Folien_Sitzung2

Winter 16/17
David Kurbel
Evaluation &
Forschungsstrategien
B.Sc.-Seminar
Sitzung II: Konfidenzintervalle /
Überprüfung der Nullhypothese
Seminarinhalte Sitzung II: 09.11.2016
Winter 16/17
David Kurbel
I
Konfidenzintervall des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz
II
Zentrales Grenzwerttheorem
III
Konfidenzintervall des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz
IV
Optimierung des Stichprobenumfangs
V
t-Test für unabhängige Stichproben
Logik von Konfidenzintervallen
I
 Schätzung des Populationsmittelwertes µ durch Stichprobenmittelwert 𝑋
 µ ≠ 𝑋 , da zufällig gezogene Stichprobe
II
 Aussagen über zugrundeliegende Population?
III
Wie genau schätzt 𝑋 den Parameter µ?
IV
 Ermittlung von „Grenzen“
 darin: wahrer Populationsparameter
V
Winter 16/17
David Kurbel
 Konfidenzintervall
Logik von Konfidenzintervallen
I
Winter 16/17
David Kurbel
 dazugehörige Schätzungen: Intervallschätzungen
 Konfidenzkoeffizienten (z.B. bei 95% oder 99% festgelegt)
II
III
 Intervallschätzung
 unbekannter Populationsparameter auf Basis der Stichprobenergebnisse schätzen
 konstruierter Wertebereich
 1 – α = 95% bzw. 1 – α = 99% aller möglichen Populationsparameter
IV
 Konfidenzkoeffizient 1 – α komplementär zum Signifikanzniveau α
V
 CI des arithmetischen Mittels berechnen (bekannte / unbekannte Varianz)
 CI eines Populationsanteils berechnen
 Hinweise für optimalen Stichprobenumfang
CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz
I
II
Winter 16/17
David Kurbel
 Konfidenzintervall des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz
 Beispiel: Verteilung des Merkmals X (Intelligenzquotient) bei Abiturienten
 µ = 110 und σ2 = 144
III
 Sampling Distribution
 Mittelwerteverteilung von Ministichproben
 geringere Streuung / weniger Irregularitäten
IV
 je mehr n, desto geringere Streuung für 𝑋
 Übergang in Normalverteilung
V
 Zentrales Grenzwerttheorem
Zentrales Grenzwerttheorem
I
II
III
IV
V
Winter 16/17
David Kurbel
 Zentrales Grenzwerttheorem
 Verteilung von Mittelwerten aus Stichproben des Umfangs n, die beliebiger
Grundgesamtheit entnommen wurden, entspricht der Normalverteilung
 vorausgesetzt, n ist ausreichend groß (n ≥ 30 als gute Approximation)
Beispiel
Produkt A – 1€
Produkt B – 2€
Produkt C – 3€
Produkt D – 4€
Produkt E – 5€
Produkt F – 6€
 jedes Produkt gleichhäufig gekauft (P = 1/6)
 Zufallsvariable „Preis“: gleichverteilt
Zentrales Grenzwerttheorem
I
II
III
IV
V
Winter 16/17
David Kurbel
 Zentrales Grenzwerttheorem
 Verteilung von Mittelwerten aus Stichproben des Umfangs n, die beliebiger
Grundgesamtheit entnommen wurden, entspricht der Normalverteilung
 vorausgesetzt, n ist ausreichend groß (n ≥ 30 als gute Approximation)
Beispiel
Produkt A – 1€
Produkt B – 2€
Produkt C – 3€
Produkt D – 4€
Produkt E – 5€
Produkt F – 6€
p(Preis: 1€) = 1/6
p(Preis: 2€) = 1/6
p(Preis: 3€) = 1/6
p(Preis: 4€) = 1/6
p(Preis: 5€) = 1/6
p(Preis: 6€) = 1/6
 jedes Produkt gleichhäufig gekauft (P = 1/6)
 Zufallsvariable „Preis“: gleichverteilt
Zentrales Grenzwerttheorem
I
II
III
IV
V
 Verteilung der Kaufsummen bei 2 gekauften Produkten?
 6 ⸱6 = 36 verschiedene Stichproben möglich
 billigste Stichprobe: 2€ (2 mal Produkt A)
 teuerste Stichprobe: 12€ (2 mal Produkt F)
Winter 16/17
David Kurbel
Zentrales Grenzwerttheorem
I
II
 Verteilung der Kaufsummen bei 2 gekauften Produkten?
