Lernhilfe zur Diplomprüfung Elektrodynamik

Lernhilfe zur Diplomprüfung Elektrodynamik
Diese Zusammenfassung wurde für die Vorbereitung auf meine
Diplomprüfung erstellt. Bei Fehlern bitte ich um Korrekturhinweise.
Inhaltsverzeichnis
1 Elektrostatik im Vakuum
1.1 Coulombsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Elektrostatisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Gausches Gesetz (Durchflutungsgesetz) . . . . . . . . . . .
1.3.1 Feldberechnung mit Hilfe des Durchflutungsgesetzes
1.4 Elektrostatisches Potentital . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Elektrischer Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Multipolentwicklung des elektrischen Potentials . . . . . .
1.7 Elektrostatische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Elektrostatik bei Anwesenheit von Leitern (Randwertproblem
statik)
2.1 Potential auf Leitern bekannt . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Bestimmung der Greenschen Funktion . . . . . . . .
2.1.2 Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Gesamtladung auf Leitern bekannt . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
3
3
3
4
4
5
5
der Elektro.
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6
6
6
7
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8
8
8
9
9
4 Magnetostatik
4.0.1 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Magnetfeld stationärer Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Maxwellgleichungen der Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
9
10
3 Elektrostatik in Dielektrika
3.1 Übergangsbedingung für elektrische Felder
3.2 Potentialberechnung . . . . . . . . . . . .
3.3 Elektrostatische Energie . . . . . . . . . .
3.4 Kräfte in dielektrischen Medien . . . . . .
1
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4.2
4.3
4.4
4.5
4.1.2 Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . .
Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Magnetfeld in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Übergangsbedingung der magnetischen Felder
Kräfte und Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . .
Energie des magnetostatischen Feldes . . . . . . . . .
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12
5 Induktionsgesetz - langsam veränderliche Felder
12
5.1 Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6 Elektrodynamik
6.1 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 zeitliche Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Maxwellsche Gleichungen im Fourierraum . . . . . . . .
6.4 Elektrodynamische Potentiale und Eichtransformationen
6.4.1 Lorentz-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Coulomb- oder transversale Eichung . . . . . . . .
6.5 Energiebilanz - Poyntingscher Satz . . . . . . . . . . . .
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16
7 Elektromagnetische Wellen
17
7.1 Elektromagnetische Wellen im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2
1 Elektrostatik im Vakuum
1.1 Coulombsches Gesetz
q1 q2
r1 − r2
1
2
4πε0 |r1 − r2 | |r1 − r2 |
F12 =
Proportional zu r12 , Zentralkraft (∃ Potential), Zweikörperkraft nicht von zusätzlicher
Ladung beeinflusst (Kräfte addierbar, Superposition möglich)
1.2 Elektrostatisches Feld
Abstraktion auf Eigenschaft des Raumes, Feldlinien + → −
E(r) = lim
q→0
F(r)
q
mehrere Punktladungen Qi bei ri
E(r) =
X
Ei (r) =
i
X 1
Qi
r − ri
4πε0 |r − ri |2 |r − ri |
i
kontinuierliche Ladungsverteilung (enthält Spezialfall Punktladungen mit δ-Distribution
ρ(r0 ) = Q1 δ(r0 − r1 ) )
Z
dV 0 ρ(r0 )
Q→
V
1.3 Gausches Gesetz (Durchflutungsgesetz)
Der Fluss des elektrischen Feldes durch eine Oberfläche ist gleich der im Volumen enthaltenen Ladung.
Z
Z
ε0
E(r) df = QV =
ρ(r) dV
(V )
V
Die gesamte Ladungsdichte ist die Quelle des elektromagnetischen Feldes.
