PowerPoint-Präsentation - Antiinfectives Intelligence

Wahrscheinlichkeitsrechnung
M. Kresken
1
Wahrscheinlichkeit und
relative Häufigkeit
M. Kresken
2
Wahrscheinlichkeit, relative Häufigkeit
•
•
•
•
•
•
Ergebnisse medizinischer Behandlungen sind als „zufällige“
Ergebnisse zu verstehen.
Die Angaben von Wahrscheinlichkeiten zielt dabei auf die
Quantifizierung des Zufalls.
Ein fehlendes oder falsches Verständnis des
Wahrscheinlichkeitsbegriffes führt zu Fehlinterpretationen
(Beispiel Lebenserwartung von Tumorpatienten).
In der Praxis sind Wahrscheinlichkeiten nicht unmittelbar
zugänglich.
Stattdessen beobachten wir lediglich Häufungen von
Ereignissen.
Diese beschreiben wir mit absoluten und relativen
Häufigkeiten.
M. Kresken
3
Häufigkeiten für männliche und weibliche
Neugeborene in 7 Kliniken
männlich
Klinik
Anzahl
kum.
Anzahl
abs.
Hfk.
rel.
Hfk.
[%]
A
8
8
5
62,5
weiblich
abs.
Summenhfk.
rel.
Summenhfk.
5
62,5
abs.
Hfk.
rel.
Hfk.
[%]
abs.
Summenhfk.
rel.
Summenhfk.
3
37,5
3
37,5
B
C
D
E
F
G
M. Kresken
4
Häufigkeiten für männliche und weibliche
Neugeborene in 7 Kliniken
männlich
weiblich
abs.
Summenhfk.
rel.
Summenhfk.
abs.
Hfk.
rel.
Hfk.
[%]
abs.
Summenhfk.
rel.
Summenhfk.
Klinik
Anzahl
kum.
Anzahl
abs.
Hfk.
rel.
Hfk.
[%]
A
8
8
5
62,5
5
62,5
3
37,5
3
37,5
B
13
21
4
30,8
9
42,9
9
69,2
12
57,1
C
D
E
F
G
M. Kresken
5
Häufigkeiten für männliche und weibliche
Neugeborene in 7 Kliniken
männlich
weiblich
abs.
Summenhfk.
rel.
Summenhfk.
abs.
Hfk.
rel.
Hfk.
[%]
abs.
Summenhfk.
rel.
Summenhfk.
Klinik
Anzahl
kum.
Anzahl
abs.
Hfk.
rel.
Hfk.
[%]
A
8
8
5
62,5
5
62,5
3
37,5
3
37,5
B
13
21
4
30,8
9
42,9
9
69,2
12
57,1
C
18
39
11
61,1
20
51,3
7
38,9
19
48,7
D
E
F
G
M. Kresken
6
Häufigkeiten für männliche und weibliche
Neugeborene in 7 Kliniken
männlich
weiblich
abs.
Summenhfk.
rel.
Summenhfk.
abs.
Hfk.
rel.
Hfk.
[%]
abs.
Summenhfk.
rel.
Summenhfk.
Klinik
Anzahl
kum.
Anzahl
abs.
Hfk.
rel.
Hfk.
[%]
A
8
8
5
62,5
5
62,5
3
37,5
3
37,5
B
13
21
4
30,8
9
42,9
9
69,2
12
57,1
C
18
39
11
61,1
20
51,3
7
38,9
19
48,7
D
19
58
6
31,6
26
44,8
13
68,4
32
55,2
E
24
82
13
54,2
39
47,6
11
45,8
43
52,4
F
16
98
5
31,3
44
44,9
11
68,8
54
55,1
G
14
112
13
92,9
57
50,9
1
7,1
55
49,1
M. Kresken
7
Relative Häufigkeiten und Summenhäufigkeiten
der männlichen Neugeborenen in 7 Kliniken
% 100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Relative
Summenhäufigkeit
Relative Häufigkeit
A
B
C
D
E
F
G
Klinik
M. Kresken
8
Wahrscheinlichkeit, relative Häufigkeit
•
•
•
•
•
Das Beispiel verdeutlicht, dass die „Schätzung“ der
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch die relative
Häufigkeit bzw. die relative Summenhäufigkeit immer
genauer wird, je größer die Versuchsreihe wird (long run).
