vorlesung7

Elektrische Leitfähigkeit
Meßdaten
Material
Kupfer, Silber
Eisen
Mangan
Germanium
Silizium
GaAs
Glas
Porzellan
Kochsalz (NaCl)
Quarz
s [1/(Wm)]
5×107
1×107
2×105
1×100
1×10-3
1×10-6
1×10-9
1×10-13
1×10-15
2×10-18
1025
1
Grundformeln
U  RI
I
j
S
j  Nve

R
S
j  sE
U
E


1
s
… Ohm
… Stromdichte,
elektrisches Feld
… Widerstand, spezifischer
Widerstand
2
Elektrische Leitfähigkeit - Drude Theorie
Elektronengas im Material
Anzahl der
Atome/Elektronen
in den AlkaliMetallen pro m3
Freie Elektronen …
Wechselwirkung mit
dem Kristallgitter …
N A
N
M
NA … Avogadro-Konstante
 … Dichte
M … Masse
dv
F  m  eE
dt
dv
m  v  eE
dt
v … Driftgeschwindigkeit
m … Masse des Elektrons
E … elektrisches Feld
 … Dämpfung
3
Elektrische Leitfähigkeit
Klassische Elektronentheorie
dv
m  v  eE
dt
dv
 0  vF  eE
dt
… Bewegungsgleichung
vF
… Limit-Fall
t
dv eE
m 
v  eE
dt vF

 eE
v  vF 1 - exp   mvF

mv
 F
eE
eE
vF 
m
v

t  … Lösung der

Bewegungsgleichung
… Zeit zwischen zwei
Zusammenstößen
j  NF vF e  sE
N F e 2
s
m
… Fermi-Geschwindigkeit
4
Elektrische Leitfähigkeit
QM-Betrachtung
Die Fermi-Fläche (a) ohne und (b) mit elektrischem Feld
5
Elektrische Leitfähigkeit
Klassische Theorie
QM Theorie
 Alle Elektronen sind in
Bewegung (tragen zur
elektrischen
Leitfähigkeit bei)
 Nur spezielle Elektronen
tragen zur elektrischen
Leitfähigkeit bei
 Die Geschwindigkeit
dieser Elektronen ist  vF
Änderung der Anzahldichte im
elektrischen Feld
6
QM Theorie der elektrischen
Leitfähigkeit
j  vF eN 
N   N E E
j  vF eN E E  vF eN E 
dE
k
dk
2 2
dE  2
 2 p mvF
E
k 
 k

 v F
2m
dk m
m 
m
j  vF2 eN E k
dv dp
dk


 eE
dt dt
dt
eE
eE
dk 
dt
k 



F m
j  v e N E E
2 2
F
7
QM Theorie der elektrischen
Leitfähigkeit
Zweidimensionale Fermi-Fläche
j  e 2 N E E vF2

j  e N E E
2
2
2


v
cos

d
 F
-


2


v  sin 2   2
j  e N E E
 
  4
2  -
2
2
F
j  12 e 2 N E EvF2
Dreidimensionale Fermi-Fläche
2
j  13 e 2 N E EvF2
s  13 e 2 N E vF2
8
Zustandsdichte und Anzahldichte
N E   2  Z E   F E  
2  Z E 
 E - EF 
  1
exp 
 k BT 
E
EF
F(E)
EI … Isolator, EM … Alkali-Metall, EB … Metalle mit zwei e9