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Thermodynamik • Bisher haben wir den thermischen Bereich ausgeklammert. Dieser ist aber fundamental fürs Verstehen der Physik. • Wir haben gesagt, dass Energie weder erzeugt noch vernichtet werden kann ... haben uns dann aber sogleich auf dem Absatz umgedreht und Elemente wie Quellen und Widerstände eingeführt, die es ja gemäss dem oben Gesagten gar nicht geben dürfte. • In der heutigen Vorlesung werden wir diese Phänomene etwas genauer analysieren. 1. Dezember, 2004 Anfang Präsentation Übersicht • • • • • • Energiequellen und Senken Irreversible Thermodynamik Wärmeleitung Wärmefluss Thermische Widerstände und Kapazitäten Wärmestrahlung 1. Dezember, 2004 Anfang Präsentation Energiequellen und Senken . Physische Systemgrenze (die Wand) T S1 k·U0 T i0 /k S2 Die andere Seite der Wand (externes Modell) . Steckdose, Netzgerät Elektrisches Modell (internes Modell) 1. Dezember, 2004 Thermisches Modell (externes Modell) Mathematische Systemgrenze (verschiedene Bereiche) Anfang Präsentation Die „Widerstandsquelle“ • Im Widerstand wird freie Energie irreversibel in Entropie umgewandelt. • Dieser Umstand wird im Bondgraphen durch eine „Widerstandsquelle“, das RS-Element, versinnbildlicht. • Die Kausalität der thermischen Seite ist immer so, dass der Widerstand dort als Quelle von Entropie gesehen wird, nie als Quelle von Temperatur. • Temperaturquellen gibt es physikalisch nicht. 1. Dezember, 2004 Anfang Präsentation Die Wärmeleitung I • Die Wärmeleitung in einer gut isolierten Stange kann durch die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung beschrieben werden: • Diskretisation im Raum führt zu: 1. Dezember, 2004 Anfang Präsentation Die Wärmeleitung II • Dadurch bietet sich die folgende elektrische Ersatzschaltung an: dvi /dt = iC /C iC = iR1 – iR2 vi-1 – vi = R· iR1 vi – vi+1 = R· iR2 1. Dezember, 2004 dvi /dt = (iR1 – iR2 ) /C = (vi+1 – 2·vi + vi-1 ) /(R · C) (R · C)· dvi dt = vi+1 – 2·vi + vi-1 Anfang Präsentation Die Wärmeleitung III • Somit lässt sich die Wärmeleitung durch eine Kette solcher T-Glieder beschreiben: • In Bondgraphendarstellung: 1. Dezember, 2004 Anfang Präsentation Die Wärmeleitung IV • Dieser Bondgraph ist wunderschön ... Er hat nur einen Haken ... Er ist mit Sicherheit inkorrekt! . Energiesenken gibt es nicht! Ein Widerstand mag in einer elektrischen Schaltung sinnvoll sein, falls die Erwärmung der Schaltung nicht von Interesse ist, aber sicherlich nicht, wenn das zu beschreibende System selbst schon thermisch ist. 1. Dezember, 2004 Anfang Präsentation Die Wärmeleitung V • Das Problem lässt sich leicht korrigieren, indem jeder Widerstand durch eine Widerstandsquelle ersetzt wird. • Der Temperaturunterschied führt zu zusätzlicher Entropie, die beim nächstgelegenen 0-Knoten wieder eingespeist wird. 1. Dezember, 2004 Anfang Präsentation Die Wärmeleitung VI • Dies ist eine gute Annäherung der physikalischen Realität. Leider ist der Bondgraph asymmetrisch, obwohl die Wärmeleitungsgleichung selbst symmetrisch ist. • Eine weitere Korrektur behebt diesen Schönheitsfehler. . S i-1 RS 1 . S . S iy 0 Ti Ti . S i-1 i-1 Ti C 1. Dezember, 2004 RS Ti Si-1 . Ti Si-1 2 2 Ti 0 . 1 RS .S Ti+1 RS ix Ti+1 . S i-1 . 