Dieser Zusammenhang wird das Gesetz der großen Zahlen
genannt.
Im Beispiel geht man davon aus, dass Jungen mit der
gleichen Wahrscheinlichkeit geboren werden wie Mädchen.
In diesem Fall wäre die Wahrscheinlichkeit 0,5.
Der Wert von 0,5 sollte sich idealerweise als relative
Häufigkeit in „sehr großen“ Beobachtungsreihen ergeben.
M. Kresken
9
Wahrscheinlichkeit, relative Häufigkeit
•
•
•
Diese implizite Definition der „Wahrscheinlichkeit“ führt
dazu, dass sich für Wahrscheinlichkeiten Eigenschaften
anlog zu denen der relativen Häufigkeiten formulieren
lassen.
Offensichtlich ordnen wir Wahrscheinlichkeiten Zahlen im
Bereich von 0 bis 1 bzw. 0% bis 100% zu.
Unwahrscheinlichen Ereignissen wird dabei eine
Wahrscheinlichkeit nahe bei Null zugeordnet; das „sichere“
Ergebnis erhält die Wahrscheinlichkeit 1.
M. Kresken
10
Additionsansatz
• Beispiel: Wahrscheinlichkeit für ein nicht normalgewichtiges
Neugeborenes:
- Die Wahrscheinlichkeit lässt sich durch die Summe der
Wahrscheinlichkeit für ein Neugeborenes unter 2.500 g plus
der Wahrscheinlichkeit für ein Neugeborenes über 4.500 g
berechnen.
- Das gelingt, weil ein Kind nicht gleichzeitig unter 2.500 g
und über 4.500 g schwer sein kann.
- Man spricht von „unvereinbaren“ (disjunkten) Ereignissen.
- Die obige additive Eigenschaft der Wahrscheinlichkeit
beschreibt der Additionssatz: Wenn zwei Ereignisse disjunkt
sind, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für das
Gesamtereignis als Summe der Wahrscheinlichkeiten der
Einzelereignisse.
M. Kresken
11
Multiplikationsansatz
• Eine andere Eigenschaft der Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf
unabhängige Ereignisse.
• Man nennt zwei Ereignisse unabhängig, wenn die
Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Auftreten der
Ergebnisse gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeit für die
Einzelergebnisse ist.
M. Kresken
12
Multiplikationsansatz
• Beispiel: Wahrscheinlichkeit dafür, dass das ältere Kind einer Familie mit zwei Kindern
ein Mädchen und das jüngere Kind ein Junge ist:
- Für die Berechnung wird von einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 für die Geburt
eines Mädchens ausgegangen.
- Betrachtung von 400 Familien (ohne Zwillinge)
- Man darf erwarten, dass bei 200 Familien das erste Kind ein Mädchen ist.
- Da das Geschlecht des ersten Kindes von dem des zweiten unabhängig ist, wird
bei den 200 Familien, bei denen das ältere Kind ein Mädchen ist, in 50% (100
Familien) das jüngere Kind ein Junge sein.
- Das gesuchte Geschwisterpaar (älteres Kind ein Mädchen, jüngeres Kind ein
Junge) hat somit einen Anteil von 100 zu 400 oder eine Wahrscheinlichkeit von ¼.
- Das entspricht aber auch der Wahrscheinlichkeit für einen Jungen multipliziert mit
der Wahrscheinlichkeit für ein Mädchen: ½ • ½.
- Die Menge der möglichen Ereignisse besteht nicht mehr aus dem Geschlecht
„Junge“ oder „Mädchen“, sondern aus der Menge aller Zweier-Kombinationen
„Junge – Mädchen“, wobei aufgrund der Reihenfolge – älteres und jüngeres Kind
- die Kombinationen (Junge, Mädchen) und (Mädchen, Junge) unterschiedliche
Ergebnisse darstellen.