ε0 div E(r) = ρ(r)
1.3.1 Feldberechnung mit Hilfe des Durchflutungsgesetzes
nur für hohe Symmetrie praktisch:
• Feld einer geladenen Kugelschale XXX
• Feld eines unendlich langen homogen geladenen Drahtes XXX
• Feld einer unendlich ausgedehnten ebenen homogen geladenen Fläche XXX
3
1.4 Elektrostatisches Potentital
E(r) = −grad ϕ(r)
1
ϕ(r) =
4πε0
mit
Z
dV 0
V
ρ(r)
|r − r0 |
Wegunabhängigkeit des elektrischen Feldes
Z
E(r) dr = 0
(F )
rot E(r) = 0
Dies führt auf die Poissongleichung
ε0 div E(r) = −ε0 div grad ϕ(r) = ρ(r)
∆ϕ(r) = −
ρ(r)
ε0
1.5 Elektrischer Dipol
Dipol bei r0 :
ρD (r) = −p · grad r δ(r − r0 )
1 p · (r − r0 )
ϕD (r) =
4πε0 |r − r0 |3
Elektrisches Feld für Dipol bei r0 = 0:
1
r
1
3(r · p)r
p
ED (r) = −
(p · grad ) 3 =
− 3
4πε0
r
4πε0
r5
r
∼
1
r3
• Energie im äußeren Feld: WD = −pE
• Kraft durch äußeres Feld FD = (pgrad )E
• Drehmoment im äußeren Feld MD = p × Ehomog
• Arbeit einen Dipol zu induzieren WD,gen = 21 pE, gewonnene Gesamtarbeit WD,ind =
− 12 p · E
4
1.6 Multipolentwicklung des elektrischen Potentials
Ziel: Trennung der Quelleigenschaften und des Betrachtungspunktes
∞
1 X Qk1 k2 ...kl
xk1 xk2 . . . xkl
4πε0 l=0 l!r2l+1
ϕ(r) =
1 Q i xi
1 Q
1 1 Qij xi xj
+
+
+ ...
3
4πε0 r
4πε0 r
4πε0 2 r5
= ϕ0 (r) + ϕ1 (r) + ϕ2 (r) + . . .
=
mit folgenden Multipolmomenten
Ladung
1
1 Q
∼
4πε0 r
r
ϕ0 (r) =
mit Ladung Q =
R
Vρ
dV 0 ρ(r0 )
Dipolmoment
ϕ1 (r) =
mit Vektor p =
R
Vρ
1 Q i xi
1 pr
1
=
∼ 2
3
3
4πε0 r
4πε0 r
r
dV 0 ρ(r0 )r0
Quadrupolmoment
ϕ2 (r) =
1 1 Qij xi xj
1 1 Dij xi xj
1
=
∼ 3
5
5
4πε0 2 r
4πε0 2 r
r
mit spurfreiem, symmetrischen Tensor 2. Stufe
Z
dV 0 ρ(r0 )(3x0i x0j − r02 δij )
Dij =
Vρ
1.7 Elektrostatische Energie
Energie zum Aufbau von Ladungsverteilungen (innere WW)
W =
N
X
Wi =
XX
i=1
i
Qi ϕj
j
Z Z
ρ(r)ρ(r0 )
1 1
dV dV 0
=
2 4πε0
|r − r0 |
Z
1
=
dV ϕ(r)ρ(r)
2
Z
1
=
DE dV
2 V∞
5
Wechselwirkungsenergie zweier Ladungsverteilungen (äußere WW, Ladungsverteilung 1
im bereits vorhandenen Potential a)
Z
W =
dV ϕa (r0 )ρ1 (r0 )
V1
Z
Z
ρ1 (r)ρa (r0 )
1
=
dV
dV 0
4πε0 V1
|r − r0 |
Va
2 Elektrostatik bei Anwesenheit von Leitern
(Randwertproblem der Elektrostatik)
Auf Leitern sind die Ladungsträger frei beweglich. Ein elektrisches Feld würde zu einer
Kraft und die wiederum zu einer Bewegung führen, im Leiter darf daher kein Feld existieren. Die Leiteroberfläche ist zudem eine Äquipotentialfläche, womit die E-Feldlinien
senkrecht auf der Leiteroberfläche stehen. Quellen und Senken des Feldes befinden sich
nur auf der Leiteroberfläche (Normalkomponenten von E daher unstetig, Tangentialkomponenten verschwinden).
2.1 Potential auf Leitern bekannt
Raumladungsdichte ρ(r), Geometrie der Leiter und Ladung oder Potential auf den Leitern bekannt.
