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Solvatationsmodelle
Wozu ?
Alle biologisch relevanten Reaktionen finden in
wässriger Lösung statt
Vorhersage von molekularen Eigenschaften:
• Solvatationsenergien
• Bindungsaffinitäten in Enzym-Ligand Systemen
• pKa
8. Vorlesung
Computational Chemistry SS06
1
Was ist Solvatation ?
gas / vapour
sublimation
solid
solvation
solvent
8. Vorlesung
Computational Chemistry SS06
2
Aminosäuren in Wasser (1)
R
R
O
H2O
H N
H
H
O
+
N
O H
H
H
O
Einzelne Aminosäuren dissoziieren in Wasser:
Carbonsäuren als schwache Säuren zu Carboxylaten
Amine als schwache Basen bilden Ammoniumgruppen
Auch die Seitenketten können ihren Protonierungszustand
ändern (titrierbare Gruppen eines Proteins)
8. Vorlesung
Computational Chemistry SS06
3
Aminosäuren in Wasser (2)
Wie verhält sich die Carbonsäuregruppe der Seitenkette von
Asp oder Glu bei unterschiedlichem pH ?
H3C-COOH + H2O
H3C-COO- + H3O+
HAc
Ac-
Die Umsetzung einer Säure mit einer Base liefert eine
Titrationskurve
HAc + NaOH
Na+Ac- + H2O
0
pH
2
4
pKa
6
8
10
12
14
pH
10-1
Ac-
0
10-2
10-3
10-4
4.7
10-5
10-6
14
[NaOH]
Konzentration mol/l
8. Vorlesung
HAc
10-7
Computational Chemistry SS06
OH-
H3O+
4
Aminosäuren in Wasser (3)
typische pKa-Werte von Aminosäurenseitenketten
(dargestellt in ihrer protonierten Form als Säure)
Asp
O
CH2
3.9
OH
O
Glu
4.1
CH2 CH2
OH
H
Lys
+
CH2 CH2 CH2 CH2 N H
10.8
H
H
Arg
CH2 CH2 N
C
N
+
H
12.5
N
H
H
H
+
His
H
N
CH2
6.04
N
Protonierung kann sich
ändern
H
8. Vorlesung
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5
Aminosäuren in Wasser (4)
typische pKa-Werte von Aminosäurenseitenketten
(dargestellt in ihrer protonierten Form als Säure)
Ser
CH2 OH
13
Thr
CH
13
OH
CH3
Tyr
Cys
CH2
CH2 SH
OH
10.1
8.3
Oxidation zu
Disulfidbrücken
Diese pKa-Werte wurden für einzelne Aminosäuren in Lösung
bestimmt (bulk properties). Im Protein kann sich der Wert je
nach Umgebung ändern.
8. Vorlesung
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6
Komplexbildung in Lösung (1)
DGgas
Gas
L
DGsol(L)
Lösung
E
+
L+ELE
DGsol(E)
L
+
L
E
DGsol(LE)
E
DGass
L
E
DGass = DGgas(L+ELE) + DGsol(LE) – DGsol(L) – DGsol(E)
8. Vorlesung
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7
Komplexbildung in Lösung (2)
L + E  LE
Massenwirkungsgesetz: DG = -RT ln Kon
= -RT ln ( [LE] / [L] [E] )
Für Wirkstoffe sollte die Bindungskonstante Kon im nanomolaren
Bereich sein
milli
8. Vorlesung
micro nano
m
m
n
10-3
10-6
10-9
pico femto
p
f
10-12 10-15
Computational Chemistry SS06
8
Vorgänge bei der Solvatation
H
H
H
O H
H
H
H
H
H
O H
H
H
H
H
H
O H
H
H
continuum
DGestat + DGvdw
continuum
continuum
DGcav
DGsolv = DGcav + DGestat + DGvdw
8. Vorlesung
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9
Berechnung der Terme (1)
DGsolv = DGcav + DGestat + DGvdw
Cavity energy DGcav Hohlraumbildungsenergie
• Ausformen einer Kavität gegen den Druck
des Solvens
• Reorganisation der Solvensmoleküle
proportional zu der Wahrscheinlichkeit einen
entsprechenden Hohlraum zwischen den
Lösungsmittelmolekülen zu finden
R. A. Pierotti Chem.Rev. 76 (1976) 717.
8. Vorlesung
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10
Berechnung der Terme (2)
DGsolv = DGcav + DGestat + DGvdw
van der Waals Energie DGvdw
• schwache Wechselwirkungen durch
fluktuierende elektrische Momente
(Dispersion)