M. Kresken
13
Laplace-Experimente
• Von besonderer Bedeutung sind Laplace-Experimente.
• Wenn man annimmt, dass nur endlich viele Elementarereignisse
möglich und alle gleichberechtigt sind, d. h. mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit eintreten (wie zum Beispiel beim Werfen einer
idealen Münze, wo {Kopf} und {Zahl} jeweils die Wahrscheinlichkeit 0,5
besitzen), so spricht man von einem Laplace-Experiment.
• Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird durch den Quotienten
aus der Anzahl der „günstigen“ und der Anzahl der „möglichen“
Ergebnisse bestimmen.
M. Kresken
Das Ereignis H = Hohe Augenzahl (5 oder 6) hat die
Wahrscheinlichkeit 1/3.
14
Laplace-Experimente
• Laplace-Experimente haben eine besondere Bedeutung bei der
Stichprobenauswahl im Rahmen der Studienplanung.
• Sollen beispielsweise im Rahmen einer epidemiologischen
Studie Beobachtungen zu einer bestimmten Fragestellung auf
Basis einer „repräsentativen“ Stichprobe gewonnen werden, so
wählt man eine „Zufallsstichprobe“, bei der jede Person aus der
zu betrachtenden Gesamtheit die gleiche Wahrscheinlichkeit
hat, in die Stichprobe aufgenommen zu werden.
M. Kresken
15
Wahrscheinlichkeitsbaum
• Graphisch lässt sich im Falle endlich vieler möglicher
Ergebnisse (Merkmalsausprägungen) das
Wahrscheinlichkeitsmodell, das dem Experiment zugrunde
liegt, durch eine Baumstruktur veranschaulichen.
• Die Äste der Baumstruktur repräsentieren dabei die
Übergangswahrscheinlichkeiten von einem Knoten zum
anderen. Die Knoten repräsentieren Ereignisse.
• Beispiel: Wahrscheinlichkeiten für die möglichen
Kombinationen von Blutgruppen bei zwei Personen
(Blutspender – Blutempfänger)
M. Kresken
16
Wahrscheinlichkeitsbaum
• Die Blutgruppen des AB0-Systems kommen in Mitteleuropa mit
folgenden Wahrscheinlichkeiten vor (näherungsweise):
P(A) = 9/20; P(0) = 8/20; P(B) = 2/20; P(AB) = 1/20
P(A) = 45/100; P(0) = 40/100; P(B) = 10/100; P(AB) = 5/100
P(A) = 0,45; P(0) = 0,4; P(B) = 0,1; P(AB) = 0,05
• Übung: Wahrscheinlichkeitsbaum für die möglichen
Kombinationen von Blutgruppen bei einem Blutspender und
einem Blutempfänger zeichnen und die Wahrscheinlichkeiten
berechnen
M. Kresken
17
Wahrscheinlichkeitsbaum
• Für eine Blutbank ist das Ereignis  - Empfänger und Spender
haben die gleiche Blutgruppe - von Interesse.
• „0“ ist Universalspender und „AB“ ist Universalempfänger.
• Das Ereignis  „verträgliche Blutgruppen“ liegt vor, wenn ein
Spender Blutgruppe „0“, ein Empfänger Blutgruppe „AB“ oder
Empfänger und Spender identische Blutgruppen aufweisen.
• Übung:
1. Wahrscheinlichkeitsbaum für die möglichen Kombinationen
von Blutgruppen bei einem Blutspender und einem
Blutempfänger zeichnen.
2. Wahrscheinlichkeiten berechnen, z. B. Spender Blutgruppe
„0“ und Empfänger Blutgruppe „AB“ usw.
3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass Spender und
Empfänger verträgliche Blutgruppen haben.
