Primzahlzwillingsrekorde

Primzahlzwillingsrekorde –
nicht nur eine Jagd nach Monstern
Karl-Heinz Indlekofer
Stefan Wehmeier
Arbeitsgruppe Zahlentheorie
Universität Padeborn
Die Mathematik ist
die Königin der
Wissenschaften, und
die Zahlentheorie ist
die Königin der
Mathematik.
C.F. Gauß (1777-1855)
Fraktale
Weltrekord aus Paderborn
Definition Primzahl
• Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl
p größer als 1, die durch keine andere
Zahl als durch 1 und sich selbst geteilt
wird.
Das Sieb des Eratosthenes
1
11
21
31
41
2
12
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3
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Das Sieb des Eratosthenes
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49
1 wird gestrichen
2 erste Primzahl
also alle Vielfachen von 2 keine Primzahlen
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Das Sieb des Eratosthenes
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Nächste Primzahl: 3
alle Vielfachen von 3 keine Primzahlen
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Das Sieb des Eratosthenes
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Nächste Primzahl: 5
streiche alle Vielfachen von 5
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Das Sieb des Eratosthenes
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Nächste Primzahl: 7
streiche alle Vielfachen von 7
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Das Sieb des Eratosthenes
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Die verbleibenden Zahlen sind nun alle Primzahlen zwischen
0 und 50
1
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86
87
88
89
90
1301
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1383
1384
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1390
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1399
1400
1401
1402
1403
1404
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1406
1407
1408
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1413
1414
1415
1416
1417
1418
1419
1420
Euklid von Alexandria
• Gelebt von ca. 330 bis
ca. 275 v. Chr.
• „Die Elemente“ ein
13-bändiges
Kompendium des
damaligen
Mathematik-Wissens
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Annahme: Es gibt nur endlich viel Primzahlen p1, ..., pn.
Betrachte nun n := p1 * ... * pn +1.
n ist nicht durch p1, ..., pn teilbar. Also muss n selbst Primzahl
sein oder aus Primzahlen zusammen gesetzt sein, die von
p1, ..., pn verschieden sind.
Widerspruch!
2 kleine Beispiele:
2*3+1=7
2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509
Es gibt also unendlich viele Primzahlen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine
erzeugte Zahl prim?
• Zahlen von 90000 – 92000
• Anzahl: 2000
• Davon Primzahlen: 174
Primzahlen  174  0,087 
1
Zahlenanzahl 2000
ln(91000)
• Vermutung von Gauß: eine Zufallszahl  n ist
1
mit Wahrscheinlichkeit ln( n) eine Primzahl
Carl Friedrich Gauß
•
•
•
•
•
* 30. April 1777 in Braunschweig
V 23. Februar 1855 in Göttingen
Schon als Kind begeistert von der
Mathematik
Der Herzog von Braunschweig
ermöglichte ihm das Studium am
Collegium Carolinum in
Braunschweig
Einige Erfolge:
– Methode der kleinsten Quadrate
– Das Gesetz der normalen
Fehlerverteilung
– Fundamentalsatz der Algebra
Primzahlen in Intervallen
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
er war tete Anzahl
gef undene Anzahl
0
10^8,10^8+c
10^10,10^10+c
10^12,10^12+c
10^14,10^14+c
Der exakte Beweis
• ... paßt leider nicht auf diese Folie
• Er wurde im Jahr 1896 von Hadamard und
de la Valée-Poussin erbracht
• Der Beweis macht einen „Umweg“, indem
er die Theorie der Funktionen über den
komplexen Zahlen verwendet
• Inzwischen kennt man noch weitere
Beweise
Jacques Salomon Hadamard
Charles Jean Gustave de la Vallée Poussin
* 8. Dez. 1865, Versailles (Frankreich) * 14. Aug. 1866, Louvain (Belgien)
V 17. Okt. 1963, Paris (Frankreich)
V 2. März 1962, Louvain (Belgien)
Was sind Primzahlzwillinge?
11
21
31
41
2
12
22
32
42
3
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23
33
43
4
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34
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5
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6
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7
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38
48
9
19
29
39
49
10
20
30
40
50
Godfrey Harold Hardy
John Edensor Littlewood
* 7. Feb. 1877 Cranleigh (England)
V 1. Dez. 1947 Cambridge (England)
* 9. Juni 1885 Rochester (England)
V 6. Sep. 1977 Cambridge (England)
Die Wahrscheinlichkeit ein
Primzahlzwillingspaar zu finden
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl p Primzahl ist,
ist 1 ln( p ) .
Die Wahrscheinlichkeit, dass p+2 Primzahl ist, ist
1
Hardy-Littlewood:
Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl p als auch p+2
Primzahlen sind, ist ungefähr
 1 