• u.a. abhängig von der Polarisierbarkeit
Von Bedeutung falls das Lösungsmittel eine kleine
Dielektrizitätskonstante hat (e < 10) und das gelöste
Molekül keine Ladung und kein permanentes
Dipolmoment hat
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11
Berechnung der Terme (3)
DGsolv = DGcav + DGestat + DGvdw
Elektrostatische Energie DGestat
• starke Wechselwirkung, deshalb
dominierender Term
DGsolv 1-10 kcal/mol für neutrale Moleküle
ca. 100 kcal/mol für Ionen (Na+, Ca2+,...)
In der Regel sind DGestat und DGcav
größenordnungsmäßig gleich
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12
Solvatationsmodelle (1)
Solvens als strukturloses
Kontinuum
Explizite
Lösungsmittelmoleküle
(Supermolekülansatz)
Erste Lösungmittelhülle explizit,
weiteres Lösungsmittel als Kontinuum
Vorteil: H-Brücken mit dem Lösungsmittel werden
besser erfaßt als im reinen Kontiuumsansatz
Alternative: An entsprechenden Stellen plaziert man
explitize Wassermoleküle
8. Vorlesung
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13
Solvatationsmodelle (2)
Born (1920) Ladung/Ion in einer kugelförmigen cavity
+
DGestat = Arbeit um ein Ion
aus dem Vakuum in die
Lösung zu bringen
q2  1 
DGestat = - 1 - 
2a  e 
q : Ladung in e
a : Radius
e : Dielektrizitätskonstante (DK)
Wasser = 80 Vakuum = 1
Protein = 2-20
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14
Solvatationsmodelle (3)
Onsager/Kirkwood (1930) Dipol in einer cavity
Das Dipolmoment m des gelösten Moleküls
induziert ein Dipolmoment im Lösungsmittel,
das seinerseits ein elektrisches Feld f in der
cavity erzeugt, das sog. Reaktionsfeld
 RF =
(2 e - 1)
m
3
(2e  1)a
DGestat = -
Unter Berücksichtigung der Ladungsverteilung in der cavity erhält man
 RF m
2
Im Falle von geladenen Molekülen kommt noch ein entsprechender
Born-Term hinzu.
8. Vorlesung
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15
Solvatationsmodelle (4)
Dieser Reaktionsfeldansatz kann in quantenmechanischen Methoden
verwendet werden und zwar als Störung des ursprünglichen
Hamiltonians
2(e - 1)
T
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
H tot = H o  H RF wobei H RF = - m
 mˆ 
3
(2e  1)a
Schwachpunkt ist die kugel- oder ellipsoide Form der cavity, die für
die meisten Moleküle unzutreffend ist.
• Für willkürliche Formen benutzt man deshalb Punktladungen an
der Cavityoberfläche die aus der Wellenfunktion (QM) oder
Atomladungen (Kraftfelder) abgeleitet werden.
• Point Charge Method (PCM)
8. Vorlesung
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16
Solvatationsmodelle (5)
Variante der point charge method:
In COSMO (A. Klamt) ist die cavity in einem Leiter mit unendlich
hohem e untergebracht und die Ergebnisse werden auf realistische
e skaliert.
Verbesserung: COSMO-RS (real solvent)
Beschreibt die Wechselwirkung in einer Flüssigkeit als lokale,
paarweise Interaktion der Moleküloberflächen
Vorteile: H-Brücken werden besser als
in Kontinuumsansätzen beschrieben
Anwendbar auf Mischungen von
Flüssigkeiten
http://www.cosmologic.de/theory_background.html
8. Vorlesung
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17
Generalized Born Equation (1)
Kontinuummethode für Kraftfelder, N Atome als Partikel mit Radius ai
und Ladung qi
Die gesammte freie elektrostatische Energie ist dann die Summe
aus Coulomb und freier Born Energie
DGestat
2
N
q
1