 6 ⸱6 = 36 verschiedene Stichproben möglich
 billigste Stichprobe: 2€ (2 mal Produkt A)
 teuerste Stichprobe: 12€ (2 mal Produkt F)
IV
 Stichprobensummen ≠ einzelne Kaufpreise
 Verteilung Kaufpreise
 gleichverteilt
 Stichprobensummen
 symmetrisch / eingipflig
V
 je größer n, desto stärkere Annäherung an
Normalverteilung
III
Winter 16/17
David Kurbel
Zentrales Grenzwerttheorem
I
II
III
IV
V
 normalverteile Stichprobenmittelwerte
 Erwartungswert der Stichprobenmittelwerte
 E (𝑋) = µ
 Standardfehler des Mittelwertes σ𝑋 / Streuung der
Stichprobenkennwerteverteilung des Mittelwerts:
 σ𝑋 =
σ2
𝑛
=
σ2
𝑛
=
σ
𝑛
Winter 16/17
David Kurbel
Zentrales Grenzwerttheorem
I
II
III
IV
V
 normalverteile Stichprobenmittelwerte
 Erwartungswert der Stichprobenmittelwerte
 E (𝑋) = µ
 Standardfehler des Mittelwertes σ𝑋 / Streuung der
Stichprobenkennwerteverteilung des Mittelwerts:
 σ𝑋 =
σ2
𝑛
=
σ2
𝑛
=
σ
𝑛
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David Kurbel
CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz
I
II
III
IV
 Standardnormalverteilung
 z-Transformation
𝑋 −µ
 z=
σ
 Mittelwert / Streuung verändern sich, Verteilungsform nicht
 Anwendung auf normalverteilte Zufallsvariable 𝑋
 𝑧𝑋 =
𝑋−µ
σ𝑋
 Mittelwert: 0, Streuung: 1
 Wahrscheinlichkeit, mit der Mittelwerte 𝑋 > a auftreten, bestimmen
V
Winter 16/17
David Kurbel
CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz
I
II
III
IV
V
 Abiturientenproblem
 Wahrscheinlichkeit von Stichprobenmittelwerten für
 𝑋 > 115
 n = 36
 Durchschnittlicher IQ: µ = 110
 Varianz der IQ-Werte: σ2 = 144
Winter 16/17
David Kurbel
CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz
I
II
III
 Abiturientenproblem
 Wahrscheinlichkeit von Stichprobenmittelwerten für
 𝑋 > 115
 n = 36
 Durchschnittlicher IQ: µ = 110
 Varianz der IQ-Werte: σ2 = 144
 Standardfehler der Mittelwerteverteilung
IV
 σ𝑋 =
V
σ2
𝑛
=
144
36
= 2.00
Winter 16/17
David Kurbel
CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz
I
II
III
 Abiturientenproblem
 Wahrscheinlichkeit von Stichprobenmittelwerten für
 𝑋 > 115
 n = 36
 Durchschnittlicher IQ: µ = 110
 Varianz der IQ-Werte: σ2 = 144
 Standardfehler der Mittelwerteverteilung
IV
 σ𝑋 =
V
 𝑧𝑋 =
σ2
𝑛
=
115 −110
2
144
36
= 2.00
𝑋 = 115 entspricht 𝑧𝑋 = 2.50
= 2.50
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David Kurbel
CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz
I
II
Winter 16/17
David Kurbel
 Wahrscheinlichkeit für 𝑧𝑋 = 2.50
 Flächeninhalt der Standardnormalverteilung zwischen 2.50 und ∞
 p (𝑧𝑋 > 2.50) = .0062
 Wahrscheinlichkeit für 𝑋 = 115 bei n = 36 ist 0,62%, wenn µ = 110 und σ2 = 144
III
IV
V
 Stichprobenmittelwert weicht mindestens 5 IQ-Punkte von µ ab
105 −110

= – 2.50
2
 p (𝑧𝑋 > 2.50) = .0062
 p (𝑧𝑋 < – 2.50) = .0062
 p (– 2.50 > 𝑧𝑋 > 2.50) = .0062 + .0062 = .0124
Wahrscheinlichkeit von 1.24%
CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz
I
II
III
IV
V
Winter 16/17
David Kurbel
 𝑋-Wertebereiche
 Intervall, in dem sich bestimmter Anteil p aller Stichprobenmittelwerte befindet
 p = .95
 𝑍𝑋 -Werte an beiden Seiten, die je 2.50% abschneiden
 𝑧𝑋 = – 1.96
 𝑧𝑋 = 1.96
 p (– 1.96 < 𝑧𝑋 < 1.96) = .95
