Elektrizitätslehre

Vorlesungsskript
GRUNDKURS EXPERIMENTALPHYSIK
Prof. Dr. Frank Richter
Skript angefertigt von cand. phys. Stefan Welzel
Technische Universität Chemnitz
Fakultät für Naturwissenschaften
Institut für Physik
Vorwort
VORWORT
Das vorliegende Skript basiert auf der Vorlesung in Experimentalphysik für Studenten des 1. und 2. Semesters des Diplomstudiengangs Physik. Die Vorlesung ist, anschließend an eine Einleitung, in vier große Teilbereiche gegliedert:
•
Mechanik
•
Thermodynamik
•
Elektrizitätslehre
•
Optik
Zur besseren Orientierung finden sich am Rand folgende Symbole:
!
Definitionen/Merksätze
n
Beispiele
u
Kommentare/Interpretationen/Diskussionen
SI
Definition von Einheiten nach dem SI-System
(..)
Gleichungsnummerierung
Nebenrechnung
Wird im Rahmen der Erläuterungen auf eine Gleichung aus einem vorangegangenen
Kapitel Bezug genommen, so geschieht dies durch Voranstellen der jeweiligen Kapitelnummer vor die entsprechende Gleichungsnummer (z.B. verweist die Angabe
„(11 - 6)“ auf Gl. (6) in Kapitel 11)
Desweiteren werden im Text wichtige physikalische Grundbegriffe gesondert hervorgehoben, die dann auch im Sachregister aufgelistet sind.
Weitere im Text verwendete Symbole sind:
⇒
<..>
{..}
Schlussfolgerungen
Verweis auf andere Kapitel
Quellenangabe
I
Inhaltsverzeichnis
INHALTSVERZEICHNIS
VORWORT...................................................................................................................I
INHALTSVERZEICHNIS.............................................................................................. II
D.
ELEKTRIZITÄTSLEHRE ................................................................................... 1
25.
Elektrostatik ...................................................................................................................... 2
25.1.
25.2.
25.3.
25.4.
Elektrische Ladungen.......................................................................................................... 2
Elektrisches Feld ................................................................................................................. 3
Spannung und Potential....................................................................................................... 6
Der elektrische Dipol .......................................................................................................... 9
26.
Gleichstrom...................................................................................................................... 12
26.1.
26.2.
26.3.
26.4.
Stromstärke ....................................................................................................................... 12
OHMsches Gesetz und einfache Stromkreise .................................................................... 13
Leitungsmechanismus ....................................................................................................... 16
Energie und Leistung elektrischer Ströme ........................................................................ 18
27.
Leiter im elektrischen Feld............................................................................................. 19
27.1.
27.2.
27.3.
27.4.
27.5.
Grundsätzliches ................................................................................................................. 19
Influenz ............................................................................................................................. 22
Kapazität ........................................................................................................................... 23
Kondensator im Stromkreis............................................................................................... 26
Energie von Ladungsverteilungen..................................................................................... 28
28.
Isolatoren im elektrischen Feld...................................................................................... 30
28.1.
28.2.
28.3.
28.4.
28.5.
28.6.
Die Verschiebungsdichte .................................................................................................. 30
Einige grundlegende Experimente .................................................................................... 30
Interpretation der Ergebnisse ............................................................................................ 33
Mechanismen der dielektrischen Polarisation................................................................... 36
Energiedichte des elektrischen Feldes im Dielektrikum................................................... 38
Piezoelektrizität und Elektrostriktion; Ferroelektrizität.................................................... 40
29.
Grundlegendes zu Magnetfeldern ................................................................................. 43
29.1.
29.2.
29.3.
29.4.
29.5.
29.6.
29.7.
29.8.
Die LORENTZ-Kraft ........................................................................................................... 43
Kräfte auf Ströme im Magnetfeld ..................................................................................... 44
Magnetfeld eines geraden Leiters ..................................................................................... 46
Einige allgemeine Eigenschaften des Magnetfeldes ......................................................... 47
Die magnetische Feldgröße H........................................................................................... 49
Ursachen von Magnetfeldern ............................................................................................ 49
Der Satz von BIOT-SAVART .............................................................................................. 52
Bewegte Bezugssysteme ................................................................................................... 53
II
Inhaltsverzeichnis
30.
Induktion.......................................................................................................................... 56
30.1.
30.2.
30.3.
30.4.
Grundlegende Experimente............................................................................................... 56
Rolle der LORENTZ-Kraft, LENZsche Regel und anderes .................................................. 58
Induktivität; Spule im Stromkreis ..................................................................................... 61
Energiedichte im Magnetfeld............................................................................................ 65
31.
Magnetische Materialien ................................................................................................ 67
31.1.
31.2.
31.3.
31.4.
31.5.
31.6.
Magnetisierung.................................................................................................................. 67
Diamagnetismus und Paramagnetismus............................................................................ 71
Ferromagnetismus ............................................................................................................. 72
Eisenjoche und Elektromagnete........................................................................................ 74
Struktur der Ferromagnetika ............................................................................................. 75
Antiferro- und Ferrimagnetismus...................................................................................... 77
32.
Wechselstrom I ................................................................................................................ 78
32.1.
32.2.
32.3.
32.4.
32.5.
32.6.
32.7.
Erzeugung von Wechselströmen....................................................................................... 78
Effektivwerte von Strom und Spannung ........................................................................... 80
Wechselstromwiderstände................................................................................................. 82
Beispiel: R und L in Reihe ................................................................................................ 86
Wechselstromkreise und komplexe Zahlen ...................................................................... 89
Blind-, Schein- und Wirkleistung ..................................................................................... 93
Skineffekt .......................................................................................................................... 94
33.
Wechselstrom II .............................................................................................................. 96
33.1.
33.2.
33.3.
33.4.
Siebkette und Sperrkreis ................................................................................................... 96
Drehstrom........................................................................................................................ 100
Der Transformator........................................................................................................... 102
Elektrische Maschinen .................................................................................................... 103
34.
Elektromagnetische Wellen.......................................................................................... 106
34.1.
34.2.
34.3.
34.4.
34.5.
34.6.
Die MAXWELLschen Gleichungen................................................................................... 106
Elektromagnetische Wellen: Einführung ........................................................................ 108
Ebene Elektromagnetische Wellen ................................................................................. 108
Energiedichte und Energieströmung ............................................................................... 112
Der Dipoloszillator.......................................................................................................... 114
Wellengleichung ............................................................................................................. 118
LITERATURLISTE.....................................................................................................IV
QUELLENVERZEICHNIS ............................................................................................ V
PHYSIKALISCHES BEGRIFFSSYSTEM ......................................................................VI
SACHREGISTER ...................................................................................................... VII
III
Wärmelehre
D. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
Elektrizitätslehre – Elektrostatik
25.
Elektrostatik
25.1.
Elektrische Ladungen
−
Es gibt zwei Arten elektrischer Ladung: positive und negative
−
Ladung ist gequantelt. Kleinste Einheit ist die Elementarladung e
e = 1,602 ⋅ 10 −19 C
!
!
(1)
−
Maßeinheit für die elektrische Ladung Q ist das Coulomb: [Q] = A ⋅ s ≡ C
SI
−
Beispiele: Elementarteilchen
·
Elektron, negativ
·
Proton, positiv
·
Quarks (bisher nicht als einzelne Teilchen isolierbar)
n
−
Ladung bleibt im abgeschlossenen System stets erhalten. Geladene Teilchen
behalten ihre Ladung (trivial).
q e = −e
q P = +e
1
2
q Q = e bzw. e
3
3
!
Bei Elementarteilchenreaktionen entstehen immer paarweise 1 x (+e) und 1 x (-e), z.B.
(hochenergetisch)
Elektron Positron
sogenannte Paarbildung:
e− + e+
γ
→
0
→
−1 + 1 = 0
Gesamtladung:
−
Die elektrische Kraft zwischen zwei geladenen Teilchen ist ca. 1040-mal größer
als die Gravitationskraft.1
−
Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab:
!
Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an:
!
−
Kraft zwischen zwei Ladungen Q1 und Q2
(COULOMBsches Gesetz):
r Q1Q 2 rr
F=
⋅
4πε 0 r 2 r
ε0 ... Influenzkonstante (ε0 = 8,8542 ž 10-12 AsžV-1m-1)
1
(2)
Daraus folgt sofort, dass auch „elektrisch aufgeladene Körper“ nur eine relativ geringe Nettoladung besitzen.
2
Elektrizitätslehre – Elektrostatik
Kommentar:
·
Gl. (2) ist zunächst die Kraft auf Q2. Die Kraft auf Q1 ist dem entgegengesetzt (actio = reactio).
r
r
Fr ~
r
r
F~ −r
·
gleichnamige Ladungen
ungleichnamige Ladungen
·
analog zur Gravitation (Gl. (5 - 4)) ist:
u
⇒ Abstoßung
⇒ Anziehung
r
F ~ Q1 ⋅ Q 2
r 1
F~ 2
r
r rr
F~
r
·
25.2.
−
1
(analog zur Gravitationskonstanten γ!) er4πε 0
gibt sich aus den verwendeten Maßeinheiten.
1
, dafür wird Q in elektrostatiBei Formeln im cgs-System fehlt das
4πε 0
schen Einheiten gemessen (teilweise in amerikanischer Literatur!).
Der Proportionalitätsfaktor
Elektrisches Feld
Wiederum analog zur Gravitation (vgl. <5.2.>) ist es oft zweckmäßig, die Feldstärke zu betrachten.
r r
r
Wenn auf die Ladung Q am Ort r die Kraft F( r ) wirkt, heißt das, dass dort die
r r
elektrische Feldstärke E ( r ) herrscht.
r r
r r
F( r )
E( r ) =
Q
!
(3)
Mit anderen Worten: Die Kraft auf eine Ladung Q ergibt sich dann aus
r r
r r
F( r ) = Q ⋅ E ( r )
−
(4)
In diesem Sinne erhält man durch Vergleich mit Gl. (2):
r
r r
Q1 r
E1 ( r ) =
⋅
4πε 0 r 3
(5)
r r
r r r
E 1 ( r ) ist das Feld der Ladung Q1 am Ort r . E 1 ( r ) ⋅ Q 2 ist dann die Kraft auf Q2.
3
Elektrizitätslehre – Elektrostatik
−
Der Feldbegriff ist natürlich vor allem dann nützlich, wenn man nicht zwei einzelne Ladungen hat, sondern eine (Punkt-)Ladung im Feld einer komplizierten
Ladungskonfiguration:
Dann berechnet man ein für
allemal die Feldverteilung im
Raum R und erhält an jedem
Punkt die Kraft auf q, ohne
jedesmal die verschiedenen
Kräfte überlagern zu müssen.
−
Setzt man in Gl. (3) die SI-Einheiten ein, so zeigt sich für die
Maßeinheit:
[E] =
N V
≡
C m
⇒
V=
N ⋅ m J [W]
= =
C
C [Q]
SI, (6)
Die Maßeinheit Volt hat also etwas mit Energie pro Ladung zu tun!
−
Beispiel: 3 Ladungen (+3e, -2e, -1e)
n
Konvention: Feldlinien gehen von + nach -.
!
Der elektrische Fluss Φ durch eine Fläche beschreibt die „Anzahl der Feldlinien“, die diese Fläche durchdringen.
!
a) Feld senkrecht zur Fläche A:
⇒ dΦ =
Φ=
E ⋅ dA
∫ E ⋅ dA



(7)
Fläche
4
Elektrizitätslehre – Elektrostatik
b) Feld schräg zur Fläche A (jedoch gleiche Feldliniendichte wie im Fall a)):
Durch die Neigung reduziert sich
die „Dichte der Durchstoßpunkte“
in der Fläche!
⇒ dΦ = E ⋅ dA ⋅ cos α
(8)
r
Dabei ist α der Winkel zwischen der Oberflächennormale A und der Richr
tung des elektrischen Feldes E . Es gibt zwei Grenzfälle:
·
α = 0° ⇒ Gl. (7)
·
α = 90° ⇒ es tritt kein Feld durch die Fläche
Gl. (8) können wir auch als Skalarprodukt schreiben, wenn wir dA als
Vektor dA betrachten:
·
Richtung v dA
≡ Oberflächennormale
·
Betrag von dA
= Größe des Flächenelementes | dA |= dA
(
)
Damit wird Gl. (8) zu:
dΦ =
Φ=
r
E ⋅ dA
r
∫ E ⋅ dA



(9)
Fläche
Wir betrachten nun eine geschlossene Fläche um ein bestimmtes Volumen
und es zeigt sich, dass für geschlossene Flächen gilt:
Φ geschl. =
Fläche
r
1
E
∫ ⋅ dA = ε 0 ⋅ Q ges,im Volumen
Fläche
â
geschlossene Fläche
um das Volumen V
ρ ... Ladungsdichte
ä
1
=
⋅ ∫ ρ ⋅ dV
ε 0 Volumen
(10)
â
Volumen, dass von der
Fläche umschlossen wird
Mathematisch ist dies der Integralsatz von GAUß-OSTROGRADSKI.
Diskussion:
·
·
u
Anhand des Feldlinienbildes zu Beginn dieses Beispiels wird plausibel, dass
sich die elektrischen Flüsse Φ(AI), Φ(AII) und Φ(AIII) wie -2:+3:-1 verhalten, also wie die Ladungen.
Geschlossene Flächen, die keine Ladung enthalten, führen lt. Gl. (10) auf Φ = 0.
Dies ist plausibel, da jede Feldlinie, die in das Volumen hineinfließt, auch
wieder herausgeht, d.h. Φ(A0) = 0.
5
Elektrizitätslehre – Elektrostatik
25.3.
−
Spannung und Potential
Ein elektrostatisches System (d.h. irgendeine Anordnung von Ladungen im
r r
Raum) ist also charakterisiert durch ein elektrisches Feld E ( r ) .
r r
r r
r r
r r
E( r ) = E x ( r ) ⋅ i + E y ( r ) ⋅ j + E z ( r ) ⋅ k
(11)
r r
r
r
d.h. für jeden Punkt r gibt es einen Feldstärkevektor E ( r ) , der, falls sich bei r
eine Ladung q befindet, gemäß Gl. (4) die Kraft auf diese Ladung festlegt.
−
−
Wir wollen jetzt - analog zum Gravitationspotential, das gleichzeitig mit dem
Gravitationsfeld existiert und die potentielle Energie festlegt (vgl. <5.3.>) - das
elektrostatische Potential herleiten.
r r
Das Verschieben der Ladung q im Feld E ( r ) um dr erfordert den Arbeitsaufwand
Arbeit = Kraft ⋅ Weg
r
r
dW =
- F ⋅ dr = −q ⋅ E ⋅ dr
â
r
=F
Kommentar (zum Vorzeichen):
r
r
r
·
Wenn F in die Richtung wirkt, in die man bewegt, also F ↑↑ dr ( F ~ dr ),
braucht man nicht zu schieben, sondern die Ladung bewegt sich von allein.
⇒ es muss „negative Arbeit aufgebracht werden“, d.h. es wird Arbeit frei.
r
r
·
Für „Bewegung gegen Widerstand“, also F ↑↓ dr , wird F ⋅ dr < 0
⇒ also dW > 0, d.h., man muss Arbeit aufwenden.
−
(12)
u
Betrachtung einer makroskopischen Bewegung
r
r
von r1 nach r2 :
aus Gl. (12) folgt:
r
r2
r
r
r1
r
r1
r2
r
r
W12 = − ∫ F ⋅ dr = −q ⋅ ∫ E ⋅ dr
−
r
r2
Es zeigt sich, dass
r
∫r E ⋅ dr
- wie beim Gravitationspotential1 - unabhängig vom
r1
(13)
!
Weg ist, also nur von Anfangs- und Endpunkt abhängt.
r
r
Wir definieren die (elektrostatische) Potentialdifferenz U12 zwischen r1 und r2 .
r
r
Diese Potentialdifferenz heißt auch „Spannung zwischen den Punkten r1 und r2 “.
1
Das elektrostatische Feld ist auch ein Zentralfeld (vgl. <4.2.>)!
6
Elektrizitätslehre – Elektrostatik
r
r2
r
U12 = − ∫ E ⋅ dr
(14)
r
r1
−
r
r
Die aufzuwendende Arbeit für die Verschiebung r1 → r2 folgt also einfach zu
Arbeit = ∆E pot
= q ⋅ U12
W12
−
(15)
r
Gl. (14) liefert die Gestalt des Potentialgebirges U( r ) im ganzen Raum, wenn
r
r
man z.B. r1 festhält und r2 über den ganzen Raum variiert.
Die absolute Höhe des Potentials erhält man nicht und diese ist auch physikalisch unerheblich und frei wählbar.
−
In der Regel wird das Potential so gewählt, dass es für unendlich weit entfernte
Punkte gleich Null wird.
!
Beispiel: Wir sehen uns das Potential einer Punktladung an.
n
·
Hier ist (in skalarer Schreibweise)
E(r ) =
·
Q
4πε 0 r 2
(5‘)
Jetzt rechnen wir für diesen Fall Gl. (14) aus
U12 = U(r2 ) − U(r1 )
r2
Q
dr
2
r1 4πε 0 r
= −∫
Q
=−
4πε 0
=−
Q
4πε 0
r2
1
∫ r2
dr
r1
r
 1
2
−
−
C

 r
 r1

1
 Q
Q⋅C   Q
Q⋅C 
 − 

= 
+
+
 4πε 0 r2 4πε 0   4πε 0 r1 4πε 0 
=
U(r2 )
–
U(r1 )
Also zunächst ist
U(r ) =
1
wegen
Q 1

 + C
4πε 0  r

d  1
 1
 − − C1  = 2
dr  r
 r
7
Elektrizitätslehre – Elektrostatik
Wir setzen aber C = 0, damit sich für r → ∞ U = 0 ergibt.
⇒ Das Potential einer Punktladung Q beträgt somit
U(r ) =
·
Q
4πε 0 r
(16)
Zwischen U(r) und E(r) besteht der Zusammenhang
−
dU
Q
d 1
=−
⋅
dr
4πε 0 dr r
Q  1
⋅− 
4πε 0  r 2 
Q
dU
=−
=E
−
dr
4πε 0 r 2
=−
−
(17)
Im allgemeinen Fall ergibt sich anstelle von Gl. (17)
r
E = − grad U
−
(18)
Wir betrachten Flächen konstanten U’s (Äquipotentialflächen)
grad U ist ein Vektor, der
die Richtung des Anstiegs
von U angibt.
!
r
⇒ E steht senkrecht auf
den Äquipotentialflächen und zeigt in Richtung fallenden U‘s
Ergänzung für die Spezialisten
−
!
Wir betrachten Gl. (10) für den Fall, dass das Volumen, um das herum integriert
wird, nur noch ein kleines dV ist.
Für diesen Grenzfall gilt:
r
r
E
⋅
dA
≡
div
E
⋅ dV
∫
"um dV− Würfel
herum"
8
Elektrizitätslehre – Elektrostatik
r
Mit der so definierten Divergenz des E -Feldes folgt aus Gl. (10)
r
1
1
div E ⋅ dV =
⋅ dQ =
⋅ ρ ⋅ dV
ε0
ε0
dQ
ρ=
... Ladungsdichte
dV
(19a)
Aus Gl. (18) folgt zunächst
r
div E = − div grad U ≡ − ∆U
(19b)
Dabei ist ∆ der sogenannte Laplace-Operator, eine Abkürzung für
∆ ≡ div grad =
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Aus Gl. (19a) und Gl. (19b) erhält man
− ∆U
=
ρ
ε0
(20)
Gl. (20) heißt POISSON-Gleichung.
25.4.
Der elektrische Dipol
−
... ist ein Paar gleichgroß-entgegengesetzter, miteinander verbundener Ladungen.
−
r
Man definiert das Dipolmoment p als
r r
p = l ⋅q
r
l ... Vektor von -q nach +q
(Konvention)
−
Das Dipolmoment ist also umso größer, je größer |±q| ist und je weiter die Ladungen voneinander entfernt sind.
−
Der elektrische Dipol ist eine Abstraktion. Dipole
gibt es aber auch in der Realität, z.B. das HFMolekül
!
(21)
!
!
(Wegen dessen größerer Elektronegativität verschiebt sich der Schwerpunkt der
Elektronenwolke zum Fluoratom hin, wodurch das Molekül Dipolcharakter erhält.)
9
Elektrizitätslehre – Elektrostatik
−
Das elektrische Feld eines Dipols ist die vektorielle Überlagerung der Felder von -q und +q
r
zum resultierende Feld E dip
−
r
Insgesamt sieht das Dipolfeld etwa so aus (rotationssymmetrisch um l ):
−
Befindet sich der Dipol in einem äußeren Feld so ergibt sich folgende Konstellation:
Die dargestellten Kräfte ergeben sich mit Gl. (4) bzw. leiten sich aus der Vorr
stellung ab, dass das E -Feld von externen Ladungen herrühren könnte, die anziehen oder abstoßen.
Die beiden Kräfte versuchen den Dipol
r
|| E zu drehen:
−
r
r
Im homogenen Feld ist F− = F+ und die beiden Kräfte bilden ein Drehmoment:
r r
M = l ×F
(9 - 5)
10
Elektrizitätslehre – Elektrostatik
r
r
l tritt hierbei an die Stelle von rSP in Gl. (9 - 5).
r
r
Mit F = q ⋅ E folgt dann
r
r r
r
M = l ×q⋅E = q⋅ l ×E
ær
p
r r
M = p×E
−
(22)
Wenn das Feld inhomogen ist, erfahren die Ladungen unterschiedliche Kräfte, d.h.
r
r
F+ und F− bilden ein Drehmoment M und eine resultierende Kraft.
⇒ Drehung (Ausrichtung) und Bewegung des Dipols
Beispiel: Dipol im Feld einer (großen) Punktladung nach der Ausrichtung
n
Wegen Gl. (5) mit
r
1
E ~ 2
r
wird die negative Ladung (-)
stärker angezogen als die positive (+) abgestoßen wird
⇒ Der Dipol bewegt sich nach
rechts!
11
Elektrizitätslehre – Gleichstrom
26.
Gleichstrom
26.1.
Stromstärke
−
Während der Zeit dt fließe durch den Querschnitt eines Leiters die Ladung dQ ⇒ es
herrscht die Stromstärke
I=
Maßeinheit:
dQ
dt
[ I] = A =
(1)
As C
=
s
s
SI
Die Maßeinheit Ampere entspricht also dimensionsmäßig Ladung pro Zeit.
−
Wenn man bedenkt, dass Ströme fließende Ladungen sind und Ladungen erhalten
bleiben, ergibt sich regelrecht trivial die KIRCHHOFFsche Knotenregel:
An jedem Knoten einer Schaltung muss ebensoviel Ladung zu- wie abfließen.
Die Summe aller Ströme ist Null.
∑ Ii = 0
(2)
i
−
!
Wir wissen, dass die elektrostatische Potentialdifferenz unabhängig vom Weg ist
(vgl. <25.3.>). Dies gilt auch in einer elektrischen Schaltung
U AB ( Weg I) = U AB ( Weg II)
(3)
⇒ damit folgt sofort
U AB ( Weg I) − U AB ( Weg II) = 0
(4)
å
Dies ist die Summe der Spannungsabfälle längs einer geschlossenen Masche!
Gl. (4) ist eine Form der KIRCHHOFFschen Maschenregel:
Die Summe aller Spannungsabfälle längs einer geschlossenen Masche („um eine Masche vollständig herum“) ist Null. Dies gilt auch, wenn Spannungsquellen
in der Masche enthalten sind!
∑ Ui = 0
i
!
(5)
12
Elektrizitätslehre – Gleichstrom
−
Strom hat eine magnetische Wirkung, d.h., um einen
stromdurchflossenen Leiter herum existiert ein Magnetfeld.1
!
Und es gilt: Magnete ziehen sich an oder stoßen sich ab.
⇒ Stromdurchflossene Leiter üben anziehende oder abstoßende Kräfte aufeinander aus.
Prinzipdarstellung:
a)
b)
Über diese Kraft ist das Ampere definiert: Wenn bei Anordnung a) mit einem
Drahtabstand von 1 m eine Kraft von 2 ž 10-7 N pro 1 m Drahtlänge herrscht,
entspricht dies der Stromstärke von 1 A.
26.2.
−
!
OHMsches Gesetz und einfache Stromkreise
Bei vielen wichtigen Leitern (Metalle, Elektrolytlösungen) wird Proportionalität
zwischen Strom und angelegter Spannung beobachtet:
!
I~U
Der Proportionalitätsfaktor ist der sogenannte Leitwert, sein Kehrwert heißt Widerstand R.
Leitwert
á
1
U
I = ⋅U =
R
R
U = I⋅R
(6a)
(6b)
Dies ist das OHMsche Gesetz.
Betrachtungsweisen:
·
Bei gegebenem R ruft U (entspricht Uq in nachfolgender Abbildung) den
Strom I hervor.
·
Bei Einspeisung eines bestimmten Stromes I („Aufprägung“) in den Widerstand R fällt an diesem die Spannung U (entspricht UR der nachfolgenden
Abbildung) ab.
1
u
Diese Tatsache wird ab <29.> weiter vertieft!
13
Elektrizitätslehre – Gleichstrom
aus den KIRCHHOFFschen Gesetzen folgt
Uq + U R = 0
Uq = U R
−
Der Widerstand eines homogenen Materials berechnet sich nach
l
A
ρ ... spezifischer Widerstand
(materialabhängig)
A ... Querschnittsfläche
R = ρ⋅
(7)
[U] V
= ≡ Ω ... Ohm
[ I] A
Maßeinheit:
[R ] =
Maßeinheit:
[ρ] = [R ] ⋅
[A]
m2
= Ω⋅
[ l]
m
−
Beispiele:
−
Kombination von Widerständen
1
ρ in Ω ž m (bei 18 °C)
1,6 ž 10-8