ρ(r)
∆ϕ(r) = −
ε0
2.1.1 Bestimmung der Greenschen Funktion
Die Greensche Funktion wird bestimmt, indem eine Punktladung in den Raum gesetzt
wird. Damit muss die GF folgende Bedingungen erfüllen:
∆G(r, r0 ) = −
1
δ(r − r0 )
ε0
und G(r, r0 ) = 0 auf dem Rand (Bsp. Kugeloberfläche)
Es bleibt ein geeignetes F zu bestimmen, das folgende Gleichung erfüllt
G(r, r0 ) =
1
1
+ F (r, r0 ) mit∆F = 0
0
4πε0 |r − r |
Für leitenden Halbraum: Ladung r0 = (x0 , y 0 , z 0 ) und Scheinladung bei r0s = (−x0 , y 0 , z 0 ).
Mit diesem Ansatz ergibt sich
1
1
1
GHalbraum =
+
4πε0 |r − r0 | |r − r0s |
6
Für leitende Kugel: Ansatz Spiegelladung in der Kugel, für die gilt:
1
A
+
=0
0
|R − r | |R − r0s |
Es ergeben sich A = − rR0 und r0s =
GKugel
R2 0
r,
r02
insgesamt als Greensche Funktion:
(
)
1
1
R
1
=
−
2
4πε0 |r − r0 | r0 |r − R
r0 |
r02
2.1.2 Potential
Mit dem Geometriekoeffizient Γi (r) = −
erhält man das Potential
0
R
(Vi )
)
df 0 ε0 ∂G(r,r
(zum Beispiel ΓKugel =
∂n0
R
)
r
ϕ(r) = ϕρ (r) + ϕi Γi
Aus dem Potential kann die Oberflächenladungsdichte auf den Leitern bestimmt werden
η = −ε0
∂ϕ(r)
|OF
∂n
und die Gesamtladung auf einen Leiter i
Z
Qi =
ηi df
Li
2.2 Gesamtladung auf Leitern bekannt
Lässt sich auf oberen Fall zurückführen, da über die Ladung Qi und die induzierte
das Potential ϕi jedes Leiters berechnet werden kann.
Ladung Qind
i
X
ϕi =
Cij−1 (Qj − Qind
j )
i
mit
Qind
j
Z
= −ε0
(Vj )
Z
Cij = Cji = −ε0
(Vj )
=
ε20
Z
(Vj )
∂ϕρ (r)
df
=
∂nj
∂Γi (r)
df
∂nj
Z
df df 0
(Vi )
XXX Kapazität S. 95
7
Z
df ηj (r)
(Vj )
∂ 2 G(r, r0 )
∂n0i ∂nj
3 Elektrostatik in Dielektrika
zusätzlich zu externen Ladungen sind Polarisationsladungen als Quellen des Polarisationsfeldes P zu beachten. Man dührt daher neben dem elektrischen Feld mit div E =
ρges = ρext + ρpol noch das dielektrische Feld D mit div D = ρext sowie das Polarisationsfeld P mit div P = −ρpol ein.
rot E = 0
div D = ρext
D(r) = ε0 E + P(r)
Ein Dielektrikum erhöht die externe Ladungsdichte, da für ein konstntes E-Feld die
negativen Polarisationsladungen kompensiert werden müssen.
Verschiebungs- bzw. Orientierungspolarisation in erster Näherung linear und proportional zu E
N p20
E
P = ε0 N αE bzw. P =
3kT
womit eine Vereinfachung möglich wird
D(r) = ε0 E + ε0 χ(r)E = ε0 ε(r)E
Ferroelektrika: spontane Ausrichtung unterhalb Curie-Temperatur ⇒ nicht linear
3.1 Übergangsbedingung für elektrische Felder
An Grenzflächen zwischen ε1 und ε2 sind die tangentiale E- und normale D-Feldkomponente
stetig, die normale E- und tangentiale D-Feldkomponente unstetig. Falls keine externen
Ladungen vorhanden sind, gilt:
Z
.
div D = ρext ⇒
D df = Qext = 0 ⇒ Dn1 − Dn2 = 0
(V )
Z
rot E = 0 ⇒
E dr = 0 ⇒ Et1 − Et2 = 0
(F )
Et1 = Et2
Dt1
Dt2
=
ε1
ε2
und
ε1 En1 = ε2 En2
und
Dn1 = Dn2
3.2 Potentialberechnung
für stückweise konstantes ε:
−ε0 εi ∆ϕ(r) = ρext
8
und zusätzlich zu den Randbedingungen noch die Übergangsbedingungen
Dna − Dni = −ε0 εa
∂ϕa
∂ϕi
+ ε0 εi
= ηext
∂n
∂n
Es ergibt sich die bekannte Lösung für r im i-ten Gebiet
Z
ϕ(r) =
dV 0 ρext (r0 )G(r, r0 )
V
3.3 Elektrostatische Energie
Die Relektrostatische Energie ergibt sich aus Addition der Erzeugungsenergie
R Werz =
2
1
1
ε dV E und der Wechselwirkungsenergie durch induzierte Dipole WP = 2 dV P·E
2 0
mit D = ε0 E + Pzu
Z
1
W =
dV D(r) · E(r)
2
3.4 Kräfte in dielektrischen Medien
XXX
4 Magnetostatik
bewegte Ladungen bezeichnet man als Strom, stationäre Ströme führen zu zeitunabhängigen Magnetfeldern.
Z
j(r) df
und
j(r) = σE(r)
I=
F
4.0.1 Kontinuitätsgleichung
Folgt
aus −δQ
R
R = Iδt oder anders geschrieben Q̇ + I = 0, wenn man zur Integralform
ρ̇(r)dV + j(r) df = 0 übergeht und den Gaußschen Satz anwendet
ρ̇(r, t) + divj(r) = 0
Vergleiche auch Kapitel 6.1
4.1 Magnetfeld stationärer Ströme
Amperesches Gesetz: Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern 1 auf 2, mit
ε0 c2 = µ−1
0
Z Z
1
I1 ds1 × [I2 ds2 × (s1 − s2 )]
F12 =
2
4πε0 c L1 L2
|s1 − s2 |
9
Biot-Savartsches Gesetz: Abstraktion von der Kraft auf Feld-Begriff
Z
Z
µ0
ds × (r − s)
r − r0
µ0
0
0
B(r) =
I
dV
j(r
)
×
=
4π L |r − s|3
4π L
|r − r0 |3
Feld im Mittelpunkt eines stromdurchflossenen Kreisrings mit Radius R ergibt sich
mit ds × (0 − s) = Rdsez = R2 dϕez zu
Z 2π
µ0
R2
µ0 I
BRing (0) =
dϕ 3 ez =
I
ez
4π 0
R
2R
4.1.1 Maxwellgleichungen der Magnetostatik
rot B(r) = µ0 j(r)
Z
B(r) dr = µ0 IF
(F )
div B(r) = 0
Z
B(r) df = 0
(V )
4.1.2 Vektorpotential
Suchen elegantes Verfahren zur Berechnung von B (Erinnerung an E und ϕ)
B = rot A
da div B = 0
⇒ rot B = rot rot A = grad div A − ∆A $ µ0 j
Allerdings sind die Komponenten von A verknüpft, Entkopplung kann durch CoulombEichung erreicht werden (weitere Bedingung durch rot grad = 0 möglich).
div A0 = 0
A0 = A + grad f
Man erhält eine Poissongleichung für jede Komponente des Vektorpotentials A
−∆A = µ0 j
mit der bekannten Lösung
Z
A=
dV 0 G(r, r0 )j(r0 )
V
4.2 Multipolentwicklung
nur bis Dipol, da B-Feld c2 schwächer als E-Feld.
Z
Z
µ0 1
µ0 1
0
0
dV 0 j(r0 )(rr0 ) + . . .
dV j(r ) +
A=
4π r V
4π r3 V
Monopolmoment verschwindet, da div B = 0
10
Dipolmoment
1 m×r
A2 =
4π r3
Magnetfeld eines Dipols
BDipol = rot A =
µ0
mit m =
2
Z
dV 0 [r0 × j(r0 )]
V
[m × r]
1
1 3r(rm) − mr2
rot
=
4π
r3
4π
r5
4.3 Magnetfeld in Materie
Die Wirbel des H-Feldes sind die makroskopischen Ströme, die Quellen des H-Feldes
sind die Senken des Magnetisierungsfeldes M, das B-Feld ist quellenfrei.