= 
- 1 2 1 -   i
 e  i =1 ai
i =1 j =i 1 e rij
N
N
qi q j
In den üblichen Programmen z.B. AMSOL (Cramer & Truhlar) wird
folgende Formel verwendet:
DGestat
8. Vorlesung
N N
qi q j
1


1
= - 2 1 - 
 e  i =1 j =1 f rij , aij 
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18
Generalized Born Equation (2)
Die Funktion f(rij, aij) berücksichtigt dabei, ob die Ladungen qi und
qj nahe bei einander sind (→ Onsager Theorie) oder weit entfernt
sind r >>ai wobei die Energie dann die Summe aus Coulomb und
Born Term ist (Still).
f rij , aij  = rij2  aij2 e - D mit aij = ai a j und D =
rij2
(2aij ) 2
Aufwendig ist die Bestimmung des effektiven Born Radius ai für
jede Atomladung im System während der Rechnung. U.a. wird
dazu die solvent accessible area der Atome benötigt.
S
8. Vorlesung
S
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19
Langevin Dipol Modell
Warshel & Levitt (1976)
Auf einem dreidimensionalen Gitter
werden die Lösungsmittel als Dipole
mi dargestellt, wobei Eio das Feld
aufgrund des Moleküls allein ist
DGsol = - 1 2  mi Eio
i
8. Vorlesung
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20
Poisson-Boltzmann Gleichung (1)
Geeignet für große Moleküle (Proteine, DNA-Stränge)
e=80
e=4
Die Poisson Gl. stellt einen Zusammenhang
zwischen dem Potential  und der
Ladungsdichte r in einem Medium mit
homogenem e dar
 f (r ) = 2
4r(r )
e
Im Falle von Punktladungen in einem konstanten Dielektrikum geht
die Poisson Gl. in das Coulombsche Gesetz über. Variiert man nun e
mit der Position r dann ist
e (r )f (r ) = -4r(r )
8. Vorlesung
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21
Poisson-Boltzmann Gleichung (2)
Kommen nun noch bewegliche Ionen in der Lösung vor, so
werden diese mittels einer Boltzmann-Verteilung beschrieben
 - V (r ) 

n(r ) = N exp 
 kbT 
Zusammen erhält man die Poisson-Boltzmann Gleichung
e (r )f (r ) - k ' sinh f (r )  = -4r(r )
k‘ erhält man über die inverse Debye-Hückel-Länge k mit
I als der ionischen Stärke der Lösung
k '2 8 N A e 2 I
k =
=
e 1000e kbT
2
8. Vorlesung
I=
1
2
c z
i
i
2
i
ci Konzentration
zi Ladungszahl
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22
Poisson-Boltzmann Gleichung (3)
Der sinh läßt sich alternativ als Taylor-Reihe darstellen
 f (r ) 2 f (r ) 4

e (r )f (r ) - k f (r ) 1 

  = -4r(r )
6
120


'
In der linearisierten PB-Gl. wird nur der erste Term verwendet
e (r )f (r ) - k 'f (r ) = -4r(r )
Analytisch lassen sich nur sehr einfache geometrische
Formen der Moleküle lösen:
• Proteine als Kugeln oder Ellipsen (Tanford-Kirkwood)
• DNA als Zylinder
• Membranen als Ebenen (Gouy-Chapman)
8. Vorlesung
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23
Poisson-Boltzmann Gleichung (4)
Als numerische Lösungs kommt v.a. die finite difference Methode
zum Einsatz (Warwick & Watson 1982) z.B. verwendet im
Programm DelPhi (Barry Honig)
Dazu werden elektrostatisches Potential ,
Ladungsdichte r, DK e und ionische Stärke I
jedem Gitterpunkt zugewiesen. Da sich die
Werte gegensetig beeinflussen, erfolgt die
Lösung iterativ.
Entsprechende Atomladungen kann man Kraftfeldparametern
entnehmen. Umgekehrt lassen sich damit Ladungen für bestimmte
Fragmente bestimmen, z.B. Ladung des Eisens in Häm-Gruppen.
8. Vorlesung
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24
Poisson-Boltzmann Gleichung (5)
Anwendungen:
electrostatic steering
Beispiel: Acetylcholin an Acetylcholinesterase
8. Vorlesung
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25
Poisson-Boltzmann Gleichung (6)
Anwendungen:
Elektrostatisches Potential an der
Oberfläche in Abhängigkeit des
umgebenden Salzgehaltes
Oben: Isocontourfläche von freiem
Actin
Unten: Actin mit 5 gebundenen
Ca2+-Gegenionen
8. Vorlesung
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26
Poisson-Boltzmann Gleichung (7)
Berechnung des elektrostatischen Beitrages an der
Solvatationsenergie
Es sind zwei Simulationen nötig:
1. System in Vakuum (e = 1)
2. System in Lösung (e = 80)
Somit ist

DGestat = 1 2  qi fie =80 - fie =1
i
8. Vorlesung

für alle Ladungen qi
im System
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27
Poisson-Boltzmann Gleichung (8)
Ebenso läßt sich die freie Komplexierungsenergie eines EnzymLigand Komplexes berechnen, indem man die einzelnen Molekülsysteme aus der Lösung in ein Medium niedriger DK (em > 1)
bringt, vereinigt und anschließend zusammen solvatisiert
em
es
em
em
em
em
em
es
em
8. Vorlesung
es
em
em
em
em
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28
Poisson-Boltzmann Gleichung (9)
pKa Berechnung (z.B. von Aminosäuren in Proteinen)
HA + H2O ↔ A- + H3O+ mit pH = -lg[H3O+]
Henderson-Hasselbach:
pH = pKa + lg([A-]/[H3O+]) = pKa + lgKG
Durch Umformen erhält man:
[ HA]
1
1
f HA ( pH ) =
=
=
[ HA]  [ A- ] K G  1 10 pH - pKa  1
fHA(pH)
1
Virtuelle Titrationskurve
0.5
pH
0
pKa
8. Vorlesung
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29
Poisson-Boltzmann Gleichung (10)
Wasser
COOH
pKa (bulk)
bekannt
C OO-
DGwasser
DGneutral
Protein
COOH
DGgeladen
pKa (protein)
C OO-
DG
lg K = pH - pK a
DG = -kT ln K
DG( geladen- neutral) = -kT ln  pH - pK a 
Man erstellt eine Titrationskurve
in Abhängigkeit eines
äußeren pH und ermittelt so
den pKa der Residue
Schwierigkeiten: Wechselwirkungen mit
anderen titrierbaren Residuen
8. Vorlesung
Computational Chemistry SS06
30
Scoring Funktionen (1)
Ziel: Vorhersage der biologischen Affinität einer Verbindung
Warum: Bei der Suche nach neuen pharmakologischen
Wirkstoffen wird zunächst eine virtuelle Bibliothek von
mehr als 100.000 denkbaren Verbindungen konstruiert.
Von diesen bleiben auch nach Anwendung von ADME
Filtern noch tausende übrig die in die Bindungstasche
des target Proteins passen könnten. Nur ein Bruchteil
davon kann auch tatsächlich im Labor synthetisiert
werden.  Docking Algorithmen notwendig
Das virtuelle Docking von potentiellen Wirkstoffen an ein
Enzymmodell ist der Flaschenhals im Computer Aided
Drug Design
Für ca. 50% der target Proteine von denen man die
Struktur in molekularem Detail kennt, gibt es noch keine
geeigneten Wirkstoffe
8. Vorlesung
Computational Chemistry SS06
31
Scoring Funktionen (2)
Docking ist Rechenzeitaufwendig da es ein globales
Minimumproblem darstellt
starrer Ligand an starres Protein: 6 Variablen bzw. Freiheitsgrade
flexibler Ligand an starres Protein: 6 + n*s Bindungen
flexibler Ligand an flexibles Protein: 6 + n*s +...
8. Vorlesung
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32
Scoring Funktionen (3)
 Docking benötigt eine schnell zu berechnende Bewertungsfunktion
Es bieten sich Energiefunktionen an, wie sie auch in Kraftfeldern
verwendet werden:
Intra-Ligand Konformationsterme (Bindungen, Winkel, Torsionen)
Nicht-bindende Wechselwirkungen zwischen Ligand und Enzym:
• Van der Waals Wechselwirkung (sterisch)
• Elektrostatische Wechselwirkung (Salzbrücken)
• Wasserstoffbrücken
• Solvatationsterme (Desolvatation)
• Entropische Terme (Verlust bei der Bindung ans Enzym)
z.B. in FlexX verwendet
M. Rarey et al. J. Mol. Biol. 261 (1996) 470
8. Vorlesung
Computational Chemistry SS06
33
Scoring Funktionen (4)
Prinzipielles Problem von Energiebasierten Scoring Funktionen:
Leichte Ungenauigkeiten führen zu großen Fehlern bei der Vorhersage
der Bindungskonstanten
Massenwirkungsgesetz: DG = -RT ln K
5.7 kJ/mol (= 1.4 kcal/mol) bewirken Faktor 10 für K
Genauigkeit von berechneten Solvatationsenergien liegt bei
etwa 1-2 kcal/mol
Idee: Scoring Funktion wird an experimentell bekannten
Enzym-Ligand Komplexen kalibriert.
Nachteil: Nicht für „neue“ Enzymsysteme verwendbar
8. Vorlesung
Computational Chemistry SS06
34
Scoring Funktionen (5)
Wissensbasierte Scoring Funktionen
Idee: Ähnliche Typen von Ligandenatomen werden häufiger
bestimmten Atomtypen im Protein benachbart sein.
Lit. I. Muegge & Y.C. Martin J. Med. Chem. 42 (1999) 791
Atomtypen für C: aliphatisch, aromatisch, polar, unpolar, etc.
Wesentlich mehr Atomtypen für Liganden als für Protein
Aus der radialen Verteilungsfunktion zwischen Atomtypenpaaren ij wird ein potential of mean force A(ij) erstellt.
ij
 r seg
r  

Aij = - k BT ln
 r ij 
 bulk 
PMFscore =  Aij rij 
kl
Ähnlich: Drugscore Gohlke & Klebe J. Mol. Biol. 295 (2000) 377
8. Vorlesung
Computational Chemistry SS06
35
Scoring Funktionen (6)
Vergleich der Preformance von Scoring Funktionen
G. Keserű J. Comp.-Aided Mol. Design 15 (2001) 649
Vergleich anhand bekannter Cytochrom P450cam Substrate
8. Vorlesung
Computational Chemistry SS06
36
Scoring Funktionen (7)
Vergleich der Preformance von Scoring Funktionen
G. Keserű J. Comp.-Aided Mol. Design 15 (2001) 649
Vergleich anhand bekannter Cytochrom P450cam Substrate
Vergleich berechneter und tatsächlicher Bindungsaffinität
8. Vorlesung
Computational Chemistry SS06
37
Scoring Funktionen (8)
Aktueller Trend: Consensus scoring
Man bildet die Summe aus verschiedenen Scoring Funktionen
Für jede der verwendeten Scoring Funktionen wird eine
Schranke definiert, die affine (1) und nicht-affine Liganden (0)
separiert. Diese Ganzzahlen werden dann aufaddiert.
8. Vorlesung
Computational Chemistry SS06
38