 Mittelwerte via z-Transformation
CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz
I
II
III
IV
V
Winter 16/17
David Kurbel
 𝑋-Wertebereiche
 Intervall, in dem sich bestimmter Anteil p aller Stichprobenmittelwerte befindet
 p = .95
 𝑍𝑋 -Werte an beiden Seiten, die je 2.50% abschneiden
 𝑧𝑋 = – 1.96
 𝑧𝑋 = 1.96
 p (– 1.96 < 𝑧𝑋 < 1.96) = .95
 Mittelwerte via z-Transformation
𝑥𝑢 −110
2
 – 1.96 =
 𝑥𝑢 = 106.08
𝑥𝑜 −110
2
1.96 =
𝑥𝑜 = 113.92
CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz
Winter 16/17
David Kurbel
I
 𝑥𝑢 = 106.08 als Untergrenze des Intervalls
 𝑥𝑜 = 113.92 als Obergrenze des Intervalls
II
 Mittelwerte aus Stichproben des Umfangs n = 36 mit 95%er Wahrscheinlichkeit im
Bereich 106.08 bis 113.92 auf
III
IV
V
 σ𝑋 ⸱1.96 = 3.92
bei σ𝑋 = 2
 Bereich: µ ± 3.92
 𝑋-Wertebereich von µ
 Problem: zwischen 𝑧𝑢 = 1.75 und 𝑧𝑜 = 2.33 ebenfalls 95% der Gesamtfläche
 theoretisch unendlich viele Formen von a < µ < b
 „minimale Intervallbreite“ – 1.96 + 1.96 = 3.92; bei 1.75 + 2.33 = 4.08
 Bevorzugung des kürzesten 𝑋-Wertebereich, da genauste µ-Schätzung
CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz
I
II
 Bestimmung des Konfidenzintervalls
 µ meist unbekannt
 1 Stichprobenmittelwert x bekannt
 Parameter für 𝑋-Wertebereiche, in denen sich der bekannte x-Wert befindet
 Bei welchen Parametern x-Wert im 95%igen 𝑋-Wertebereich?
III
IV
V
Winter 16/17
David Kurbel
 alle Parameter im Bereich x ± a kommen infrage
 Annahme: µ = 𝑥 + a, 𝑥-Wert begrenzt 𝑋-Wertebereiche rechtsseitig
 Annahme: µ = 𝑥 – a, 𝑥-Wert begrenzt 𝑋-Wertebereiche linksseitig
 auch 𝑋 ± a ist eine Zufallsvariable
CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz
I
II
III
IV
V
Winter 16/17
David Kurbel
 wiederholte Stichprobenentnahme: verschiedene 𝑥-Werte, bzw. 𝑥 ± a
 Auftretenswahrscheinlichkeit von 𝑥-Wert abhängig von µ
 starke Abweichung von µ: unwahrscheinlicher als Werte in der Nähe von µ
 Stichprobenziehen vom Umfang n
 95% richtige Parameterbereiche
 5% falsche Parameterbereiche
CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz
I
II
III
IV
V
Winter 16/17
David Kurbel
 Interpretation von Konfidenzintervallen
 klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
 auf Basis empirischer Daten berechnetes CI kann lediglich aussagen, ob wahrer
Populationsparameter enthalten oder nicht
 subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff
 gesuchter Parameter mit Wahrscheinlichkeit von 95% im berechneten CI




Konfidenzkoeffizienten
p = .95 oder p = .99
Standardnormalverteilungstabelle für .99: ± 2.58
99%iges CI: 𝑥 ± 2.58 ⸱σ𝑋
CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz
I
 allgemeine Formel
 Δ𝑘𝑟𝑖𝑡(1−α) = 𝑋 ± 𝑍(α) ⸱σ𝑋
II
III
IV
V
2






Beispiel:
n = 36
𝑋 = 112
99% CI
Z-Wert: ± 2.58
Varianz der IQ-Werte σ2 : 144
Winter 16/17
David Kurbel
CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz
I
 allgemeine Formel
Standardfehler der Mittelwertsverteilung
 Δ𝑘𝑟𝑖𝑡(1−α) = 𝑋 ± 𝑍(α) ⸱σ𝑋
II
III
IV
V
2






Winter 16/17
David Kurbel
Beispiel:
n = 36
𝑋 = 112
99% CI
Z-Wert: ± 2.58
Varianz der IQ-Werte σ2 : 144
σ𝑋 =
σ2
𝑛
= 2.00
CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz
I
 allgemeine Formel