rot H = jmakro
div B = µ0 div H + div M = 0
1
H =
[B − M]
µ0
Para- und Diamagnetismus: lineare Näherung
χm
B
M =
χm + 1
1
⇒ H =
B mitµ = χm + 1
µ0 µ
Ferromagnetismus: Feld führt zum Umklappen weißscher Bezirke ⇒ nicht lineare Beschreibung notwendig (Hysteresis)
4.3.1 Übergangsbedingung der magnetischen Felder
Bn1 = Bn2 da div B = 0
Ht1 − Ht2 = [jmakro ]OF da rot H = jmakro
4.4 Kräfte und Drehmoment
Lorentzkraft
F = qE + qv × B = qE + Il × B
Drehmoment
N=m×B
mit Dipolmoment
Z
µ0
r0 × j(r0 ) dV
m=
2
R
R
Für dünne Stromfäden gilt j dV = I dr und r × dr = df, sodass sich ergibt
Z
µ0
m= I
df
2
11
4.5 Energie des magnetostatischen Feldes
analog zur Elektrostatik
Z
1
W =
B · H dV
2 V∞
Z
1
=
dV A · jmakro
2 Vj
Z Z
1 µ0 µ
j
(r0 )jmakro (r)
=
dV dV 0 makro
2 4π Vj Vi
|r − r0 |
Spezialfall: Ströme in dünnen Leitern im Vakuum
Z Z
µ0
1
dsk dsi
= Lki
W = Lik Ii Ik mitLik =
2
4π (Fi ) (Fk ) |si − sk |
andere Darstellung: magnetischer Fluss durch k-te Leiterschleife
Z
Φk = Lik Ii =
dfk B
Fk
5 Induktionsgesetz - langsam veränderliche Felder
Kopplung von E und B berücksichtigen: Ein zeitlich veränderliches B-Feld (Änderung
des magnetischen Flusses Φ) führt zu Wirbeln des E-Feldes.
Z
Z
d
E dr = −
B df
dt F
(F )
d
⇔
Uind = − Φ(t)
dt
In differentieller Form ergibt sich eine Ergänzung zu den Maxwellgleichungen
rot E = −
d
B
dt
Definition von “langsam veränderlich” folgt aus der Annahme | ∂D
| |j| (keine Änderung
∂t
an zweiter MWGL, keine Abstrahlung von Wellen)
σ
ωε
|ω D̄| | D̄| ⇒
1
ε
σ
Mit Induktionsgesetz und der Annahme langsam veränderlicher Felder folgen die Kirchhoffschen Regeln der Elektrotechnik:
Knotensatz: Folgt aus der Maxwellgleichung rot H = j durch
mit
R Divergenzbildung
R
div rot H = 0 und der Integration über ein Volumen 0 = dV div j = df·j = Ik
X
Ik = 0
k
12
Maschenregel:
Folgt aus der Maxwellgleichung rot E = −Ḃ in der integralen Form
R
dr·E = −Φ̇ = Ukind . Nimmt man zusätzlich noch die externen Spannungsquellen
hinzu, so folgt die Maschenregel.
Z
X
∂Ii (t)
E dr +
Lki
= Ukext (t)
0
∂t
Ck
i
5.1 Schwingkreis
XXX
6 Elektrodynamik
zur zweiten MWGL folgt aus der Kontinuitätsgleichung.
Maxwellsche Ergänzung c12 ∂E
∂t
Es ergibt sich das vollständige System der Maxwellschen Gleichungen zu:
rot E = −
∂B
∂t
div B = 0
div [ε0 E + P] = ρext
∂
1
[B − M] = jmakro +
rot
[ε0 E + P]
µ0
∂t
Dazu gehören ferner die Materialgleichungen:
P = P[E, B]
M = M[E, B]
j = j[E, B]
Außerdem werden oft folgende Abkürzungen genutzt. Dabei gilt hinten anstehende Näherung für Verschiebungs- und Orientierungspolarisation sowie para- oder diamagnetische
Medien:
D = ε0 E + P
≈ ε0 εE
1
1
[B − M]
≈
B
H =
µ0
µ0 µ
6.1 Kontinuitätsgleichung
Folgt direkt aus der Maxwellschen Gleichung rot H = j + Ḋ durch Divergenzbildung.
Mit div rot = 0 und div D = ρ erhält man sofort
0 = div j +
13
∂
ρ
∂t
6.2 zeitliche Response
Medien reagieren nicht instantan auf Veränderung der Felder oder (äquivalent) Medien
reagieren frequenzabhängig auf Feldänderungen.