1,7 ž 10-8
 sehr gute Leiter
2,7 ž 10-8

-8
9,8 ž 10

5,0 ž 1016
sehr guter Isolator
Material
Ag
Cu
Al
Fe
a-SiO2
SI
n
a) Reihenschaltung
(Spannungen addieren sich)
U = ∑ Ui
i
mit Gl. (6b) folgt
U
= ∑ I ⋅ R i = I ⋅ ∑ R i = I ⋅ R ges
i
⇒
i
R ges = ∑ R i
i
1
(8)
Oft wird auch die Einheit Ω ž cm verwendet!
14
Elektrizitätslehre – Gleichstrom
b) Parallelschaltung
(Ströme addieren sich)
I = ∑ Ii
i
mit Gl. (6a) folgt
=∑
I
i
⇒
1
R ges
1
U
U
= U⋅∑
=
R ges
Ri
i Ri
=∑
i
1
Ri
Also: Rges ist kleiner als der kleinste Ri. Hier addieren sich die Leitwerte
−
(9)
1
.
R
Konsequenzen beim Messen:
a) Strommessung
In einen gegebenen Stromkreis wird nachträglich ein Amperemeter eingebaut.
⇒
R := R + R Amp
aus dem OHMschen Gesetz folgt sofort
I=
U
U
=
R R + R Amp
Also: Strommesser müssen möglichst niederohmig sein.
!
b) Spannungsmessung
Spannungsquellen gehen normalerweise „in die Knie“, d.h., sobald
man ihr einen Strom entnimmt,
sinkt ihre Klemmenspannung etwas unter den Wert U0, der sogenannten Leerlaufspannung.
Vorstellung: Spannungsquelle hat in sich einen sogenannten Innenwiderstand, an dem auch Spannung abfällt, sobald Strom fließt.
Aus den KIRCHHOFFschen Regeln erhält man
U + I ⋅ R i = U0
bzw.
U = U0 − I ⋅ R i
U ... Klemmenspannung
15
Elektrizitätslehre – Gleichstrom
Mit dieser Reduzierung kann man leben, wenn sie konstant ist. Aber jetzt
wollen wir die Spannung messen!
Wegen der Parallelschaltung des Voltmeters mit RV ergibt sich mit Gl. (9)
⇒
1
1 

R :=  +
 R RV 
−1
Dies bedeutet nur dann keine Änderung, wenn RV >> R ist!
Also: Spannungsmesser müssen möglichst hochohmig sein.
−
!
Wir betrachten den Spannungsabfall über einem homogenen Material: Dieses
kann als Reihenschaltung sehr vieler kleiner Widerstände aufgefasst werden.
Wegen der Homogenität des Materials herrscht im Innern eine konstante
Feldstärke.
Somit liefern Gl. (25-14) bzw. (25-18)
einen linearen Spannungsabfall.
26.3.
−
Leitungsmechanismus1
In Metallen ist ein Teil der Elektronen nicht an die Atomkerne gebunden, sondern im gesamten Metallkörper frei beweglich (ca. 1 e-/Atom).
!
⇒ Versuch von TOLMAN
·
·
freie Elektronen werden nach
außen getrieben (Zentrifugalkraft
im rotierenden Bezugssystem)
r
Aufbau eines E -Feldes, das dem
entgegenwirkt
⇒ Gleichgewichtszustand, in dem
Elektronen außen angereichert
sind.
Der Versuch liefert das Verhältnis e/m, wegen des Wechselspiels zwischen
elektrischer Kraft (~ Ladung e) und Trägheitskraft (~ m).
⇒ Leitung in Metallen wird durch Bewegung der Elektronen bewerkstelligt.
1
!
Wir beschränken uns hier auf die wichtigsten Leiter, die Metalle!
16
Elektrizitätslehre – Gleichstrom
−
Oft ist es günstiger, die Stromdichte j (Strom/Querschnittsfläche) zu nehmen.
(Gegebenenfalls kann man integrieren und erhält wieder den Strom I.)
j=
dI
dA
j = n ⋅v⋅e1
n ... Ladungsträgerdichte (Dichte der frei beweglichen e-) pro Volumen,
v ... mittlere Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger,
e ... Ladung pro Ladungsträger
−
(10)
Wir betrachten den Stromfluss durch
einen Körper (A, l):
I=
U
R
(6a)
mit Gl. (7) erhält man
A
ρ⋅l
U 1
I
j=
= ⋅
A
l ρ
E
=
j
ρ
I = U⋅
⇒
:A
U r
= E =E
l
(11)
Gleichsetzung von Gl. (10) und (11) mit n, e, ρ als gegebenen Konstanten liefert
⇒
−
v~E
Der Proportionalitätsfaktor heißt Beweglichkeit der Ladungsträger, µ.
v = µ⋅E
(12)
Bei gegebenem µ (d.h. gegebenem Material) ergibt sich für bestimmte Feldstärken E jeweils eine bestimmte Driftgeschwindigkeit v.
Dies erscheint zunächst ungewöhnlich, da eine konstante Feldstärke E, d.h. konstante Kraft, eine konstante Beschleunigung, und damit eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit v ~ t bewirken müsste!
Erklärung:
1
Die Ladungsträger unterliegen einer Reibungskraft, wodurch die
Geschwindigkeit v in eine Sättigung übergeht (analog zum Kugelfall-Viskosimeter).
Überprüfung der Dimension: [ j] =
Teilchen m
C
C
Strom
⋅ ⋅
=
→
, q.e.d..
3
2
s
Teilchen
Fläche
m
m ⋅s
17
Elektrizitätslehre – Gleichstrom
−
Eine Abschätzung für ein reales Metall (Cu) mit 1 e-/Atom, gegebenem µ und
"normaler" Feldstärke E liefert
v = 0,04 mm ž s-1 .
Also: Die Driftgeschwindigkeit der Elektronen im Metall ist relativ niedrig.
r
Jedoch: Das E -Feld breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus und damit auch
die Signale (vgl. „schlagartiges Anrucken einer Marschkolonne“)
−
Einflüsse auf µ:
26.4.
−
∗
∗
Temperatur (Widerstandsthermometer, Supraleitung)
Druck (Dehnungsmessstreifen)
Energie und Leistung elektrischer Ströme
Wir verschieben eine Ladung zwischen zwei Orten mit dem Potentialunterschied
U (also einer Spannung U zwischen diesen Orten). Dabei wird Energie frei, und
zwar (vgl. Gl. (25-15))
W = Q⋅U
(13)
−
Im Vakuum würde diese Energie zur Beschleunigung der Ladung benutzt. (So
funktionieren Teilchenbeschleuniger oder Elektronenmikroskope!)
−
Beim Stromfluss in Leitern ist aber v = µ ž E, also bei gegebenen Bedingungen
konstant. Grund: Reibungskraft (vgl. <26.3.>)
⇒ Die Energie, die die Ladungen freisetzen, wenn sie „den Potentialberg hinuntergleiten“, wird über Reibung in Wärmeenergie umgewandelt.
−
!
!
Die in Wärme umgewandelte Leistung P ergibt sich mit Hilfe von Gl. (13)
&
& = U⋅Q
P=W
mit Gl. (1) folgt:
P = U⋅I
(14)
Also: Strom durch einen Leiter ž Spannungsabfall über ihn = im Leiter umgesetzte Leistung.
−
Bei OHMschen Leitern kann man schreiben
P = U ⋅ I = I2 ⋅ R
(mit Gl. (6b))
(15)
(mit Gl. (6a))
(16)
bzw.
P = U⋅I =
U2
R
18
Elektrizitätslehre – Leiter im elektrischen Feld
27.
Leiter im elektrischen Feld
27.1.
Grundsätzliches
−
Die POISSON-Gleichung
 ∂2
∂2
∂2 
ρ

− ∆U ≡ − 2 + 2 + 2  U =
ε0
∂y
∂z 
 ∂x
(25 - 20)
r
beschreibt den Zusammenhang zwischen Ladungsverteilung ρ( r ) im Raum eir
nerseits und Potentialverteilung U( r ) andererseits.
r
Mit U( r ) ist wegen
r r
 ∂ r ∂ r ∂ r r
r
E( r ) = − grad U( r ) = −
i+
j + k  U( r )
∂y
∂z 
 ∂x
(25 - 18)
r r
gleichzeitig die Feldstärke E ( r ) gegeben.
Die POISSON-Gleichung hat unter gegebenen Randbedingungen stets eine eindeutige Lösung. Mitunter kann diese Lösung schon erraten werden.
−
Beispiel: Feld einer beliebigen kugelsymmetrischen Ladungsverteilung1
·
n
Feldstärke E auf „Außenkugel“ r ist
überall gleich
Für den Fluss folgt damit
Φ(r ) = 4πr 2 ⋅ E (r )
â
(Kugeloberfläche)
·
(1)
Andererseits ist
Φ geschl. Fläche =
Q
ε0
(25 - 10)
Gleichsetzen von Gl. (1) und (25-10) liefert
Q
= 4πr 2 ⋅ E(r )
ε0
1
Das kann auch etwas sehr verrücktes sein - einzige Bedingung ist Kugelsymmetrie!
19
Elektrizitätslehre – Leiter im elektrischen Feld
Bei weiterer Umformung erhält man eine schon bekannte Gleichung
E(r ) =
Q
4πε 0 r 2
Das Feld um eine beliebige kugelsymmetrische Ladungsverteilung ist also
gleich dem einer Punktladung mit Q = Qges. Ladungsverteilung im Mittelpunkt.
−
(25 - 5)
!
Wir untersuchen nun elektrische Felder in einem Leiter.
Solange im Leiter ein elektrisches Feld herrscht, werden die Ladungsträger dem
folgen, bis E = 0 ist.
⇒ Das Leiterinnere ist feldfrei (E = 0) und liegt damit auf ein und demselben
Potential (U = const.)
−
!
Der Leiter besitze jetzt einen leeren Hohlraum:
Das Leiterinnere ist feldfrei (s.o.) und im Hohlraum existieren keine Ladungen („leer“), also
keine Quellen und Senken für E.
⇒ Leere, leiterumschlossene Hohlräume sind
feldfrei. (E = 0)
−
Wir wissen jetzt, dass das Innere eines Leiters und auch leere Hohlräume in ihm
immer feldfrei sind, auch bei Existenz äußerer elektrischer Felder.
r
Ein Metallkasten oder Netzkäfig schirmt E -Felder ab und wird als FARADAYscher Käfig bezeichnet.
−
!
!
Jetzt sei der Leiter geladenen:
·
Die (Überschuss-)Ladung setzt sich an
die (äußere) Oberfläche, egal, ob ein
Hohlraum existiert oder nicht, und bildet
dort eine Flächenladungsdichte.
·
Dies ist energetisch günstiger als die Ansammlung an der inneren Oberfläche („Ladungen auf maximalem Abstand“)
·
Nach außen hat der geladene Leiter
ein Feld, das jedoch immer genau
senkrecht auf der Oberfläche steht:
!
!
Feldkomponenten in der Oberfläche
würden zu Strömen führen, solange, bis
diese Komponente verschwunden ist.
(korrekter: Es werden solange Ladungen verschoben, bis das durch sie aufger
baute Gegenfeld das ursprüngliche E -Feld vollständig kompensiert.)
20
Elektrizitätslehre – Leiter im elektrischen Feld
·
−
Mit einem Ladungslöffel kann man leicht Ladungen auf der inneren Oberfläche eines FARADAY-Bechers abladen, da die Ladungen sofort nach außen
fließen; gegebenenfalls bis zur Entstehung großer Potentialunterschiede
zwischen Außen-Oberfläche und Umgebung (Prinzip des Bandgenerators,
Erzeugung von Megavolt!)
Betrachten wir nun eine geladene Kugel:
Wir haben am Anfang des Kapitels gesehen, dass das Feld um eine geladene
Kugel (die ja auch eine beliebige kugelsymmetrische Ladungsverteilung ist)
gleich dem einer Punktladung ist. Innerhalb ist es, wie wir jetzt wissen, Null.
Analog das Potential: es ist außen und bis einschließlich der Oberfläche selbst
gleich dem einer Punktladung, und zwar
U( r ) =
Q
4πε 0 r
(25 - 16)
Innen ist das Potential dann
konstant. Dort, wo die Ladung sitzt (am Kugelradius R)
gilt
U( r ) =
Q
4πε 0 R
(2)
⇒ Zwei Kugeln (R1, Q1), (R2, Q2) haben also dann gleiches U, wenn
Q1 Q 2
=
R1 R 2
(∗)
ist (vgl. auch Gl. (2)!).
−
Da die Ladungen auf den Oberflächen verteilt sind, betrachten wir jetzt die Flächenladungsdichten.
σ=
⇒ Wenn
Q
4πR 2
(3)
Q
1
konstant ist (in Gl. (∗)), muss σ ~
sein!
R
R
Kleine Kugeln erfordern also große Flächenladungsdichten und umgekehrt,
wenn ein bestimmtes konstantes U eingehalten werden soll.
−
Dies gilt auch für unterschiedlich gekrümmte Stellen der Oberfläche eines unregelmäßig geformten Leiters:
21
Elektrizitätslehre – Leiter im elektrischen Feld
Damit die Oberfläche wirklich eine Äquipotentialfläche ist und die Feldlinien
senkrecht austreten, muss σ je nach Krümmungsradius unterschiedlich sein, so
dass σ ~ R-1 ist.
!
r
r
wegen R 1 >> R 2 gilt E1 << E 2 (d.h. hohe Feldliniendichte bei R2)
⇒ An Spitzen kommt es bevorzugt zu spontanen elektrischen Entladungen.
27.2.
−
!
Influenz
Wir bringen eine Metallkörper in ein
r
einigermaßen homogenes E -Feld.
Es kommt zur Ladungstrennung im
Körper, so lange, bis das Körperinnere
feldfrei ist.
Betrachtung:
r
Die getrennten Ladungen bauen ein Feld E ' auf, das sich mit
r
dem äußeren Feld E zu Null ergänzt.
Diese Ladungstrennung heißt Influenz.
−
!
Wir untersuchen nun ein inhomogenes Feld:
·
·
Einer gegebenen Punktladung Q wird plötzlich eine leitende Platte gegenübergestellt:
r
Es wirkt eine Kraft F auf (z.B.) eine
kleine Ladung -q in der Oberfläche,
r
die dadurch verschoben wird ( ∆ r ),
so lange, bis die entsprechende Feldlinie senkrecht auf der Oberfläche
steht.
22
Elektrizitätslehre – Leiter im elektrischen Feld
·
Letztlich ist in der Oberfläche eine negative Ladungsmenge angesammelt,
die der Ladung Q betragsmäßig entspricht.
·
Diese Ladung -Q ist durch Ladungstrennung entstanden, insgesamt ist der
Plattenkörper neutral.
!
Wo sitzt nun aber +Q? Theoretisch unendlich weit weg, sonst würde Gl. (25-2‘) (s.u.) nicht
gelten!
−
Übrigens:
Das Feldlinienbild sieht so aus, als ob im Innern des Metallkörpers
eine Spiegelladung/Bildladung -Q säße. Die Ladung Q wird von
der selbst induzierten negativen Ladungsverteilung in der PlattenOberfläche genauso angezogen, wie sie von der Spiegelladung angezogen werden würde:
F=
Q1 ⋅ Q 2
4πε 0 ⋅ r 2
(25 - 2)
Unter den hier gegebenen Bedingungen Q1 = Q 2 = Q , r = 2d
folgt für die Kraft F zwischen der Ladung Q und der Wand
F=
27.3.
−
Q2
4πε 0 ⋅ 4d 2
(25 - 2‘)
Kapazität
Bisher haben wir eine bestimmte Ladungsverteilung betrachtet (z.B. Ladung Q
auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius R) und daraus abgeleitet, wie
groß innerhalb und außerhalb der Kugel das Potential U und damit die Feldstärr
ke E sind.
23
Elektrizitätslehre – Leiter im elektrischen Feld
Dabei hatte z.B. die Oberfläche der geladenen leitfähigen Kugel ein Potential
U=
Q
,
4πε 0 R
(25 - 16)
wobei wir generell das Potential so normiert hatten, dass U(∞) = 0 ist (vgl. <25.3.>).
−
Man kann die Sache auch anders herum betrachten: Wir haben eine zunächst
ungeladene Kugel vom Radius R, geben ihr eine Spannung U gegenüber der unendlich entfernten Umgebung
und werden finden, dass genau die Ladung
Q = U ⋅ 4πε 0 R
(4)
auf sie fließt. Eine metallische Kugel vom Radius R ist also in der Lage, pro
Spannungseinheit eine Ladung
Q
= 4πε 0 R
U
(5)
aufzunehmen. Die Kugel hat also die Kapazität
C≡
Maßeinheit:
Q
= 4πε 0 R
U
[ C] =
C
≡ F ... Farad
V
(6)
SI
u
Diskussion:
Bei einer Vergrößerung von R passt mehr Ladung Q bei gleicher Spannung auf
die Kugel, da sich die Ladungen „besser aus dem Weg gehen können“.
Die Kapazität ist eine allgemeine Eigenschaft. Jede leitfähige Anordnung, auf
die Ladungen fließen können, hat eine Kapazität der Größe
C=
Q
U
!
(7)
Eine Anordnung, bei der es in erster Linie auf die Eigenschaft Kapazität ankommt, heißt Kondensator.
24
Elektrizitätslehre – Leiter im elektrischen Feld
−
Paradebeispiel: Plattenkondensator (Fläche A, Abstand d)
n
Anschluss der Platten an eine Spannungsquelle U ⇒ auf eine Platte fließt die
Ladung +Q, auf die andere -Q.
Wie groß ist die Kapazität C? Zur Beantwortung nutzen wir Gl. (25-10)
r
1
E
∫ ⋅ dA = ε 0 ⋅ Q ges, innerhalb d. Fläche
geschl. Fläche
(25 - 10)
Offensichtlich sitzen die Ladungen auf den „inneren Oberflächen“ der Platten
und das Feld befindet sich im Wesentlichen im Zwischenraum.
Integration über die Fläche A* liefert
r
1
E
∫ ⋅ dA = E ⋅ A = ε 0 ⋅ Q
(8)
r
Da das E -Feld homogen ist, gilt E = U / d, (d.h. ein linearer Anstieg des Potentials von einer Platte zur anderen) und liefert, eingesetzt in Gl. (8)
⇒
U
1
⋅A =
⋅Q
d
ε0
Umgeformt ergibt sich die Kapazität eines Plattenkondensators zu
C≡
A ⋅ ε0
Q
=
U
d
Kommentar:
(9)
u
Für eine besonders große Kapazität benötigt man große Flächen A bzw. einen
kleinen Plattenabstand d.
25
Elektrizitätslehre – Leiter im elektrischen Feld
27.4.
−
Kondensator im Stromkreis
Parallelschaltung
Die Ladungen addieren sich, auf jeden
Kondensator fließt eine bestimmte
Ladung ±Qi
Q ges = ∑ Q i
i
mit C ≡ Q / U lt. Gl. (7) folgt
Q ges = ∑ U ⋅ C i = U ⋅ ∑ C i = U ⋅ C ges
i
⇒
i
C ges = ∑ C i
(10)
i
−
Reihenschaltung
Die Spannungen addieren sich,
auf jeden Kondensator fließt die
gleiche Ladung, da diese nur
über Influenz „hin- und hergeschoben werden können“.
U
≡ U ges = ∑ U i
i
mit U ≡ Q / C lt. Gl. (7‘) folgt
U ges = ∑
i
⇒
−
Qi
1
1
= Q⋅∑
= U⋅
Ci
C ges
i Ci
1
1
=∑
C ges
i Ci
(11)
Ladevorgang eines Kondensators:
Nach der KIRCHHOFFschen Maschenregel ist
U0 = UR + UC
(12)
Wir ersetzen jetzt
UR = I ⋅ R
und
UC =
Q
C
(26 - 6b)
(7)
26
Elektrizitätslehre – Leiter im elektrischen Feld
In Gl. (12) eingesetzt ergibt sich bei Beachtung der Zeitabhängigkeit von I und Q
U 0 = I( t ) ⋅ R +
Q( t )
C
(13)
Wenn man bedenkt, dass I und Q verkoppelt sind, und zwar über
I( t ) =
dQ( t )
dt
kann man Gl. (13) leicht lösen und erhält für den Ladestrom des Kondensators
t
−
U
I( t ) = 0 ⋅ e R⋅C
R
â
= I 0 = I( t = 0)
(14)
Daraus folgt durch Integration die zeitabhängige Kondensatorladung
t 

−
R

Q( t ) = C ⋅ U 0 ⋅ 1 − e ⋅C 




u
Kommentar:
·
·
(15)
Die Kondensatorladung geht asymptotisch gegen Q = C ž U0, der Strom entsprechend gegen Null.
Die Geschwindigkeit, mit der sich der Endzustand einstellt, hängt von R ž C ab.
!
Eine Betrachtung der Dimension von R ž C zeigt
[ R ⋅ C] = Ω ⋅ F =
⇒
V As
⋅
= s = [t ]
A V
SI
R ⋅ C = τ ... charakteristische Zeitkonstante
Kommentar:
„Das Laden dauert lange, wenn die Kapazität C groß ist (⇒ Ladungsmenge Q
groß) und/oder ein großer Widerstand R das Laden stark behindert.
u
!
27
Elektrizitätslehre – Leiter im elektrischen Feld
27.5.
−
Energie von Ladungsverteilungen
Auf einem Leiter befinde sich bereits eine Ladung q, so dass er dadurch das folgende Potential (d.h. eine Spannungsdifferenz gegenüber der unendlich entfernten Umgebung) besitzt
U=
q
C
(7‘)
Wenn wir eine weitere Teilladung dq gegen diese Spannung U heranführen wollen,
müssen wir Arbeit verrichten, die sich aus den Gl. (25-15‘) und (7‘) ergibt:
dW = U ⋅ dq =
q
⋅ dq
C
(16)
Die Gesamtarbeit folgt durch Integration von Gl. (16)
q ⋅ dq 1 Q 2
W =∫
=
C
2 C
0
Q
(17)
Die Arbeit ist als potentielle Energie im geladenen Leiter gespeichert.
Man kann Gl. (17) auch mittels Q = C ž U umformen und erhält
W =
−
1
⋅ C ⋅ U2
2
(17‘)
Diskussion: Wo steckt die elektrostatische Energie?
·
Man kann sagen: In den vergewaltigten Ladungen, die (wenn ungleichnamig) zwangsweise getrennt sind und eigentlich zueinander wollen oder
(wenn gleichnamig) eigentlich voneinander flüchten wollen, aber z.B. auf
dem selben Leiter sitzen müssen.
·
Man kann aber auch sagen: Die Energie ist im Feld vergegenständlicht.
u
Natürlich sind beide Deutungen zwei Seiten derselben Medaille: Mit der „Vergewaltigung“ der Ladungen entsteht das Feld und umgekehrt.
−
Wir sehen uns die Feldenergie am Beispiel des Plattenkondensators an.
Die potentielle Energie ist
E pot = W =
⇒
1
⋅ C ⋅ U2
2
1 A ⋅ ε0
W = ⋅
⋅ U2
2 d
C=
A ⋅ ε0
d
(lt. Gl. (9))
(17‘)
U
d
⇒ U = E⋅d
homogenes Feld: E =
28
Elektrizitätslehre – Leiter im elektrischen Feld
⇒
W =
⇒
W =
⇒
1
⋅ A ⋅ ε0 ⋅ E 2 ⋅ d
2
V = A⋅d
ε0 2
⋅E ⋅V
2
V ... Volumen des felderfüllten Raumes
W ε0 2
= ⋅E
V
2
w ... Energiedichte
w=
(18)
Kommentar
Gl. (18) zur Berechnung der Energiedichte des elektrischen Feldes gilt allgemein, auch wenn sie hier nur für den Plattenkondensator hergeleitet wurde.
−
u
Als weiteres Beispiel betrachten wir eine leitfähige Kugel mit einer Ladung Q
und dem Radius R.
Die potentielle Energie der sich abstoßenden Ladungen beträgt
⇒
W=
1 Q2
⋅
2 C
W=
1 Q2
⋅
2 4πε 0 R
C = 4πε 0 R
(17)
(19)
Wenn man das Feld der geladenen Kugel
 0