Standardfehler der Mittelwertsverteilung
 Δ𝑘𝑟𝑖𝑡(1−α) = 𝑋 ± 𝑍(α) ⸱2
II
III
IV
V
2






Winter 16/17
David Kurbel
Beispiel:
n = 36
𝑋 = 112
99% CI
Z-Wert: ± 2.58
Varianz der IQ-Werte σ2 : 144
σ𝑋 =
σ2
𝑛
= 2.00
CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz
I
 allgemeine Formel
 Δ𝑘𝑟𝑖𝑡(1−α) = 𝑋 ± 2.58 ⸱2
II
III
IV
V






Beispiel:
n = 36
𝑋 = 112
99% CI
Z-Wert: ± 2.58
Varianz der IQ-Werte σ2 : 144
Winter 16/17
David Kurbel
Standardfehler der Mittelwertsverteilung
σ𝑋 =
σ2
𝑛
= 2.00
CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz
I
 allgemeine Formel
 Δ𝑘𝑟𝑖𝑡(1−α) = 112 ± 2.58 ⸱2
II
III
IV
V






Beispiel:
n = 36
𝑋 = 112
99% CI
Z-Wert: ± 2.58
Varianz der IQ-Werte σ2 : 144
Winter 16/17
David Kurbel
Standardfehler der Mittelwertsverteilung
σ𝑋 =
σ2
𝑛
= 2.00
CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz
I
 allgemeine Formel
 Δ𝑘𝑟𝑖𝑡(1−α) = 112 ± 2.58 ⸱2
II
IV






V
 112 – 5.16 ≤ µ ≤ 112 + 5.16
 bzw. 106.84 ≤ µ ≤ 117.16
III
Beispiel:
n = 36
𝑋 = 112
99% CI
Z-Wert: ± 2.58
Varianz der IQ-Werte σ2 : 144
Winter 16/17
David Kurbel
Standardfehler der Mittelwertsverteilung
σ𝑋 =
σ2
𝑛
= 2.00
CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz
I
II
 Konfidenzintervall des arithmetischen Mittels bei unbekannter Varianz
 Schätzung der Populationsvarianz über Stichprobendaten
 Schätzung des Standardfehlers
III
 für große n: Annahme der Standardnormalverteilung
 für kleine n: Verwendung der t-Verteilung
 kritische z-Werte für 95%: 1.96; für 99%: 2.58
IV
 n ≥ 30
 Δ𝑘𝑟𝑖𝑡(1−α) = 𝑋 ± 𝑍(α) ⸱σ𝑋 mit σ𝑋 =
V
2
σ2
𝑛
Winter 16/17
David Kurbel
CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz
I
II
 n ≤ 30
 Verwendung der t-Verteilung
 normalverteilte Population
 Verwendung der entsprechenden Freiheitsgrade df = n – 1
 Δ𝑘𝑟𝑖𝑡(1−α) = 𝑋 ± 𝑡(α,𝑑𝑓) ⸱σ𝑋 mit σ𝑋 =
2
III
IV
V
 kritische t-Werte von n / df abhängig
σ2
𝑛
Winter 16/17
David Kurbel
CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz
I
 t-Verteilung
 𝑧𝑋 =
II
III
IV
V
𝑋−µ
σ𝑋
Standardfehler der Mittelwertsverteilung
=
𝑋−µ
σ2
𝑛
σ𝑋 =
σ2
𝑛
 bekannte Populationsstreuung σ unrealistisch
 σ als Schätzung: Zufallsvariable t
 t=
𝑋−µ
σ𝑋
=
Winter 16/17
David Kurbel
𝑋−µ
σ2
𝑛
 𝑋 und σ sind stichprobenabhängig
CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz
I
 t-Verteilung
 𝑧𝑋 =
II
III
𝑋−µ
σ𝑋
Standardfehler der Mittelwertsverteilung
=
𝑋−µ
σ2
𝑛
σ𝑋 =
σ2
𝑛
 bekannte Populationsstreuung σ unrealistisch
 σ als Schätzung: Zufallsvariable t
 t=
𝑋−µ
σ𝑋
=
Winter 16/17
David Kurbel
𝑋−µ
σ2
𝑛
IV
 𝑋 und σ sind stichprobenabhängig
V
 symmetrisch / eingipflig
 µ=0
 SD: σ = (𝑛 − 1)/(𝑛 − 3)
CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz
I
II
III
IV
V
 Freiheitsgrade dfs
 Anzahl frei variierender Abweichungen
 Stichprobe n sind n – 1 Abweichungen variierbar
 Beispiel – Abweichungen vom Mittelwert
 4 Messungen
 𝑥1 - 𝑥 = 2
 𝑥2 - 𝑥 = -3
 𝑥3 - 𝑥 = -5
Winter 16/17
David Kurbel
CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz
I
II
III
IV
V
 Freiheitsgrade dfs
 Anzahl frei variierender Abweichungen
 Stichprobe n sind n – 1 Abweichungen variierbar
 Beispiel – Abweichungen vom Mittelwert
 4 Messungen
 𝑥1 - 𝑥 = 2
 𝑥2 - 𝑥 = -3
Summe aller Differenzen muss 0 ergeben!