0 1 Si Ti+1 C Anfang Präsentation Der Wärmefluss • Die thermische Leistung ist der Wärmefluss dQ/dt. Er wird wie üblich als Produkt der beiden adjugierten thermischen Variablen gerechnet, somit: · P = Q = T·S· • Man kann auch vom Wärmefluss als dem primären physikalischen Phänomen ausgehen und daraus konsequent eine Gleichung zur Berechnung der Entropie ableiten: · S = Q· / T 1. Dezember, 2004 Anfang Präsentation Die Berechnung von R und C I • Die Fähigkeit einer langen isolierten Stange, Wärme zu transportieren, ist proportional zum Temperaturunterschied. · = ( · T) · S· = R · S· T = · Q· = · (T · S) • wobei: = l1 · Al 1. Dezember, 2004 R=·T = thermischer Widerstand l = spezifischer thermischer Leitwert l = Länge der Stange A = Querschnitt der Stange x · T R=·T= l·A x = Länge des Segments Anfang Präsentation Die Berechnung von R und C II • Die Fähigkeit einer langen isolierten Stange, Wärme zu speichern, folgt dem kapazitiven Gesetz: dT · = T·S· Q· = g · dt = (T·S) • wobei: g=c·m m=r·V 1. Dezember, 2004 C=g /T dT g dT S·= T · dt = C· dt g = Wärmekapazität c = spezifische Wärmekapazität m = Masse der Stange r = Materialdichte V = Volumen des Segments Anfang Präsentation Die Berechnung von R und C III C = g / T = c · r · V / T = c · r · A · x / T R·C=·g= c·r l 1 · x2 = s · x2 • Die Diffusionszeitkonstante R·C ist unabhängig von der Temperatur. • Der thermische Widerstand ist proportional zur Temperatur. • Die thermische Kapazität ist umgekehrt proportional zur Temperatur. • Die thermischen R und C Elemente sind im Gegensatz zu den elektrischen und mechanischen nicht konstant. 1. Dezember, 2004 Anfang Präsentation Ist die Kapazität tatsächlich kapazitiv? • Wir müssen verifizieren, dass das gefundene Kapazitätsgesetz die Kapazitätsregel nicht verletzt. g dT · S = T · dt g de f = e · dt q = g · ln(e) q ist tatsächlich eine (nichtlineare) Funktion von e. Somit ist alles in Ordnung. 1. Dezember, 2004 Anfang Präsentation Berechnung von R für modifizierten Bondgraphen • Der Widerstand wurde bisher für die ursprüngliche Anordnung berechnet. Wir müssen uns fragen, was für Auswirkungen die Aufteilung der erzeugten Entropie nach links und rechts auf den Kapazitätswert hat. • Wir können zwei Widerstände der doppelten Grösse parallel schalten: 2R 2R R C C C 2R 1 C 0 1 C 1. Dezember, 2004 2R 0 C Anfang Präsentation Umformung des Bondgraphen • Der Bondgraph kann unter Verwendung der Diamantenregel umgeformt werden: 2R 1 0 C 1 2R 0 C 2R 0 2R 0 1 0 C C • Dies ist genau die angepeilte Struktur. 1. Dezember, 2004 Anfang Präsentation Die Strahlung I • Ein zweites fundamentales Phänomen der Thermodynamik betrifft die Strahlung. Sie wird durch das Gesetz von Stephan-Boltzmann beschrieben. =s·T4 • Die abgestrahlte Wärme ist proportional zur Strahlung und zur emitierenden Oberfläche. . Q=s ·A·T4 • Somit ist die abgestrahlte Entropie proportional zur dritten Potenz der Temperatur. . S=s ·A·T3 1. Dezember, 2004 Anfang Präsentation Die Strahlung II • Die Strahlung beschreibt ein dissipatives Phänomen (dies . ergibt sich aus der statischen Kennlinie zwischen T und S). • Somit kann der Widerstand wie folgt berechnet werden: . R = T / S = 1 / (s · A · T 2) • Der Strahlungswiderstand ist somit umgekehrt proportional zum Quadrat der (absoluten) Temperatur. 1. Dezember, 2004 Anfang Präsentation Die Strahlung III 1. Dezember, 2004 Anfang Präsentation Referenzen • Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 8. 1. Dezember, 2004 Anfang Präsentation