Im folgenden soll zur Vereinfachung ein isotropes lineares Medium mit dielektrischer
Response (R Responsefunktion oder Greensche Funktion) betrachtet werden, dessen
magnetische Eigenschaften für schnelle zeitliche Veränderungen (optischer Bereich) vernachlässigt werden (B = µ0 H, µ = 1).
Z ∞
P(r, t) = ε0
dt0 R(r, t0 ) E(r, t − t0 )
mit R(r, t0 ) = 0 für t0 < 0
| {z }
−∞
Gedaechtnis
Ein endliches Gedächnis führt zu Dispersion (Frequenzabhängigkeit), wie die Fouriertransformation zeigt. (Zusätzliche Bedingung: Felder müssen im Unendlichen verschwinden)
Z ∞
Z ∞
FT
1
dω Ē(r, ω) exp(−iωt)
Ē(r, ω) =
dtE(r, t) exp(iωt)
E(r, t) =
2π −∞
inverse FT
−∞
Analog erhält man im Frequenzraum die komplexe Suszeptibilitätsfunktion χ als Fouriertransformierte der Responsefunktion R. Nur im Frequenzraum ist der Zusammenhang
multiplikativ, im Zeitraum ist eine Faltung nötig.
P̄(r, ω) = ε0 χ(r, ω) Ē(r, ω)
Z ∞
χ(r, ω) =
dt0 R(r, t0 ) exp(iωt0 )
−∞
Eine weitere Zusammenfassung ergibt die komplexe dielektrische Funktion ε̂(r, ω) =
1+χ. Der Realteil von ε̂ kann als Dispersion, der Imaginärteil als Absorption intepretiert
werden. Beide hängen über die Kramers-Kronig-Beziehung zusammen, so dass nur bei
hoher Absorption (Resonanzstellen) eine starke Dispersion auftritt.
D̄(r, ω) = ε0 Ē(r, ω) + P̄(r, ω) = ε0 [1 + χ(r, ω)] Ē(r, ω) = ε0 ε̂(r, ω)Ē(r, ω)
6.3 Maxwellsche Gleichungen im Fourierraum
∂
wird im Frequenzraum zur Multiplikation mit −iω, somit
Die zeitliche Ableitung ∂t
vereinfachen sich die Maxwellschen Gleichungen.


Z +∞
Z +∞
∂

1
∂
1
∂

dt E(r, t) exp(iωt) =
dt 
[E(r,
t)
exp(iωt)]
−E(r,
t)
exp(iωt)
 ∂t |

{z
}
2π −∞
∂t
2π −∞
∂t
| {z }
t→∞
E −→ 0
= −iω Ē(r, ω)
14
iωexp(iωt)
6.4 Elektrodynamische Potentiale und Eichtransformationen
Die homogenen Maxwellgleichungen können durch folgende Potentiale automatisch erfüllt werden:
B(r, t) = rot A(r, t)
∂
E(r, t) = − A(r, t) − grad ϕ(r, t)
∂t
Im Vakuum (µ = ε = 1) bleiben noch folgende Gleichungen zu erfüllen:
ε0 div E = ρ
rot B = µ0 j + ε0 µ0
∂
E
∂t
Durch Einsetzen der Potentiale ergeben sich die gekoppelten Potentialgleichungen:
1 ∂2
1 ∂
∆ − 2 2 A(r, t) − grad div A(r, t) + 2 ϕ(r, t) = −µ0 jmakro (r, t)
c ∂t
c ∂t
∂
ρext (r, t)
∆ϕ(r, t) + div A(r, t) = −
∂t
ε0
Über zwei mögliche Eichungen kann eine Entkopplung erreicht werden.
6.4.1 Lorentz-Eichung
Lösung muss alle drei Gleichungen erfüllen, Lorentzeichung explizit überprüfen
div A(r, t) +
1
.