E= Q
 4πε r 2
0

für r < R
für r > R
in Gl. (18) einsetzt und über den gesamten Außenraum (von R bis ∞) integriert,
erhält man als Feldenergie das schon aus Gl. (19) bekannte Ergebnis!
WFeld =
1 Q2
⋅
2 4πε 0 R
29
Elektrizitätslehre – Isolatoren im elektrischen Feld
28.
Isolatoren im elektrischen Feld
28.1.
Die Verschiebungsdichte
−
Es existieren zwei Arten der Beziehung elektrisches Feld ↔ Ladung:
a) Das Feld wird von Ladungen erzeugt. Die Ladungen sind Quellen/Senken
des Feldes („Feldlinien kommen aus Ladungen heraus bzw. gehen hinein“).
!
Die Quelldichte des Feldes wird durch die Divergenz charakterisiert:
r 1
div E = ⋅ ρ
ε0
dQ
ρ=
... Ladungsdichte
dV
b) Das Feld übt auf Ladungen Kräfte aus:
r
r
F = Q⋅E
−
(25 - 20)
!
(25 - 4)
r
In b) ist E direkt enthalten, in a) mit der Proportionalitätskonstante ε0.
Es ist zweckmäßig, eine weitere elektrische Feldgröße zu definieren, die in a)
ohne Proportionalitätskonstante auskommt und dafür eine in b) hätte.
r
Dies ist die sogenannte Verschiebungsdichte D mit
r
div D = ρ
(1)
r
r
r
D ist ein Vektorfeld wie E , an jedem Punkt r ist
r r
r r
E ( r ) ~ D( r )
Offenbar gilt (zumindest im Vakuum1)
r
r
D = ε0 ⋅ E
Kommentar:
(2)
u
Feldstärke und Verschiebungsdichte sind zwei Größen zur Beschreibung des
elektrischen Feldes. Der Vorteil der neuen Größe wird erst beim Isolator im
elektrischen Feld deutlich werden.
1
Mit elektrischen Feldern in Stoffen haben wir uns ja bisher nicht befasst. Das Problem „Leiter und
elektrisches Feld“ (vgl. <27.>) bringt in dieser Hinsicht noch nichts, denn wir haben gesehen, dass
r r
in Leitern E = 0 ist.
30
Elektrizitätslehre – Isolatoren im elektrischen Feld
28.2.
Einige grundlegende Experimente
a) Aufladen eines (z.B.) Bernsteinstabes
durch Reiben mit (z.B.) Katzenfell und
Heranbringen von Holundermarkkügelchen in die Nähe des Stabes
·
·
Bildung eines induzierten Dipolmomentes im Kügelchen
Anziehung des Dipols im inhomogenen Feld des Stabes (vgl. <25.4.>)
b) Aufstellen einer geerdeten Metallplatte
zwischen Stab und Kügelchen
·
·
·
Ansammlung positiver Ladungen an der Metall-Oberfläche (Influenz)
der Raum hinter der Platte ist feldfrei; der Leiter schirmt das Feld ab
Es erfolgt keine Anziehung des Kügelchens mehr!
c) Aufstellen einer Isolatorplatte zwischen Stab und Kügelchen
·
Das Kügelchen wir angezogen! ⇒ Das elektrische Feld greift durch den
Isolator durch.
⇒ Ein Isolator wird auch als Dielektrikum bezeichnet1.
d) Isolator im Plattenkondensator
1.) Der Plattenkondensator wird leer (d.h. mit Luft zwischen den Platten) mittels einer äußeren Spannung aufgeladen. Es fließt die Ladung
Q = C⋅U =
A ⋅ ε0
⋅U
d
(27 - 9)
auf ihn.
1
dia... (in Zusammensetzungen) - hindurch (griech.)
31
Elektrizitätslehre – Isolatoren im elektrischen Feld
2.) Der Kondensator wird von der Spannungsquelle getrennt
3.) Es wird ein Dielektrikum in den Zwischenraum gebracht.
Die Spannung U verringert sich auf
U
ε
(ε > 1)
An der Ladungsbelegung der Platten (± Q) hat sich jedoch nichts geändert,
denn bei Entfernen des Dielektrikums steigt U wieder auf den alten Wert!
−
Die Definition der Kapazität C = Q / U lt. Gl. (27- 7) gilt allgemein. Wenn
also U bei konstantem Q sinkt, muss sich C erhöht haben:

ohne Dielektrikum 

(„Vakuum“)


U
C
→
→
U
ε
ε⋅C





mit Dielektrikum
−
Technische Kondensatoren haben ein Dielektrikum mit großem ε.
−
Man benutzt die Änderung der Kondensatorkapazität, um die Materialkonstante ε zu definieren: Die Dielektrizitätskonstante ε eines Materials ist das
Verhältnis der Kapazität eines Kondensators mit diesem Material im Zwischenraum bzw. ohne:
ε=
C
C Vak
!
(3)
Aufgrund dieser Definition ist die Dielektrizitätskonstante dimensionslos.
Beispiele:
Material
Glas
Gummi
Ethylalkohol
Wasser
Luft
Dielektrizitätskonstante
5 - 10
2,5 - 3,5
25,8
(20 °C)
81,1
(18 °C)
1,0006
( 0 °C, 1 atm)
æ
≈ Vakuum!
n
32
Elektrizitätslehre – Isolatoren im elektrischen Feld
−
Schlussfolgerung:
Wenn der Kondensator erst nach dem Einschieben des Isolators von der
Spannungsquelle getrennt wird, fließt eine größere Ladung auf die Platten:
Q
å
C vak ⋅ U
28.3.
−
→
ε⋅Q
æ
C ⋅ U = ε ⋅ C Vak ⋅ U
Interpretation der Ergebnisse
Wenn in Experiment d) die Spannung sinkt, muss sich die elektrische Feldstärke reduziert haben, denn im homogenen Feld des Plattenkondensators gilt ja (vgl. <27.3.>)
r U
E=
d
d ... Plattenabstand
(4)
r
Wegen Gl. (4) reduziert sich E genauso wie U.
Vakuum
−
...
r
E
→
1 r
⋅E
ε
...
mit Dielektrikum (ε)
Die Feldstärke im Plattenkondensator ohne Dielektrikum („Vakuum“) beträgt lt.
Gl. (27 - 8):
1 Q
⋅
ε0 A
â
(= Flächenladungsdichte σ)
E Vak =
Mit Dielektrikum reduziert sich die Feldstärke E um
E Diel =
−
(5)
1
:
ε
1 Q
⋅
ε ⋅ ε0 A
(6)
Wir erinnern uns, wie wir in
r
<27.3.> E Vak lt. Gl. (5) ermittelt hatten:
r
1
E
∫ ⋅ dA = ε 0 ⋅ Q ges, innerhalb d. Fläche A*
geschl. Fläche A*
(25 - 10)
Dies muss natürlich auch jetzt noch gelten! Aber das Integral über A* mit
Qges = „Q auf der Kondensatorplatte“ hatte eben in <27.3.> das EVak lt. Gl. (5)
ergeben und nicht EDiel lt. Gl. (6).
33
Elektrizitätslehre – Isolatoren im elektrischen Feld
−
⇒ Innerhalb von A* müssen weitere Ladungen sitzen, und zwar eine entgegengesetzte (hier: negative) Ladung QP (Polarisationsladung) auf
der Oberfläche des Dielektrikums.
!
r
Diese reduzieren das E -Feld im Isolator, das von Q - QP bestimmt wird.
!
r
r
Beschreibung des (reduzierten) E -Feldes E Diel im Innern des Dielektrikums:
Es ist gleichwertig, ob man
·
von Q ausgeht und über
·
Gl. (5) nimmt (ohne
E Diel =
1
reduziert gemäß Gl. (6), oder
ε
1
), aber mit der effektiven Ladung Q - QP
ε
1 Q 1 Q − QP
⋅ =
⋅
ε ⋅ ε0 A ε0
A
â
â
Gl. (6)
Gl. (5) mit effektiver Ladung
(7)
Umgeformt aus Gl. (7) erhält man:
Qp =
−
ε −1
⋅Q
ε
(8)
r
Wir definieren die dielektrische Polarisation P :
r Q
P= P
A
(9)
r
r
Die Richtung von P geht von -QP nach +QP, also dem E -Feld parallel gerichtet.
!
r
Man kann P als Dipolmoment pro Volumen deuten.
!
34
Elektrizitätslehre – Isolatoren im elektrischen Feld
Das Dipolmoment des polarisierten Dielektrikums ergibt sich zu
r
p = d ⋅ QP
Dieses Dipolmoment geteilt durch das
Volumen liefert:
Dipolmoment
á
r
p d ⋅ QP QP r
=
=
≡P
V A⋅d
A
â
Polarisation
−
(25 - 21)
Einsetzen von Gl. (8) in Gl. (9) liefert
r ε −1 Q
P=
⋅
ε A
−
mit
Q
= ε ⋅ ε 0 ⋅ E Diel
A
(6‘)
folgt:
r
r
r
P = (ε − 1) ⋅ ε 0 ⋅ E Diel = χ P ⋅ E Diel
χP ... dielektrische Suszeptibilität (Materialkonstante, gelegentlich genutzt)
(10)
Wir bilden nun mit Gl. (10)
r
r
r
r
P + ε 0 ⋅ E Diel = (ε − 1) ⋅ ε 0 ⋅ E Diel + ε 0 ⋅ E Diel
r
= ε ⋅ ε 0 ⋅ E Diel
r
r
ε ⋅ E Diel = E Vak
r
r
= ε 0 ⋅ E Vak ≡ D
⇒
(11)
Gl. (11) ist die Verallgemeinerung von Gl. (2). Es gilt also:
r
Wenn ein Dielektrikum existiert, entsteht eine dielektrische Polarisation P und
r
r
das elektrische Feld E reduziert sich zu E Diel . Im Vakuum gibt es keine Polarir
sation und das elektrische Feld E ist entsprechend größer.
!
⇒ Wir können allgemein schreiben:
r
r r
P + ε0 ⋅ E = D
(12)
35
Elektrizitätslehre – Isolatoren im elektrischen Feld
Veranschaulichung:
Kommentar:
r
·
P zeigt von - nach + (entsprechend der Definition des Dipolmomentes!).
r
·
E muss mit ε0 „geeicht“ werden.
r
·
D „geht durch den Isolator hindurch“1, je nach ε ändert sich nur das Verr
r
hältnis von E zu P .
u
r
Wichtig: Kräfte auf bzw. zwischen Ladungen hängen vom E -Feld ab, sie sind
daher in Dielektrika geschwächt.
−
n
Beispiel: Wasser
Die Wechselwirkung der Ionen in Wasser (ε = 81,1) ist nur 1/ε ≈ 1,2 % so groß wie wenn
die Ionen den gleichen Abstand im Vakuum hätten. Dadurch wird die Dissoziation von
Verbindungen in Wasser sehr erleichtert, die thermische Energie reicht schon!
28.4.
Mechanismen der dielektrischen Polarisation
Frage danach, wie die Oberflächenladungen ±QP auf dem Dielektrikum zu Stande kommen können
=
Es gibt zwei Möglichkeiten der Entstehung, die beide unter dem Einfluss eines
äußeren elektrischen Feldes stattfinden:
·
·
a)
Ausrichtung vorhandener (permanenter) Dipole, oder
Schaffung (Induzierung) von Dipolen
Induzierung von Dipolen (sogenannte Verschiebungspolarisation)
Es kommt zur Trennung der Ladungsschwerpunkte und Bildung eines Dipolr
momentes p .
!
⇒
1
Dies gilt streng nur für die Komponente senkrecht zur Oberfläche!
36
Elektrizitätslehre – Isolatoren im elektrischen Feld
einfache Modellvorstellung:
·
r
das äußere elektrische Feld E übt eine Kraft aus
F = Q⋅E
·
es existiert eine „elastische“ (lineare) Rückstellkraft
F = − k ⋅ ∆x
⇒
·
∆x =
Q⋅E
k
die Auslenkung ∆x bringt ein Dipolmoment zustande
r
p ≡ p = ∆x ⋅ Q
=
Q2
⋅E
k
p = α⋅E
α ... Polarisierbarkeit (Eigenschaft des Atoms)
·
(13)
r
Die Polarisation P war Dipolmoment pro Volumen, so dass mit der Teilchenzahldichte n = N / V (Teilchen pro Volumen) aus Gl. (13) folgt
r r
r
n ⋅p = n ⋅α⋅E = P
å
æ
Dipolmoment
Polarisation
eines Atoms
(14)
Vergleich von Gl. (14) mit Gl. (10) ergibt
(ε − 1) ⋅ ε 0 = n ⋅ α
(15)
Gl. (15) stellt eine Verknüpfung makroskopischer mit atomaren Größen dar!
Eine dielektrische Substanz haben wir uns etwa so vorzustellen:
Im Innern ist die Verschiebungspolarisation nicht zu spüren („was
A nach links geht, geht B nach
rechts“).
!
Was insgesamt bleibt, ist die Aufladung der Oberflächen (±QP)
37
Elektrizitätslehre – Isolatoren im elektrischen Feld
b) Ausrichtung vorhandener Dipole (sogenannte Orientierungspolarisation)
Manche Moleküle1 besitzen ein permanentes Dipolmoment, z.B. HF, HCl, oder H2O:
Im Allgemeinen sind die Dipolmomente infolge der Wärmebewegung regellos
ausgerichtet.
!
Durch ein äußeres elektrisches Feld kann eine Ausrichtung erfolgen.
!
u
Kommentar:
·
·
Die thermische Bewegung wirkt der Ausrichtung entgegen. Eine einigermaßen vollständige Ausrichtung ist nur bei großen Beträgen der elektrischen Feldstärke bzw. bei kleinen Temperaturen zu erwarten.
r
Bei einem E -Wechselfeld kann es durch ständiges Umorientieren zu Reibung und Wärmeentwicklung kommen (eher bei Flüssigkeiten, weniger bei
Gasen) ⇒ dielektrische Verluste.
Beispiel: Wasser im Mikrowellenherd
!
n
Es kann auch passieren, dass bei hohen Frequenzen die Moleküle dem Feld
infolge ihrer Trägheit nicht so schnell folgen können.
28.5.
−
Energiedichte des elektrischen Feldes im Dielektrikum
Die Energiedichte des elektrischen Feldes war im Vakuum
w=
W ε0 2
= ⋅E
V
2
(27 - 18)
Mit D = ε0 ž E gemäß Gl. (2) können wir schreiben
1
w = ⋅E⋅D
2
(16)
In dieser Form gilt die Gleichung ganz allgemein, auch in Dielektrika. Wir
müssen nur für D die bereits bekannte Form verwenden:
D = ε0 ⋅ ε ⋅ E
1
(11)
Solche Materialien werden als par(a)elektrisch bezeichnet.
38
Elektrizitätslehre – Isolatoren im elektrischen Feld
−
Bei der Betrachtung der Energiedichte muss man sorgfältig die konkreten physikalischen Bedingungen berücksichtigen, wie an folgenden Beispielen deutlich wird:
a)
Wir erinnern uns an das Experiment, in dem der aufgeladene Kondensator
von Spannungsquelle abgeklemmt war und ein Dielektrikum hinein- und
herausgeschoben wurde. Dabei blieben die Ladungen auf den Platten unverändert (Q = const.), d.h. D = const.:
·
Die Energiedichte mit Luft („Vakuum“) ist:
w=
·
1
⋅ E Vak ⋅ D
2
Mit Dielektrikum reduziert sich bei konstantem D die Feldstärke E auf
1
⋅ E Vak
ε
Für die Energiedichte mit Dielektrikum folgt:
w=
1 1
⋅ ⋅ E Vak ⋅ D
2 ε
⇒ Die Energiedichte w wird auf 1/ε reduziert, was einem Übergang in einen energieärmeren Zustand entspricht.
b) Der Kondensator bleibt an Spannungsquelle angeschlossen. Auch hier sinkt
zunächst durch das Einschieben des Dielektrikums die Feldstärke E
auf ε-1 ž EVak. Dann aber fließen solange Ladungen nach, bis Spannung und
Feldstärke wieder den alten Wert erreicht haben.
⇒ E bleibt unverändert, aber D ist durch zusätzliche Ladungen auf das ε-fache
D
angestiegen, da das Verhältnis
lt. Gl. (11) auch hier wieder stimmen muss.
E
·
Die Energiedichte mit Luft („Vakuum“) ist wiederum:
w=
·
1
⋅ E Vak ⋅ D
2
Für die Energiedichte mit Dielektrikum folgt:
1
w = ⋅ ε ⋅ E Vak ⋅ D
2
⇒ Die Energiedichte w wird bei gleicher Ladespannung des Kondensators
auf das ε-fache erhöht!
In technischen Kondensatoren werden Dielektrika mit großem ε verwendet.
!
39
Elektrizitätslehre – Isolatoren im elektrischen Feld
−
Schlussbemerkung:
Alle bisherigen Darlegungen gelten für den voll mit Dielektrikum erfüllten
(Platten-)Kondensator. Wenn man beliebig geformte dielektrische Körper in einen Kondensator hängt, kann es spezielle Effekte geben.
!
Plausibilitätserklärung:
dielektrischer Stab in einem Luftkondensator:
r
Das E -Feld zwischen den Polarir
sationsladungen wirkt voll E -Feldschwächend.
28.6.
r
Das E -Feld zwischen den Polarisationsladungen verläuft außerr
halb und wirkt dem E -Feld im
Material praktisch nicht entgegen.
Piezoelektrizität und Elektrostriktion; Ferroelektrizität
−
Bisher haben wir die Polarisation infolge eines äußeren elektrischen Feldes betrachtet.
−
Jedoch: Es existieren Festkörper, bei denen Polarisation durch elastische Verformung erzeugt werden kann (sogenannte Piezoelektrizität).
!
Paradebeispiel: Quarz (kristallines SiO2)
n
({2}, S. 88)
40
Elektrizitätslehre – Isolatoren im elektrischen Feld
−
Kommentar:
·
Ursache ist die sogenannte polare Achse im Kristall (in den Abbildungen
vertikal gezeichnet, d.h. X1-Achse)
·
Druck/Zug parallel zur polaren Achse bewirkt, dass positive (+) oder negative (-) Ladungen näher an die Oberfläche rücken als im Normalfall
·
Druck/Zug senkrecht zur polaren Achse bewirkt den analogen Effekt wegen
der Querkontraktion (vgl. <11.1.>)
u
Umgekehrt führt das Anlegen einer äußeren Spannung an einen solchen Kristall
dazu, dass sich dieser entsprechend verformt ⇒ Elektrostriktion
!
∆l
l
Piezoelekt
  rizität

