E - Allgemeine I

Folie 1
Theorie und Konstruktion
psychologischer Tests
Folie 2
Literatur
• Hans Irtel
Entscheidungs- und testtheoretische Grundlagen
der Psychologischen Diagnostik
Frankfurt am Main: Verlag Peter Lang, 1996
(ISBN 3-631-49374-6)
im Web als PDF
Folie 3
Gliederung
•
•
•
•
Wahrscheinlichkeitstheorie
Klassische Testtheorie
Logistische Testmodelle
Entscheidungstheorie
Folie 4
Warum brauchen wir die
Wahrscheinlichkeitstheorie?
• Psychologische Daten unterliegen vielen
Einflußgrößen, viele davon sind nicht
kontrollierbar.
• Eine Wiederholung einer Erhebung liefert
nicht mit Sicherheit das gleiche Ergebnis.
• Bei einem guten Test reproduzibel:
Statistische Daten (Mittelwerte, Streuungen)
Folie 5
Wahrscheinlichkeitstheorie I
•
•
•
•
Mengenlehre
Was ist Zufall?
Der Wahrscheinlichkeitsraum
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Folie 6
Warum brauchen wir die Mengenlehre?
• Wahrscheinlichkeitsberechnungen beruhen
auf dem Vergleich der Mächtigkeit von
Mengen.
Folie 7
Mengenlehre I
• Naive Mengenlehre (Cantor)
– Eine Menge ist eine Zusammenfassung von von bestimmten
wohl unterschiedenen Objekten (Elementen)
– Schreibweisen: M = {a,b,c...}, M={xN|x>7}, 
– Teilmenge: AB  (xAxB), BA
– Vereinigungsmenge:
AB = {x|xAxB}
– Schnittmenge:
AB = {x|xAxB}
– Komplement, Differenz:
A =  \ A {x|xxA}
– Kommutativität, Assoziativität, Distributivität
– De Morgan: AB = AB, AB = AB
– A sei eine Menge. Potenzmenge: Menge aller Teilmengen X={x|xA}
– Menge aller Mengen
– Menge aller Mengen die sich nicht selbst enthalten (Russell)
– Russell: Typentheorie. Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Gödel.
Folie 8
A
Mengenlehre II
• kartesisches Produkt: AB = {(a,b)|aAbB}
• ABC, AAA = A3
• binäre Relation: RAB. Statt (a,b)R schreibe aRb.
Beispiel: K = {(a,b)|(a,b)NNa<b}
–
–
–
–
–
reflexiv
 a: aRa
symmetrisch  a,b: (aRb  bRa)
transitiv
 a,b,c: (aRb  bRc  aRc)
äquivalent: RAA reflexiv, symmetrisch, und transitiv. a~b
Äquivalenzklasse: KA, K,
aKbK  a~b,
aKa~b  bK
Schreibweise: {xA|x~a} = [a]
K=[a], K'=[b]  K=K'  KK'= 
AB
B
Folie 9
Mengenlehre III
• Zerlegung: Sei A eine Menge,
und ~ eine Äquivalenzrelation auf A.
Dann heißt die
Menge A/~ aller Äquivalenzklassen von A bzgl. ~
die von ~ induzierte Zerlegung.
–
–
–
–
K,LA/~ KL  KL=
Vereinigungsmenge aller Elemente von A/~
Definition von ~ über eine Zerlegung
Zerlegung eines Hypothesenraums
für die Hypothesenprüfung nach Bayes
Folie 10
Mengelehre IV
• Eine binäre Relation f auf AB heißt eine Abbildung,
wenn gilt
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
f ist linkstotal: aA bB sodaß (a,b)f.
f ist rechtseindeutig: (a,b)f  (a,c)f  b=c
A: Definitionsbereich, B: Wertebereich von f.
alternativer Name: Funktion.
Schreibweisen: (a,b)f, afb, b=f(a), f: AB,
MA, NB : f(M)=N heißt „Bild von M“, f–1(N)=M „Urbild von N“
surjektiv: bB aA sodaß (a,b)f. rechtstotal. bitotal.
injektiv: (a,c)f  (b,c)f  a=b. linkseindeutig. eineindeutig.
bijektiv: surjektiv und injektiv.
Sei f bijektiv. Dann ist auch die „Umkehrabbildung“ f –1 bijektiv.
endlich, unendlich; abzählbar, überabzählbar
Folie 11
Mengenlehre und Logik
• Verwandtschaft von Mengenlehre und Logik
–   A
–   A
– Hausaufgaben (unter anderem):
• überprüfen, welche Gesetze der Mengelehre
genauso in der Logik gelten.
• vertraut machen mit Wahrheitstafeln!
, , , , 
Folie 12
Zufallsexperimente
• Ergebnis nicht mit Sicherheit vorhersagbar,
Menge aller möglichen Ergebnisse bekannt.
