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Kleine Geschichte der Mathematik
Die Entdeckung
Nach ca. 350 Jahren im Jahr 1993 wurde das letzte große
Rätsel der Mathematik endlich gelöst, nach dem alle großen
Mathematiker über 3 Jahrhunderte sich vergeblich daran
versucht hatten:
Es war die wichtigste Mathematikvorlesung des Jahrhunderts.
Zweihundert Mathematiker lauschten wie gebannt. Nur ein Viertel
von ihnen verstand den Inhalt der Vorlesung wirklich. Die meisten
waren gekommen, weil das Gerücht herumging, dass etwas
Bedeutendes geschehen sollte.
Der Vortragende war Andrew Wiles, ein Engländer, der in den
achtziger Jahren eine Professur in Princeton angenommen hatte und
der den Ruf erworben hatte, einer der begnadetsten Mathematiker
seiner Generation zu sein. Er war schon 40, ein Alter, in dem die
meisten Mathematiker keine bedeutenden Entdeckungen mehr
machen. In den letzten Jahren war es still um ihn geworden, die
meisten glaubten schon, seine Karriere sei am Ende. Dabei hatte er
sich sieben Jahre lang insgeheim mit einer der letzten ungelösten
Fragen der Mathematik beschäftigt.
Jochen Pellatz 01-2009
Andrew Wiles
konnte als erster
die Gültigkeit der
Fermat‘schen
Behauptung
beweisen.
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Kleine Geschichte der Mathematik
Das Problem
Schon als 10-jähriger lernte Wiles, wie die meisten anderen Schüler seines Alters
auch, den wichtigsten Satz der Schulmathematik, den Satz des Pythagoras:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypothenuse
gleich der Summe der Quadrate über den beiden anderen Seiten.
oder
c² = a² + b ²
Interessant dabei sind solche Lösungen, bei denen die Länge der drei Seiten
ganzzahlig sind. Beispiele dafür sind:
a=3, b= 4 und c = 5, da gilt: 3² + 4² = 5²,
oder auch
a = 5, b = 12 und c = 13, da 5² + 12² = 13².
Es gibt unendlich viele solcher sog. pythagoreischen Zahlentripel, sie sind nur nicht
immer einfach zu finden. Wiles interessierte sich schon als Kind für die Frage, ob es
solche ganzzahligen Zahlentripel auch für Gleichungen der Form
an  bn  cn
Jochen Pellatz 01-2009
geben mag, wenn n > 2 ist.
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Kleine Geschichte der Mathematik
Der Beginn der Geschichte
Im 17. Jahrhundert hat der Hobbymathematiker Pierre de
Fermat eine Behauptung aufgestellt, die die Welt der
Mathematiker 350 Jahre lang in Atem halten sollte.
Fermat beschäftigte sich mit den großen griechischen
Mathematikern und studierte deren Schriften. Dabei stieß
er auf den Satz des Pythagoras, der uns allen in der
Form a² + b² = c² bekannt ist.
Fermat wollte wissen, ob es solche ganzzahligen Lösungen
auch für höhere Exponenten gibt. Also a³ + b³ = c³ oder
allgemein:
n
n
n
mit n > 2
Pierre de Fermat
1601 - 1655
a b  c
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Kleine Geschichte der Mathematik
Der Beginn der Geschichte
Fermat glaubte herausgefunden zu haben, dass es ganzzahlige
Lösungen für diese Gleichungen nicht gibt. Allerdings, und das ist in
der Mathematik fatal, fehlt der Beweis dafür. Fermat notierte
lediglich an den Rand seiner Schrift, die er gerade studierte, den
berühmten Satz:
Es ist unmöglich, einen Kubus in zwei Kuben zu zerlegen, oder
ein Biquadrat in zwei Biquadrate, oder allgemein irgendeine
Potenz größer als die zweite in Potenzen gleichen Grades. Ich
habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis gefunden,
doch ist der Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen.“
Diese Briefmarke aus der
tschechischen Republik
beschreibt den Satz von
Fermat
Allgemein: Eine Lösung für die Gleichung
an  bn  cn
mit n > 2 gibt es nicht.
Darauf hin begann eine beispiellose Jagd nach dem Beweis
dieser Aussage
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Kleine Geschichte der Mathematik
Mathematische Beweise
In der Naturwissenschaft und in unserem alltäglichen Leben ist ein
Beweis wesentlich weniger anspruchsvoll als in der Mathematik.