→
←


Elektrostriktion
r
P
⇒
∆U
(Spannungsdifferenz zwischen den Oberflächen)
generell:
∆l
ist relativ klein (≤ 1 %)
·
l
·
∆U ist relativ groß (≈ kV)
Beispiel:
n
Das Anlegen einer Wechselspannung entsprechender Frequenz bewirkt eine Schallemission des Quarzes.
−
Vielfältige Anwendungen:
·
·
·
−
piezoelektrischer Gasanzünder (Druck ⇒ Funken)
piezoelektrisches Stellglied (elektrische Spannung ⇒ elastische Verformung, die zum Verstellen im Sub-Å-Bereich genutzt wird; sehr definiert,
ruck- und spielfrei) ⇒ Raster-Tunnel-Mikroskopie (STM) ermöglicht.
elektromechanischer Schwinger („Schwingresonanz“)
Der elektromechanische Schwinger ist das Analogon zum mechanischen
Schwinger mit seinem Wechselspiel zwischen kinetischer und potentieller
Energie (Ekin/Epot). Beim schwingenden Quarzkristall ist dies ebenso, aber
gleichzeitig kommt es dabei zu einem periodischen Umladen der Oberfläche! So ist die Kopplung eines Schwingquarzes mit einem elektrischen
Schwingkreis möglich. Maßgebend ist die mechanische Eigenfrequenz des
Quarzes, analog der eines Perpendikels). Anwendung: Quarzuhr
Ferroelektrizität: Manche Piezoelektrika haben auch im unverformten Zustand
schon eine Polarisation, d.h. „aufgeladene Oberflächen“.
·
·
!
formale Analogie zum Ferromagneten („ohne äußere Einwirkung bereits ...“)
Quarz ist streng genommen auch ein Ferroelektrikum, wird jedoch unter
realen Umweltbedingungen (adsorbierte Luftfeuchte) als solches nicht wirksam.
41
Elektrizitätslehre – Isolatoren im elektrischen Feld
n
Paradebeispiel: Bariumtitanat (BaTiO3)
!
Ba2+, Ti4+, O2-; TC = 120 °C
Erklärung:
„Für das relativ kleine Ti4+-Ion ist die
Gitterlücke zu groß. Es kann nicht in der
Mitte schweben und lehnt sich an eines
der 6 Sauerstoff-Ionen, das sich seinerseits disloziert.“
({3}, S. 619)
Kommentar:
·
Eigentlich existieren 6 gleichwertige Möglichkeiten der Ortsverlagerung des
Ti-Ions. Dies führt aber nicht dazu, dass sich die verschiedenen Verlagerungen regellos mischen und makroskopisch nichts wahrgenommen wird, sondern es besteht die Tendenz der Fortpflanzung der Polarisation über einen
größeren Bereich (ferroelektrische Domäne).
·
Oberhalb einer bestimmten Temperatur TC (CURIE-Temperatur) geht die
Ordnung verloren.
u
42
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
29.
Grundlegendes zu Magnetfeldern
29.1.
Die LORENTZ-Kraft
−
Ladungen werden nicht nur von elektrischen Feldern beeinflusst (COULOMBKraft, Gl. (25- 4)), sondern auch von magnetischen Feldern.
−
Experimente zeigen:
·
·
·
·
−
!
Kraft wirkt nur auf bewegte Ladungen F ~ v
r
r
Kraft wirkt immer senkrecht zu v , also keine Änderung des Betrages von | v |
bzw. der kinetischen Energie Ekin, sondern nur Richtungsänderung
Bei homogenen Magnetfeldern
r sieht man, dass die Kraft von der Richtung von
r
v relativ zum Magnetfeld B abhängt
positive und negative Ladungen q/-q werden entgegengesetzt abgelenkt
Letztlich zeigt sich, dass für die LORENTZ-Kraft gilt:
r
r r
F = q⋅v×B
r
B ... magnetische Feldstärke
(1)
Es gilt die Rechte-Hand-Regel:
Mit Gl. (1) ist eine Präzisierung der experimentellen Ergebnisse möglich:
r
r r
r r
F = q ⋅ v ⋅ B ⋅ sin( v, B)
·
·
−
r r
F wird minimal (F = 0) für v || B .
r
r
F wird maximal für v ⊥ B .
r
r
Damit ist B analog zu E über die Kraftwirkung auf elektrische Ladungen definiert.
Maßeinheit:
mit:
[B] =
[F]
N
=
[q ] ⋅ [ v] C ⋅ m ⋅ s −1
P = I⋅U
= Nm
ä
J
J
=
=
−1
C ⋅ m ⋅ s ⋅ m Am 2
SI
(26 - 14)
43
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
[P] = A ⋅ V ≡
J
s
SI
æ
V=
Maßeinheit:
[B] =
J
, damit ergibt sich für B
As
Vs
≡ T ... Tesla
m2
SI
Eine veraltete Nicht-SI-Einheit ist das Gauß (1 Tesla = 104 Gauß).
29.2.
−
Kräfte auf Ströme im Magnetfeld
Strom in einem Leiter
r
r
I = q⋅n⋅v⋅A
n ... Zahl der Ladungsträger pro Volumen
q ... Ladung pro Ladungsträger
r
v ... mittlere Driftgeschwindigkeit
(2)
vgl. hierzu auch Gl. (26 - 10), allerdings ist in Gl. (2)
noch die korrekte Richtungsbeziehung enthalten
mit:
n=
N
A⋅l
wobei N die Zahl der Ladungsträger im Drahtstück ist,
folgt aus Gl. (2)
r
N r
I = q⋅
⋅v⋅A
A⋅l
r 1
r r
r r 1
I × B = N ⋅ q ⋅ v × B ⋅ = N ⋅ FT ⋅
l
l
r
×B
(3)
r
FT beschreibt die LORENTZ-Kraft auf einen Ladungsträger. Die gesamte Gl. (3) hingegen drückt die Kraft auf alle Ladungsträger pro Längeneinheit im Drahtstück aus.
Die resultierende Kraft auf alle Ladungsträger im Drahtstück ergibt sich zu
bzw.
r
r r
F = l⋅ I ×B
r r
r
F = I⋅ l ×B
(4a)
(4b)
dabei gilt:
r
r
r
l⋅ I = I⋅ l ≡ I⋅l⋅e
r
e ... Einheitsvektor in Draht-/Stromrichtung
r
r
l ... Drahtlänge mit „Vektorcharakter“ || I
44
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
Kommentar:
Die Kraft ist unabhängig davon, wie der Strom zu Stande kommt (viele/wenige
Ladungsträger, viel/wenig Ladung pro Ladungsträger, große/kleine Driftgeschwindigkeit)! Entscheidend ist nur der Strom, also Ladung pro Zeit.
Einschub zur Richtungskonvention
u
!
für positive Ladungsträger (q > 0) gilt:
r
r r r r I
E~v~ I~ j≡
A
r
v ... Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger
In Metallen sind die frei beweglichen Ladungsträger die Elektronen (q = -e), sie
bewegen sich natürlich entgegengesetzt. Die Formeln gelten natürlich auch dort,
wir müssen nur q = -e einsetzen.
−
Wir betrachten eine stromdurchflossene Leiterschleife im Magnetfeld:
Nur die Leiterstücke
AB und CD führen zu
einer Drehung.
Die Kräfte auf BC und
D/A kompensieren
einander!
Nun untersuchen wir den Schnitt durch diese Leiterschleife:
Zur Drehung tragen
nur die Kraftkomponenten senkrecht zur
r
Leiterschleife bei ( Fn ).
Die Kraftkomponenten tangential dazu
r
( Ft ) kompensieren sich.
−
Letztendlich zeigt sich, dass für das Drehmoment M gilt:
r
M = I ⋅ A ⋅ sin ϑ ⋅ B
(5)
45
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
Kommentar:
·
·
−
u
Das Drehmoment ist proportional zu A, d.h. entscheidend ist die Fläche!
(„Leiterstück AB bringt die Kraft, Leiterstück BC bringt den Hebelarm“)
Außerdem ist das Drehmoment winkelabhängig (~ sin θ). Es versucht, die
Schleife senkrecht
r
r zum Magnetfeld zu stellen („maximale Wechselwirkung
zwischen I und B “). So funktionieren Messgeräte und Motoren!
Trick:
r
r
Einführung eines Vektors A mit | A | = A, Richtung senkrecht zur Leiterschleifenfläche und Berücksichtigung der Rechten-Hand-Regel bezüglich des Stromes I:
aus Gl. (5) folgt damit
r r
M = I⋅A×B
−
(6)
r
r
Mitunter werden I und A zum magnetischen Moment µ der Stromschleife zusammengefasst
r
r
µ = I⋅A
⇒
r r
M = µ×B
Kommentar:
(7)
(6‘)
u
·
Das magnetische Moment µ bestimmt, wie wir noch vertiefen werden, die
Stärke der „magnetischen Wirkung“ der stromdurchflossenen Leiterschleife. Es steigt mit der Fläche A und/oder dem Strom I.
!
·
Die stromdurchflossene Leiterschleife ist das magnetische Analogon zum
elektrischen Dipol, das magnetische Moment entspricht dem (elektrischen
Dipolmoment). Das Verhalten, d.h. die Wechselwirkung mit einem äußeren
Feld, ist völlig analog.
!
46
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
29.3.
Magnetfeld eines geraden Leiters
−
Wir betrachten das Magnetfeld eines
stromdurchflossenen Leiters
−
Eine genaue Untersuchung (z.B. durch
Messung der Kraft auf eine bewegte Probeladung q in Drahtnähe) liefert
r µ I
B= 0⋅
2π r
(8)
r
mit der Richtung von B lt. der Rechten-Hand-Regel. Dabei ist µ0 die magnetische Feldkonstante oder Induktionskonstante.
µ0 =
4π Vs
Vs
≈ 1,26 ⋅ 10 −6
7
Am
10 Am
−
µ0 ist ursprünglich einmal gemessen worden, inzwischen aber durch die Definition des Ampere in seinem Zahlenwert festgelegt.
−
Multipliziert man die Influenz- und Induktionskonstante, folgt
ε 0 ⋅ µ 0 = 8,85... ⋅ 10 −12
As
Vs
s2
⋅ 1,26... ⋅ 10 −6
≈ 11,1 ⋅ 10 −18 2
Vm
Am
m
Dieser Wert entspricht c-2 (c...Lichtgeschwindigkeit im Vakuum)!
1
= ε0 ⋅ µ0
c2
(9)
Dies ist kein Zufall, sondern wird auch durch komplexere Betrachtungen bestätigt.
29.4.
Einige allgemeine Eigenschaften des Magnetfeldes
r
Wir vergleichen dazu mit dem E -Feld:
1.)
·
r
Für das elektrische Feld E war
r
r2
r
∫r E ⋅ dr = −U12
(25 - 14)
r1
unabhängig vom Weg, d.h.
r
∫ E ⋅ dr = 0
Dies ist die aus <26.1.> bekannte KIRCHHOFFsche Maschenregel.
47
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
Wenn wir obigen Ausdruck analog
r
für das magnetische Feld B mittels
Integration längs R = const. um den
Draht bilden, erhalten wir
·
r
∫ B ⋅ dr
R =const.
=
µ0 I
⋅ ⋅ 2πR
2π R
= µ0 ⋅ I
Es lässt sich leicht zeigen, dass allgemein
gilt:
r
B
∫ ⋅ dr = µ 0 ⋅ I ges, innerhalb d. Kurve
geschlossene Kurve
2.)
·
(10)
r
Für das elektrische Feld E war außerdem
r ρ
div E =
ε0
(25 - 20)
Will man diesen Sachverhalt in integraler Schreibweise ausdrücken benötigt
man die Beziehung
r
E
∫ ⋅ dA =
geschl. Fläche
r
div
E
⋅ dV
∫
Volumen in
der Fläche
Dies ist der allgemein gültige mathematische Satz von GAUßOSTROGRADSKI, aus dem mit Gl. (25 - 20) folgt
r
E
∫ ⋅ dA =
geschl. Fläche
·
∫
Vol. in
d. Fläche
ρ
1
⋅ dV =
⋅ Q ges,in der Fläche
ε0
ε0
(25 - 10)
r
Für das magnetische Feld B gilt wegen der selben Mathematik
r
∫ B ⋅ dA
geschl. Fläche
=
r
∫ div B ⋅ dV
Volumen in
der Fläche
Da es aber keine magnetischen Ladungen gibt, die Quellen oder Senken
von Feldlinien sind, sondern magnetischen Feldlinien immer in sich geschlossen sind, gilt:
r
div B = 0
(11)
!
(12)
48
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
daher ist
r
B
∫ ⋅ dA =
geschl. Fläche
r
div
B
⋅ dV = 0
∫
Volumen in
der Fläche
(11)
Analog zum elektrischen Fluss heißt Φm magnetischer Fluss.
r
B
∫ ⋅ dA
Φm =
(13)
Fläche
Für nicht geschlossene Flächen ist der magnetische Fluss Φm im Allgemeinen nicht Null!
29.5.
−
!
Die magnetische Feldgröße H
r
r
Analog zum „Pärchen“ E ↔ D bildet man mit
r
1 r
H=
⋅B
µ0
(14)
eine zweite Feldstärkegröße1 für das Magnetfeld.
Maßeinheit:
−
[H] =
A
m
2
SI
Dies hat – wiederum analog – zur Folge, dass sich verschiedene Gleichungen
formal vereinfachen, z.B. Gl. (10)
r
H
∫ ⋅ dr = I ges, innerhalb d. Kurve
(10‘)
geschlossene Kurve
−
r
r
Der eigentliche Unterschied zwischen B ↔ H wird allerdings erst später deutlich werden, wenn wir Materie im Magnetfeld vertieft behandeln. Dann ergibt
sich in weiterer Analogie
r
r
B = µ ⋅ µ0 ⋅ H
µ ... Permeabilität des Materials
29.6.
−
1
2
(15)
Ursachen von Magnetfeldern
Es gibt zwei scheinbar unterschiedliche Ursachen für deren Existenz:
a) magnetische Materialien („Magnete“)
b) elektrische Ströme
Eine Zusammenstellung der in verschiedenen bekannten Lehrbüchern verwendeten Begriffe zur die
Beschreibung der elektrischen und magnetischen Felder findet sich im Anhang auf S. VI.
r
Dies folgt sofort aus <29.1.> und Gl. (8). Beachte wieder die Analogie zum E -Feld mit [E] = V ž m-1!
49
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
−
Hinter a) steckt die Tatsache, dass die Bausteine der Atome (Elektronen e-, Protonen p+, Neutronen n) kleine magnetische Momente besitzen, die wir uns als
„winzige Kreisströme“ vorstellen können.
magnetische
Momente
der e-, p+, n
ng
Überlageru
  
→
r
r
magnetisches
µ A = 0 (Kompensation)
Moment des =  r
r

µ
≠
0
Atoms
 A
−
r
Wenn die atomaren µ A bereits von sich aus (ohne äußeres Magnetfeld) parallel
ausgerichtet sind, liegt ein ferromagnetisches Material vor (= „Magnet“).
−
r r
Richtungskonvention für B , H : Vom Nord- zum Südpol
!
!
In diesem Fall sind die „atomaren Kreisströme“
wie in folgender Skizze orientiert:
−
Die Ursachen a) und b) sind also gar nicht so verschieden!
−
Magnetische Materialien werden in <31.> vertieft behandelt, in diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den Magnetfeldern von Stromanordnungen. Wir betrachten im
Experiment:
·
Draht,
·
Leiterschleife,
·
lockere und dichte Spule,
·
Ringspule,
·
HELMHOLTZ-Spulen(paar),
·
Überlagerung von Spulenfeldern (Vektoraddition).
−
Beispiel: HELMHOLTZ-Spulen
Als HELMHOLTZ-Spulen bezeichnet man die Anordnung zweier kreisförmiger
Stromschleifen (mit Radius R) genau im Abstand R.
n
!
50
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
⇒ Das resultierende Magnetfeld ist bei parallelem Strom relativ gut homogen,
bei entgegengesetztem Stromfluss hingegen relativ gut linear.
−
−
Kommentar zur langen Spule:
·
Mit zunehmender Spulenlänge ist das Feld mehr und mehr auf den Innenraum konzentriert.
·
Beim Grenzfall der unendlich langen Spule existiert das Feld nur innen und
ist dort homogen (Analogie zum Plattenkondensator!).
·
Die Ringspule kann als Näherung für die lange Spule betrachtet werden.
u
!
Wir untersuchen nun das Feld im Innern einer langen Spule.
r
r
Zunächst schreiben wir nun Gl. (10) mit Hilfe von Gl. (14) für H statt für B
r
∫ µ 0 H ⋅ dr =
geschl. Kurve
r
∫ B ⋅ dr = µ 0 ⋅ I ges, innerhalb d. Kurve
geschl. Kurve
es folgt also
r
H
∫ ⋅ dr = I ges, innerhalb d. Kurve
(10‘)
geschl. Kurve
Wir wenden nun Gl. (10‘) auf die Kurve K in der Skizze an
51
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
Anzahl der Windungen innerhalb der Kurve K
ä
H ⋅ l = I ges = I ⋅ n
n
l
æ
Windungen pro Länge
H⋅l = I⋅l⋅
H
= I⋅
n
l
Kommentar:
Iges würde einem gerollten
Blech entsprechen.
(16)
u
Dies geht ebenso, aber
technisch wird eben die
flächenhafte Stromverteilung über das Aufwickeln
von isolierten Drähten
verwirklicht.
29.7.
−
Der Satz von BIOT-SAVART
Beim elektrischen Feld war
r r
E( r ) =
r
q
r
⋅
2
4πε 0 r r
(25 - 4)
r
das Feld einer Ladung q am Punkt P( r )
(wenn q am Ursprung sitzt).
−
Gibt es noch weitere Ladungen q‘, q‘‘, ... müssen wir die Felder der einzelnen
Ladungen addieren (vgl. Beispiel des elektrischen Dipols in <25.4.>). Es gilt also das Superpositionsprinzip (Ursache dafür ist die Linearität der Gl. (25 - 4))
−
Das Superpositionsprinzip gilt auch für magnetische Felder.
·
·
!
elektrisches Feld: Überlagerung vieler kleiner Punktladungen dq
magnetisches Feld: Überlagerung vieler kleiner Stromelemente dI
52
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
Das Stromelement
dI ~ I ⋅ dl bewirkt
r
am Punkt P( r ) ein
Feld dH mit
dH ~ I ⋅
1
r2
Dieses Feld zeigt die gleiche Abstandsabhängigkeit wie Gl. (25 - 4). Man muss
aber noch die Richtung berücksichtigen, denn im Gegensatz zum elektrischen
Feld ist
r
r r
r
H ⊥ dl und H ⊥ r (nicht ~ r !)
Es zeigt sich, dass gilt
r
I ⋅ dl × r
dH =
4πr 3
(17)
Dies ist das Gesetz von BIOT-SAVART.
Mit dessen Hilfe kann man im Prinzip die Magnetfeldverteilung jeder beliebigen Stromanordnung (Spule, etc.) berechnen.
29.8.
−
!
Bewegte Bezugssysteme
Gedankenexperiment:
Eine Ladung q bewege
r
sich mit v im Laborsystem.
Im Labor herrscht ein
homogenes Magnetfeld
r
B
Beobachter A befindet sich im Labor, Beobachter B fliegt neben der Ladung her,
r
d.h. er befindet sich in einem relativ zum Labor mit v bewegten Bezugssystem.
−
Beobachter A: Die Ladung erfährt eine LORENTZ-Kraft
r
r r
FL = q ⋅ v × B
53
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
−
r
r
r
Beobachter B: Auch er mißt B , für ihn ist aber FL' = 0 , da die Ladung in seinem System ruht.
Er merkt natürlich auch, dass auf q eine Kraft wirkt, kann diese
aber nur als COULOMB-Kraft interpretieren
r
r
r
r r
F' = q ⋅ E ' = F = q ⋅ v × B
å
â
æ
(Beobachter B) Kraft muss
(Beobachter A)
ein und dieselbe sein!
⇒
(18)
r
Im bewegten Bezugssystem herrscht also ein elektrisches Feld E ' ,
das vom Magnetfeld im Laborsystem herrührt (vgl. b) in Gl. (20a))
⇒
−
r r r
E' = v × B
elektrisches Feld
magnetisches Feld
−
(19)
r
r
Wenn im Laborsystem außer dem B -Feld auch noch ein E -Feld existiert, so
spürt dieses der bewegte Beobachter auch (vgl. a) in Gl. (20a)).
ruhendes System
!
!
r
mit v bewegtes System
r
E
r
B
r r r r
E' = E + v × B
â
â
a)
b)
r r 1 r r
B' = B − 2 ( v × E )
c
â
â
c)
d)
(20a)
(20b)
Nun zum magnetischen Feld im bewegten Bezugssystem:
·
r
Wenn es im Laborsystem ein Magnetfeld B gibt, spürt das der Beobachter
B auch (vgl. c) in Gl. (20b)).
(Dass er keine LORENTZ-Kraft findet, liegt ja an vrel = 0! In dem Maße, in
dem sich die Ladung durch „seine“ COULOMB-Kraft zu bewegen beginnt,
wirkt auch für ihn eine LORENTZ-Kraft auf die Ladung!)
·
r
r
Es ist jedoch nicht überraschend, dass nicht nur ein E ' -Feld-Anteil aus B
erwächst, nämlich, wie schon erwähnt,
r r r
E' = v × B
r
r
sondern auch ein B' -Feld-Anteil aus dem E -Feld des ruhenden Systems.
54
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
Es zeigt sich, dass dieser Anteil (Glied d) in Gl. (20b)) folgende Gestalt hat
r
r r
1 r r
B' = − 2 ( v × E ) = −µ 0 ε 0 ( v × E )
c
r
r
Im bewegten System herrschen E und B des ruhenden Systems
r
r
r
(Teile a), c)) und dazu noch ein E ' -Anteil aus B sowie ein B' -Anteil
r
aus E (Teile b), d) der Gleichungen (20a) und (20b).
−
Also:
−
Dies gilt für v << c, ist also keine relativistische Elektrodynamik!
!
55
Elektrizitätslehre – Induktion
30.
Induktion
30.1.
Grundlegende Experimente
−
Der magnetische Fluss durch eine Fläche war
Φm =
r
B
∫ ⋅ dA
(29 - 13)
Fläche
−
Beleuchten wir nun verschiedene Experimente nach FARADAY (1831), bei denen der magnetische Fluss Φm durch eine Leiterschleife variiert und beobachtet
wird, was sich in einem die Fläche umrandenden Draht tut.1
·
·
·
·
·
Heran- /Wegschieben eines
Permanentmagneten
Heran-/Wegschieben einer
stromdurchflossenen Spule
 beides ist

 äquiva lent!

Ein-/Ausschalten des
Stroms in der Spule
Drehung der Leiterschleife
im homogenen Magnetfeld
Flächenänderung der Leiterschleife
 Änderung

 der (eff.)
 Fläche



 Änderung
r r

B
/H
von
















jegliche
Änderung des
magn.
Flusses
Φm
⇒ Bei einer Änderung des magnetischen Flusses Φm durch die Leiterschleife
t2
& m ⋅ dt = Φ m, 2 − Φ m ,1
∆Φ m = ∫ Φ
(1)
t1
wird in der Leiterschleife eine Spannung U induziert, so dass
1
Die Experimente im Rahmen der Vorlesung werden mit einer Ringspule statt mit einer Leiterschleife durchgeführt, um den Effekt zu verstärken. Im Prinzip ist dieses Vorgehen dasselbe wie mit einer
Leiterschleife, da man eine Spule als Summe von n Leiterschleifen auffassen kann!
56
Elektrizitätslehre – Induktion
∆Φ m =
t2
∫ U ⋅ dt
(2)
t1
ist. Die Frage nach dem Vorzeichen wird noch zu klären sein!
−
Es zeigt sich, dass nicht nur die Integrale in Gl. (1) und Gl. (2) gleich sind, sondern zu jedem Zeitpunkt gilt
&m
Φ
−
& m ( t ) = U( t )
Φ
å
æ
in der Fläche
in der Leiterschleife induzierte Spannung
(3)
r
Die Spannung längs des Drahtes ist gleichbedeutend mit der Existenz eines E -Feldes
im Draht. Außerdem liefert eine genaue (experimentelle) Betrachtung das Vorzeichen
r
U=
∫ E ⋅ dr
&m
= −Φ
(4)
entlang Leiterschleife
r
Das elektrische Feld E existiert natürlich nicht nur in der Leiterschleife, sondern
im gesamten Raum, in dem sich der magnetische Fluss Φm ändert.
!
Es gibt offenbar an jedem Punkt im Raum einen Zusammenhang zwischen der
r&
r
zeitlichen Änderung des magnetischen B -Feldes, B , und einem dadurch herr
vorgerufenen elektrischen Feld E .
Analog <25.3.> eine Ergänzung für die Spezialisten zur Frage, wie dieser Zusammenhang aussieht.
−
!
Wir betrachten den Grenzfall, dass die Leiterschleife nur noch aus einer kleinen
Fläche dA besteht. Für diesen Grenzfall gilt
r
r
E
⋅
dr
≡
rot
E
⋅ dA
∫
"um dA
herum"
r
Mit der Rotation des E -Feldes1 folgt aus Gl. (4)
r
&m
rot E ⋅ dA = −dΦ
(5)
Aus Gl. (29 - 13) folgt leicht
r
dΦ m = B ⋅ dA
1
(6)
r
r
rot E ist eine nach bestimmter Vorschrift gebildete Funktion f( E ) mit Vektorcharakter.
57
Elektrizitätslehre – Induktion
abgeleitet nach der Zeit t unter der Annahme, dass das winzige Flächenelement dA
sich nicht ändert
r&
&m =B
dΦ
⋅ dA
(7)
Ein Vergleich der Gl. (5) und (7) ergibt
r
r&
rot E = − B
−
Die Gl. (4) und (8) sind die integrale und differentielle Schreibweise des Induktionsgesetzes.
r
Gl. (8) macht deutlich: Zeitliche Änderungen des magnetischen Feldes B sind
r
stets mit elektrischen Feldern E verknüpft, die senkr&
recht auf B stehen.
30.2.
−
(8)
!
Rolle der LORENTZ-Kraft, LENZsche Regel und anderes
& m lt. Gl. (4) kann bewirkt werden durch
Ein veränderlicher magnetischer Fluss Φ
r
r& r
·
Variation des Magnetfeldes B innerhalb der Fläche ( B ≠ 0 )
r
·
Änderung der Flächengröße bzw. ihrer Orientierung relativ zum Magnetfeld B
Manche Induktionsphänomene sind durch die LORENTZ-Kraft zu verstehen, andere nicht.
!
1.) Veränderung
der
Spulenfläche A im
homogenen Magnetfeld
·
·
r
r
Es tritt eine LORENTZ-Kraft FL im mit v bewegten Leiterstück auf die
dort befindlichen Ladungsträger auf.1 ⇒ Strom bzw. Spannung messbar
Man kommt zum gleichen Ergebnis, wenn man folgende Argumentationskette betrachtet:
r
Das mit v bewegte Leiterstück bewirkt pro Zeiteinheit eine Veränderung
&m
der Spulenfläche A (∆A/∆t) und damit einen veränderlichen Fluss Φ
durch A, was nach Gl. (4) zu einer Spannung U bzw. einem Strom I führt.
1
Die in der Skizze gezeichnete Richtung der LORENTZ-Kraft bezieht sich auf positive Ladungsträger!
58
Elektrizitätslehre – Induktion
2.)
−
Wenn man dagegen ein zeitlich veränr
derliches homogenes Magnetfeld B( t )
betrachtet, ist die entstehende Spannung U nur über Gl. (8) verständlich
r&
( B erzeugt ein „umlaufendes“ elektrir
sches Feld E )
Bringt man in die Spule einen Eisenkern (µ > 1), wird die induzierende Wirkung sehr
verstärkt.
r
Tatsächlich ist also das durch die Materie stark B erhöhte (µ > 1, siehe folgenr
de Gleichung) und nicht H für den Induktionsvorgang maßgebend.
r
r
B = µ ⋅ µ0 ⋅ H
−
!
(29 - 15)
Wir analysieren nun das Vorzeichen in Gl. (4):
r
Beispiel "Einschalten" eines B -Feldes durch eine Leiterschleife durch schnelles
Heranführen eines Permanentmagneten:
n
Die induzierte Spannung U bzw. der daraus
resultierende Strom I folgen aus Gl. (4) und
der Rechten-Hand-Regel.
Der induzierte Strom
erzeugt seinerseits ein
Magnetfeld.
⇒ Die Leiterschleife wird zum magnetischen Dipol, der so orientiert ist, daß er
den herangeführten Magneten abstößt.
Der induzierte Strom ist stets so gerichtet, dass sein Magnetfeld der Induktionsursache entgegenwirkt (LENZsche Regel).1
1
!
Der in der LENZschen Regel beschriebene Sachverhalt ist eigentlich trivial, sonst würde sich jeder
Induktionsvorgang von selbst „hochschaukeln“. Große Bedeutung erlangt diese Regel jedoch aufgrund ihrer Anschaulichkeit.
59
Elektrizitätslehre – Induktion
−
r
Bis jetzt haben wir Drähte oder Spulen betrachtet. Das E -Feld ist aber überall,
r& r
wo B ≠ 0 ist.
!
⇒ in massiven Körpern werden (unter Umständen bizarre) dreidimensionale
Stromverteilungen induziert, die als Wirbelströme bezeichnet werden.
Die sich daraus ergebenden Wirkungen sind:
r
·
mechanische Kraftwirkung zwischen Quelle des primären B -Feldes und
dem Körper, in dem die Wirbelströme induziert werden
·
Umwandlung von elektrischer in Wärmeenergie infolge der endlichen elektrischen Leitfähigkeit (OHMsche Verluste, vgl. <26.4.>)
Praktisch bemerkt man diese Auswirkungen bei erwünschten oder auch nicht
erwünschten Vorgängen wie z.B.
·
Abbremsen/Beschleunigen (WALTENHOFsches Pendel, Wirbelstrombremse,
Induktionskanone)
·
Erwärmung durch Stromfluss
−
Physikalisch sind die Wirbelströme nichts anderes als Induktionsströme! Die
Begriffsbildung zeigt, dass sie hier oft als unerwünscht betrachtet werden.
Welches Gegenmittel gibt es ?
−
⇒
geschichtete Materialien!
Grund: Viele kleine Stromwirbel haben weniger Verlustleistung als wenige große.
!
vereinfachter Beweis:
Die OHMsche Verlustleistung ergibt sich aus den Gl. (26-14), (26-15) und (26-16)
U2
P = I⋅U = I ⋅R =
R
2
Unter Ausnutzung der beiden bekannten Beziehungen für die Spannung U
und den Widerstand R
U = E⋅l
l
R = ρ⋅
A
folgt aus Gl. (26-16)
E2 ⋅ l2 ⋅ A
P =
ρ⋅l
V = A⋅l
60
Elektrizitätslehre – Induktion
P =
E2 ⋅ V
ρ
P E2
=
V
ρ
â
Verlustleistungsdichte
(9)
r
Wir betrachten einen E -Wirbel. Für diesen gilt
r
E
r
rot E ≈
d2
mit Gl. (8) folgt
& ≈ 2⋅E
B
d
und nach Umformung
⇒
E≈
&
d⋅B
2
(10)
Setzt man Gl. (10) in Gl. (9) ein, ergibt sich für die Verlustleistungsdichte
&2
P d2 ⋅ B
≈
V
4⋅ρ
Also:
30.3.
−
Eine Begrenzung der Wirbelgröße (d.h. von d) durch Schichtung des
Materials reduziert die Verlustleistungsdichte („Trafoblech“)!
Induktivität; Spule im Stromkreis
Jeder Stromkreis erzeugt ein Eigenmagnetfeld und wird daher von einem selbst
erzeugten Magnetfluss Φm,s erfüllt.
!
Φ m ,s ~ I
å
(Eigen-)Magnetfluss
æ
Strom im Stromkreis
Die Proportionalitätskonstante heißt Induktivität L
Φ m ,s = L ⋅ I
(11)
Dabei hängt L von der Geometrie sowie der Permeabilität µ der Umgebung ab.
61
Elektrizitätslehre – Induktion
−
Der Magnetfluss Φm,s erzeugt eine induzierte Spannung USI1, die sich mit Gl. (4)
und (11) wie folgt schreiben lässt
& m,s = L ⋅ I&
U SI = −Φ
(12)
Dieser Vorgang wird als Selbstinduktion bezeichnet.
−
Uns interessiert nun Maßeinheit von L.
Maßeinheit:
& ] =  d  ⋅ [B] ⋅ [A] = 1 ⋅ Vs ⋅ m 2 = V
[Φ
 dt 
s m2
 