„Ergebnisraum“  = {1, 2, 3, ...}
– Beispiel: Detektionsexperiment
• Ergebnisraum:  = {+,}
– Beispiel: Stellung von Ehepaaren zu
Geschwindigkeitsbegrenzung auf Autobahnen
• Ergebnisraum:  = {0,1,2} (Zahl der Ja-Antworten)
• Ergebnisraum:  = {(J,J),(J,N),(N,J),(N,N)}
– Ergebnisraum hängt
• von der Struktur des Experimentes
• und von der Fragestellung ab
Folie 13
Ereignisse
• Teilmenge A des Ergebnisraums  ist ein „Ereignis“.
– Ergebnis i (direkt) beobachtbar: Ausgang des Experiments
– Ereignis = wahrscheinlichkeitstheoretisches Konzept:
„Ereignis tritt ein / wird (indirekt) beobachtet “
= Ergebnis  Ereignis
– Beispiel: E = „Ehepaar antwortet gleich“
•  = {0,1,2}: E = {0,2}
•  = {(J,J),(J,N),(N,J),(N,N)}: E = {(J,J),(N,N)}
– Elementarereignis: Ereignis mit nur einem Element, {i}
– Ergebnisraum und leere Menge sind Ereignisse
– Operationen auf Ereignissen:
Vereinigung, Schnittmenge, Komplement
Folie 14
Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen
für endliche oder abzählbare
(„diskrete“) Ergebnisräume:
• Wahrscheinlichkeit:
P: Potenzmenge()  R so daß
–
–
–
–
P({i})  0,
P({1}) + P({2}) + P({3}) + .... = 1.
P(A) = AP({})
keine weitere Annahmen über P({i}),
insbesondere nicht gleichwahrscheinlich
• Problem bei überabzählbaren Mengen
Folie 15
-Algebra
• Axiomatische Definition nach Kolmogorov:
Sei  ein Ergebnisraum,
und S eine Menge von Teilmengen von ,
dann heißt S eine -Algebra in , wenn gilt
– S
– A  S  A  S
– A1, A2, A3...  S  A1  A2  A3...  S
• S ist abgeschlossen bzgl. Komplement, , 
• S kann abzählbar sein,
auch wenn  überabzählbar ist.
Folie 16
Wahrscheinlichkeitsraum
• Sei  ein Ergebnisraum
und S eine -Algebra in .
Dann ist die Abbildung P: S  R
eine Wahrscheinlichkeit, wenn gilt:
– P(A)  0 für alle AS,
– P() = 1,
– -Additivität: A1, A2, A3...  S , paarweise disjunkt
P(A1 A2 A3...) = P(A1) + P(A2) + P(A3) +...
• Übungen: , P(A), AB
Folie 17
Bedingte Wahrscheinlichkeit
• Seien A und B Ereignisse, mit P(B)>0.
Dann wird die bedingte Wahrscheinlichkeit,
daß A eintritt „gegeben B“, definiert als:
P(A|B)  P(AB)/P(B)
• Beispiel: ein Säckchen enthalte weiße und schwarze
Spielsteine aus Holz und aus Plastik:
40 weiße aus Holz,
30 schwarze aus Holz,
10 weiße aus Plastik,
20 schwarze aus Plastik.
Ich ziehe einen Stein.
Wie groß ist P(w|H), p(H|w), p(H), p(w), ...
• P(AB) = P(A|B)  P(B) = P(B|A)  P(A)
Folie 18
Stochastische Unabhängigkeit
• A und B sind stochastisch unabhängig, wenn gilt:
P(A|B) = P(A)
• Fragen: P(B|A) = ? P(AB) = ? P(A|B) = ?
• Beispiel: A tritt nach B ein. A ist unabhängig von B,
wenn das erste „Teilergebnis“ (aus B oder aus B)
keinen Einfluß auf die Wahrscheinlichkeit für das
Auftreten von A hat.
• Zwei Ereignisse seien disjunkt.
Beide haben eine Wahrscheinlichkeit größer Null.
Können sie unabhängig sein?
Folie 19
Unabhängige Familien
• Sei C eine Menge von Ereignissen.
C heißt Familie unabhängiger Ereignisse,
wenn für alle endlichen Teilmengen von C gilt:
P(A1A2A3...) = P(A1)  P(A2)  P(A3) ...
• Reicht paarweise Unabhängigkeit aller Elemente
für die Unabhängigkeit der Familie?
Folie 20
Bayes
• Sei {B1, B2, ...} eine Zerlegung von .
(paarweise disjunkt, Vereinigung aller Bi = ).
Dann gilt:
P( B j | A) 
P( A | B j )  P( B j )
P( A)

P( A | B j )  P( B j )
N
 P( A | B )  P( B )
i 1
• Beispiel: Bi (unbeobachtbare) Hypothesen,
A (beobachtbare) Versuchsergebnisse,
P(A|Bi) bekannt („Voraussagen“),
P(Bi) a priori Wahrscheinlichkeiten für Hypothesen,
P(Bi|A) a posteriori Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen.
i
i
Folie 21
Beispiel: Entscheidungstheorie
• Jeder Stimulus löst eine interne Repräsentation aus, die sich durch einen
eindimensionalen Parameter e beschreiben läßt.
• e ist Gauß-verteilt , mit  = 1 und µ = 0 (Rauschen) bzw. µ = d‘ (Signal).
• Bei Ja/Nein-Aufgaben setzt die VP ein Kriterium k und sagt „Ja“ wenn e > k.
 d ' ( e)
P ( S )  P (e | S )
P ( S | e) 

P ( S )  P ( e | S )  P ( R )  P (e | R )  d ' ( e)   0 ( e)
0
Rauschen
Signal
d‘
„Nein“ „Ja“
1
p(Ja|S)
• P (S | e) ist eine monotone Funktion von e: 
Ein Kriterium in e ist gleichzeitig ein Kriterium in P (S | e).
0
0
0
k
2
p(Ja|R)
e
1
Folie 22
Bedingte Unabhängigkeit
• Sei  ein Ergebnisraum, S eine -Algebra in ,
P eine Wahrscheinlichkeit auf S, und C ein Ereignis.
Dann ist auch PC: S  R mit PC(A) = P(A|C)
eine Wahrscheinlichkeit auf S.
• Zwei Ereignisse A und B heißen
„bedingt unabhängig bezüglich C“,
wenn sie bezüglich PC unabhängig sind:
PC(A|B) = PC(A).
PC(AB) = PC(A)  PC(B)
P(AB|C) = P(A|C)  P(B|C)
Folie 23
Zufallsvariablen
• Warum brauchen wir Zufallsvariablen?
– Mit Mengen kann man nicht „rechnen“ (+,,...).
– Abbildung von  auf R bzw. R = R  {,}
– Abbildung von  auf abzählbare Menge bzw. N
Folie 24
Reelle Zufallsvariablen
• Sei  ein Ergebnisraum, S eine -Algebra in ,
P eine Wahrscheinlichkeit auf S.
X:   (R bzw.) R heißt (reelle) Zufallsvariable
genau dann wenn xR: {|X()x}  S
• S = {,}, X ?
• Das Urbild jedes Intervalls (,x] ist ein Ereignis.
(S-Meßbarkeit von X).
– Dies ermöglicht die Übertragung der Wahrscheinlichkeit P
von der -Algebra S auf den Wertebereich von X.
Folie 25
Verteilungsfunktion
• Definition der Verteilungsfunktion
F(x) = P({|X()x}) = P(Xx)
– monoton steigend (warum?)
– F(), F(+)
• Gibt es für die reelle Zufallsvariable X:   R
eine nichtnegative Funktion f: R  R
x
mit F(x) =  f(y) dy,
dann ist f die Wahrscheinlichkeitsdichte von X.
b
a f(y)
– P(axb) =
dy

–  f(y) dy = ???
Folie 26
Diskrete Zufallsvariablen
• Sei  ein Ergebnisraum, S eine -Algebra in ,
P eine Wahrscheinlichkeit auf S.
X:   E (E abzählbar) heißt diskretes Zufallselement.
Zusätzlich ER: X ist diskrete Zufallsvariable.
• Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion
p(x) = P({|X()=x}) = P(X=x)
• BE: P(B) = xBp(x).
• Zufallsvariable X:
Verteilungsfunktion F(x) = P(Xx) = yxp(y).
• AS: Indikatorfunktion 1A() = 1 wenn A, 0 sonst.
Folie 27
Unabhängige Zufallsvariablen
• Reelle Zufallsvariablen X1, X2, ... sind
stochastisch unabhängig,
wenn für alle x1, x2, ... R gilt:
P(X1x1, X2x2, ...) = P(X1x1)  P(X2x2)  ...
• Wenn alle Xi Dichten besitzen, gilt
F(x1,x2,...)
=
=
x1
x2
 f1(y1) dy1   f2(y2) dy2 
x1
x2
  ... f1(y1) f2(y2) dy1 dy2
 Wahrscheinlichkeitsdichte
f(x1,x2,...) = f1(x1)  f2(x2)  ...
...
...
Folie 28
Zufallsstichprobe
• Folge von Zufallsexperimenten in einer Population
– Jedes Element der Population hat die gleiche
Wahrscheinlichkeit, beobachtet zu werden.
– einzelne Beobachtung: Ergebnis  und X() registrieren.
– Die einzelnen Beobachtungen müssen stochastisch
unabhängig sein.
• Folge Xi stochastisch unabhängiger und
identisch verteilter (P(Xix)=F(x)) Zufallsvariablen.
Folie 29
Modus, Median, Quantile
• Sei X eine reelle Zufallsvariable mit
Verteilungsfunktion F(x)
und Wahrscheinlichkeitsdichte f(x).
– Modus: f(xm) hat ein (lokales?) Maximum
– -Quantil: F(x) = 
– Median: 0,5-Quantil
• Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit
Wahrscheinlichkeitsfunktion p(x)
und Verteilungsfunktion F(x).