Wir gehen im Allgemeinen davon aus, dass eine Sache bewiesen ist,
wenn das Gegenteil nach unseren Vorstellungen nicht existieren kann
weil die Indizien überzeugend sind oder weil niemand bisher eine andere
Erfahrung gemacht hat. Ein Fingerabdruck am Tatort gilt vor Gericht als
Beweis, da man davon ausgeht, dass es keine zwei Menschen auf der
Welt gibt, die den gleichen Fingerabdruck haben. Allerdings hat das noch
niemand mit Sicherheit beweisen können.
Mathematische Beweise hingegen sind unumstößlich. Wer einen
mathematischen Beweis gefunden hat, kann sicher sein, dass dieser auch
In hunderten von Jahren noch gültig ist.
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Kleine Geschichte der Mathematik
Der Satz von Pythagoras und sein Beweis
Ziel des Beweises ist es, zu zeigen, dass der Satz des
Pythagoras für alle rechtwinkligen Dreiecke gilt.
Dabei einigen wir uns darauf, dass wir die
die Katheten mit a und b bezeichnen und
die dem rechten Winkel gegenüberliegende
Seite mit c.
Rechts sind vier identische rechtwinklige Dreiecke abgebildet, die
zusammen mit dem gekippten Quadrat ein größeres Quadrat
ergeben. Wenn der Satz des Pythagoras gilt, dann kann man die
Fläche des großen Quadrates auf zwei Arten berechnen:
1.
Als Summe der Flächen der vier rechtwinkligen Dreiecke
und des gekippten Quadrates.
2.
Als Quadrat der Kantenlänge des Quadrates, wobei die
Kantenlänge gleich a + b ist.
Büste von Pythagoras
ca. 570 – 510 v. Chr.
Wir führen auf der nächsten Seite den Beweis.
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Kleine Geschichte der Mathematik
Der Satz von Pythagoras und sein Beweis
Zu 1: Die Fläche eines Dreieck berechnet sich aus
F = (g x h)/2.
Damit gilt für die vier Dreiecke: F = 4 x (a x b)/2 oder
2 a b.
Das gekippte Quadrat hat die Kantenlänge c.
Die Fläche ist also c²
C² ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras aus
c² = a² + b².
Daraus ergibt sich als Gesamtfläche:
F = a² + b² + 2ab.
Zu 2: Die Kantenlänge des großen Quadrates ist a + b. Daraus
ergibt sich als Fläche F = (a + b)².
Wenn der Satz des Pythagoras gilt, müssen beide Flächen gleich sein.
Also: a² + b² + 2ab = (a+b)²
Nach der 1. Binomischen Formel gilt:
a² + b² + 2ab = a² + 2ab + b²
,offensichtlich steht auf beiden Seiten dasselbe,
was zu beweisen war.
Alternativ kann man auch schreiben:
c² + 2ab = a² + 2ab + b², so dass sich nach Subtraktion von 2ab wieder der Satz des
Pythagoras ergibt.
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Kleine Geschichte der Mathematik
Pythagoras und die Zahlentheorie
Zur Zeit von Pythagoras (im 6. Jhd. v. Chr.) war die Welt der Zahlen noch
weitgehend unerforscht. Ein Untersuchungsgegenstand von Pythagoras und seinen
Schülern war es, das Wesen der Zahlen und deren Besonderheiten genauer zu
untersuchen. Dieses Gebiet der Mathematik wird Zahlentheorie genannt und ist
auch heute noch ein beliebtes Forschungsgebiet in der Mathematik. Grundlage der
Zahlentheorie ist die Erforschung der Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 usw.).Da
alle natürlichen Zahlen aus Primfaktoren gebildet werden (z.B. 20 = 2 * 2 * 5),
genügt es oft, Aussagen über Primzahlen zu machen. Diese können dann auf alle
anderen natürlichen Zahlen übertragen werden.
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Kleine Geschichte der Mathematik
Pythagoras und die Zahlentheorie
Pythagoras entdeckte z.B. die vollkommenen Zahlen. Das sind Zahlen, deren
Teiler addiert genau die Zahl selber ergeben. Die Zahl 6 hat z.B. die Teiler 1, 2 und
3. Deren Summe 1+2+3 ergibt wieder die Zahl 6. Die nächste vollkommene Zahl ist
die Zahl 28, da die Summe ihrer Teiler 1+2+4+7+14 wieder 28 ergibt. Pythagoras
entdeckte außerdem, dass vollkommene Zahlen immer die Summe aufeinanderfolgender Zahlen sind. So ist 28 = 1+2+3+4+5+6+7.
Die nächste vollkommene Zahl ist die Zahl 496. (1+2+4+8+16+31+62+124+248=496)
Heute versucht man, große, vollkommene Zahlen mit Hilfe von Computern zu finden.
Die Abstände zwischen den vollkommenen Zahlen sind also recht groß und werden
immer größer. Bis heute ist es noch nicht gelungen, zu beweisen, ob die Anzahl der
vollkommenen Zahlen endlich oder unendlich groß ist.
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Kleine Geschichte der Mathematik
Euklid
(geb. um 330 v. Chr.)
Euklid war ein weiterer großer griechischer Mathematiker, der die Zahlentheorie
weiter entwickelte. Bis zu seiner Zeit ging man davon aus, dass jede Zahl entweder
eine ganze Zahl sei oder durch einen Bruch ausgedrückt werden konnte. Es gab
also nur die Menge der rationalen Zahlen.
Euklid bewies als erster, dass es so genannte irrationale Zahlen geben muss, die
nicht durch einen Bruch dargestellt werden können. Sein berühmter Beweis zeigt,
dass die 2
eine irrationale Zahl sein muss.
Die berühmteste irrationale Zahl ist die Zahl pi = 3,141592...
Die Zahl pi wurde im Jahr 1996 bis auf 6 Milliarden Stellen nach dem Komma
berechnet.
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Kleine Geschichte der Mathematik
Über 1000 Jahre Stillstand
Mit den Griechen endete die Entwicklung der Mathematik zunächst. Der
Grieche Diophant verfasste das berühmte Buch Arithmetica, dass den
damaligen Stand der Mathematik widerspiegelte.
Erst weit über 1000 Jahre später wird die Mathematik weiterentwickelt.
Berühmte Mathematiker des 17. Und 18. Jahrhunderts sind z.B.
Pierre de Fermat, Rene Descartes, Leonhard Euler oder Isaac
Newton, die sich alle mit den Problemen der griechischen Mathematiker
auseinander setzten.
Eine beliebte Aufgabe der Zahlentheorie der damaligen Zeit war es,
sog. befreundete Zahlen zu finden.
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Kleine Geschichte der Mathematik
Freunde
Befreundete Zahlen sind zwei Zahlen, deren Teilersumme die jeweils andere Zahl
bildet. Zwei solche befreundete Zahlen sind z.B. 220 und 284.
Die Teiler von 220 sind: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 ergibt 284
Die Teiler von 284 sind: 1+2+4+71+142 ergibt 220.
Diese beiden Zahlen galten schon im Mittelalter als Symbol der Freundschaft und
der Liebe.
Erst Fermat entdeckte ein weiteres Paar befreundeter Zahlen, die Zahlen 17296
18416. Leonard Euler entdeckte 22 weitere Paare sehr großer Zahlen.
1866 entdeckte ein 16 jähriger Italiener ein Paar, das bisher übersehen worden war.
Die Zahlen 1184 und 1210.
Die Suche nach besonderen Zahlen an sich bringt die Menschheit sicherlich nicht
wesentlich weiter. Bei der Suche wurden aber neue mathematische Verfahren
entdeckt, die die Mathematik als Ganzes voranbringen.
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Kleine Geschichte der Mathematik
Leonard Euler
Einer der größten Mathematiker des 18. Jahrhunderts war
Leonard Euler. Er verbrachte viele Jahre seines Lebens am
Hof der russischen Zaren, für die er viele mathematische
Probleme von der Navigation über Finanzfragen bis zur
Fragen der Akustik und der Bewässerung löste.