M. Kresken
18
Wahrscheinlichkeitsbaum
4 Spendergruppen
2 Knoten
42 = 16 Enden
Übereinstimmende
Blutgruppen
P() = 0,6425
M. Kresken
19
Binominalverteilung
M. Kresken
20
Binominalverteilung
• Spenden 10 Personen Blut, so könnte die Frage interessieren,
wie groß die Wahrscheinlichkeit für mindestens vier
Universalspender ist.
• Der Wahrscheinlichkeitsbaum hätte 2 Äste und
(Universalspender mit der Wahrscheinlichkeit p = 8/20 bzw. kein
Universalspender mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 12/20) und
10 Knoten hat, d.h. 210 = 1024 Enden.
21
M. Kresken
22
23
24
25
26
27
28
29
210
21
Binominalverteilung
• Beispiel: Wahrscheinlichkeit für k = 4 Universalblutspender
unter 5 Blutspendern
• Annahme 1: Die ersten vier Spender der Stichprobe sind
Universalspender und der letzte nicht (1,1,1,1,0)
• Die Wahrscheinlichkeit für eine solche Konstellation ist
(Unabhängigkeit zwischen den Individuen vorausgesetzt):
p4 (1 – p)1
p4 (1 – p)1 = 0,44 (1 – 0,4)1
p4 (1 – p)1 = 0,44 (1 – 0,4)1 = 0,0154
• Beachte: Die Summe der Exponenten entspricht der Anzahl der
Erfolge (Universalspender) bzw. Misserfolge (kein Universalspender) in der Stichprobe.
M. Kresken
22
Binominalverteilung
• Beispiel: Wahrscheinlichkeit für k = 4 Universalblutspender
unter 5 Blutspendern
• Annahme 2: Es gibt ganz allgemein 4 Universalspender
(Erfolge) unter 5 Spendern
• (1,1,1,1,0); (1,1,1,0,1); (1,1,0,1,1); (1,0,1,1,1); (0,1,1,1,1)
• Bildet man die Summe der „1“ in jeder Abfolge, so ergibt sich
die Anzahl k = 4
• Da die 5 Abfolgen alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit von
p4 (1 – p)1
auftreten, gilt (Additionssatz für disjunkte Ereignisse):
p (genau 4 Universalspender) = 5 • 0,44 (1 – 0,4)1 = 0,0768
M. Kresken
23
Binominalverteilung
• Allgemeine Berechnung der Wahrscheinlichkeit für den Eintritt
von Erfolgen:
• Es wird davon ausgegangen, dass als Ergebnis jedes einzelnen
Versuches ein Erfolg (Eintrittswahrscheinlichkeit p) oder ein
Misserfolg (Eintrittswahrscheinlichkeit 1 – p) beobachtet wird.
• Die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Abfolge von k
Erfolgen unter n Experimenten beträgt:
pk (1 – p)n-k
Vorausgesetzt, die Annahme der unabhängigen Versuchsgänge
für die n Experimente ist gerechtfertigt, so treten in k der n
Experimente Erfolge mit der Eintrittswahrscheinlichkeit p und in
den restlichen n – k Experimenten Misserfolge mit den
Eintrittswahrscheinlichkeiten 1- p auf.
M. Kresken
24
Binominalverteilung
• Die Zahl der möglichen Abfolgen berechnet man mit Hilfe der
Binominalkoeffizienten.
• Sind von n Experimenten genau k erfolgreich verlaufen, so gibt
n
es dafür ( k ) (sprich „n über k“) verschiedene (disjunkte)
Versuchsserien, die jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von
pk (1 – p)n-k auftreten.
n
• Dabei ist ( k ) definiert durch
n
k
( )=
M. Kresken
n!
n • (n – 1) • …. • (n – k + 1)
=
k! (n – k)!
1 • 2 • …. • k
25
Binominalverteilung
• Beispiel: Berechnung des Binominalkoeffizienten für n = 5 und
k=4
5
4
()
5•4•3•2
=
=5
1•2•3•4
• Damit ist die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge bei der
Durchführung von n unabhängigen Experimenten:
n
k
()
pk (1 – p)n-k
,
wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg in einem
Einzelexperiment p beträgt.
M. Kresken
26
Binominalverteilung
Es gelten
n
0
n
n
( )=( )= 1
n
n
(k) = (n - k )
n+1
n
n
(k + 1 ) = ( k ) + (k + 1 )
M. Kresken
27
Binominalverteilung
• Aufgabe: Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für genau
0, 1, 2, 3, 4 und 5 Universalspender (Erfolge) unter 5 Spendern
M. Kresken
28
Binominalverteilung
• Aufgabe: Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau 0
Universalspender unter 5 Spendern
n pk (1 – p)n-k
k
5 0,40 (0,6)5 = 1 • 1 • 0,07776 = 0,07776
0
()
()
M. Kresken
29
Binominalverteilung
• Aufgabe: Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau 1
Universalspender unter 5 Spendern
n pk (1 – p)n-k
k
5 0,41 (0,6)4 = 5 • 0,4 • 0,1296 = 0,2592
1
1
()
()
M. Kresken
30
Binominalverteilung
• Aufgabe: Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau 2
Universalspender unter 5 Spendern
n pk (1 – p)n-k
k
5 0,42 (0,6)3 = 5 • 4 • 0,16 • 0,216 =
2
1•2
()
()
= 10 • 0,16 • 0,216 = 0,3456
M. Kresken
31
Binominalverteilung
• Aufgabe: Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau 3
Universalspender unter 5 Spendern
n pk (1 – p)n-k
k
5 0,43 (0,6)2 = 5 • 4 • 3 • 0,064 • 0,36 =
3
1•2•3
()
()
= 10 • 0,064 • 0,36 = 0,2304
M. Kresken
32
Binominalverteilung
• Aufgabe: Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau 4
Universalspender unter 5 Spendern
n pk (1 – p)n-k
k
5 0,44 (0,6)1 = 5 • 4 • 3 • 2 • 0,0256 • 0,6 =
4
1•2•3•4
()
()
= 5 • 0,0256 • 0,6 = 0,0768
M. Kresken
33
Binominalverteilung
• Aufgabe: Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau 5
Universalspender unter 5 Spendern
n pk (1 – p)n-k
k
5 0,45 (0,6)0 = 5 • 4 • 3 • 2 • 1 • 0,01024 • 1 =
5
1•2•3•4•5
()
()
= 1 • 0,01024 • 1 = 0,01024
M. Kresken
34
Binominalverteilung
• Die Gesamtzahl der Erfolge variiert zwischen 0 und 1.
• In der deskriptiven Statistik wurde das entsprechende Merkmal
„Gesamtzahl der Erfolge“ als diskret bezeichnet.
• Um zum Ausdruck zu bringen, dass den Ausprägungen des
Merkmals Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen sind, nennt man das
diskrete Merkmal diskrete Zufallsvariable.
• Die Wahrscheinlichkeiten der diskreten Zufallsvariablen können
wie in der beschreibenden Statistik die relativen Häufigkeiten des
diskreten Merkmals an Hand eines Stabdiagramms visualisiert
werden.
• Die entsprechende Darstellung heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion.
• Im vorangehenden Spezialfall nennt man die diskrete
Zufallsvariable, die als Werte die Zahl der Erfolge k bei der nfachen Wiederholung unabhängiger Experimente mit
Erfolgswahrscheinlichkeit p aufweist, binomialverteilt nach  (n, p).
M. Kresken
35
Wahrscheinlichkeitsfunktion ( (5,0,4)) der Zahl der
Universalspenderin einer Stichprobe vom Umfang n = 5
0,35
Wahrscheinlichkeit
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0
Wahrscheinlichkeit 0,07776
M. Kresken
1
2
3
4
0,25920 0,34560 0,23040 0,07680
Zahl der Universalspender (k )
5
0,01024
36
Binominalverteilung
• Hausaufgabe: Erstellen der
Wahrscheinlichkeitsfunktionen
-  (10, 0,2)
-  (10, 0,5)
-  (10, 0,8)
M. Kresken
37