Ergänzung zur Experimentalphysik 1

Wo ist Physik relevant in den Geowissenschaften?
Die folgende Auflistung gibt einen Überblick zu den vielfältigen
geowissenschaftlich relevanten Prozessen und Methoden, bei denen
physikalische Grundlagen von großer Bedeutung sind:
-Thermodynamik: Reaktionskinetik (Entstehung und Umwandlung von Gesteinen,
Mineralneubildung und -umwandlung, Schadstoffe im Grundwasser und deren
Bindung bzw. Freisetzung an Mineraloberflächen)
-Elastizität: seismische Wellen, Gebirgsbildungen, Erdbeben
-Radioaktiver Zerfall: Datierung von Gesteinen
-Strömungsmechanik: Ozeanographie, Oberflächenwässer, Grundwasser,
Wassertransport in Blättern, Bionik
-Gravitation, Rotation: Gebirgsbildungen, Gezeiten, Sedimentationsprozesse
-Magnetfelder: Erdmagnetfeld, Weltraumwetter, Plattentektonik-Kontinentaldrift
-Elektrostatik, Elektromagnetik: elektrische Erkundungsmethoden, Entstehung des
Magnetfeldes (Geodynamo)
-Wellen: seismische Wellen, Wasserwellen, elektromagnetische Wellen (Georadar,
Mikroskopie, kosmische Strahlung, Röntgenstrahlung zur Kristallanalyse mittels
Beugung)
Skalare, Vektoren, Matrizen
• Skalare (Tensoren 0-ter Stufe)
Dichte, Temperatur, Energie
• Vektoren (Tensoren 1-ter Stufe)
Materialtransport (z.B. Platten, Grundwasser),
Magnetfeld, Schwerefeld
• Matrizen (Tensoren 2-ter Stufe)
Spannungen, Verformungen
Energien
• Driftende Lithosphärenplatte
ca. Ekin = 400 J
• PkW
ca. Ekin = 400.000 J
• Andere zum Vergleich
Blitz ca. 109 – 1010 J
Gewitter ca. 1012 – 1013 J
Hiroshima Bombe ca. 1014 J
Ausbruch Mt. St. Helens ca. 1016 – 1017 J
Chile-Beben 1960 ca. 1019 J
Jährlicher Energieverbrauch der USA ca. 1020 J
Tägliche Sonneneinstrahlung auf der Erde ca. 1022 J
Meteoriteneinschlag (10 km Durchmesser, v=20km/s) ca. 1023 J
E=mc2 der gesamten Erdmasse ca. 5,4x1041 J
Spannungen (Tensor 2-ter Stufe)
• Definition Spannung = Kraft / Fläche = F/A
Kraft F
Fläche A
Zerlegung in Normal- und Tangentialspannung
Z
σyz
Tangentialspannungen
Kraft
Normalspannung σyy
σyx
Y
x
Spannungstensor
Normalspannungen
σzy
σzx
σyz
σxz
σxy
σyx
σxx σxy σxz
σxx, σyy, σzz
σyx σyy σyz
σxy = σyx
σyz = σzy
σxz = σzx
Tangentialspannungen
σzx σzy σzz
Kraft Fz = σyz Δx Δz
Drehmoment Dz
Warum ist σij = σji ?
= σyz (Δx Δy Δz)/2
Δx
Antwort:
Drehmomente müssen gleich sein
(sonst rotiert der Körper)
σyz (Δx Δy Δz)/2 = σzy (Δx Δy Δz)/2
→ σyz = σzy
Kraft Fy = σzy Δx Δy
Δz/2
Δy/2
Δz
Δy
Drehmoment Dy
= Fy (Δz/2)
= σzy (Δx Δy Δz)/2
Man kann immer ein Koordinatensystem finden, so
dass nur Normalspannungen existieren
σyy
y
σy‘y‘ =: σy
σ
Y‘
σyx
σx‘x‘ =: σx
σ
σxy
σxx
X‘
x
σxx σxy σxz
σx
0
0
σyx σyy σyz
0
σy
0
σzx σzy σzz
0
0
σz
σx, σy σz
Hauptspannungen
Einige spezielle Fälle
Einaxiale Spannung
erzeugt
reine Längenänderung
Reine Scherspannung
erzeugt
reine Winkeländerung
Hydrostatischer Druck
erzeugt
reine Volumenänderung
Animation siehe:
http://www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/labphysics1/modulus/propertie.htm
Einaxiale Spannung und Verformung
σy = 0
Δb/2
σx
b
L
σx
b
σx = E ΔL/L
ΔL/ L: relative Längenänderung
L
E=2µ(1+ν); ν = -
σy
(parallel zur einaxialen Spannung)
Δb/ b: relative Dickenänderung
(senkrecht zur einaxialen Spannung)
ΔL
ΔL
Δb=0
σx
E: Elastizitätsmodul
K: Kompressionsmodul
µ: Schermodul
ν: Poisson-Zahl der
Querkontraktion
σx
σy
L
σx = (K + 4µ/3) ΔL/L
Δb/b
ΔL/ L
Einaxiale Spannung und Verformung
p
y
p
V-ΔV
p
σ
γ
ΔV
x
p
Hydrostatischer Druck
P = K ΔV/V
P = – σx = – σy = – σz
Scherspannung
σ=μγ
Inelastische Prozesse: RHEOLOGIE
L
L