 𝑥3 - 𝑥 = -5
Winter 16/17
David Kurbel
CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz
I
II
III
IV
V
 Freiheitsgrade dfs
 Anzahl frei variierender Abweichungen
 Stichprobe n sind n – 1 Abweichungen variierbar
 Beispiel – Abweichungen vom Mittelwert
 4 Messungen
 𝑥1 - 𝑥 = 2
 𝑥2 - 𝑥 = -3
Summe aller Differenzen muss 0 ergeben!
 𝑥3 - 𝑥 = -5
 𝑥4 - 𝑥 = 6
Winter 16/17
David Kurbel
CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz
I
II
III
IV
V
Winter 16/17
David Kurbel
 Freiheitsgrade dfs
 Anzahl frei variierender Abweichungen
 Stichprobe n sind n – 1 Abweichungen variierbar
 Beispiel – Abweichungen vom Mittelwert
 4 Messungen
 𝑥1 - 𝑥 = 2
 𝑥2 - 𝑥 = -3
Summe aller Differenzen muss 0 ergeben!
 𝑥3 - 𝑥 = -5
 𝑥4 - 𝑥 = 6
 verschiedene t-Verteilungen
 Streuungen abhängig von der Anzahl der dfs der Varianzschätzungen
CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz
I
II
III
IV
V
 Freiheitsgrade dfs
 mit zunehmenden dfs Annäherung an Standardnormalverteilung
 für dfs > 30 Verwendung der Standardnormalverteilung möglich
Winter 16/17
David Kurbel
Winter 16/17
David Kurbel
Optimierung des Stichprobenumfangs
I
II
III
IV
V
 Überlegungen zur Optimierung des Stichprobenumfangs
 gute Approximation bei n ≥ 30
 CI des arithmetischen Mittels
 𝑧𝑋 =
𝑋−µ
σ𝑋
=
𝑋−µ
σ2
𝑛
 n=
𝑧 2 −σ2
𝑒2
=
𝑒
σ2
𝑛
auflösen nach n
e als Schätzfehler 𝑋 − µ
Optimierung des Stichprobenumfangs
I
II
III
IV
V
Winter 16/17
David Kurbel
 Überlegungen zur Optimierung des Stichprobenumfangs
 n=
𝑧 2 −σ2
𝑒2
 mit abnehmendem Schätzfehler wächst der optimale Stichprobenumfang
quadratisch
Optimierung des Stichprobenumfangs
I
II
III
IV
V
Winter 16/17
David Kurbel
 Überlegungen zur Optimierung des Stichprobenumfangs
 n=
𝑧 2 −σ2
𝑒2
 mit abnehmendem Schätzfehler wächst der optimale Stichprobenumfang
quadratisch
 mit zunehmendem Konfidenzkoeffizienten wächst der optimale
Stichprobenumfang quadratisch
Optimierung des Stichprobenumfangs
I
II
III
IV
V
Winter 16/17
David Kurbel
 Überlegungen zur Optimierung des Stichprobenumfangs
 n=
𝑧 2 −σ2
𝑒2
 mit abnehmendem Schätzfehler wächst der optimale Stichprobenumfang
quadratisch
 mit zunehmendem Konfidenzkoeffizienten wächst der optimale
Stichprobenumfang quadratisch
 mit zunehmender Populationsstreuung wächst der optimale Stichprobenumfang
quadratisch
 Streuung des Populationsmerkmals muss ungefähr bekannt sein
 Festlegung des Schätzfehlers / des optimalen Stichprobenumfangs
 Vorinformationen / Vorstudie
 Schätzung während der Hauptuntersuchung
t-Test für unabhängige Stichproben
I
 Anwendung im t-Test für unabhängige Stichproben
 z-Skala der Differenzen von Mittelwerten
II
III
IV
V
 z=
Δ𝑋 −µΔ𝑋
σΔ𝑋
Winter 16/17
David Kurbel
t-Test für unabhängige Stichproben
I
 Anwendung im t-Test für unabhängige Stichproben
 z-Skala der Differenzen von Mittelwerten
II
 z=
Δ𝑋 −µΔ𝑋
σΔ𝑋
 H0: µΔ𝑋 = 0
III
IV
V
=
Δ𝑋
σΔ𝑋
ist standardnormalverteilt
Winter 16/17
David Kurbel
t-Test für unabhängige Stichproben
I
 Anwendung im t-Test für unabhängige Stichproben
 z-Skala der Differenzen von Mittelwerten
II
III
 z=
Δ𝑋 −µΔ𝑋
=
σΔ𝑋
 H0: µΔ𝑋 = 0
 α = 0.05
Δ𝑋
σΔ𝑋
ist standardnormalverteilt
 Ist |z| > 𝑧1−α ?