ϕ(r, t) = 0
2
c
A(r, t) = −µ0 jmakro (r, t)
ρext (r, t)
ϕ(r, t) = −
ε0
Lösung bereits aus E-Statik bekannt (Abstraktion auf allgemeines Problem):
⇒
V (r, t) = −q(r, t)
Z Z
V (r, t) =
dV 0 dt0 G0 (r, r0 ; t, t0 )q(r0 , t0 )
Nun bleibt die Greensche Funktion der zeitabhängigen Wellengleichung zu bestimmen
⇒
G0 (r, r0 ; t, t0 ) = −δ(r − r0 )δ(t − t0 )
Z ∞Z ∞
1
c2
0
0
0
0
G0 (r, r ; t, t ) =
dV
dω
eik(r−r ) e−ω(t−t )
k
2 2
4
2
(2π) −∞ −∞
k c −ω
15
Die Integrale können über Betrachtungen der Funktionentheorie (analytische Fortsetzung für ω) aufgelöst werden, sodass sich eine retardierte Greensche Funktion (erfüllt
Kausalitätsforderung: Ursache vor Wirkung) für natürliche Randbedingungen ergibt
|r − r0 |
1
0
0
0
δ t−t −
Gret (r, r ; t, t ) =
4π|r − r0 |
c
und man erhält die retardierten Potentiale, die Lorentzinvariant sind und damit der
ART genügen (Signalausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit)
|r−r0 |
0
Z ∞
ρext r , t − c
1
ϕ(r, t) =
dV 0
4πε0 −∞
|r − r0 |
|r−r0 |
0
Z ∞
j
r
,
t
−
makro
c
µ0
A(r, t) =
dV 0
0
4π −∞
|r − r |
6.4.2 Coulomb- oder transversale Eichung
.
div A(r, t) = 0
ρext (r, t)
ε0
A(r, t) = −µ0 [jmakro (r, t)]transversal
∆ϕ(r, t) = −
Es ergibt sich folgende Lösung
Z
ρext (r, t0 )
1
dV 0
ϕ(r, t) =
4πε0 V
|r − r0 |
h
i
|r−r0 |
0
Z
jmakro r , t − c
µ0
transversal
dV 0
A(r, t) =
4π v
|r − r0 |
6.5 Energiebilanz - Poyntingscher Satz
rot E +
−
∂
B = 0
∂t
∂
D + rot H = j
| ·E
∂t
div (E × H) = H · rot E − E · rot H
∂
∂
D + H B + div (E × H) = −jE
∂t
∂t
Mit dem Poyntingvektor
S(r, t) = E(r, t) × H(r, t)
⇒
E
ergibt sich
E
| ·H
∂
∂
D + H B + div S = −jE
∂t
∂t
16
Im Vakuum oder Medium ohne Dispersion erhält man mit D = ε0 ε(r)E und B =
µ0 µ(r)H eine lokale Energiebilanz
∂
w(r, t) + div S(r, t) = −j(r, t)E(r, t)
∂t
∂
∂ 1
mit der Energiedichte ∂t
w = ∂t
ε εE2 + 21 µ0 µH2 = EḊ + HḂ
2 0
Für dispersive / absorbtive Medien ist diese einfache Betrachtung nicht mehr möglich. Man muss das zeitliche Mittel betrachten, vereinfacht für Monochromasie
ω = ω0
1 ∗
∗
div hSi = − ω0 =(Ē P̄) + =(H̄ M̄) − hjEi
2
Wird ein schmaler Frequenzbereich ∆ω mit ω0 ∆ω betrachtet, so kann das
Verfahren Fouriertransformierte der langsamen Amplitude eine Näherungslösung
liefern. In erster Näherung ergibt sich
hE
∂
∂
D + H Bi =
∂t
∂t
ε0 ω0 =ε(r, ω0 )hE2 (r, t)i
+ µ0 ω0 =µ(r, ω0 )hH2 (r, t)i +
∂
hw(r, t)i
∂t
Als wichtiges Ergebnis hängt der lokale Energieverlust/-gewinn mit =ε und =µ
zusammen, sprich der Absorption im Medium.
7 Elektromagnetische Wellen
7.1 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
Die Maxwellschen Gleichungen
rot E = −Ḃ
rot H = j + Ḋ
div D = ρ
div B = 0
werden im Vakuum durch Fehlen von Ladungen, Strömen, Polarisations- und Magnetisierungseffekten deutlich vereinfacht, so dass sich mit D = ε0 E, B = µ0 H und µ0 ε0 = c−2
eine Wellengleichung ergibt.
rot E = −Ḃ
rot rot E = −rot Ḃ
−2
grad div
| {zE} −div grad E = −c Ë
=0
∆E =
17
1
Ë
c2
mit dem Ansatz für ebene Wellen E(r, t) = E0 (k) exp (ikr − iωt) erhält man die Dispersionsrelation k(ω)
ω2
k2 = 2
c
18