Maßeinheit:
[&I] =
2
A
s
SI
SI
Mit Hilfe von Gl. (12) lässt sich nun die Maßeinheit von L leicht bestimmen
Maßeinheit:
−
[ L] =
V
J
= 2 = Ωs = H ... Henry
−1
As
A
SI
Wir berechnen nun die Induktivität einer Spule mit N Windungen, der Querschnittsfläche A und der Länge L , erfüllt mit einem Material der Permeabilität µ.
H = I⋅
N
l
(29 - 16)
mit Gl. (29-15) erhält man
⇒
B = µ ⋅ µ0 ⋅ I ⋅
N
l
(13)
Durch jede Windung tritt der Fluss
Φ m ,s = B ⋅ A
durch alle N Windungen zusammen der Fluss
Φ m ,s = N ⋅ B ⋅ A
(14)
Gl. (13) in Gl. (14) eingesetzt ergibt
⇒
1
2
Φ m ,s = µ ⋅ µ 0 ⋅ I ⋅ N 2 ⋅
A
l
(15)
Wie in <30.1.> schon erwähnt, erzeugt jegliche Änderung des magnetischen Flusses Φm eine Induktionsspannung, also auch der selbst erzeugte Magnetfluss!
Dieses Ergebnis verwundert wegen des Induktionsgesetzes in Form von Gl. (4) überhaupt nicht!
62
Elektrizitätslehre – Induktion
Ein Vergleich von Gl. (15) und (11) liefert letztlich
⇒
L = µ ⋅ µ0 ⋅ N 2 ⋅
A
l
u
Kommentar:
·
Jede leitfähige Elektrode hat eine Kapazität, ein Kondensator ist lediglich
auf maximale Kapazität gezüchtet.
·
Jede stromdurchflossene Leiterschleife hat eine Induktivität, eine Lange
Spule mit vielen Windungen ist auf maximale Induktivität gezüchtet.
·
−
(16)
Ein hohes µ steigert die Induktivität L (Analogie zu ε beim Kondensator).
!
!
Wir untersuchen nun das Verhalten einer
Spule im Stromkreis
Am Widerstand R liegt also nicht U0 an,
sondern
U R = I ⋅ R = U 0 − L&I
(17)
Beim Schließen des Schalters S ist zunächst &I maximal, aber I (noch) Null
⇒ die gesamte Spannung fällt an der Spule L ab
U 0 = L ⋅ &I
⇒
I( t ) =
U0
⋅t
L
Mit zunehmendem Strom I fällt mehr und mehr Spannung am Widerstand R ab
und weniger an der Spule L
⇒ &I sinkt allmählich und der Strom I geht in Sättigung über gemäß
I
=
U0
R
Die vollständige Lösung von Gl. (17) lautet letztlich
⇒
I( t ) =
mit
τ=
U0
R
t

− 
1 − e τ 




(18)
L
... Zeitkonstante
R
Kommentar:
Bei großer Induktivität L / kleinem Widerstand R (Elektromagneten!) kann τ einige Minuten betragen!
u
63
Elektrizitätslehre – Induktion
Öffnungsfunken
·
Beim Einschalten ist das maximale &I (dies ist &I(0) ) begrenzt auf
U0
&I
max =
L
Dies folgt aus den eben angestellten Überlegungen zum Verhalten einer
Spule im Stromkreis, U0 ist dabei primär.
·
Anders beim Ausschalten (Öffnen) des Stromkreises: Hier ist der bis zuletzt
fließende Strom
I Sät =
U0
R
primär und sein zwangsweise sehr schneller Abfall &I führt bei großem L auf
eine unter Umständen sehr hohe Induktionsspannung
U SI = − L ⋅ &I
die sich über dem sich öffnenden Schalter abfällt. Es entsteht ein Öffnungsfunken bzw. eine Bogenentladung mit Materialabtrag!
−
Was geschieht bei einer Parallelschaltung
von Spule und Widerstand?
Im stationären Zustand liegt am Widerstand R sowie an der Spule L + RL (RL ist
der OHMsche Widerstand der Spule) jeweils dieselbe Spannung an.
64
Elektrizitätslehre – Induktion
Wenn der Innenwiderstand der Spannungsquelle Ri vernachlässigbar ist, beträgt
diese Spannung U0.
Interessant ist folgendes Phänomen: Wenn beim Öffnen des Schalters S der Strom I zusammenbricht, entsteht ein großes &I und eine Selbstinduktionsspannung USI, die einen
neuen Strom in der Masche M schafft, der folgender Differentialgleichung gehorcht:
U SI = − L ⋅ &I = I ⋅ (R + R L )
(19)
Das Lösen der Differentialgleichung (19) führt auf
−
t
I( t ) = I 0 ⋅ e τ
I0 ... Strom in der Spule vor dem Abschalten
t ... . Zeit seit dem Öffnen des Schalters S
mit
τ=
30.4.
−
−
⇒
(20)
L
... Zeitkonstante
R + RL
Energiedichte im Magnetfeld
Betrachtungsweise: Das Fließen des „Abschaltstromes“ lt. Gl. (20) geht einher
mit dem Abbau des Magnetfeldes in der Spule.
Dies ist interpretierbar als Umwandlung von magnetischer Feldenergie in
JOULEsche Wärme in den Widerständen R und RL.
!
Umgekehrt verkörpert das langsame Ansteigen des Stromes lt. Gl. (18) den
Aufbau des Magnetfeldes.
!
Wir berechnen die magnetische Feldenergie über die Betrachtung der durch den
Strom lt. Gl. (20) in Wärme umgewandelte Energiemenge WJ:
∞
WJ = ∫ I 2 ⋅ (R + R L ) ⋅ dt
1
0
Mit I2 lt. Gl. (20) entsteht
∞
WJ = ∫ I 0 e
2
−
2t
τ
⋅ (R + R L ) ⋅ dt
0
Das Lösen des Integrals führt schließlich auf
WJ =
1
1 2
⋅ I0 ⋅ L
2
Der Index „J“ steht für JOULEsche Wärme und dient der Unterscheidung von der Energie des Magnetfeldes!
65
Elektrizitätslehre – Induktion
Mit Gl. (16) für L folgt
WJ =
1 2
A
⋅ I0 ⋅ µ ⋅ µ0 ⋅ I ⋅ N 2 ⋅
2
l
(21)
Wir sortieren lediglich um
WJ =
N ⋅ I0 N ⋅ I0
1
⋅ µ ⋅ µ0 ⋅
⋅
⋅A⋅l
2
l
l
V = A⋅l
Mit Gl. (13) und (29 - 16) folgt daraus
WJ =
!
1
⋅ B ⋅ H ⋅ V = Wmagn
2
(22)
Aus diesem Ausdruck folgt die Energiedichte des magnetischen Feldes
w magn =
Wmagn
V
=
1
⋅B⋅H
2
(23)
die analog zu Gl. (28 - 16) für das elektrische Feld ist. Sie ist - ebenso wie
Gl. (28 - 16) für das elektrische Feld - allgemeingültig, obwohl sie hier für einen
Sonderfall hergeleitet wurde.
66
Elektrizitätslehre – Magnetische Materialien
31.
Magnetische Materialien
31.1.
Magnetisierung
−
Experiment:
Wir haben zwei sich über ihre Magnetfelder beeinflussende Spulen und schalten
den Strom in Spule 1 ein.
r& r
r
r
⇒ B - bzw. H -Feld dieser Spule baut sich auf, d.h. es tritt ein B ≠ 0 auf
⇒ es kommt zu einem ∆Φm in Spule 2, d.h. es entsteht ein Spannungsstoß
∫ U ⋅ dt = ∆Φ m
a)
(30 - 2)
Spule 1 leer:
Der Strom in Spule 1 erzeugt
H = I⋅
n
l
(29 - 16)
Analog steigt B von Null auf
n
l
â
=H
B = µ0 ⋅ I ⋅
(29 - 14)
⇒ es kommt zu einem bestimmten ∆Φm ~ Spannungsstoß
b) Spule 1 mit Eisenkern:
Es wird wiederum erzeugt
H = I⋅
n
l
Jedoch steigt B von Null auf
n
l
µ ... Permeabilität (hier µ > 1)
B = µ ⋅ µ0 ⋅ I ⋅
⇒ ∆Φm und der Spannungsstoß sind um den Faktor µ erhöht!
67
Elektrizitätslehre – Magnetische Materialien
−
Deutung:
·
·
Die "atomaren magnetischen Dipole" richten sich unter dem Einfluss des Mar
gnetfeldes aus. Es entsteht die magnetische Polarisierung (Magnetisierung) J .
r
Die Magnetisierung J kann man verstehen als Menge des ausgerichteten
r
r
magnetischen Moments µ pro Volumen. P :
r µr
J=
V
·
!
!
(1)
r
Hinsichtlich der Magnetfeldabhängigkeit von J zeigt sich
r r
J~H
(1)
Die Proportionalitätskonstante heißt magnetische Suszeptibilität χ
r
r
J = χ⋅H
−
Rückblick:
·
·
−
(2)
r
Quellen/Senken für D waren die beweglichen, echten Ladungen auf den
r
Kondensatorplatten; Quellen/Senken für E waren alle Ladungen, auch die
r
Polarisationsladungen infolge der P -Entstehung.
r
Hier verhält es sich nun analog: Ursache für H sind nur die freien, echten
r
Ströme in Spulen, etc.; Ursache für B sind alle Ströme, auch die Kreisströme,
r
die wir uns als Ursache für J denken können.
!
r
r
r
Das B -Feld im Material setzt sich also aus H und J zusammen!
r
r r
B = µ 0 ⋅ (H + J )
(3)
bzw. mit Gl. (2)
r
r
B = µ 0 ⋅ (1 + χ) ⋅ H
ersetzt man in dieser Gleichung
µ = 1+ χ
µ ... Permeabilität
so erhält man, die uns schon bekannte Form
r
r
B = µ0 ⋅ µ ⋅ H
(4)
68
Elektrizitätslehre – Magnetische Materialien
−
r
Betrachten wir das Kreisstrombild von J in einem polarisierten magnetischen
Material:
⇒ Im Innern kompensieren sich
die Ströme, netto bleibt nur
ein Kreisstrom in der Oberfläche übrig!
−
Beispiel:
Spule mit Materie (µ = 3, entsprechend χ = 2). Die Stärke der Felder wird durch
die Anzahl der Feldlinien im betrachteten Bereich ausgedrückt:
r
Das H -Feld ist gleich für eine Spule
mit oder ohne Materie.
n
⇒ 3 Feldlinien
r
1 r
H=
⋅ B0
µ0
In der Materie im Spuleninnern existiert
r
ein J -Feld und ein „Oberflächenstrom“
r
r
J = 2⋅H
⇒ 6 Feldlinien (χ = 2!)
r
Das B -Feld einer Spule mit Materie
setzt sich nun aus beiden Anteilen zusammen; in der Skizze ist dargestellt
r r 1 r
H+J =
⋅B
µ0
⇒ 9 Feldlinien (6 + 3 Feldlinien !)
−
Die vorgetragenen Überlegungen gelten für vollständige magnetische Polarisation, d.h. einen langen dünnen Stab in einer langen dünnen Spule.
r
Anderenfalls ist die Magnetisierung J kleiner als Gl. (2) angibt.1
!
Mit zunehmender Abweichung von der Orientierung „Stab || Magnetfeld“ nimmt
die Entmagnetisierung zu! Eine Kugel oder eine quer liegende Platte lässt sich
schlechter magnetisieren!
1
Dieses Problem ist wiederum analog zu dem, was wir bei Dielektrika besprochen haben (vgl. <28.5.>).
69
Elektrizitätslehre – Magnetische Materialien
−
Betrachten nun eine nur unvollständig mit Materie erfüllte Spule:1
Im materieerfüllten Teil gilt wieder:
r
H -Feld ⇒ 3 Feldlinien
r
J -Feld ⇒ 6 Feldlinien
⇒ 9 Feldlinien insgesamt
r r 1 r
H+J =
⋅B
µ0
r 1 r
J=
⋅B
µ0
Im materielosen Teil existiert nur:
r
H -Feld
⇒
3 Feldlinien
⇒ 3 Feldlinien insgesamt
Kommentar:
r
H ist überall gleich, weil es nur von echten Strömen beeinflusst wird und
·
solche gibt es im Spuleninneren nicht.
r
·
B macht einen Sprung an der Oberfläche des Materials (X), da es auch von
der dort existierenden „Oberflächenstromdichte“ bestimmt wird.
u
Diese Aussage gilt nur für den Sonderfall, für den sie hergeleitet wurde: Die Kompor
r
nente tangential zur Oberfläche ist bei H stetig, die von B macht einen Sprung.
!
Ganz anders verhält es sich bei der Komponente senkrecht zur Materieoberfläche:
r
Hier muss B stetig durch die Grenzfläche gehen, weil es keine magnetischen Ladungen gibt.
!
bzw. mit anderen Worten formuliert:
r
div B = 0
(29 - 12)
Die Veranschaulichung erfolgt wieder anhand des bekannten Beispiels (µ = 3):
1
r
r
Das B - und H -Feld werden durch die gleiche Symbolik wie in den vorangegangenen Skizzen dargestellt.
70
Elektrizitätslehre – Magnetische Materialien
im Material
1 r
B : 9 Feldlinien
µ ⋅ µ0
⇑
r
H : 3 Feldlinien
außerhalb des Materials
⇒
1 r
B : 9 Feldlinien
µ ⋅ µ0
⇓
r
H : 9 Feldlinien
Kommentar:
Das Verhalten im Material ist wie oben besprochen. Aber: innen und außen
r
r
r
muss B = µµ 0 H gelten und die senkrechte Komponente von B stetig durch die
Grenzfläche (X) gehen! Da nun µ = 3 im Innern und µ = 1 außerhalb des Mater
rials ist, kann sich nur H verändern.
31.2.
−
u
Diamagnetismus und Paramagnetismus
Experimente:
·
Wismutkügelchen ⇒ wird aus inhomogenen Magnetfeld herausgedrückt
·
Platinkugel oder paramagnetische Flüssigkeit wird in inhomogenes Magnetfeld hineingezogen
Man unterschiedet:
⇒ diamagnetische Stoffe mit µ < 1 ⇒ χ < 0 (z.B. Bi)
⇒ paramagnetische Stoffe mit µ > 1 ⇒ χ > 0 (z.B. Pt)
−
In beiden Fällen sind allerdings die Abweichungen von 1 bzw. 0 sehr gering:
Beispiele:
−
Stoff
Bi
Sb
Ag
NaCl
O2
CuSO4 ž 5 H2O
Pt
Mn
magnetische Suszeptibilität χ (für 20 °C)
156 ž 10-6


71 ž 10-6
-6
 diamagnetisch
25 ž 10

14 ž 10-6

-6
1,9 ž 10


176 ž 10-6
 paramagnetisch
257 ž 10-6

-6
883 ž 10

Detail-Diskussion:
!
!
!
n
u
1.) Diamagnetismus
r
r
r
r
·
Wegen χ < 0 ist J dem H -Feld entgegengerichtet ( J ↑↓ H ).
·
Die Reaktion des diamagnetischen Materials ist eigentlich die „normale“:
Die durch das Magnetfeld im Material induzierten Kreisströme wirken
der Ursache ihrer Entstehung entgegen (LENZsche Regel)!
71
Elektrizitätslehre – Magnetische Materialien
In der Tat gibt es Diamagnetismus bei jeglichen Stoffen, er wir nur gegebenenfalls vom Paramagnetismus (oder Ferromagnetismus) übertönt.
·
!
Vorstellung:
r
∗ Das H -Feld versucht atomare Kreisströme (z.B. das umlaufende
Elektron) auszurichten, so dass resultierende magnetische Momente entstehen.1
∗ Die Kreisströme sind jedoch an eine mechanische Trägheit gebunden (Kreisel) und es gilt die Drehimpulserhaltung.
⇒ es entsteht eine Präzessionsbewegung der atomaren Kreisströme2
(d.h. der Elektronenhülle des Atoms)
∗ Die Präzessionsbewegung stellt einen induzierten Kreisstrom dar,
der seiner Ursache entgegenwirkt (LENZsche Regel).
2.) Paramagnetismus
r
r
r
r
·
Wegen χ > 0 ist J parallel zum H -Feld gerichtet ( J ↑↑ H ).
·
Bei paramagnetischen Stoffen gibt es eine Nicht-Kompensation atomarer magnetischer Momente, d.h. die Atome besitzen ein permanentes
magnetisches Moment.
·
Das Magnetfeld versucht, diese Momente zu sich parallel auszurichten.3
·
(Hinweis: Es verhält sich jedoch nicht ganz so einfach: Die Quantenmechanik verlangt, dass nur diskrete Orientierungen zulässig sind, außerdem sind die Besetzungszahlen in den einzelnen Orientierungszuständen begrenzt.)
·
Die thermische Bewegung wirkt der Ausrichtung entgegen, es gilt näherungsweise
µ( T ) − 1 = χ( T ) ~
31.3.
−
·
·
2
3
(5)
Ferromagnetismus
Einige Substanzen zeigen eine sehr starke Magnetisierung (µ = 100 ... 1000),
die auch ohne äußeres Magnetfeld stabil bleibt:
·
1
1
T
!
Eisen (Fe), Cobalt (Co), Nickel (Ni)
Seltenerdmetalle (z.B.: Gadolinium (Gd), Terbium (Tb), Dysprosium (Dy),
Holmium (Ho), Erbium (Er), Thulium (Tm))
verschiedene Legierungen (z.B.: HEUSLER-Legierung (Mn mit Sn, Al, As,
Sb, Bi, B, Cu))
Dies ist also der zur Verschiebungspolarisation bei Dielektrika analoge Vorgang!
Dieser Vorgang stellt eine Analogie zum Kreisel mit festem angreifendem Drehmoment dar!
Es existiert wieder eine Analogie zur Orientierungspolarisation bei Dielektrika.
72
Elektrizitätslehre – Magnetische Materialien
−
Magnetisierungskurve:
JS ... Sättigungsmagnetisierung
JR ... Remanenzmagnetisierung
HC ... Koerzitivfeldstärke
µa ... Anfangspermeabilität
Kommentar:
Die Remanenzmagnetisierung JR ist die Magnetisierung ohne äußeres Feld.
·
Eine Hysterese(schleife) ist allgemein das „Nachhinken“ einer physikalischen Größe gegenüber ihrer Ursache.
u
·
−
Hartmagnetische Materialien benötigen zur Ummagnetisierung große Koerzitivfeldstärken HC (500 A ž cm-1 ≤ HC ≤ 20 kA ž cm-1); sie behalten ihre Magnetisierung bei bis zu hohen Gegenfeldstärken ⇒ Verwendung für magnetische Datenspeicherung (Festplatten, Tonbänder, etc.)
−
Magnetisch weiche Materialien benötigen nur kleine Koerzitivfeldstärken HC
(HC ≤ 2 A ž cm-1), d.h. sie lassen sich leicht ummagnetisieren ⇒ Verwendung
für Eisenkerne in Transformatoren, Motoren usw.
−
Die Fläche innerhalb
de Kurve ist ein Maß
für die Energie, die bei
einem Ummagnetisierungszyklus in Wärme
umgewandelt wird.
!
!
Daraus folgt die enorme Bedeutung der
weichmagnetischen
Materialien für elektrische Maschinen (bei
denen ständig ummagnetisiert wird).
Streng genommen ist die Energie
W = ∫ B ⋅ dH
73
Elektrizitätslehre – Magnetische Materialien
Jedoch kann man wegen des großen µ setzen
r
r r
r
B = µ 0 ⋅ (H + J ) ≈ µ 0 ⋅ J
−
r
Betrachten wir nun die Temperaturabhängigkeit der Sättigungsmagnetisierung J S .
allmähliche Abnahme von JS (T),
da die Wärmebewegung der
Ausrichtung entgegenwirkt
für T > TC (CURIE-Temperatur)
lässt sich gar keine elektrische
Magnetisierung mehr erreichen
⇒ Stoff wird paramagnetisch
·
·
Beispiele:
−
Stoff
Fe
Co
Ni
Gd
Dy
n
TC in K
1043
1400
631
1980
85
u
Kommentar: Vergleich mit Paramagnetismus
·
Ferro- und Paramagnetismus sind ja „von den Formeln her verwandt“, aber die
Magnetisierung ist beim Ferromagnetismus um 6 bis 7 Größenordnungen größer!
·
Eine Abschätzung zeigt, dass bei Eisen z.B. je Atom ein Elektron ausgerichtet ist, was zur Sättigung führt.
Beim Paramagnetismus sind wir weit von der Sättigung entfernt und bewegen uns auf einer „µa-Geraden“ (vgl. dazu die Skizze zur Magnetisierungskurve weiter oben).
31.4.
−
!
Eisenjoche und Elektromagnete
r
Wir wissen, dass bei senkrechtem Austritt das B -Feld stetig durchtritt und das
r
H -Feld „springt“ (vgl. <31.1.>)
realistisches Beispiel: ferromagnetisches Material (µ = 100)
innen
außen
B i = B = µ 0 ⋅ 100 ⋅ H i
⇒ Hi =
Also:
n
1
⋅B
µ 0 ⋅ 100
Ba = B = µ 0 ⋅ H a
⇒ Ha =
1
⋅B
µ0
r
Das H -Feld ist außen 100 x größer als im Innenraum!
74
Elektrizitätslehre – Magnetische Materialien
Was folgt für die Energiedichte?
wi =
Also:
−
1
1
⋅ B ⋅ Hi =
⋅ B2
2
200 ⋅ µ 0
wa =
1
1
⋅ B ⋅ Ha =
⋅ B2
2
2 ⋅ µ0
Die Energiedichte ist im Außenraum 100 x größer als innen!!!
Schlussfolgerung:
„Feldlinien wollen nur sehr ungern senkrecht austreten. Sie nutzen jede Möglichkeit, dem Material zu folgen.“
!
⇒ geschlossene Eisenkerne/Joche haben bei entsprechender Konstruktion
kaum äußere (Streu-)Felder.
−
Hubmagnet:
Das System versucht, die Energie
durch Reduzierung der Spaltbreite s
zu minimieren.
Die Feldenergie WF wächst mit s an
und es gilt für die Haltekraft F
F=
31.5.
!
dW
ds
Struktur der Ferromagnetika
−
Ein Raumbereich mit einheitlicher magnetischer Orientierung wird als
WEIßscher Bezirk oder ferromagnetische Domäne bezeichnet..
−
Die Orientierung geschieht dabei unter dem Gesichtspunkt der Energieminimierung.
!
Illustration: Reduzierung der magnetischen Feldenergie im Außenraum von
links nach rechts:
(Dies ist nicht ganz so einfach, da auch die Domänenwand-Energie beiträgt!)
75
Elektrizitätslehre – Magnetische Materialien
−
Wie sieht nun der Zusammenhang zwischen Magnetisierungsverhalten und Domänen aus?
Es bedeuten die einzelnen Phasen (1) Ausgangszustand, (2) reversible Wandverschiebung (stetig), (3) irreversible Wandverschiebung (ruckartig) und (4) Ummagnetisierung.
Kommentar:
Die Magnetisierung erfolgt in bestimmten kristallinen Richtungen.
−
BARKHAUSEN-Effekt: Hörbarmachung der ruckartigen irreversiblen Wandverschiebungen.
−
Physikalische Natur der
Domänenwände:
·
BLOCH-Wand.
·
NÉEL-Wand
(energetisch begünstigt bei dünnen
Schichten)
u
!
76
Elektrizitätslehre – Magnetische Materialien
31.6.
−
−
Antiferro- und Ferrimagnetismus
einfaches Bild:
·
Ferromagnetismus
·
Antiferromagnetismus
·
Ferrimagnetismus
Antiferromagnetismus:
Es kommt zur Wechselwirkung der magnetischen Momente auf atomarer Ebene,
so, dass zwei entgegengesetzt orientierte ferromagnetische Untergitter entstehen.
Oberhalb einer bestimmten Temperatur (NÉEL-Temperatur) wird diese Kopplung aufgehoben.
Beispiel: Urannitrid
−
n
Analog zu den vorangegangenen Deutungen lassen sich die Begriffe Ferro-,
Antiferro- bzw. Ferrielektrizität erklären.
77
Elektrizitätslehre – Wechselstrom I
32.
Wechselstrom I
32.1.
Erzeugung von Wechselströmen
−
Wir betrachten wieder die Leiterschleife im homogenen Magnetfeld von <29.2.>:
Wie wir dort bereits
festgestellt hatten führt
ein Strom in der Leiterschleife zu einem
Drehmoment
und
schließlich zu einer
Drehung.
Was geschieht jedoch nun, wenn ein
Drehmoment/eine
Drehung aufgeprägt
wird?
−
r
Im rechten Schenkel der Leiterschleife herrscht ein E ' -Feld1
r
r r
E = v×B
d.h.
r
E = E = v ⋅ sin α ⋅ B = v ⊥ ⋅ B
(29 - 20)
(1)
r
r
v⊥ ist dabei die Komponente von v , auf die es bei der Erzeugung von E wirklich ankommt!
Das elektrische Feld E entspricht einer Spannung US entlang des Schenkels von
Us = b ⋅ E
Mit Gl. (1) folgt daraus
U s = b ⋅ v ⋅ sin α ⋅ B
1
(2)
Aus <29.8.> ist bekannt, dass dies äquivalent ist zur LORENTZ-Kraft auf die Ladungen im Schenkel!
78
Elektrizitätslehre – Wechselstrom I
Die gesamte Spannung in der Schleife ist doppelt so groß.
U = 2 ⋅ US
Daraus folgt schließlich mit
v = ω⋅
⇒
⇒
−
a
2
a
U = 2 ⋅ b ⋅ ω ⋅ ⋅ sin α ⋅ B
2
A = b⋅a
U = B ⋅ A ⋅ ω ⋅ sin α
α = ωt
U = B ⋅ A ⋅ ω ⋅ sin ωt
(3)
Dasselbe erhält man, wenn man den magnetischen Fluss Φm durch die Leiterschleife betrachtet:
Φ m = B ⋅ A eff
= B ⋅ A ⋅ cos α
⇒
Φ m = B ⋅ A ⋅ cos ωt
(4)
Mit dem Induktionsgesetz (Gl. (30 - 4)) folgt aus Gl. (4)
⇒
U
& = −B ⋅ A ⋅ d cos ωt
= −Φ
m
dt
U
= B ⋅ A ⋅ ω ⋅ sin ωt = U 0 ⋅ sin ωt
Kommentar:
·
Die Spannung hat die Amplitude
(3)
u
U0 = B ⋅ A ⋅ ω
und ändert sich mit der Frequenz
ω
2π
ν ... Drehfrequenz der Schleife
ν=
Maßeinheit:
[ν] =
SI
1
s
79
Elektrizitätslehre – Wechselstrom I
·
·
Wie üblich vervielfacht sich die Spannung U mit der Windungszahl der Schleife.
Auch die Wechselspannungsquelle hat das „Klemmenspannungs-Problem“
(vgl. <26.2.>):
∗ Erfolgt keine Stromentnahme, ist die Klemmenspannung maximal, und zwar
U = U 0 ⋅ sin ωt
∗
Bei einer Stromentnahme fällt am Innenwiderstand der Spannungsquelle (= OHMSCHER Widerstand der Spule) ein bestimmter Spannungsanteil ab, und zwar
Ui = I ⋅ R i
·
32.2.
r
Das Magnetfeld B wird in der Regel durch Stromfluss erzeugt. Meist nimmt man
den selbst erzeugten Strom dazu (sog. selbsterregter Generator, sonst fremderregter
Generator). Der Start erfolgt dank der Restmagnetisierung (JR) des Eisenkerns!
Effektivwerte von Strom und Spannung
−
... sind ein Versuch, zeitlich veränderlichen Strom/Spannung mit Gleichstrom/Gleichspannung vergleichbar zu machen.
−
Wir betrachten die an einem OHMschen Widerstand umgesetzte Leistung
U = U 0 ⋅ sin ωt
⇒
I =
U U0
=
⋅ sin ωt
R
R
!
(3)
(5)
Wie wir später noch sehen werden, geht die einfache Berechnung des Wechselstromes in dieser Form nur beim OHMschen Widerstand!
Für die Leistung
P = I⋅U
(26 - 4)
folgt mit Gl. (3) und (5)
P =
−
U 02
⋅ sin 2 ωt
R
Mit Effektivwert von Spannung/Strom sind nun diejenigen Gleichspannungs-/Gleichstromwerte gemeint, die im zeitlichen Mittel dieselbe Leistung umsetzen, also
2
 U2

U eff
= P =  0 ⋅ sin 2 ωt 
R
 R
 zeitl. Mittel
(6)
!
(7)
80
Elektrizitätslehre – Wechselstrom I
Unter Verwendung des Additionstheorems
sin 2 α =
1 1
− ⋅ cos 2α
2 2
(8)
berechnet sich das zeitliche Mittel zu
⇒
 U 02

U 1 1

2


sin
t
⋅
ω
=  0  − ⋅ cos 2ωt  
 R

  zeitl. Mittel

 zeitl. Mittel  R  2 2
Dabei ist
(cos 2ωt )zeitl. Mittel = 0
und es folgt
⇒
2
 U 02

U 02 ! U eff
2


=
=
⋅
sin
ω
t

 R
R

 zeitl. Mittel 2 ⋅ R
(9)
Also ergibt sich für den Effektivwert:
⇒
U eff =
U0
2
≈ 0,71 ⋅ U 0
(10)
81
Elektrizitätslehre – Wechselstrom I
−
Die Angabe „220 V Wechselspannung“ ist die eines Effektivwertes.
Sie bedeutet: Es herrscht eine Sinusspannung mit
U 0 = 2 ⋅ 220 V ≈ 310 V
!
-
die einer Effektivgleichspannung von 220 V entspricht.
−
Die Äquivalenz betrifft die Wechselwirkung mit einem OHMschen Widerstand.
Bezüglich der Wechselwirkung mit einer Kapazität oder Induktivität verhält sich
ein Wechselstrom aber ganz anders, wie wir im folgenden Kapitel sehen werden.
32.3.
Wechselstromwiderstände
Für alle weiteren Erläuterungen sei ein Wechselstrom von
I( t ) = I 0 sin ωt
(X)
fest vorgegeben.
32.3.1.
−
OHMscher
Widerstand
In jedem Moment folgen die Spannung
U und der Strom I am Widerstand R
dem OHMschen Gesetz
U ( t ) = R ⋅ I( t )
!
(26 - 6‘)
Mit dem vorgegebenen Strom I(t) aus Gl. (X) folgt
U 0 ⋅ sin ωt = R ⋅ I( t )
−
Kommentar:
Strom und Spannung haben die gleiche Zeitabhängigkeit, es gibt keine Phasenverschiebung zwischen U und I.
(11)
u
!
82
Elektrizitätslehre – Wechselstrom I
32.3.2. induktiver Widerstand
−
... ist eine Spule mit ihrer Selbstinduktion. Der OHMsche Widerstand der
Spule wird zunächst vernachlässigt.
−
Aus der Maschenregel folgt für den so gebildeten Stromkreis
!
U( t ) + U i ( t ) = 0
(12)
wobei für die Selbstinduktionsspannung gilt
U i ( t ) = − L ⋅ &I
(30 - 12)
An der Spule L fällt die Induktionsspannung Ui ab, und nur in diesem Maße
kann sich entgegengesetzt gleich die angelegte Spannung U(t) aufbauen!
Einsetzen von Gl. (30 - 12) in Gl. (12) ergibt
U( t ) − L ⋅ &I = 0
⇒
U( t ) = L ⋅ &I
+ L ⋅ &I
(13)
Mit dem aufgeprägtem Strom I(t) aus Gl. (X) erhalten wir
U( t ) = ω ⋅ L ⋅ I 0 ⋅ cos ωt
−
(14)
Gl. (14) ist gewissermaßen das OHMsche Gesetz für diesen Fall:
U( t ) = Ẑ L ⋅ I( t )
mit:
(15)
Ẑ L ... Wechselstromwiderstand der Spule
83
Elektrizitätslehre – Wechselstrom I
Ein Vergleich zeigt
und
Z L = Ẑ L = ω ⋅ L
(16a)
π

U( t ) ~ cos ωt = sin  ωt + 
2

(16b)
Strom und Spannung haben eine Phasendifferenz von π/2, d.h. der Strom läuft
der äußeren Spannung um π/2 hinterher.
−
Kommentar:
·
Der induktive Widerstand ist frequenzabhängig (ZL ~ ω), d.h., für Gleichstrom
(ω = 0) gilt, weil wir den OHMschen Widerstand vernachlässigt haben:
!
u
!
ZL = 0
·
−
Die Phasendifferenz betrifft die äußere anliegende Spannung und den fließenden Strom
Wir betrachten die Leistung am induktiven Widerstand
P ( t ) = U ( t ) ⋅ I( t )
Mit I(t) aus Gl. (X) und Gl. (14) folgt daraus
⇒
P( t ) = ω ⋅ L ⋅ I 02 ⋅ sin ωt ⋅ cos ωt
Mit dem Additionstheorem
sin α ⋅ cos α =
1
⋅ sin 2α
2
vereinfacht sich dieser Ausdruck
⇒
P( t ) =
1
⋅ ω ⋅ L ⋅ I 02 ⋅ sin 2ωt
2
Kommentar:
Die Leistung P fluktuiert mit doppelter Frequenz (vgl. Skizze oben!)
·
P fluktuiert symmetrisch um Null, d.h.
·
Pzeitl. Mittel = 0
·
·
(17)
u
!
(18)
Es geschieht abwechselnd folgendes: Einmal wird der Stromquelle Energie
entnommen und in den Aufbau des Magnetfeldes gesteckt, dann wird das
Magnetfeld abgebaut und die Energie zurückgegeben.
Gl. (18) gilt nur, weil wir den OHMschen Widerstand RL = 0 gesetzt haben
(„ideale Spule“)!
84
Elektrizitätslehre – Wechselstrom I
32.3.3. kapazitiver Widerstand
−
... ist ein idealer Kondensator, d.h.
keine OHMschen Widerstände in den
Zuleitungen, kein Leckstrom.
−
Die über dem Kondensator C abfallende / an C anliegende Spannung hängt von
der auf dem Kondensator befindlichen Ladung Q(t) ab:
Q( t )
C
1
U( t ) = ⋅ ∫ I( t ) ⋅ dt
C
U(t ) =
⇒
!
(27 - 7)
(19)
Mit dem Strom I(t) aus Gl. (X) erhält man nun
U(t ) = −
−
1
⋅ I 0 ⋅ cos ωt
ω⋅C
(20)
Gl. (20) ist das OHMsche Gesetz für den kapazitiven Widerstand:
Û( t ) = Ẑ C ⋅ Î( t )
mit
(21)
Ẑ C ... Wechselstromwiderstand des Kondensators
Ein Vergleich zeigt
1
ω⋅ C
(22a)
π

U( t ) ~ − cos ωt = sin  ωt − 
2

(22b)
Z C = Ẑ C =
und
Strom und Spannung haben eine Phasendifferenz von π/2, d.h., der Strom eilt
der Spannung um π/2 voraus bzw. die Spannung hinkt dem Strom hinterher.
!
85
Elektrizitätslehre – Wechselstrom I
−
−
Kommentar:
Der kapazitive Widerstand ist frequenzabhängig (ZL ~ ω-1), d.h., er geht für Gleichstrom gegen ∞ . (Der Kondensator ist für Gleichstrom eine Leitungsunterbrechung)
u
!
Wir betrachten die Leistung am kapazitiven Widerstand
P ( t ) = U ( t ) ⋅ I( t )
Mit I(t) aus Gl. (X) und Gl. (20) folgt
⇒
P( t ) = −
1
⋅ I 02 ⋅ sin ωt ⋅ cos ωt
ω⋅C
Mit dem Additionstheorem
1
⋅ sin 2α
2
vereinfacht sich dieser Ausdruck wiederum zu
sin α ⋅ cos α =
⇒
1 I2
P( t ) = − ⋅ 0 ⋅ sin 2ωt
2 ω⋅C
Kommentar:
Alle Kommentare zu Gl. (17) lassen sich analog auf diesen Fall übertragen, insbesondere gilt
(23)
u
Pzeitl. Mittel = 0
−
Fazit
Ein realer Stromkreis enthält OHMsche Widerstände, aber auch stets „irgendwelche“ Induktivitäten und Kapazitäten.
Dadurch kommt es zu komplizierten Überlagerungen der unterschiedlichen
„phasenverschiebenden“ Wirkungen. Siehe nächsten Abschnitt!
32.4.
−
!
Beispiel: R und L in Reihe
Wir nehmen wieder den Strom als
Maßstab für die Phasenverschiebung,
d.h. wir setzen
I( t ) = I 0 sin ωt
(24)
Für die Spannung setzen wir formal
U( t ) = U 0 ⋅ sin(ωt + ϕ)
(25)
86
Elektrizitätslehre – Wechselstrom I
−
Wir suchen nun U(t) und ϕ.
Dazu wenden wir den Maschensatz auf den dargestellten Stromkreis an:
U( t ) = U L ( t ) + U R ( t )
Mit Gl. (11) und (14) folgt daraus
U( t ) = ω ⋅ L ⋅ I 0 ⋅ cos ωt + R ⋅ I 0 ⋅ sin ωt
â
â
U L (t)
U R (t)
·
Kunstgriff 1: Wir erweitern mit
(26)
R 2 + ω 2 L2 :


ω⋅ L
R
U( t ) = R 2 + ω 2 L2 ⋅ I 0 ⋅ 
⋅ cos ωt +
⋅ sin ωt 


2
2 2
R 2 + ω 2 L2
 R +ω L

â
â
A
B
·
(27)
Kunstgriff 2: Wir sehen, dass A und B stets ≤ 1 sind und dass gilt:
A 2 + B2 = 1
⇒ Wir dürfen ansetzen1
sin α =
cos α =
ω⋅ L
R 2 + ω 2 L2
R
R + ω 2 L2
2






(28)
Damit wird Gl. (27) zu
U( t ) = R 2 + ω 2 L2 ⋅ I 0 ⋅ (sin α ⋅ cos ωt + cos α ⋅ sin ωt )
Mit dem aus der Mathematik bekannten Additionstheorem
sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β = sin(α + β)
vereinfacht sich der entstandene Ausdruck weiter
⇒
1
U( t ) = R 2 + ω 2 L2 ⋅ I 0 ⋅ sin(ωt + α )
(29)
Wir dürfen dies ansetzen, weil sin α und cos α eben gerade die Bedingung A2 + B2 = 1 erfüllen!
87
Elektrizitätslehre – Wechselstrom I
Der Vergleich von Gl. (29) mit Gl. (25) zeigt
·
Der nach Gl. (28) definierte Winkel α ist mit dem Winkel ϕ in Gl. (25)
identisch! Es gilt
tan ϕ ≡ tan α =
sin α
cos α
Mit Gl. (28) folgt also
tan ϕ =
·
ω⋅ L
R
Der wirksame Gesamtwiderstand ist
U0
= R 2 + ω 2 L2
I0
−
(30)
Kommentar:
Die Phasenverschiebung ϕ in Gl. (25) liegt also zwischen
ϕ=0
(für R >> ω ž L)
π
2
(für R << ω ž L)
(31)
u
und
ϕ=
88
Elektrizitätslehre – Wechselstrom I
32.5.
Wechselstromkreise und komplexe Zahlen
−
In diesem Kapitel werden wir auf unser Wissen zu komplexen Zahlen zurückgreifen, mit denen wir bereits in <6.3.> Bekanntschaft geschlossen haben.
−
Es wird sich zeigen, dass man bei Verwendung komplexer Größen die einfachen
Gleichungen für OHMsche Widerstände (U = R ž I) formal beibehalten kann und
dennoch die „Kompliziertheit“ des Wechselstromes“ (Phasenverschiebung,
usw.) richtig herausbekommt!
−
Ein Sinusstrom in komplexer Darstellung ist ein rotierender Zeiger in der komplexen Ebene:
Î = I 0 ⋅ (cos ωt + i ⋅ sin ωt ) ≡ I 0 ⋅ e iωt
!
(32)
Re(Î) = I 0 ⋅ cos ωt
Im(Î) = i ⋅ I 0 ⋅ sin ωt
Physikalisch real ist
jedoch die Projektion des Kreises.
89
Elektrizitätslehre – Wechselstrom I
−
Betrachten wir zunächst einen OHMschen Widerstand:
Û = Î ⋅ R
d.h. die Zeiger von Î und Û sind parallel zueinander und rotieren gemeinsam. (Diese
Aussage ist äquivalent zu dem, was wir bereits in <32.3.1.> festgestellt haben!)
−
Nun zum induktiven Widerstand: Wir wissen bereits, dass für den Wechselstromwiderstand einer Spule gilt
Ẑ L = ω ⋅ L
(16)
Es zeigt sich, dass der komplette Ausdruck lautet:
Ẑ L = i ⋅ ω ⋅ L
Wir sehen gleich, dass im „i“ die Phasenverschiebung steckt.
−
(33)
!
Mit dem jetzigen Wissen schreiben wir Gl. (15) ganz korrekt1
Û( t ) = Ẑ L ⋅ Î( t )
(15‘)
Einsetzen von Gl. (33) und (32) in Gl. (15‘) liefert
⇒
Û( t ) = i ⋅ ω ⋅ L ⋅ I 0 ⋅ (cos ωt + i ⋅ sin ωt )
Mit der bekannten Beziehung i 2 = −1 folgt
Û( t ) = ω ⋅ L ⋅ I 0 ⋅ (i ⋅ cos ωt − sin ωt )
−
1
(34)
Veranschaulichung von Gl. (34), wobei wir nur den Rotationsteil betrachten:
Jetzt sind also auch Strom und Spannung komplex!
90
Elektrizitätslehre – Wechselstrom I
⇒ Die Multiplikation mit „i“ bringt den Phasenunterschied von π/2; die Spannung eilt dem Strom voraus!
Kommentar:
Die beiden Zeiger stehen starr zueinander (π/2 = const.!) und rotieren gemeinsam. Die Projektion auf die Realteil-Achse würde die Kurven für Strom und
Spannung bringen, die wir bereits in <32.3.2.> erhalten haben.
−
u
Zusammengefasst kann man sagen:
!
1.) Auch für Wechselstrom gilt das OHMsche Gesetz:
Û = Î ⋅ Ẑ
(35)
!
2.) Wechselstromwiderstände können ausgedrückt werden als:
Ẑ R = R
·
OHMscher
Widerstand:
·
induktiver Widerstand:
Ẑ L = i ⋅ ω ⋅ L
·
kapazitiver Widerstand:
Ẑ C =
1
1
= −i ⋅
i ⋅ ω⋅ C
ω⋅C