IV
V
2
 wenn ja: Ablehnung der H0
 wenn nein: Beibehalten der H0
Winter 16/17
David Kurbel
Winter 16/17
David Kurbel
t-Test für unabhängige Stichproben
I
II
III
IV
V
 Differenz der Mittelwerte: 𝑥M - 𝑥J = Δ𝑥 bzw. 23.7 – 17.2 = 6.5
 Standardfehler der Differenz: σΔ𝑥 =
 𝜎2 =
2
(𝑛𝑀 ) 𝑠𝑀
+(𝑛𝐽 ) 𝑠𝐽2
𝑛𝑀 + 𝑛𝐽 −2
2
 𝑠𝑀
= 173, 𝑛𝑀 = 40
 𝑠𝐽2 = 106, 𝑛𝐽 = 45
𝜎2
1
𝑛𝑀
+
1
𝑛𝐽
=
𝜎2 ⸱
1
𝑛𝑀
+
1
𝑛𝐽
Winter 16/17
David Kurbel
t-Test für unabhängige Stichproben
I
II
III
IV
 Differenz der Mittelwerte: 𝑥M - 𝑥J = Δ𝑥 bzw. 23.7 – 17.2 = 6.5
 Standardfehler der Differenz: σΔ𝑥 =
 𝜎2 =
𝜎2
1
𝑛𝑀
2
(𝑛𝑀 ) 𝑠𝑀
+(𝑛𝐽 ) 𝑠𝐽2
𝑛𝑀 + 𝑛𝐽 −2
2
 𝑠𝑀
= 173, 𝑛𝑀 = 40
 𝑠𝐽2 = 106, 𝑛𝐽 = 45
 σΔ𝑥 =
V
 z=
Δ𝑋
σΔ𝑋
40 173 +(45) 106
40 +45 −2
=
6.5
2.58
= 2.52
⸱
1
40
+
1
45
= 2.58
𝑧1−(α) = 1.96
2
+
1
𝑛𝐽
= 𝜎2 ⸱
1
𝑛𝑀
+
1
𝑛𝐽
Winter 16/17
David Kurbel
t-Test für unabhängige Stichproben
I
II
III
IV
 Differenz der Mittelwerte: 𝑥M - 𝑥J = Δ𝑥 bzw. 23.7 – 17.2 = 6.5
 Standardfehler der Differenz: σΔ𝑥 =
 𝜎2 =
𝜎2
1
𝑛𝑀
+
1
𝑛𝐽
= 𝜎2 ⸱
1
𝑛𝑀
+
1
𝑛𝐽
2
(𝑛𝑀 ) 𝑠𝑀
+(𝑛𝐽 ) 𝑠𝐽2
𝑛𝑀 + 𝑛𝐽 −2
2
 𝑠𝑀
= 173, 𝑛𝑀 = 40
 𝑠𝐽2 = 106, 𝑛𝐽 = 45
 σΔ𝑥 =
V
 z=
Δ𝑋
σΔ𝑋
40 173 +(45) 106
40 +45 −2
=
6.5
2.58
= 2.52
⸱
1
40
+
1
45
= 2.58
𝑧1−(α) = 1.96
2
2.52 > 1.96, d.h. |z| > 𝑧1−α ; H0
2