 ln( p ) 
2
.
ln( p ) .
Primzahlzwillinge in Intervallen
700
600
500
400
300
200
100
e rw a r te te A n z a h l
g e fu n d e n e A n za h l
0
1 0 ^8 , 1 0 ^8 + c
1 0 ^1 0 ,1 0 ^1 0 +c
1 0 ^1 2 , 1 0 ^1 2 + c
1 0 ^ 1 4 ,1 0 ^1 4 +c
Die Forschung
• Ob es unendlich viele Primzahlzwillinge
gibt, ist ein offenes Problem!
• Ziel: Das Finden von möglichst großen
Primzahlzwillingen
Primzahltests
• Probedivision: eine Zahl n ist genau dann Primzahl, wenn
sie keinen Teiler zwischen 1 und n hat. Man kann also
versuchen, n durch alle kleineren Zahlen zu dividieren.
• Rechnet man (großzügig) 1 Milliarde Divisionen pro
Sekunde, so schafft man pro Jahr etwa 3*10^16
Divisionen, seit Entstehung der Welt also etwa 5*10^26
Divisionen. Man hätte in dieser Zeit also eine 53-stellige
Zahl testen können. In der Mathematik der Gegenwart
untersucht man jedoch zum Teil Zahlen mit mehreren
Millionen Stellen!
• Gibt es schnellere Verfahren?
Pierre de Fermat
* 17. August 1601 Beaumont-de-Lomagne (Frankreich)
V 12. Januar 1665 Castres (Frankreich)
Berühmt vor allem
durch seinen „letzten
Satz“:
Sind a,b,cIN und
n
n
n


n  3 , so gilt a b c
Der Test von Fermat
• Satz von Fermat: Wenn p eine Primzahl ist,
so gilt für jede Zahl a, 1  a  p  1 , dass
p 1
a : p den Rest 1 lässt.
• Aber: es gibt auch Zahlen, die keine
Primzahlen sind und für die diese Aussage
für sehr viele a gilt
Beispiel p=5 (Primzahl)
a=1
4
1
5
1
5

4
 16  3 1
5
5
5

4
 81  16 1
5
5
5

4
 256  51 1
5
5
5

a=2
2
a=3
3
a=4
4
Beispiel p=6 (keine Primzahl)
5
a=1
1
a=2
2
a=3
3
6
5
a=4

6
 32  5 2
6
6
6
f
5
 243  40 3
6
6
6
f
5
 1024  170 4
6
6
6
f
4
5
a=5
1
5
6
 3125
6
 520 5
6
f
• Gary L. Miller
• Michael O. Rabin
Der Miller-Rabin-Test
Satz von Miller-Rabin:
Wenn
p eine ungerade Primzahl ist, so lässt
p 1
p 1
a 2 : p den Rest 1 oder p-1.
Wenn p keine Primzahl ist, so lässt a 2 : p
für mindestens ¾ aller a einen anderen Rest.
Problem
Unsere p haben etwa 20.000 Dezimalstellen,
um a
p 1
2
auszurechnen braucht man sehr
viele Multiplikationen großer Zahlen.
Multiplizieren in der Schule
13456923 * 67890125
67890125
203670375
271560500
339450625
407340750
611011125
135780250
203670375
913592184585375
Verdoppelt man die Zahl
der Stellen, so
vervierfacht sich der
Aufwand!
Das Karazuba-Verfahren
1)Schreibe 2 gegebene 2n-stellige
Zahlen als a * 10^n + b bzw.
c * 10^n + d
2)Dann gilt:
(a * 10^n + b)(c * 10^n + d) =
(ac)*10^2n + (ad + bc)*10^n + bd
3)Weiter gilt:
(a + b)(c + d) = ac + (ad + bc) + bd
4)Man kann also die Multiplikation
von zwei 2n-stelligen Zahlen auf
drei Multiplikationen von nstelligen Zahlen (ac, (a+b)(c+d),
bd) sowie einigen Additionen
zurückführen.
1) 13456923 = 1345 * 10^4 + 6923
67890125 = 6789 * 10^4 + 125
n = 4, a = 1345, b = 6923,
c = 6789, d = 125
3) 1345 + 6923 = 8268
6789 + 125 = 6914
8268 * 6914 = 57164952
1345 * 6789 = 9131205
6923 * 125 = 865375
(a*d+b*c) = 57164952 – 865375
9131205 = 47168372
2) 9131205 *108  47168372 *104
+ 865375
= 913592184585375
Anatolii Alekseevich Karazuba
• Geboren 31.1.1937 in
Grozny
• 1954-1959 Studium in
Moskau
• 1962: Entdeckung seines
berühmten Algorithmus
• Seit 1983 Dekan des
Bereichs Zahlentheorie am
Stekhlov-Institut
Es geht noch schneller...
Rekord Primzahlzwillinge
20000
Indlekofer,
Járai, Wassing
Indlekofer,
Járai, Wassing
18000
16000
14000
Indlekofer,
Járai
12000
10000
8000
Ballinger,
Gallot
Lifchitz
Indlekofer,
Járai
Dubner
Dubner
6000
4000
2000
1999
1998
1997
1996
1995
1994
1992
1991
1990
1989
1988
1987
1986
1985
1984
1993
Dubner
Dubner Parady, Smith,
Zarantonello
Atkin, Richert
0
2000