L
L
η
k
F
F
d(ΔL/L)
F = k ΔL/L F = η
dt
k: Federkonstante
η: Viskosität
t: Zeit
F
F
F
ΔL/L
F
t
ΔL/L
t
Beispiele in Geowissenschaften:
t
t
http://jspc-www.colorado.edu/~szhong/mantle.html (Konvektion im Erdmantel)
http://www.geology.um.maine.edu/geodynamics/microdynamics/movies/PorphNoRot.mov (Mineralwachstum)
Potential und Kräfte
Gravitationsfeld für
Punktmassen:
(auch gültig für kugelförmige homogene Massen)
m·M
Kraft F = G
=m a
r2
Gravitationsbeschleunigung
durch die Masse M
M
Potential Φ = G
r
a = – dΦ/dr
http://earthref.org/MAGIC/books/Tauxe/2005/index.html
Höhenlinien sind Linien gleichen Potentials: Äquipotentiallinien
Die Richtung der Kräfte ist senkrecht zu den Äquipotentiallinien
Rotation
Zentrifugalkraft (Trägheitskraft)
r
Zentripetalkraft
Fz = m r
ω2
Zentrifugalbeschleunigung
ω = dφ/dt Winkelgeschwindigkeit
m r2 Trägheitsmoment
Bei der Bewegung von Himmelskörpern ist die Zentripetalkraft die GRAVITATION
Rotierende Erde
Die Erde ist durch die Eigenrotation ein abgeplatteter Körper (Rotationsellipsoid)
ω
r
Fz =m r ω2
Zentrifugalkraft
Gravitationskraft
e
φ
Schwerkraft
= Gravitationskraft + Zentrifugalkraft (vektoriell)
M
Potential Φ = G
1
ω2 e2 cos2φ
+
e
2
Schwerebeschleunigung in Richtung e = – dΦ/de
M
= G
– ω2 e cos2φ
e2
Gezeitenkräfte
Gezeitenkräfte entstehen durch das
Zusammenspiel von Gravitationskraft
und Zentrifugalkraft.
Die Zentrifugalkraft entsteht durch die
Rotation von Himmelskörpern um ihren
gemeinsamen Schwerpunkt.
An verschiedenen Punkten der Erde ist
die Gravitationskraft durch Mond bzw.
Sonne ist aufgrund der Abstandsunterschiede an verschiedenen Punkten
ungleich. Im Schwerpunkt der Erde
heben sich Gravitationskraft und
Zentrifugalkraft auf.
Die Gezeitenkraft ist die Vektorsumme
von Gravitations- und Zentrifugalkraft
Aufgrund der Eigenrotation der Erde
kommt es zu einer etwa 12-stündigen
Gezeitenperiode.
Schwingungen
(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
d 2 a (t )
m
 k  a (t )
2
dt
Feder
mit
Federkonstante k
Trägheitskraft
Federkraft
bzw.
d 2 a(t )
m
 k  a (t )  0
2
dt
oder kurz:
m ä(t) + k a(t) = 0
Bewegungsgleichung: Summe aller Kräfte = 0
Lösung dieser Differentialgleichung:
Auslenkung a
aus der Ruhelage
a(t) = ao sin(ω t)
a(t) Funktion der Zeit
Masse m
Ruhelage
Diese Lösung in die Differentialgleichung
eingesetzt ergibt:
– m ω2 ao sin(ωt) + k ao sin(ωt) = 0
nach kürzen von ao und sin(ωt):
Federpendel
ω2 = k/m
mit ω = 2π/T ergibt sich die Periode der
Schwingung (Eigenperiode):
T  2  m / k
Schwingungen
(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Biegeschwingung
Pendelschwingung
Torsionsschwingung
Saitenschwingung
Erzwungene Schwingungen
schwache Dämpfung kann zu riesigen Amplituden führen,
wenn im Bereich der Eigenfrequenz angeregt wird
Das Seismometer
(erzwungene Schwingung)
Das gezeigte Modell findet man auf
der unten genannten Webseite der TU
Clausthal als Java-Applet
Wir konzentrieren uns auf den
Ausschlag des Seismometers x(t) als
Folge einer harmonischen
‚Boden‘bewegung w(t)=wosin(ωt)
Man sieht,
dass das Amplitudenverhältnis xo/wo
von der Frequenz ω der
Bodenbewegung abhängt
...und auch von den Eigenschaften
des Geräts:
Eigenfrequenz ωo = 2π/To = √(k/m)
sowie Dämpfung δ
Bewegungsgleichung:
d 2 x(t )
dx(t )
d 2 w(t )
m
 
 k  x(t )  m 
2
dt
dt
dt 2
inhomogene Differntialgleichung
Seismometer-Demo siehe http://www.ifg.tu-clausthal.de/java/seis/sdem_how-d.html#ADWN
Wellen
Eine Schwingung (Oszillation) kann
sich im Raum ausbreiten, wenn eine
Kopplung vorhanden ist (z.B.