– Modus: p(xm) ist maximal
– -Quantil: P(Xx)    P(Xx)  1–
Folie 30
Erwartungswert, Varianz
• Sei X eine reelle Zufallsvariable mit
Wahrscheinlichkeitsdichte f(x).

– Erwartungswert: E (X) =  xf(x) dx
– Varianz: V(X) = ²(X) = E ( (X–E (X))² ) = E (X²) – E (X)²
– Standardabweichung (X) (positive Wurzel von V(X))
• Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit
Wahrscheinlichkeitsfunktion p(x).
– Erwartungswert: E (X) = xX() xp(x)
– Varianz und Standardabweichung wie oben
Folie 31
Rechenregeln mit E und V
• Zufallsvariable „a“ sei konstant: E (a) = a.
• E ist linear: E (aX + bY) = a E (X) + b E (Y)
• Zufallsvariable „a“ sei konstant: V(a) = 0.
• V(X+a) = V(X)
• V(aX) = a²V(X)
Folie 32
Vorhersage
• Seien X und Y zwei Zufallsvariablen.
• Wie genau erlaubt die Kenntnis von X,
den Wert von Y vorherzusagen,
und welcher Wert wäre das?
Vorhergesagter Wert Y' = F (X)
• Vereinfachung:
Existiert ein linearer Zusammenhang?
Y' = a + b X
Y' = a + b X + e
Folie 33
Linearität
• Fast jeder Zusammenhang ist
– lokal linear
– global nichtlinear
Folie 34
Das lineare Modell
•
•
•
•
•
•
Y' = a + b X
Y' = a + b X + e
e = Y – Y'
E (e) = 0
Ziel: E (e²) minimieren
E (Y) = a + b E (X)
Y
ei
• Achsabschnitt
a = E (Y) – b E (X)
• Steigung b = ???
X
Folie 35
Varianz und Kovarianz
•
•
•
•
V(X) = VXX = E ( (X–E (X))² )
V(Y) = VYY = E ( (Y–E (Y))² )
V(X,Y) = VXY = E ( (X–E (X))(Y–E (Y)) )
VYX = VXY = E (X·Y) – E (X) E (Y)
• Vxy ist positiv, wenn positive Abweichungen in X
mit positiven Abweichungen in Y einhergehen,
und negative mit negativen.
• Vxy ist negativ, wenn...
• Vxy ist Null, wenn...
Folie 36
z-transformierte Zufallsvariablen
• Y=a+bX+e
• E (Y) = a + b E (X)
• Wenn X und Y z-transformiert sind,
wenn also gilt: E (X) = E (Y) = 0
und VXX = VYY = 1,
dann gilt für die Regressionsgerade:
Achsabschnitt a = 0
und Steigung b = VXY = E (X·Y)
Folie 37
Vertauschung von X und Y
• Wenn man bei z-transformierten Zufallsvariablen
X und Y vertauscht, bleibt die Steigung der
Regressionsgerade gleich...
X
Y
ei
Koordinatenursprung
X
ei
Y
Folie 38
Korrelationskoeffizient und Steigung
•
•
•
•
•
•
•
Steigung bY·X = VXY / VXX
Steigung bX·Y = VXY / VYY  1 / bY·X = VXX / VXY
rXY = VXY / (VXX  VYY)
bY·X = rXY   (VYY/VXX) = rXY  SY/SX
bX·Y = rXY   (VXX/VYY) = rXY  SX/SY
rXY² = VXY² / (VXX  VYY)
E (e²) = VYY  ( 1 – rXY² )
= ( 1 – rXY² ) für z-transformierte Daten
Folie 39
Rechenregeln mit Kovarianz
•
•
•
•
V(aX + bY) = a²VXX + b²VYY + 2abVXY
V(i=1...nXi) = i=1...n j=1...n VXiXj
VX+Y,Z = VXZ + VYZ
Sind X und Y stochastisch unabhängig, dann gilt
–
–
–
–
E (X·Y) = E (X) E (Y)
VXY = 0
Z=X+Y: VZZ = VX + VY
Z=X–Y: VZZ =
Folie 40
Tschebyschew
• P(|X–E (X)|)  VXX/²
Folie 41
Zentraler Grenzwertsatz
• Seien Xi, i=1...n, unabhängig verteilte
Zufallsvariablen (beliebige Verteilungen).
• Dann ist die Summe
Sn = i=1...n Xi
approximativ normalverteilt,
mit Erwartungswert E (Sn) =
und Varianz V(Sn) =
Folie 42
Mehrdimensionale Zufallselemente
• Sei <,S,P> ein Wahrscheinlichkeitsraum
und X und Y Zufallselemente
mit Wertebereichen EX und EY. Dann ist
p: EXEY  R,
p(x,y) = P(X=x,Y=y) = P({|X()=x  Y()=y})
die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion des
Zufallsvektors (X,Y).
• P(X=x) = yEY p(x,y) = p(x,*) ist die
Randwahrscheinlichkeitsfunktion von X.
Folie 43
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
• Sei <,S,P> ein Wahrscheinlichkeitsraum
und X und Y Zufallsvariablen. Sie haben eine
gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte f
wenn für alle reellen Zahlen x, y gilt:
x
y
P(Xx,Yy) =   f(u,v) du dv.
x
• Dann gilt auch P(Xx) =  f(u,*) du
mit der Randwahrscheinlichkeit
+
f(u,*) =  f(u,v) dv.
Folie 44
Bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktionen
• Sei <,S,P> ein W.-raum, X und Y Zufallselemente
mit Wertebereichen EX und EY, der gemeinsamen
W.-funktion p(x,y) und den Randwahrscheinlichkeiten
p(x,*) = p(x) und p(*,y) = p(y).
• Sei A = {(x,y)|x=x'}, B= {(x,y)|y=y'} mit P(A) > 0.
• Dann gilt
P(B|A) = P(Y=y'|X=x') = P(AB)/P(A) = p(y',x')/p(x').
• Definition: p(y|x)  p(y,x)/p(x) (für p(x) > 0)
(bedingte Wahrscheinlichkeit für Y gegeben X=x).
Folie 45
Bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktionen
• Sei <,S,P> ein W.-raum, X und Y Zufallsvariablen mit
der gemeinsamen W.-dichte f(x,y) und den
Randwahrscheinlichkeiten f(x,*) = f(x) und
f(*,y) = f(y).
• Definition: f(y|x)  f(y,x)/f(x) (für f(x) > 0)
(bedingte W.-dichte für Y gegeben X=x).
+
• f(y|x) ist nichtnegativ,  f(y|x) dy = 1, 
f(y|x) ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte.
y
• P(Y<y|X=x) =  f(u|x) du.
+
• E (Y|x) =  y·f(y|x) dy (bedingter
Folie 46
Bedingte Erwartung:
eine Zufallsvariable
• Sei <,S,P> ein Wahrscheinlichkeitsraum,
X:   R eine Zufallsvariable, und
H:   EH ein diskretes Zufallselement.
• Ist E (X) eine Zufallsvariable? (  R)
• Ist E (X|H=h) eine Zufallsvariable?
ausführlichere Schreibweise: E (X|H()=h)
• bedingte Erwartung:
TX:   R, TX() = tX(H()), mit
tX: EH  R, tX(h) = E (X|H=h).
Folie 47
Bedingte Erwartung:
Rechenregeln
• bedingte Erwartung:
TX:   R, TX() = tX(H()), mit
tX: EH  R, tX(h) = E (X|H=h).
• TX+Y = TX + TY
• TaX = a · TX
• allgemein: TX·Y  TX · TY
• Spezialfall: Y konstant auf Äquivalenzklassen
von /~H: TX·Y = Y · TX
• TY = Y, TTX = TX, E (TX) = E (X)
Folie 48
Klassische Testtheorie
• Der Beobachtungswert setzt sich additiv aus dem
„wahren“ Meßwert und einem Fehlerwert zusammen.
– Der Fehlerwert wird auch als „statistischer Fehler“
bezeichnet.
– Der „wahre“ Wert muß nicht valide sein
(„systematischer Fehler“).
• Die Datenerfassung ist ein Zufallsexperiment
in zwei Teilen
– Auswahl einer Person aus einer Population,
– Erhebung der Daten bei dieser Person.
Folie 49
System psychometrischer Daten
• Sei <,S,P> ein Wahrscheinlichkeitsraum,
Xk:   R eine endliche Folge von Zufallsvariablen
mit endlichem Erwartungswert und endlicher Varianz,
und H:   A ein diskretes Zufallselement.
• Dann ist <,S,P,{Xk|k=1...n},H> ein
System psychometrischer Daten.
HF
... P713 P714 ...
• Beispiel: Herzfrequenz.
...
– : {... (P713, 71), (P713, 72), (P713, 73),
... (P714, 71), ...}
– H(): P713
– X(): 72
(Personenfilter)
(Datenfilter)
71
72
73
...

Folie 50
Personenparameter
• Sei <,S,P,{Xk|k=1...n},H> ein Syst. psychom. Daten.
• Der Personenparameter TXk zur Zufallsvariable Xk ist
die Zufallsvariable TXk:   R mit
TXk() = E (X | H(')=H())
• TXk ist auf  definiert, ist mit
der -Algebra S auf  verträglich,
aber auch mit SH, der analogen
-Algebra auf /H.
•  BSH: E (TXk | B) = E (Xk | B).
HF
...
P713
P714
72,3
68,1
...
71
72
73
...
TX
...
Folie 51
Fehlerwert
• Sei <,S,P,{Xk|k=1...n},H> ein Syst. psychom. Daten.
• Der Fehlerwert EXk zur Zufallsvariable Xk ist die
Zufallsvariable EXk:   R mit
EXk = Xk – TXk.
HF
...
P713
P714
72,3
68,1
...
71
72
73
...
TX
...
Folie 52
Klassische Testtheorie: Grundannahmen
• Sei <,S,P,{X,Y},H> ein System psychom. Daten.