3.) Bei Reihenschaltung komplexer Widerstände gilt:
Ẑ ges = Ẑ1 + Ẑ 2 + Ẑ 3 + ...
(36)
!
(37)
bei Parallelschaltung gilt:
1
Ẑ ges
=
1
Ẑ1
+
1
Ẑ 2
+
1
Ẑ 3
+ ...
(38)
4.) Für die komplex geschriebenen Ströme bzw. Spannungen gelten die
KIRCHHOFFschen Regeln (vgl. auch <26.1.>):
·
·
−
!
Knotenregel:
∑ Î i
=0
(39)
Maschenregel:
∑ Û i
=0
(40)
i
i
Um den Vorteil der komplexen Zahlen
zu zeigen, wiederholen wir das Beispiel von <32.4.>
91
Elektrizitätslehre – Wechselstrom I
·
Wir haben wieder
Î( t ) = I 0 ⋅ e iωt
(24‘)
und Û( t ) = U 0 ⋅ e i ( ωt + ϕ)
(25‘)
und suchen U(t) und ϕ.
·
Nach dem Maschensatz gilt
Û = Û L + Û R
Unter Ausnutzung der Gl. (36) erhält man
Û = ( Ẑ L + Ẑ R ) ⋅ Î
bzw. Û = (R + i ⋅ ω ⋅ L) ⋅ Î = Ẑ ges ⋅ Î
·
(41)
Wir bilden
Û
Î
= R + i ⋅ ω ⋅ L = Ẑ ges
woraus unter Verwendung von Gl. (24‘) und (25‘) folgt
Ẑ ges =
·
U 0 iϕ
⋅e
I0
Aus der komplexen Darstellung
(Überlagerung der Widerstände)
1
(42)
(Überlagerung der Spannungen1)
Dabei gilt nach Gl. (36) Û ~ Ẑ
92
Elektrizitätslehre – Wechselstrom I
kann man ablesen
⇒
ϕ = arctan
ω⋅ L
R
(30)
sowie
⇒
Û ges
2
2
= Ẑ ges ⋅ Î
2
= (R 2 + ω 2 L2 ) ⋅ I 2
U 02
woraus nach Umformung entsteht
⇒
32.6.
−
U0
= R 2 + ω 2 L2
I0
(31)
Blind-, Schein- und Wirkleistung
Am Beispiel einer Spule oder eines Kondensators haben wir schon gesehen, dass
„echte“ Ströme und Spannungen infolge ihrer gegenseitigen Phasenlage zu
Pzeitl. Mittel = 0
führen können.
−
Wenn es nur OHMsche Widerstände R gibt, ist die Spannung U mit dem Strom I
in Phase und die Leistung ist lt. Gl. (10) sowie analog zu <26.4.>
P=
−
2
U eff
2
= I eff
⋅ R = U eff ⋅ I eff
R
(43)
Im Beispiel der Reihenschaltung von Spule und OHMschen Widerstand (vgl.
<32.5.>) ist diejenige Spannungs-Komponente, die mit I in Phase ist, gleich
U ⋅ cos ϕ
Dies bestimmt die umgesetzte Leistung!
⇒
!
U eff := U eff ⋅ cos ϕ
Anstelle der Gl. (43) ergibt sich nun also
PW = U eff ⋅ I eff ⋅ cos ϕ
PW ... Wirkleistung
Die Wirkleistung ist die echte, in Wärme oder Arbeit umgesetzte Wechselstromleistung.
(44)
!
93
Elektrizitätslehre – Wechselstrom I
Kommentar:
·
Für ϕ = 0 sind Spannung und Strom in Phase und die Wirkleistung wird maximal.
u
PW = U eff ⋅ I eff
·
Für cos ϕ = 0, d.h. ϕ = ± π/2 (Kondensator oder Spule) wird die Wirkleistung, wie schon bekannt, minimal.
PW = 0
−
Die Blindleistung „flutet lediglich hin und her“ und ist im Zeitmittel Null.
PB = U eff ⋅ I eff ⋅ sin ϕ
!
(45)
Sie ist der Imaginärteil der Leistung.
−
Die Wirk- und Blindleistung setzen sich zur komplexen Scheinleistung zusammen.
PS = U eff ⋅ I eff
−
·
32.7.
−
(45)
u
Kommentar:
·
!
Die Messung der Effektivwerte von Strom und Spannung liefert nicht die
interessierende Wirkleistung, sondern die Scheinleistung Ps. Ein Wattmeter
erfasst auch cos ϕ mit!
!
Die Energieversorger sind bemüht, ϕ klein zu halten, damit nicht für ein bestimmtes PW eine unnötig große Blindleistung PB bzw. Scheinleistung PS
bewegt werden muss. Die Spannungsabfälle im Netz sowie in den Generatoren werden nämlich von dem fließenden Gesamtstrom, d.h. Scheinstrom,
bestimmt und sollen nur so hoch wie unvermeidlich sein.
⇒ Die Verbraucher sollen ihre Blindleistung kompensieren, z.B. existieren
spezielle Kondensatoren in Motoren (die aus Spulen bestehen).
Skineffekt
Wir betrachten einen Strom in einem dicken Draht:
r
⇒ Auch im Drahtinnern existiert ein B -Feld (entsprechend dem umfassten Strom)
r& r
Bei Wechselstrom ist E ≠ 0 ,
r& r
d.h. auch B ≠ 0 .
r
⇒ Es wird ein sekundäres E Feld erzeugt!
94
Elektrizitätslehre – Wechselstrom I
·
r
Die genaue Betrachtung der Richtungsbeziehungen ergibt, dass E ind innen
schwächend und außen verstärkend wirkt:
r
⇒ Das E -Feld und damit der
Strom wird an die Leiterwand
gedrängt.
·
!
Der Stromfluss ist bei HF auf eine Oberflächenschicht der Dicke d begrenzt.
Es zeigt sich, dass gilt:
d=
2ρ
µµ 0 ω
(47)
ρ ... spezifischer Widerstand
ω ... Frequenz
Man erkennt, dass der Skineffekt besonders bei großen Frequenzen ω sehr
stark ist, d.h. die Dicke d der stromführenden Schicht sehr klein ist. Für HF
genügt, es Hohlleiter zu verwenden!
95
Elektrizitätslehre – Wechselstrom II
33.
Wechselstrom II
33.1.
Siebkette und Sperrkreis
−
... sind interessante Beispiele für Wechselstromkreise
33.1.1. Siebkette
−
... ist eine Reihenschaltung von Widerstand, Spule und Kondensator.
−
Wir gehen wieder vom Strom aus
!
Î = I 0 ⋅ e iωt
(1)
und betrachten die Spannung als phasenverschoben1
Û = U 0 ⋅ e i ( ωt +ϕ)
−
(1)
Nach Anwendung des Maschensatzes auf die Siebkette folgt
Û = Û R + Û L + Û C = ( Ẑ R + Ẑ L + Ẑ C ) ⋅ Î
(3)
Mit Gl. (32 - 36) erhält man
⇒

1 

Û =  R + i ⋅  ω ⋅ L −
  ⋅ Î
ω ⋅ C  


: Î
(4)
Umstellen ergibt
⇒
1 

= R + i ⋅ω⋅ L −

ω⋅C 
Î

Û
(5a)
woraus mit Gl. (1) und (2) folgt
Û
Î
1
=
U 0 iϕ
⋅e
I0
(5b)
Diese beiden Gleichungen sind also völlig analog Gl. (32 - 24) bzw. (32 - 25), aber in komplexer
Schreibweise!
96
Elektrizitätslehre – Wechselstrom II
Aus der komplexen Darstellung kann man ablesen
·
den komplexen Gesamtwiderstand1
1 

Ẑ ges = R + i ⋅  ω ⋅ L −

ω⋅C

·
den Scheinwiderstand ZS
ZS ≡ Ẑ ges
·
1 

= R +  ωL −

ωC 

2
2
(7)
die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung
tan ϕ =
−
(6)
ω⋅ L −
1
ω⋅C
(8)
R
Für den Spezialfall
⇒
ω⋅ L =
1
ω⋅ C
ω=
1
L⋅C
≡ ω0
(9)
ist der Stromkreis in Resonanz, d.h.
Ẑ ges
und
1
→ R , dies entspricht dem Minimum von Ẑ ges
tan ϕ → 0 , also keine Phasenverschiebung
Eigentlich war der Gesamtwiderstand schon aus Gl. (4) absehbar gewesen!
97
Elektrizitätslehre – Wechselstrom II
Dies gilt auch, wenn ein Frequenzgemisch angeboten wird: Der Anteil mit ω = ω0
wird „durch das Sieb gelassen“, da für ihn der Widerstand minimal wird.
!
33.1.2. Sperrkreis
−
... ist eine Parallelschaltung von Spule
und Kondensator.
−
Wir wenden den Knotensatz auf Punkt
P (oder Q) an:
Î
!
= Î L + Î C
(10)
Mit Gl. (32 - 35) erhält man
Î ges =
Û
Ẑ ges
=
Û
Ẑ L
+
Û
(11)
Ẑ C
und mit Gl. (32 - 36)
Î ges = Û ⋅
1
+ Û ⋅ i ⋅ ω ⋅ C
i ⋅ω⋅ L
durch Umformen ergibt sich
Î ges = −i ⋅
1
⋅ Û + i ⋅ ω ⋅ C ⋅ Û
ω⋅ L
1 

Î ges = i ⋅  ω ⋅ C −
 ⋅ Û = i ⋅ Ẑ ges
ω⋅ L 

−
−1
⋅ Û
(12)
Diskussion: Wir betrachten die Zeigerdarstellung für ein (gerade zufällig) reales Û
·
·
u
ÎC läuft um π/2 vor, ÎL um
π/2 nach Û, wie erwartet.
Wie Îges läuft, hängt davon
ab, ob
Ẑ L
<
>
Ẑ C
ist, mit anderen Worten, ob
gilt
Ẑ ges
<
>
0
98
Elektrizitätslehre – Wechselstrom II
−
Für
ω⋅ C −
1
=0
ω⋅ L
wird Îges = 0 (vgl. Gl. (12)). Das heißt aber nicht, dass ÎL und ÎC gleich Null sind. Sie
kompensieren sich nur, was die Wechselwirkung mit der Spannungsquelle betrifft:
·
„In einem bestimmten Moment kommt es zum Ladungstransport durch ÎL von
A → B, der genauso groß ist
wie der Ladungstransport von
C → D durch ÎC“.
·
„Es bleibt kein Ladungstransport zur Spannungsquelle mehr
übrig!“
·
Die Kompensation von ÎC und ÎL betrifft die Wechselwirkung mit der Spannungsquelle. Innerhalb der Masche schwingen ÎC und ÎL im jeweils gleichen Drehsinn.
·
Die Spule L und der Kondensator C bilden einen Schwingkreis, der für
ω⋅ C −
⇒
!
1
=0
ω⋅ L
ω = ω0 =
1
(9)
L⋅C
in Resonanz ist, d.h. es kommt zu einem ständigen Hin und Her zwischen
magnetischer und elektrischer Feldenergie.
−
Wir können Gl. (12) auch so schreiben
1 
Û

Î ges = i ⋅  ω ⋅ C −
 ⋅ Û =
ω⋅ L 
Ẑ ges

(13)
woraus nach Umstellen folgt
⇒
−
Ẑ ges
 
1 
 i ⋅  ω ⋅ C −

ω ⋅ L  
 
−1
= i⋅
ω⋅ L
1 − ω2 ⋅ L ⋅ C
(14)
Der Resonanzfall ω = ω0 bedeutet für Ẑ ges
Ẑ ges → ∞
99
Elektrizitätslehre – Wechselstrom II
Wellen dieser Frequenz werden durch den „Parallelwiderstand L, C“ nicht durchgelassen. Schwingungen genau dieser Frequenz schaukeln sich innerhalb dieser
Masche hoch.
!
−
Also:
!
−
Elektrische Schwingkreise sind den mechanischen Schwingungen analog. Es
regieren dieselben Differentialgleichungen.
In Schwingkreisen erfolgt ein selektives Unterdrücken / Verstärken
bzw. ein selektives Durchlassen / Abblocken bestimmter Frequenzen
(Abstimmung eines Radios oder Fernsehers!).
!
Analoge Größen sind:
mechanisch
elektrisch
Masse
m
⇔
L
Induktivität
Federkonstante
D
⇔
1
C
Kapazität-1
Reibungskonstante
k
⇔
R
OHMscher Widerstand
Ort
x
⇔
Q
Ladung
Geschwindigkeit
x& = v
⇔
& =I
Q
Strom
Beschleunigung
v& = a
⇔
&I
d
Strom
dt
Energie
Ekin,
Epot
⇔
Eelektr
Emagn



















(15)
Dem Wechselspiel von Ekin und Epot entspricht das von Eelektr und Emagn. Der
OHMsche Widerstand erzeugt Verlustwärme und dämpft die Schwingung.
33.2.
−
Drehstrom
In <32.1.> zeigte sich: Eine rotierende Spule im Magnetfeld erzeugt eine Spannung
U = U 0 ⋅ sin ωt
−
(32 - 3)
In der Praxis werden oft 3
Spulen im Generator miteinander gekoppelt, die um 120° gegeneinander versetzt sind:
100
Elektrizitätslehre – Wechselstrom II
Die in den 3 Spulen induzierten Spannungen sind
Û R = U 0 ⋅ sin ωt
Û S = U 0 ⋅ sin(ωt − 120°)
Û T = U 0 ⋅ sin(ωt − 240°)
−
(16)
Man könnte die 3 Wechselspannungen über je zwei Leitungen verteilen (insgesamt 6).
Besser ist jedoch: Verkettung der Spannungen, z.B. als Sternschaltung
Also:
−







Zusammenführung dreier Ausgänge auf einen Punkt M (sogenannter
Nullleiter).
Die Ermittlung der Spannungen
URS, UST, UTR soll hier nicht
über
Winkelfunktions-Additionstheoreme erfolgen, sondern
- eleganter - graphisch in der
komplexen Ebene:
Kommentar:
·
Die Längen (Beträge) der rotierenden Zeiger entsprechen den Effektivwerten der Spannung Ueff
·
u
Die gesamte Zeigeranordnung rotiert mit ω. Physikalisch real ist die Projektion auf die Realteil-Achse.
101
Elektrizitätslehre – Wechselstrom II
·
Man erkennt aus der Geometrie der Anordnung, dass gilt:
U RS = U ST = U TR = 3 ⋅ U RM = 3 ⋅ U SM = 3 ⋅ U TM
Im deutschen Stromnetz gilt:
U RM = U SM = U TM = 220 V
(17a)
womit man erhält
U RS = U ST = U TR = 3 ⋅ 220 V = 360 V
·
Die Übertragung des Drei-Phasen-Stromes (Drehstromes) erfordert nur 4 Leiter!
·
Die Nutzung kann als Drehstrom (Motoren, die sehr leistungsfähig und robust
sind) oder durch Aufgliedern in verschiedene Ein-Phasen-Stromkreise (220V)
erfolgen.
Diese werden so belegt, dass sich die Spannungen/Ströme im Nullleiter
möglichst zu Null kompensieren.
−
Die zweite Möglichkeit
der Verkettung ist die
Dreieckschaltung:
−
Hinweis:
33.3.
(17b)
Die beiden Abbildung können auch so verstanden werden, dass sie
die Verbraucherkreise beschreiben. Die Stern-Abbildung zeigt dann
das Betreiben von Ein-Pasen-Strom-Verbrauchern; in der DreieckAbbildung wären L1, L2, und L3 die Spulen eines Drehstrommotors.
Der Transformator
−
... besteht im Prinzip aus zwei Spulen auf einem gemeinsamen Eisenkern.
−
Wir betrachten zunächst den Primärstromkreis.
!
102
Elektrizitätslehre – Wechselstrom II
·
Gemäß der Maschenregel findet man
U1 + U SI = 0
·
(18)
Die Selbstinduktionsspannung USI ist mit einem Magnetfluss verbunden
&m
U SI = − N1 ⋅ Φ
1
(30 -12‘)
Also folgt mit Gl. (18) und Gl. (30 - 12‘)
&m
U1 = N1 ⋅ Φ
−
(19)
& m die Spannung
In der Sekundärspule induziert dasselbe Φ
&m
U 2 = −N 2 ⋅ Φ
(20)
Gleichsetzen und umstellen von Gl. (19) und (20) ergibt somit
⇒
U2
N
=− 2
U1
N1
(21)
Gl. (21) gibt die Spannungsübersetzung des Transformators an. Das Minuszeichen zeigt die Gegenläufigkeit der Spannungen.
−
Wie sieht die Leistungsbilanz aus?
Beim hier angenommenen idealen Transformator ist natürlich
P1 = U1 ⋅ I1 = U 2 ⋅ I 2 = P2
⇒ Wenn die Spannung U heraufgesetzt wird, wird der Strom I herabgesetzt.
−
Hinweis: Ein realer Transformator hat Verluste.
!
·
·
·
33.4.
−
1
!
In den Spulen ( R > 0 ),
im Eisenkern (Ummagnetisierungsverluste trotz „Weicheisen“),
durch Streufelder.
!
Elektrische Maschinen
Alle Elektromotoren beruhen auf der Ausnutzungn der LORENTZ-Kraft zwischen einem Magnetfeld und den bewegten Ladungen eines Stroms - oder was
dasselbe ist - auf der abstoßenden Wirkung zweier Magnetfelder.
!
Gl. (30 - 12) gilt nur für eine Leiterschleife (N = 1)! N > 1 wird erst in Gl. (30 - 14) eingeführt.
103
Elektrizitätslehre – Wechselstrom II
Die Ausführungsformen sind sehr verschieden. An dieser Stelle nur zwei Kostproben.
33.4.1. Gleichstrommotor
−
... verwendet ein stationäres Magnetfeld (Elektro- oder Permanentmagnet) und
eine drehbare Spule.
!
Dies führt „normalerweise“ zum „Einschnappen“ in Parallelstellung der Felder!?1
Trick:
ž
ž
ständiges Umpolen durch einen Kommutator
mehrere gegeneinander verdrehte Spulen
−
Beispiel: 2 Spulen
n
−
Je mehr Spulen, desto runder läuft der Motor.
−
Umgekehrt kann man mit der gleichen Anordnung einen relativ glatten Gleichstrom erzeugen.
!
!
({2}, S. 396)
1
r r
Dies folgt sofort aus M = µ × B .
104
Elektrizitätslehre – Wechselstrom II
33.4.2. Drehstrom-Asynchronmotor
−
Vorteile dieses Motors waren mit maßgeblich für die weite Verbreitung des
Drehstroms.
−
Grundprinzip:
·
Stationäre Spulenanordnung (Stator), die ein sich drehendes Magnetfeld erzeugt
·
Drehbarer Kurzschlussläufer oder Käfig (aus Kupfer-Stäben), in dem durch
das o.g. Magnetfeld Ströme induziert werden, deren Magnetfeld sich „gegen
das Magnetfeld des Stators stemmt“ (LENZsche Regel!)
·
Es existieren keine Schleifkontakte wie beim Kommutator!
·
Der Motor arbeitet asynchron zum Rhythmus des Wechselstroms, verkraftet
es also auch, abgebremst zu werden (Beispiel: Handbohrmaschine).
105
Elektrizitätslehre – Elektromagnetische Wellen
34.
Elektromagnetische Wellen
34.1.
Die MAXWELLschen Gleichungen
−
Die MAXWELLschen Gleichungen sind die Differentialgleichungen, die die gesamte Elektrodynamik bestimmen. Wir kennen sie praktisch schon, sie sollen
hier nur noch einmal zusammengestellt werden.
−
Zuvor noch eine Verallgemeinerung: der Verschiebungsstrom
!
Wir laden einen Kondensator auf ⇒ um den Strom herum baut sich ein Magnetfeld auf.
Was ist jedoch im Kondensator-Innenraum?
Zwischen den Platten
existiert ein veränderliches elektrisches
r&
Feld D , um das herum sich ebenfalls ein
Magnetfeld bildet.
!
Der Verschiebungsstrom
& ⋅A
I v = ε 0 ⋅ E& ⋅ A + P& ⋅ A = ε ⋅ ε 0 ⋅ E& ⋅ A = D
(1)
ist ebenso felderzeugend wie ein „richtiger Strom“ (d.h. fließende Ladungen)!
Kommentar:
Mit Materie im Kondensator kann man sich IV sogar als Bewegung der Polarisar&
tionsladungen vorstellen. Aber eigentlich ist es die Tatsache, dass ein D ein ror&
r
r
tierendes H -Feld erzeugt, so wie B ein rotierendes E -Feld schafft.
Die folgende Gleichung muss also erweitert werden!
r
H
∫ ⋅ dr = I ≡
⇒
r
∫ j ⋅ dA
(29 -10‘)
Fläche
r
r
d r
H
⋅
dr
=
j
⋅
dA
+
∫
∫
∫ D ⋅ dA
dt
Kurve um A
A
A
â
Iges durch A
(2)
â
Verschiebungsstrom
Dies ist die Integralform des Durchflutungsgesetzes („1. MAXWELLsche Gleichung“).
106
Elektrizitätslehre – Elektromagnetische Wellen
Wie in <30.1.> bilden wir die differentielle Form von Gl. (2)
r r& r
rot H = D + j
−
(3)
Es waren
Φm =
r
B
∫ ⋅ dA
(29 - 13)
Fläche
und
r
&m =
−Φ
∫ E ⋅ dr
(30 - 4)
geschl. Kurve
Durch Gleichsetzen erhält man
⇒
r
d r
E
⋅
dr
=
−
B ⋅ dA
∫
dt A∫
K
(4)
Gl. (4) ist das Induktionsgesetz („2. MAXWELLsche Gleichung“).
Seine differentielle Form kennen wir schon
r
r&
rot E = − B
−
(30 - 8)
Die sogenannte 3. MAXWELLsche Gleichung in integraler und differentieller
Form lautet
r
D
∫ ⋅ dA = Q ges
(25 -10‘)≡
(5)
r
div D = ρ
(25 -20‘)≡
(6)
A
−
1
Die analogen Ausdrücke für das Magnetfeld lauten bekanntlich
r
B
∫ ⋅ dA = 0
(29 - 11)
r
div B = 0
(29 - 12)
A
Diese beiden Gleichungen drücken die Tatsache aus, dass keine magnetischen
Ladungen existieren!
−
1
Die Gleichungen (2), (3), (4), (30 - 8), (5), (6), (29 - 11) und (29 - 12) sind die
MAXWELLschen Gleichungen.
r
r
In den Gl. (25 - 10) und (25 - 20) stand lediglich E = ε −01 ⋅ D !
107
Elektrizitätslehre – Elektromagnetische Wellen
34.2.
−
Elektromagnetische Wellen: Einführung
In <30.2.> haben wir bei der Herleitung der LENZschen Regel gesehen:
... dass ein veränderlicher Magnetfluss nach dem Induktionsgesetz (Gl. (30 - 4)) in einem
Leiterring einen Strom hervorruft, der ein Magnetfeld besitzt,
das seiner Entstehungsursache
entgegengesetzt ist.
−
(X)
r& r
Nun zeigen uns die MAXWELLschen Gleichungen, dass D ≠ 0 (ein zeitlich veränderliches elektrisches Feld) völlig äquivalent zu einem „richtigen“ (Leitungs-)
Strom ist (Gl. (2) bzw. (3)), d.h., die oben dargestellte Feldanordnung (X) bildet
sich auch ohne Leiter!
Kommentar:
·
·
r
r& r
Entscheidend ist, dass D ≠ 0 ist, denn dies ist äquivalent zu j . Wenn zufälr&
r& r
lig B = const. ist, ist D = 0 und es gibt kein sekundäres Magnetfeld.1
r
Wenn aber z.B. B( t ) einer sin- oder cos-Funktion folgt, sind alle aufeinanderfolgenden Ableitungen wieder sin-/cos-Funktionen und daher nie konstant.
u
⇒ wie beispielhaft in der Abbildung dargestellt, ergibt sich in unendlicher Folge:
r&
veränderliches magnetisches Feld B ⇒ darum rotierendes elektrisches
Feld ⇒ darum rotierendes magnetisches Feld, usw.
Dies ist eine elektromagnetische Welle
34.3.
−
Ebene Elektromagnetische Wellen
Auch für die elektromagnetischen Wellen gilt das in <16.> Gesagte, also:
·
·
Eine Welle ist die räumliche Ausbreitung eines Schwingungszustandes.
Die allgemeine (eindimensionale) mathematische Form lautet
y( x, t ) = f ( x − v Ph ⋅ t ) = f (∗)
1
(16 - 1)
Diese Aussage gilt so nur für den Fall ohne Leiterring, mit Leiterring existiert wegen des fließenden
Stromes natürlich ein sekundäres Magnetfeld!
108
Elektrizitätslehre – Elektromagnetische Wellen
·
Also sind x und t über ∗ verkoppelt. Es ist keine Periodizität nötig (z.B.
Stoßwelle)!
Besonders wichtig sind harmonische Wellen (sin- oder cos-Funktionen)
Eine ebene harmonische elektromagnetische Welle hat also folgende Gestalt
r r
E = E 0 ⋅ sin(ωt − k ⋅ x )
k ... Wellenzahl
mit
k=
(7)
2π
λ
Zur Erinnerung: Es gilt auch
v Ph =
−
ω
k
(16 - 4)
Wir überlegen uns jetzt an Hand der MAXWELLschen Gleichungen die Grundeigenschaften der elektromagnetische Wellen:
1.) Elektromagnetische Wellen sind transversal, d.h. die Felder sind senkrecht zur
Ausbreitungsrichtung orientiert.
!
r
S ... Vektor in Ausbreitungsrichtung
r
( H ist hier die zweckmäßigere Beschreibung für das Magnetfeld)
Dass es eine Longitudinalwelle ist, lässt sich ausschließen. Eine solche
Welle (unten) hätte Quellen und Senken:
r
r
Da es aber Quellen/Senken für E bzw. D (= Ladungen) im leeren Raum
r
r
nicht gibt und für B bzw. H überhaupt nicht gibt, kann es sich nicht um
Longitudinalwellen handeln!
109
Elektrizitätslehre – Elektromagnetische Wellen
2.) Elektrisches und magnetisches Feld stehen senkrecht aufeinander.
!
Wir betrachten eine Leiterschleife (Fläche A, Randkurve K) im Feld einer
elektromagnetischen Welle, die um die Ausbreitungsrichtung der elektromagnetischen Welle drehbar gelagert ist.
Aus der Kenntr r
nis, dass E , D
r
immer ⊥ zu S
stehen müssen,
folgt
sofort,
dass dies auch
r& r&
für E , D gelten
muss.
In der gezeichneten Darstellung ist
r&
D
∫ ⋅ dA = max .
A
Lt. Gl. (2) muss damit auch
r
H
∫ ⋅ dr = max .
K
r
r
r r
sein, d.h. H bzw. B liegen in der Leiterschleifenebene, also senkrecht zu E , D !
3.) Elektrisches und magnetisches Feld sind in Phase, d.h. Maxima, Minima
und Nulldurchgänge befinden sich an gleicher Stelle.
!
Wir betrachten wieder die bereits verwendete Leiterschleife, deren Lage
jetzt jedoch entlang der Ausbreitungsrichtung der elektromagnetischen
Welle variiert wird.
110
Elektrizitätslehre – Elektromagnetische Wellen
In der gezeichneten Stellung fängt die Leiterschleife
r&
∫ D ⋅ dA = max .
A
r&
ein, da D am Punkt (3) maximal wird!
Lt. Gl. (2) muss damit auch wieder
r
H
∫ ⋅ dr = max .
K
r
r
sein, d.h. H muss bei (1) und (2) ein Maximum haben, so wie D !
4.) Ausbreitungsgeschwindigkeit: Wir betrachten Gl. (2) für die Leiterschleife
in der unter 3.) dargestellten Position zum Zeitpunkt t = 0:
r
r&
H
⋅
dr
=
D
∫
∫ ⋅ dA
K
r&
D ⋅ dA = D ⋅ dA = D ⋅ b ⋅ dx
A
3
λ
4
= b ⋅ ∫ ε ⋅ ε 0 ⋅ E& ⋅ dx
⇒
1
λ
4
Aus Gl. (7) wird
E& = ω ⋅ E 0 ⋅ cos(ωt − k ⋅ x )
Dies nun für eine Momentaufnahme bei t = 0 betrachtet ergibt
E& = ω ⋅ E 0 ⋅ cos(− k ⋅ x ) = ω ⋅ E 0 ⋅ cos(k ⋅ x )
1
Mit diesem Ergebnis nimmt das Durchflutungsgesetz folgende Form an
3
⇒
λ
4
r
∫ H ⋅ dr = b ⋅ ε ⋅ ε 0 ⋅ ω ⋅ E 0 ⋅ ∫ cos kx ⋅ dx 2bH 0
1
λ
4
K
Nach Lösen der Integrale ergibt sich
2bH 0 = b ⋅ ε ⋅ ε 0 ⋅ ω ⋅
1
1
3
1
⋅ E 0 ⋅ (sin π − sin π)
k
2
2
â
= -2
Hierbei wurde ausgenutzt, dass die cos-Funktion eine gerade Funktion ist.
111
Elektrizitätslehre – Elektromagnetische Wellen
Wir lassen das Minuszeichen weg, da es uns nur um die Beträge geht und
verwenden die Beziehung
1 v
=
k ω
so dass sich unser Ergebnis schreiben lässt als
⇒
H0 = ε ⋅ ε0 ⋅ v ⋅ E0
(8)
Analog folgt aus Gl. (4) (2. MAXWELLschen Gleichung)
E0 = µ ⋅ µ0 ⋅ v ⋅ Η 0
(9)
Gleichsetzen und umstellen von Gl. (8) und (9) liefert
⇒
v=
1
(10)
εε 0 µµ 0
für die Phasengeschwindigkeit der elektromagnetische Welle in einem Medium (ε, µ).
Im Vakuum (ε = µ = 1) folgt aus Gl. (10)
v Vakuum ≡ c =
34.4.
−
ε 0µ 0
(29 - 9)
Für reine elektrische oder magnetische Felder war die Energiedichte
w elektr =
1
1
⋅ E ⋅ D = ⋅ ε ⋅ ε0 ⋅ E 2
2
2
(28 - 16)
w magn =
1
1
⋅ B ⋅ H = ⋅ µ ⋅ µ0 ⋅ H2
2
2
(30 - 23)
Im elektromagnetischen Wellenfeld ist
w = w elektr. + w magn. =
1
1
Energiedichte und Energieströmung
bzw.
−
1
1
⋅ (ε ⋅ ε 0 ⋅ E 2 + µ ⋅ µ 0 ⋅ H 2 )
2
(11)
Damit hätten wir jetzt Gl. (29 - 9) „richtig“ hergeleitet!
112
Elektrizitätslehre – Elektromagnetische Wellen
−
Umstellung von Gl. (8) und (9) nach v und Gleichsetzung liefert
H0 1
E
1
⋅
=v= 0 ⋅
E 0 εε 0
H 0 µµ 0
⇒
E 02 ⋅ ε ⋅ ε 0 = µ ⋅ µ 0 ⋅ H 02
(12)
Wenn Gl. (12) für die Amplituden E0, H0 gilt, gilt sie auch für E(t) lt. Gl. (7) sowie für H(t).
⇒ Zur Energiedichte lt. Gl. (11) tragen magnetisches und elektrisches Feld je
zur Hälfte bei:
⇒
−
w=
1
⋅ (ε ⋅ ε 0 ⋅ E 2 + µ ⋅ µ 0 ⋅ H 2 ) = ε ⋅ ε 0 ⋅ E 2 = µ ⋅ µ 0 ⋅ H 2
2
!
(11‘)
Zur Beschreibung der Energieströmung verwendet man die Energiestromdichte S
S = w⋅v
å æ
Energiedichte Ausbreitungsgeschwindigkeit
Wenn wir hier Gl. (10) und (11‘) einsetzen, folgt
S = ε ⋅ ε0 ⋅ E 2 ⋅
1
εε 0 µµ 0
=
εε 0
⋅ E2
µµ 0
(13)
Aus Gl. (12) folgt nach Umstellung
H0 =
εε 0
⋅ E0
µµ 0
deshalb kann Gl. (13) auch geschrieben werden als
S = w ⋅v = E⋅H
−
(14)
In Vektorschreibweise (die Energiestromdichte hat Betrag und Richtung!) ausgedrückt:
r r r
S = E×H
(15)
r
S wird auch als Poynting-Vektor bezeichnet.
−
Strahlungsdruck: Die Energiedichte w hat die Dimension
[w] =
[Energie] [Kraft ] ⋅ [ Weg] [Kraft ]
=
=
= [Druck ]
[Volumen]
[Volumen]
[Fläche]
Dies kann tatsächlich als Druck interpretiert werden.
113
Elektrizitätslehre – Elektromagnetische Wellen
Kommentar:
Der Strahlungsdruck ist eine allgemeine Eigenschaft für jede Welle, da jede
Welle Impuls transportiert (Schallwellen, etc.)
·
Natürlich spielt die Richtung eine Rolle, deshalb wird er besser als Energier
stromdichte/Ausbreitungsgeschwindigkeit ausgedrückt, z.B. S ⋅ v −1 . Dies
r
hat auch den Betrag w, aber die Druckrichtung ist über S mit enthalten.
·
Der Strahlungsdruck ist im Allgemeinen gering, aber er verhindert den
Kollaps im Innern von Sternen (durch Gravitation) oder beeinflusst die
Bahn kleinerer Satelliten.
·
34.5.
−
u
!
!
Der Dipoloszillator
Bei einem elektrischen Schwingkreis (vgl. <33.1.>) ist
·
das Magnetfeld auf das Spuleninnere beschränkt,
·
das elektrische Feld auf den Plattenzwischenraum beschränkt:
!
r&
r
Für die Ausbildung eines rotierenden E -Feldes um B bzw. eines rotierenden
r&
r
H -Feldes um D „ist kein Platz“!
−
Bei weniger idealen Bauteilen geht dies aber!
Außer den OHMschen
Verlusten treten nun auch
Abstrahlungsverluste auf:
−
Weitere Vereinfachung:
⇒
114
Elektrizitätslehre – Elektromagnetische Wellen
−
Der gestreckte Draht kann durch Einkopplung elektromagnetischer Schwingungen mit ω = ω0 (Resonanzfrequenz) zu einem elektrischen Oszillator (elektrischer Dipol mit zeitlich veränderlichem Dipolmoment) gemacht werden.
−
Wir schauen uns nun das Schwingen eines solchen Dipols an.
t
Prinzipdarstellung
Spannungsverteilung
Stromverteilung
0
1
⋅T
4
1
⋅T
2
3
⋅T
4
Für t = T stellt sich der gleiche Zustand ein wie bei t = 0.
Es herrscht also ein ständiges Pendeln zwischen den Extremen:
r
a) maximale Aufladung der Enden: p = max . ; ∆U = max.; I = 0, und
r
b) keine Aufladung der Stabenden: p = ∆U = 0 ; I = max.
Kommentar: zur Strom-Verteilung
Der Strom I ist an den Enden immer Null, da ja (in völliger Analogie zur stehenden mechanische Welle) „dort Schluss ist“.
−
u
Eigenfrequenz:
Man erkennt aus den Abbildungen (wieder analog den mechanischen Wellen), dass gilt
l=
λ
2
115
Elektrizitätslehre – Elektromagnetische Wellen
Damit folgt aus der bekannten Beziehung
c = ν⋅λ
dass
c = ν⋅2⋅l,
und nach Umstellung ergibt sich
⇒
ν=
c
2l
(16)
Beispiel: Wir betrachten einen Dipolstab mit 2 × l = 3 m. Mit Gl. (16) erhält man
n
3 ⋅ 10 8 m ⋅ s −1
1
ν=
= 10 8 = 100 MHz
3m
s
−
Untersuchen wir nun die Feldabstrahlung
·
Wenn ein Dipol durch Ladungstrennung neu entsteht, entsteht auch sein
Dipolfeld. Es kann nicht sofort überall sein, sondern breitet sich vom Dipol
mit Lichtgeschwindigkeit aus.
⇒ bei
bei
bei
bei
1
⋅ T + dt
4
1
⋅T
2
3
⋅ T − dt
4
3
⋅ T + dt
4
!
r
beginnt die E -Feld-Ausbreitung
ist die gerade losgeschickte Feldstärke maximal
hört die Ausbreitung auf
r
beginnt die E -Feld-Ausbreitung in der Gegenrichtung
Dieser Vorgang lässt sich schwierig vorstellen, denn es herrschen
r
a) ein zeitlich veränderliches Dipolmoment p( t ) und
b) eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit.
·
r
Analog fluktuiert das H -Feld mit der Stromstärke:
⇒ bei
bei
bei
bei
0
+ dt
1
⋅T
4
1
⋅ T − dt
2
1
⋅ T + dt
2
r
beginnt die H -Feld-Ausbreitung
ist die gerade losgeschickte Feldstärke maximal
hört die Abstrahlung auf
r
beginnt die H -Feld-Ausbreitung in der Gegenrichtung
116
Elektrizitätslehre – Elektromagnetische Wellen
·
Veranschaulichung:
Wir betrachten die Feldstärke in der Mittelebene bei t =
−
1
⋅ T + ∆t
2
Richtcharakteristik eines Dipols:
Die maximale Emission erfolgt
senkrecht zum Dipol und ist rotationssymmetrisch.
−
!
Ein magnetischer Dipol ist
ein mit HF beschickter
Stromring.
({1}, S. 344}
117
Elektrizitätslehre – Elektromagnetische Wellen
·
·
r
r
Die Feldlinien von H entsprechen denen des E -Feldes des elektrischen Dipols und umgekehrt. Auch die Richtcharakteristik, etc. sind völlig gleich.
Es besteht eine begriffliche Schwierigkeit: Die Fluktuation des Kreisstromes
r
r
und damit von H ist verständlich. Für das elektrische Feld E gibt es aber im
Fall des magnetischen Dipols eine solche gegenständliche Feldquelle nicht.
⇒ „Es sind eben eigentlich immer nur die MAXWELLschen Gleichungen,
mit den ‚rotierenden Feldern‘“!
34.6.
Wellengleichung
−
Elektromagnetische Wellen sind spezielle Lösungen der MAXWELLschen Gleichungen.
Wir wollen die völlige „innere Einheit aller Arten von Wellen deutlich machen.
−
Die D’ALEMBERTsche Wellengleichung (eindimensional) war lt. <16.2.>
∂2y
1 ∂2y
=
⋅
∂x 2 v 2Ph ∂t 2
!
(16 - 6‘)
Damals war y die Auslenkung bei einer mechanischen Welle. Die elektromagnetischen Wellen müssen natürlich einer völlig analogen Gleichung gehorchen.
−
Wir schreiben das Induktionsgesetz in differentieller Form unter Verwendung
des Nabla-Operators
∇≡
∂ r ∂ r ∂ r
i+
j+ k
∂z
∂x
∂y
r r
r
wobei i , j und k die Einheitsvektoren in x-, y- und z-Richtung sind.
⇒
−
r
r
r
∂B
rot E ≡ ∇ × E = −
∂t
(30 - 8)
Anwendung von „ ∇ × “ auf beiden Seiten ergibt
r
∇ × (∇ × E )
r
∂B
= −∇ ×
∂t
Mathematische Umformung liefert
r
r
r
r
∂
∂
∇ ⋅ (∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E = − (∇ × B) = − rot B
∂t
∂t
â
r ρ
≡ div E =
= 0 (im freien Raum!)
ε0
(17)
118
Elektrizitätslehre – Elektromagnetische Wellen
−
Bekanntlich ist
r r& r
rot H = D + j
(3)
Wenn wir die drei darin enthaltenen Größen ersetzen mit
r
1 r
H =
⋅B,
µ0
r&
r&
D = ε 0 ⋅ E und
r r
j = 0 (letzteres, weil der Raum leer ist),
dann folgt aus Gl. (3)
⇒
r&
r
rot B = µ 0 ⋅ ε 0 ⋅ E
(18)
Gl. (18) nach der Zeit t abgeleitet ergibt
r
∂2 r
∂
rot B = µ 0 ⋅ ε 0 ⋅ 2 E
∂t
∂t
å
1
≡ 2 (wegen Gl. (29 - 9)
c
−
(19)
Mit Gl. (19) können wir Gl. (17) schreiben als
r 1 ∂2 r
∇2E = 2 ⋅ 2 E
c ∂t
(20a)
bzw. in Komponentenschreibweise
r
∂2 r ∂2 r ∂2 r
1 ∂2 r
∇ E = 2 E+ 2 E+ 2 E = 2 ⋅ 2 E
∂x
∂y
∂z
c ∂t
2
(20b)
r
Dies ist die D’ALEMBERTsche Wellengleichung für das elektrische Feld E , völlig analog zu Gl. (16 - 6).
−
r
Genauso kann man für das magnetische Feld B herleiten1
r
1 ∂2 r
∇2B = 2 ⋅ 2 B
c ∂t
1
(21)
Wir wollen uns hier jedoch die Komponentendarstellung schenken.
119
Elektrizitätslehre – Elektromagnetische Wellen
Kommentar: Eigentlich reicht Gl. (20) oder Gl. (21), weil
u
r
r
 B
E
 r  und  r 
 H
 D
 
