
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• Die Bedeutung der Kongruenzsätze beruht darauf, dass
beliebige kongruente Figuren jeweils in paarweise
kongruente Dreiecke zerlegt werden können.
• Für die Kongruenz von Dreiecken genügen weniger
Bedingungen als für die Kongruenz weiterer Vielecke.
Gerade durch diese Reduktion von Bedingungen sind
die Kongruenzsätze wichtige Argumentationshilfen.
• Die Kongruenzsätze sind in der klassischen Geometrie
die wichtigsten Beweismittel neben den
Ähnlichkeitssätzen.
Mitschka 1982, S. 83
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S
S
S
S
W
S
15
W
s
W
S
W
S
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Übung
• (SSS) Zeichnen Sie ein Dreieck ABC mit a=5cm,
b=4cm, c=6cm.
• (SWS) Zeichnen Sie ein Dreieck ABC mit
c=3cm, a=4cm, β=70°.
• (WSW) Zeichnen Sie ein Dreieck ABC mit
c=5cm, α=40°, β=30°.
• (SsW) Zeichnen Sie ein Dreieck ABC mit
b=5cm, a=4cm, β=80°.
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4 Besondere Linien (Transversalen) im
Dreieck
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Warum?
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Warum?
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5 Praxiskurs Dreiecke
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• Unregelmäßige Dreiecke
• Gleichschenklige Dreiecke
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• Fazit
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Studienaufgabe zur Vorbereitung auf die Übung
in der Woche vom 16.11. – 20. 11. 2015
• Üben Sie das Zeichnen von Dreiecken nach
den Kongruenzsätzen.
• Skizzieren und falten Sie unregelmäßige,
gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke.
Welche Eigenschaften dieser Figuren lassen
sich an den Modellen für Grund- und
Förderschüler bewusstmachen?
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