1. X = TX + EX
2.  BSH: E (EX | B) = 0
3. (EX,TX) = 0
4. (EX,TY) = 0
5. ²(X) = ²(TX) + ²(EX)
 folgt aus den Definitionen von
Personenparameter und Fehlerwert
IQ
...
...
HF
...
P714
P713
...
P714
71 ...
72 71
73 72
...
73
TY ...
6. r(EX,EY) = 0 (zusätzliche Annahme)
P713
TX
72,3
68,1
72,3
68,1
...
Folie 53
Reliabilität
• Rel(X)  ²(TX) / ²(X)
• ²(X,TX) = Rel(X) (s. Irtel)
• 1 = ²(TX) / ²(X) + ²(EX) / ²(X)
1 – Rel(X) = ²(EX) / ²(X)
(EX) = (X) ·  [1 – Rel(X)]
Folie 54
Abschätzung des Meßfehlers
• In der Meßtheorie ist die Methode der Wahl zur
Abschätzung des Meßfehlers die Meßwiederholung.
• Problem: In der Psychodiagnostik kann das gleiche
Meßinstrument in der Regel nicht wiederholt
eingesetzt werden.
• Ansatz: „Parallele Messungen“, d.h. parallele
Testformen, die in den wesentlichen Parametern
übereinstimmen.
• Beispiel: Blutdruckmessung linker/rechter Arm
Folie 55
Parallele Messung
• Beschränkung einer Zufallsvariable X:   R
auf eine Person: X|H=a: H–1(a)  R
– Wie groß ist ²(TX|H=a)?
– Wir erinnern uns: ²(X) = ²(TX) + ²(EX).
Wie groß ist ²(EX|H=a)?
• X1 und X2 heißen lokal unkorreliert, wenn
aH(): (X1|H=a,X2|H=a) = 0
• X1 und X2 heißen parallel, wenn lokal unkorreliert und
aH(): E (X1|H=a) = E (X2|H=a)
aH(): ²(X1|H=a) = ²(X2|H=a)
Folie 56
Parallelität verifizieren
• X1 und X2 heißen parallel, wenn lokal unkorreliert und
nicht
aH(): E (X1|H=a) = E (X2|H=a)
meßbar
aH(): ²(X1|H=a) = ²(X2|H=a)
• Daraus folgt
E (X1|H=B) = E (X2|H=B)
BH(): ²(X1|H=B) = ²(X2|H=B)
• Daraus folgt:
E (X1) = E (X2)
²(X1) = ²(X2)
• Der Umkehrschluß ist unzulässig.
– In anderen Worten: Parallelität kann man falsifizieren,
nicht verifizieren.
meßbar
Folie 57
Empirische Bestimmung der Reliabilität
• X1 und X2 heißen lokal unkorreliert, wenn
aH(): (X1|H=a,X2|H=a) = 0
 (EX1,EX2) = 0
 (EX1,EX2) = 0
 (X1,X2) = (TX1,TX2) = ²(TX1)
 (X1,X2)
= (X1,X2)/(²(X1)·²(X2))
= ²(TX1) / ²(X1)
= Rel(X1) = Rel(X2)
• Die Reliabilität eines Tests kann anhand von
zwei Parallelformen des Tests bestimmt werden.
Folie 58
Interkorrelationen
• Weitere Möglichkeiten, die Parallelität zu überprüfen:
– Sind Tests X1, X2, ... Xn parallel,
dann sind ihre Interkorrelationen gleich:
(X1,X2) = (X1,X3) = (X2,X2) = (X1,X4) = ...
– Sind Tests X1, X2, ... Xn parallel,
und ist Test Y mit X1, X2, ... Xn lokal unkorreliert,
dann sind die Korrelationen mit Y gleich:
(X1,Y) = (X2,Y) = (X3,Y) = ...
Folie 59
Konfidenzintervall für den
Personenparameter
• nach Tschebyschew, P(|Z–E (Z)|)  ²(Z)/²,
keine Annahmen über die Verteilung von Z:
1 – P(|Z–E (Z)|<)  ²(Z)/²
1 – ²(Z)/²  P(|Z–E (Z)|<)
P(|X–TX|<) = P(|EX–E (EX)|<)  1 – ²(EX)/²
²(EX)/² = , nach  auflösen:
 = (EX)/
P(| X–TX|< (EX)/)  1 – 
• Konfidenzintervall [x – (EX)/, x + (EX)/]
• (EX) = (X) ·  [1 – Rel(X)]
Folie 60
Konfidenzintervall für den
Personenparameter
• unter Annahme einer Normalverteilung:
P(|X–TX| < (EX) · z1–/2) = 1 – 
wo P(Z<zp) = p
(Z: Standardnormalvert.)
anders gesagt: zp = KNV–1(p) (z0.975 = 1.96)
KNV = kumulative Normalverteilung
1
0,5
0
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5z
• Konfidenzintervall [x – (EX) z1–/2, x + (EX) z1–/2]
• (EX) = (X) ·  [1 – Rel(X)]
Folie 61
Regressionsschätzung
• Alternative zur Schätzung von TX aus x:
Der Personenparameter TX wird vorhergesagt
aus dem Beobachtungswert x
unter Einbeziehung von E (X) und Rel(X):
E (TX|X=x) = a + b x
b = Rel(X)
a = E (X) · (1–Rel(X))
E (TX|X=x) = (1–Rel(X)) · E (X) + Rel(X) · x
• Die Regressionsschätzung ist ein gewichtetes Mittel
aus Beobachtungswert und Populationsmittelwert.
Folie 62
Validitäten
• Eignung des Tests, andere, unabhängige Verhaltensdaten
(beschreibbar als Zufallsvar. Y, „Kriteriumsvar.“) vorherzusagen
• Validitätskoeffizient (X,Y)
• Verdünnungsformel: (X,Y) = (X,Y) /  (²(X)·²(Y))
= [(TX,TY)+(EX,EY)+] /  (²(X)·²(Y))
= (TX,TY) /  ( (²(TX)/Rel(X)) · (²(TY)/Rel(Y)) )
=  (Rel(X)·Rel(Y)) · (TX,TY) /  (²(TX)·²(TY))
=  (Rel(X)·Rel(Y)) · (TX,TY)
wenn X und Y lokal unkorreliert (Irtel wenn nicht)
• Maximalwert der Validität?
• Unterschied von Y zu Parallelform des Tests?
Folie 63
Beispiel Eignungsprüfung
• Eine Firma will einen Eignungstest einführen, um
geeignete Personen für die Ausbildung auszuwählen.
• Test mit mehrere Parallelformen
– Parallelität prüfen:
• E (X1|H=B) = E (X2|H=B) = ...
• ²(X1|H=B) = ²(X2|H=B) = ...
• Interkorrelationen (Xi,Xj), Korrelationen mit externen Kriterien
– Reliabilität bestimmen:
• (Xi,Xj)
– Validität bestimmen:
• Kriteriumsvariable Y festlegen, z.B. Ausbildungserfolg
• (X,Y)
Folie 64
Validität von selegierten Stichproben
• Die Schätzung der Validität bei selegierten
Stichproben basiert auf Annahmen über
– die Form des Zusammenhangs zwischen Testwert und
Kriterium, z.B. Linearität (sehr gewagt)
E (Y|x) =  + ·x
– über die Varianz des Kriteriums als Funktion des
Testwerts, z.B. Unabhängigkeit
x1,x2: ²(Y|x1) = ²(Y|x2)
mit identischen Parametern (, , ²(Y)) für die
selegierte wie für die nicht selegierte Population.
Folie 65
Validität von selegierten Stichproben
• Die Selektion bewirkt eine Varianzeinschränkung bei den
Testwerten: ²(X') < ²(X). Je höher das Auswahlkriterium
gesetzt wird, um so kleiner wird ²(X').
• Bei den obigen Annahmen erhält man als Schätzwert für
die Validität:




1
1
2
 ( X )   2
 1   ( X ' )   2
 1
  ( X ,Y ) 
  ( X ',Y ' ) 
2
 2 ( X ,Y ) 
1

 2(X ') 
1
 2
1 2
 1
 ( X )   ( X ',Y ' ) 
Folie 66
Reliabilität des Gesamttests
• Ein Test X bestehe aus mehrere Parallelformen X1, X2, ...
• ²(X1+X2) = ...= 2 ²(X1) + 2 ²(TX1)
= 2 ²(X1) · [1+Rel(X1)]
• Rel(X1+X2)
= ²(TX1+X2) / ²(X1+X2)
= ²(TX1+TX2) / ²(X1+X2)
= 4 ²(TX1) / 2 ²(X1) · [1+Rel(X1)]
= 2 Rel(X1) / [1+Rel(X1)]
• Rel(X1+X2+... +Xn) = n Rel(X1) / [1+(n–1)·Rel(X1)]
(Spearman-Brown)
Folie 67
Reliabilität der Differenz
• Ein Test X bestehe aus zwei Parallelformen X1 und X2.
• ²(X1–X2) = ... = 2 ²(X1) – 2 ²(TX1)
= 2 ²(X1) · [1–Rel(X1)]
• Rel(X1–X2)
= ²(TX1–X2) / ²(X1–X2)
= ²(TX1–TX2) / ²(X1–X2)
=
Folie 68
Differenz vorher/nachher
• Ein Test X bestehe aus zwei Parallelformen X1 und X2.
Sie sind nur dann parallel, wenn sie unter vergleichbaren
Bedingungen erhoben werden.