 
über die MAXWELLschen Gleichungen miteinander verknüpft sind!
120
Literaturliste
LITERATURLISTE
Titel
Autoren
Verlag
ISBN
DM
Physik
Gerthsen; Vogel
Springer
3-540-65479-8
129,-
Physik in Experimenten
und Beispielen
Paus, Hans J.
Hanser
3-446-17371-4
98,-
Experimentalphysik 1
Mechanik und Wärme
Demtröder, W.
Springer
3-540-57095-0
64,-
Experimentalphysik 2
Elektrizität und Optik
Demtröder, W.
Springer
3-540-56543-4
64,-
Physics Principles & Applications
Harris; Hemmerling; Mallmann
McGraw-Hill
0-07-026851-7
Physik (Teil 1)
Halliday, David;
Resnick, Robert
de Gruyter
3-11-010640-X
98,-
Physik (Teil 2)
Halliday, David;
Resnick, Robert
de Gruyter
3-11-013897-2
128,-
Physik und ihre Anwendungen
in Technik und Umwelt
Leute, Ulrich
Hanser
3-446-17232-7
58,-
Physik
Tipler, Paul A.
Spektrum
3-86025-122-8
128,-
Physik für Ingenieure
Lindner, Helmut
Fachbuch-Verlag
3-343-00772-2
48,-
Physik für Ingenieure
Hering; Martin;
Stohrer
Springer
3-540-62442-2
78,-
Mechanik, Akustik, Wärme; Bd. 1
Bergmann; Schae- de Gruyter
fer
3-11-012870-5
148,-
CD-ROM: CliXX Physik
Bauer; Benenson;
Westfall
Harri Deutsch
3-8171-1553-9
ca. 50,-
Taschenbuch der Physik
Stöcker
Harri Deutsch
3-8171-1556-3
58,-
Taschenbuch der Physik
Kuchling, H.
Fachbuch-Verlag
3-446-21054-7
40,-
IV
Quellenverzeichnis
QUELLENVERZEICHNIS
{1}
Christian Gerthsen, Helmut Vogel, Physik, Berlin; Heidelberg; New York; London;
Paris; Tokyo; Hong Kong; Barcelona; Budapest (Springer), 17. Auflage 1993
{2}
Ludwig Bergmann, Lehrbuch der Experimentalphysik, Berlin; New York (de
Gruyter), 7. Auflage 1987
{3}
Christian Weißmantel, Claus Hamann, Grundlagen der Festkörperphysik, Berlin
(VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften DDR), 2. Auflage 1981
{4}
Hans J. Paus, Physik in Experimenten und Beispielen, München; Wien (Carl Hanser), 1995
V
Begriffssystem der Elektrodynamik
BEGRIFFSSYSTEM DER ELEKTRODYNAMIK
In der Elektrodynamik ist, im Gegensatz zu anderen Gebieten der Physik, die Verwendung von Fachbegriffen nicht ganz einheitlich. Nachfolgend wird deshalb eine
Übersicht darüber gegeben, wie das in den Lehrbüchern, auf die bei der Ausarbeitung der Vorlesung besonders viel zurückgegriffen wurde, gehandhabt wird. Die im
Rahmen der Vorlesung gebrauchten Bezeichnungen werden kursiv dargestellt.
Die Verwendung der Formelzeichen (Symbole) ist dagegen praktisch einheitlich.
Symbol
Paus {4}
B.-Schaefer {2}
Gerthsen {1}
µ0
magnetische
Feldkonstante
magnetische
Feldkonstante
Induktionskonstante
ε0
elektrische
Feldkonstante
elektrische
Feldkonstante
Influenzkonstante
elektrische
Feldstärke
elektrische
Feldstärke
elektrische
Feldstärke
Verschiebungsdichte
elektrische
Verschiebung
magnetische
Flussdichte
magnetische
Feldstärke
Verschiebungsdichte
r
„ B -Feld“
magnetische
Feldstärke
magnetische
Hilfsfeldstärke
oder
Influenzkonstante
r
E
r
D
r
B
r
H
r
r
„ H -Feld“
∫ E ⋅ dA
elektrischer
Fluss
r
B
∫ ⋅ dA
magnetischer
Fluss
Die IUPAP (International Union of Pure and Applied Physic) empfiehlt die folgenden Bezeichnungen ({2}, S. 123):
−
−
r
B:
r
H:
magnetische Induktion o d e r magnetische Flussdichte,
magnetische Feldstärke.
VI
Sachregister
SACHREGISTER
A
Amplitude 79
Antiferroelektrizität 77
Antiferromagnetismus 77
Äquipotentialfläche 8, 20
B
BARKHAUSEN-Effekt 76
Beweglichkeit 17
Blindleistung siehe Leistung
BLOCH-Wand 76
C
COULOMB-Kraft 2, 54
COULOMBsches Gesetz 2
CURIE-Temperatur 42, 74
D
D’ALEMBERTsche
Wellengleichung 119, 121
Diamagnetismus 71
Dielektrikum 31
dielektrische Polarisation siehe Polarisation
dielektrische Suszeptibilität siehe Suszeptibilität
dielektrische Verluste 38
Dielektrizitätskonstante 32
Dipol
elektrischer 9, 46, 116
magnetischer 46, 118
Dipolmoment 9, 35, 36, 38, 46, 115
Dipoloszillator 115
Feldabstrahlung 116
Richtcharakteristik 118
Divergenz 9
Domäne
ferroelektrische 42
ferromagnetische 75
Drehstrom 100, 105
Dreieckschaltung 102
Driftgeschwindigkeit 17
Durchflutungsgesetz 106
E
Eisenkern 75
elektrische Feldstärke siehe Feldstärke
elektrische Ladung 2
elektrischer Dipol siehe Dipol
elektrischer Fluss siehe Fluss
elektrisches Feld siehe Feld
elektromagnetische Welle siehe Welle
Elektromotor 103
elektrostatisches Feld siehe Feld
elektrostatisches Potential siehe Potential
Elektrostriktion 41
Elementarladung 2
Energie
des elektrischen Feldes 28
des magnetischen Feldes 66
Energiedichte 114
des elektrischen Feldes 29, 38, 112
des magnetischen Feldes 66, 112
Energiestromdichte 113
Energieströmung 113
F
FARADAYsche Versuche 56
FARADAYscher Käfig 22
Feld
elektrisches 3, 6, 19, 30, 33, 47
elektrostatisches 3, 6, 19, 30, 33, 47
magnetisches 13, 43, 47, 49
magnetostatisches 43, 47, 49
Feldstärke
elektrische 3
magnetische 43
Ferrielektrizität 77
Ferrimagnetismus 77
Ferroelektrizität 41, 77
Ferromagnetismus 50, 72, 77
Flächenladungsdichte 20, 21
Fluss
elektrischer 4
magnetischer 49, 56, 61, 62
Frequenz 79
G
Generator 80
Gleichstrom 104
Gleichstrommotor 104
Gradient 8
Eigenfrequenz 116
VII
Sachregister
H
HELMHOLTZ-Spulen 50
Hysterese 73
magnetischer Fluss siehe Fluss
magnetisches Feld siehe Feld
magnetisches Moment 46
Magnetisierung 68
magnetostatisches Feld siehe Feld
MAXWELLsche Gleichungen 106
I
Induktionsgesetz 57, 58, 79, 107
Induktionskonstante 47
Induktivität 61
Influenz 22
Influenzkonstante 2, 47
Innenwiderstand 15
Isolator 31
N
Nabla-Operator 119
NÉEL-Temperatur 77
NÉEL-Wand 76
Nullleiter 101
O
J
JOULEsche Wärme 18, 65
K
Kapazität 24
KIRCHHOFFsche Knotenregel 12, 91
KIRCHHOFFsche Maschenregel 12, 47, 91
Klemmenspannung 15, 80
Koerzitivfeldstärke 73
Kommutator 104
Kondensator 25
Ladevorgang 26
Platten- 25, 31
Kreisstrom 50, 68, 69
L
Ladungsdichte 5, 9
lange Spule 51
Laplace-Operator 9
Leerlaufspannung 15
Leistung
Blind- 94
Schein- 94
Wirk- 93
Leiter 13, 20, 46
Leiterschleife 45, 46
Leitwert 13
LENZsche Regel 59
Lichtgeschwindigkeit 47, 112, 116
LORENTZ-Kraft 43, 53
M
magnetische Feldkonstante 47
magnetische Feldstärke siehe Feldstärke
magnetische Polarisation siehe Magnetisierung
magnetische Suszeptibilität siehe Suszeptibilität
Oberflächenladung siehe Polarisationsladung
Öffnungsfunken 64
OHMsche Verluste 18, 60
OHMsches Gesetz 82, 91
Orientierungspolarisation siehe Polarisation
P
Parallelschaltung
von komplexen Widerständen 91
von Kondensatoren 26
von Widerständen 14
Paramagnetismus 71, 74
Permeabilität 49, 67, 68
Phasenverschiebung 82, 84, 85, 90, 97
Piezoelektrizität 40
Plattenkondensator siehe Kondensator
POISSON-Gleichung 9, 19
Polarisation
dielektrische 34, 35
magnetische siehe Magnetisierung
Orientierungs- 38
Verschiebungs- 36
Polarisationsladung 34
Potential 6, 19
Potentialdifferenz 6
Poynting-Vektor 113
R
Rechte-Hand-Regel 43, 59
Reihenschaltung
von komplexen Widerständen 91
von Kondensatoren 26
von Spule und Widerstand 86
von Widerständen 14
Remanenzmagnetisierung 73
Resonanz 97, 99
Resonanzfrequenz 115
Richtcharakteristik eines Dipols siehe
Dipoloszillator
VIII
Sachregister
Rotation 57
V
S
Sättigungsmagnetisierung 73
Satz
von BIOT-SAVART 53
von GAUß-OSTROGRADSKI 5, 48
Scheinleistung siehe Leistung
Scheinwiderstand siehe Widerstand
Schwingkreis 99, 114
Selbstinduktion 62, 65, 83
Siebkette 96
Skineffekt 94
Spannung 7
Spannungsübersetzung 103
Sperrkreis 98
spezifischer Widerstand siehe Widerstand
Spiegelladung 23
Spule 50, 62, 63
Stator 105
Sternschaltung 101
Stromdichte 17
Stromstärke 12
Suszeptibilität
dielektrische 35
magnetische 68
T
TOLMANscher Versuch 16
Transformator 102
idealer 103
realer 103
Verlustleistungsdichte 61
Verschiebungsdichte 30
Verschiebungspolarisation siehe Polarisation
Verschiebungsstrom 106
W
WALTENHOFsches Pendel 60
Wechselspannung 79
Wechselstrom 79
Wechselstromkreis 96
Wechselstromwiderstand 91
der Spule 83, 90
des Kondensators 85
WEIßscher Bezirk 75
Welle
elektromagnetische 108
elektromagnetische, Eigenschaften 109
stehende 116
Wellen
elektromagnetische 119
Wellenzahl 109
Widerstand
induktiver 83, 90, 91
kapazitiver 85, 91
OHMscher 13, 82, 90, 91
Schein- 97
spezifischer 14
Wirbelströme 60
Wirkleistung siehe Leistung
Z
Zeitkonstante 27, 63, 65
IX