Ihm gelang als erster der Durchbruch bei Fermats Problem,
Indem er die Frage nach der Lösung für die Gleichung
a n  b n  c n für n = 3 beantworten konnte. Sein Beweis
zeigte, dass es keine Lösung dafür gibt. Um den Beweis zu
führen, musste er mit imaginären Zahlen rechnen, die erst im
16. Jhd. durch den Italiener Bombelli entdeckt wurden.
Imaginäre Zahlen beantworten die Antwort nach der Frage, was
denn die Wurzel aus –1 sei. Dieses Problem war bis dahin
unlösbar. Bombelli führte die Zahl i als imaginäre Zahl ein,
definert als i   1
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Kleine Geschichte der Mathematik
Weitere Schritte
Hundert Jahre nach Fermats Tod waren erst zwei Fälle der Gleichung a  b  c
gelöst. Es war bewiesen, dass es keine Lösung gibt für die Gleichung
a 3  b3  c 3 durch Euler und a 4  b 4  c 4 durch Fermat selbst.
Noch immer aber standen Beweise aus für eine unendliche Zahl von Gleichungen
n
n
n
a 5  b5  c 5
a 6  b6  c6
usw.
Wir haben schon gehört, dass die Primzahlen bei der Lösung des Problems eine
entscheidende Rolle spielen. Ist der Beweis für n = 3 angetreten, so muss er nicht
auch für n = 6 oder n = 9 angetreten werden, da 6 und 9 aus den Primfaktoren 2
und 3 bestehen. Es genügt also, den Beweis für solche n anzutreten, die
Primzahlen sind. Allerdings ein schwacher Trost, denn auch die Anzahl der
Primzahlen ist vermutlich unendlich groß.
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Kleine Geschichte der Mathematik
Die Jagd beginnt
Im 19. Jahrhundert beginnt die Jagd nach der Lösung des Fermat-Problems richtig.
Es wurden sogar Preise für das Auffinden des Beweises ausgesetzt.
Bekannt geworden ist unter vielen andern die Französin Sophie Germain, die mit
dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß über das Fermat-Problem
korrespondierte. Da es sich damals für eine Frau nicht schickte, Mathematik zu
betreiben, musste sie sich als Mann ausgeben.
Anfang des 20. Jahrhunderts hat der Industrielle Paul Wolfskehl einen Preis in
Höhe von 100 000 Mark ausgeschrieben für denjenigen, der Fermats Satz beweisen
könne. Wolfskehl war ein Hobbymathematiker, der sich wegen einer unglücklichen
Liebe umbringen wollte. Am Abend vor seinem geplanten Selbstmord befasste er
sich mit den Aufzeichnungen von Ernst Kummer über das Fermat-Problem. Da fand
er eine Lücke in der Argumentation und unter dieser Beschäftigung vergaß er seine
geplanten Freitodabsichten.
Nach Aussetzung des Preises ging eine Flut von angeblichen Beweisen beim
Preiskomitee ein. Sämtliche Lösungsvorschläge erwiesen sich jedoch als fehlerhaft.
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Kleine Geschichte der Mathematik
Die Jagd ist zu Ende
Der Wolfskehl-Preis ging aber doch endlich nach fast 90 Jahren an Andrew Wiles.
Wiles Arbeit stützte sich auf die Vorarbeit zweier Japaner, die in den 50 Jahren die
sog. Taniyama-Shimura Vermutung äußerten.
Diese besagt, dass es zwischen elliptischen Kurven und Modulformen eine enge
Verbindung gibt. Was auch immer dieses bedeuten mag, auf jeden Fall hat Wiles
diese Vermutung bewiesen und damit wurde gleichzeitig bewiesen, dass Fermats
letzter Satz richtig war:
Es gibt keine natürlichen Zahlen n für die gilt:
a b  c
n
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n
n
mit n > 2
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Kleine Geschichte der Mathematik
Wozu das Ganze?
„Sie könnten fragen, warum ich unbegrenzte Zeit auf ein
Problem verwende, dass vielleicht einfach nicht lösbar ist.
Die Antwort ist, dass ich gerne an diesem Problem arbeitete
und ganz besessen davon war. Ich genoss es, meinen Grips
daran zu erproben.“ (Andrew Wiles)
Der Mathematiker Titchmarsh hat einmal gesagt: Zu wissen,
dass pi irrational ist, kann praktisch nicht von Nutzen sein,
doch wenn wir es wissen können, wäre es sicher unerträglich,
es nicht zu wissen.
Jochen Pellatz 01-2009
Andrew Wiles im
Jahr 2005
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