• Im Rahmen einer Interventionsstudie wird Testform X1 vor
und Testform X2 nach einer Intervention erhoben. Die
Messung nach der Intervention ist nicht mehr parallel zu der
Messung vor der Intervention. Sie wird durch eine eigene
Zufallsvariable Y beschrieben:
X1 = TX1 + EX1, Y = TY + EY
• Annahmen:
– Die Intervention ändert nichts an der Streuung: ²(Y) = ²(X1) = ²(X2)
– Der Mittelwert ändert sich: TY = TX2 + TD
Folie 69
Differenz vorher/nachher
• X1 = TX1 + EX1, Y = TX2 + TD + EY = TX1 + TD + EY
• D = Y – X1 = TD + EY – EX1
• ²(D) = ...
= 2 ²(X1) · [1–(X1,Y)]
• Rel(D) = ...
[Rel(X1)+Rel(Y)]/2 – (X1,Y)
= –––––––––––––––––––––––––
1 – (X1,Y)
• Eine hohe Korrelation von Vor- und Nachtest ergibt eine niedrige
Reliabilität der Differenz.
Der Interventionserfolg E (D) ist dann zwar gut meßbar, aber der
Personenparameter TD eignet sich nicht zur Vorhersage.
• Bei niedriger Vor/Nachtestkorrelation könnte TD valide sein,
z.B. eine individuelle Prognose über den Erfolg einer weiteren
Intervention vorhersagen.
Folie 70
Einzelne Testaufgaben
• Die klassische Testtheorie behandelt Tests,
nicht Testaufgaben.
• Die statistischen Parameter einzelner Testaufgaben
sind daher nur Hilfsmittel.
• Eine korrekte Behandlung von einzelnen Testaufgaben
erfolgt erst in der logistischen Testtheorie.
• Ein Test X bestehe aus n Aufgaben.
Die Zufallsvariablen Uj, j=1...n bezeichnen den Ausgang
einer einzelnen Testaufgabe, mit
– uj = 1
– uj = 0
bedeutet „richtig“, bzw. „mehr des Merkmals“
bedeutet „falsch“, bzw. „weniger des Merkmals“
Folie 71
Die Schwierigkeitsstatistik
• Schwierigkeitsstatistik: j = E (Uj)
– Schätzwerte für j abhängig von Stichprobe
– X = j=1...n Uj
– E (X) = j=1...n j
• Ratekorrektur:
–
–
–
–
–
fiktive Wahrscheinlichkeit pj „Person "weiß" die Antwort“
Ratewahrscheinlichkeit 1/a
P(Uj=1) = j = pj + (1 – pj) · 1/a
pj = (j – 1/a) / (1 – 1/a) = (a j – 1) / (a – 1)
a: ???
Folie 72
Die Trennschärfestatistik
• Zufallsvariable Uj
–
–
–
–
Wertebereich:
Uj() = {0,1}
Erwartungswert:
E (Uj) = j
Varianz:
(Uj,Uj) = ???
Bei welchen j ist die Varianz maximal?
• Testwert X = j=1...nUj
– (X,X)
=
(j=1...nUj,j=1...nUj) =
j=1...nj'=1...n(Uj,Uj') =
j=1...nj'=1...n(Uj) (Uj') (Uj,Uj')
Folie 73
Die Trennschärfestatistik
• Testwert X = j=1...nUj
– (X,X)
=
(j=1...nUj,j=1...nUj) =
j=1...nj'=1...n(Uj,Uj') =
j=1...nj'=1...n(Uj) (Uj') (Uj,Uj')
– (X,X)
=
(j=1...nUj,X) =
j=1...n(Uj,X) =
j=1...n(Uj) (X) (Uj,X)
(X)
=
j=1...n(Uj) (Uj,X)
(Uj,X) = Trennschärfestatistik
– (Uj,X) = (Uj,j=1...nUj) =
(kleiner Fehler in Irtel, Gl. 2.50)
Folie 74
Aufgabenvaliditätsstatistik
• Testwert X = j=1...nUj
– (X,Y)
=
(j=1...nUj,Y) =
(kleiner Fehler in Irtel, Gl. 2.51)
j=1...n(Uj,Y) =
j=1...n(Uj) (Y) (Uj,Y)
(Uj,Y) = Aufgabenvaliditätsstatistik
– (X,Y)
=
(X,Y) / [(X) (Y)] =
j=1...n(Uj) (Uj,Y) / j=1...n(Uj) (Uj,X)
Folie 75
Wann ist ein Test ein Test?
• Ein System psychometrischer Daten
<,S,P,{Xk|k=1...n},H> mit n2
ist ein psychometrischer Test mit linearer Struktur,
wenn mindestens zwei der Beobachtungswerte Xk
parallel sind.
– Erwartungswerte und Varianzen in Teilpopulationen
– Korrelationen mit externem Kriterium
– n3: Interkorrelationen
Folie 76
Stärke und Schwäche der
klassischen Testtheorie
• Die klassische Testtheorie mißt nicht eine Eigenschaft
der Person (unabhängig vom Meßverfahren).
• Die klassische Testtheorie mißt die Fähigkeit,
den Test zu lösen.
• Der Bezug vom Beobachtungswert X zur Eigenschaft
mag nichtlinear sein. Der Beobachtungswert X ist für
sich betrachtet intervallskaliert.