elastische Kopplung)
Man erhält eine Abhängigkeit des
sich ausbreitenden Zustandes von
Ort x und Zeit t
Wellenlänge λ
http://images.google.de/imgres?imgurl=http://www.chemgapedia.de/vsengine/media/vsc/de/p
h/14/ep/einfuehrung/wellenoptik/projekte/jpakma_zwelle.png&imgrefurl=http://www.chemgap
edia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/wellenoptik/interferenz.vlu/Page/vsc/de/ph
/14/ep/einfuehrung/wellenoptik/ydsversuch5.vscml.html&usg=__PQ_O0jlo4KHc0mQd4ooKR
8JHPEo=&h=286&w=468&sz=5&hl=de&start=4&tbnid=IAtzRfApMeOThM:&tbnh=78&tbnw=1
28&prev=/images%3Fq%3Dwellen%2Bzeigerformalismus%26gbv%3D2%26hl%3Dde
Zeit = const.
Ort = const.
x
t
Zeit
λ/4
T/4
Ausbreitung in x-Richtung
x
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = (λ/4)/(T/4), also v
=λ/T=λf
Periode T
Frequenz f = 1/T
(Phasengeschwindigkeit)
Wellen
Mathematische Beschreibung
∂2A(x,t)
∂2A(x,t)
Wellengleichung einer ebenen, ungedämpften Welle
= v2
∂t2
∂x2
Lösung der Wellengleichung
A(x,t) = Ao sin(kx – ωt)
k=2π/λ Wellenzahl
ω=2π/T Kreisfrequenz
Zweite partielle Ableitungen der Lösung in die Wellengleichung eingesetzt
ergibt:
− ω2 Ao sin(kx – ωt) = − v2 k2 Ao sin(kx – ωt)
und damit v = ω/k = λ / T
Wellen
Was passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung?
V: Geschwindigkeit im Medium
v1
v2
Huygenssches Prinzip:
Jeder Punkt einer Wellenfront kann als
Ausgangspunkt von Elementarwellen
angesehen werden, die sich mit gleicher
Geschwindigkeit und Wellenlänge wie
die ursprüngliche Welle ausbreiten.
Die Einhüllende dieser Elementarwellen
stellt die neue Wellenfront dar.
sin α
v1
sin β
v2
Animation: http://www.walter-fendt.de/ph11d/huygens.htm
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Wärmewellen
Gravitationswellen?
Elektromagnetische Wellen
z.B. Licht, Radar, Röntgenstrahlen, Wärmestrahlung
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase
wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3·108 m/s (Lichtgeschwindigkeit)
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In Materie breiten sich
elektromagnetische Wellen
langsamer aus
(frequenzabhängig)
εr
ε = ε0 εr Permittivität (Dielektrizitätskonstante)
εr relative Permittivität (=elektrische Polarisierbarkeit)
Permittivität εr
von Wasser
μ = μ0 μr magnetische Permeabilität
μr relative Permeabilität (=Magnetisierbarkeit)
Frequenz f (Hz)
ε0 = 8,854..10-12 As/Vm; μ0 = 4π·10-7 Vs/Am (Konstanten)
σ Elektrische Leitfähgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)
εr , μr , σ sind selbst auch frequenzabhängig
(siehe z.B. εr für Wasser)
Frequenzabhängigkeit nennt man DISPERSION
Elastische Wellen
z.B. Seismische Wellen, Schallwelle
P-Welle
S-Welle
V = √(K+4μ/3)/ρ
V = √μ/ρ
K: Kompressionsmodul
μ: Schermodul
ρ: Dichte
K: Kompressionsmodul
μ: Schermodul
ρ: Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt für Elementarwellen
http://www.itp.uni-hannover.de/~zawischa/ITP/beugg.html
http://www.pk-applets.de/phy/
interferenz/interferenz.html
Reflexionskoeffizient und Phasensprung
bei senkrechtem Einfall
Wir betrachten die Phase
der reflektierten Welle
bezogen auf die einfallende Welle:
Für die Amplituden
an der Grenzfläche
muss gelten:
Ae + Ar = A2
„hartes“
Medium
„weiches“
Medium
z.B. im rechten Fall (Reflexion an
einer „harten“ Grenzfläche):
Ae
A2
Ar
„weiches“
Medium
„hartes“
Medium
In Physikbüchern steht dazu:
„hier findet ein Phasensprung von π
(=halbe Wellenlänge) statt“
Der Geophysikbüchern steht dagegen:
„hier findet kein Phasensprung statt“
Der Unterschied ist die Betrachtungsweise.
Der Physiker betrachtet den Vorgang meist
In einem festen Koordinatensystem,
der Geophysiker dagegen lässt das
Koordinatensystem mit dem Strahlweg
mitwandern.
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) / (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums