HEUTE Wim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 15.11.2012 2

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Einteilung der VL
1. Einführung
2. Hubblesche Gesetz
3. Antigravitation
HEUTE
4. Gravitation und ART
5. Entwicklung des Universums
6. Temperaturentwicklung
7. Kosmische Hintergrundstrahlung
8. CMB kombiniert mit SN1a
9. Strukturbildung
10. Neutrinos
11. Grand Unified Theories
12.-13 Suche nach DM
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Vorlesung 4:
Roter Faden:
1.Licht empfindet Gravitation
2.Krümmung des Universums
3.Grundlagen der ART
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Grundlagen der
Allgemeinen Relativitätstheorie
ART
beschreibt Gravitation als
Krümmung der Raum-Zeit
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Licht empfindet Gravitation???
Nach der bekannten Einsteinschen Energie-Masse-Beziehung
kann man dem Photon der Energie h×f eine Masse zuordnen. Es
gilt:
Gravitation wirkt auf Masse:
wird Energie des Photons
sich ändern im Grav. Feld????
Erwarte für Höhe H = 22.5m:
Frequenzverschiebung im
Gravitationsfeld
wurde von Pound und Rebka
mit Mössbauereffekt bestätigt!!
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Mössbauereffekt
http://www.uni-duisburg.de/FB10/LAPH/Keune/hs/Utochkina.pdf
Durch die extrem kleine natürliche Breite der Kernniveaus werden
Energieverluste im Gravitationsfeld schon Absorption verhindern. Absorption
kann wieder hergestellt werden durch die Photonen ein bisschen mehr Energie
zu geben durch die Quelle langsam zu bewegen, bis die Gravitationsverluste
ausgeglichen sind
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Pound-Rebka Versuch: Licht empfindet Gravitation (1960)
In 1960, R. Pound and G. Rebka, Jr. at
Harvard University conducted
experiments in which photons (gamma
rays) emitted at the top of a 22.57 m high
apparatus were absorbed at the bottom,
and photons emitted at the bottom of the
apparatus were absorbed at the top. The
experiment showed that photons which
had been emitted at the top had a higher
frequency upon reaching the bottom than
the photons which were emitted at the
bottom. And photons which were emitted
at the bottom had a lower frequency upon
reaching the top than the photons emitted
at the top. These results are an important
p a r t o f t h e e x p e r i m e n t a l e vi d e n c e
supporting general relativity theory which
predicts the observed "redshifts" and
" b l u e s h i f t s . "
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Einsteins Gedankenexperiment: Licht durch Gravitation abgebogen
Betrachte Raumschiff, worin eine Lichtquelle von A nach B strahltEin außenstehender Beobachter sieht das Raumschiff mit der Beschleunigung g.
Der Lichtstrahl folgt für ihn die Kurve C, d.h. der Raum ist gekrümmt im
beschleunigten System. Beachte: spezielle Rel.-Theorie für unbeschleunigte Systeme,
ART für beschleunigte Systeme.
Photon im Gravitationsfeld folgt AC,
Photon in einem beschleunigten System folgt AC.
Sind sie equivalent????
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Äquivalenzprinzip
Equivalenzprinzip:
Physik durch Gravitation ist identisch mit Beobachtungen
in einem beschleunigten Referenzsystem,
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Abbiegung im Gravitationsfeld der Sonne
Scheinbare Verschiebung der Sternen hinter der Sonne,
Beobachtbar bei Sonnenfinsternis!
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Raumkrümmung in 1919 von Eddington beobachtet.
Einsteins ART bestätigt
Mond
Verschiebung der Positionen der Sterne von Eddington
gleichzeitig in Westafrika und Brasilien beobachtet.
Vorhersage nach Newton: δ=0.87 Bogensekunden
Vorhersage nach Einstein: δ= 2 x 0.87 Bogensekunden
durch zusätzliche Zeitverzögerung !
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Zeitverzögerung im Gravitationsfeld
bedeutet:
Oder 1+2-1  1+2/1+1 =2/1=T1T2
Setze 1=0 , 2=  und T1= = Periode im Ruhesystem, t=T2
Dann: 1+=/t oder  (1+)t
Für Licht gilt: d2=c2dt2-dl2=0.
Naheliegende Verallgemeinerung:
d2=c2(1+2)dt2-dl2=0 oder dl2=c2(1+2)dt2 oder dl=c(1+) dt
Geschwindigkeit: dl/dt=c(1+)=c(1-mgh), d.h. Photon wird
langsamer im Gravitationsfeld bei Höhe h!
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Gravitation = Raumkrümmung!
Äquivalenzprinzip bedeutet:
Beschleunigung = Gravitation = Raumkrümmung
Höhe
B
A
t0
t´
C
D
Zeit
Experiment: bringe Cs Uhr von A->B und messe Zeit (=n Wellenberge) bis
C. Vergleiche mit Uhr in A bis gleiche Anzahl an Wellenberge. Uhr bei BC
langsamer als bei AD, da c‘=c(1+) (siehe vorherige Seite). D.h.tt0  AB
nicht parallel DC oder Raum gekrümmt durch Gravitation!
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Raumkrümmung
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Raumkrümmung
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Gravitation = Scheinkraft
Scheinkräfte sind Kräfte, die nur von Ort und Geschwindigkeit
eines Körpers abhängen.
Scheinkräfte können verschwinden:
Zentrifugalkraft = 0 in einem ruhenden System (ω = 0)
Corioliskraft = 0 in einem ruhenden System (ω = 0)
Schwerkraft = 0 in einem geschickt beschleunigten System,
d.h. auch die Schwerkraft ist eine Scheinkraft!
Elektrisches Feld um ein Elektron niemals 0! Elektrische Kraft
Ist KEINE Scheinkraft.
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Grundidee der Allgemeinen Relativitätstheorie
1. Masse erzeugt Krümmung
2. Krümmung bestimmt wie Masse sich bewegt
(auch relativ. in sowohl Inertial- als auch
beschleunigte Systeme, daher allgemeiner
als spezielle Relativitätstheorie
Analogie: Masse krümmt Membran und Krümmung
bestimmt wie Kugel rollt.
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Einsteinsche Feldgleichungen der ART
Quellterm: Energie-Impuls-Tensor T,
die alle Energie und Impuls umfasst
Krümmung: Einstein-Tensor G, die Geometrie der
vierdimensionalen Raum-Zeit beschreibt
Einsteinsche Feldgleichungen: G=kT
Bei Isotropie ist die Krümmung konstant und hängt nur von R ab.
Daher hat G nur noch 2 Komponenten: R und t und wird
statt ein 4x4 ein 2x2 Tensor.
Auch der Quellterm darf bei Isotropie keine Scherspannungen
enthalten. T reduziert sich daher auf Diagonalterme
(-E,p)=(-c2,p), wobei p der Druck ist.
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Einsteinsche Feldgleichungen in Tensor-Form
Isotrop:
Im Allgemeinen sind G und T symmetrische 4x4 Tensoren, daher
10 unabh. Elemente. Dies entspricht 10 unabh. nicht-lineare
Differentialgl. Nicht-linear, weil mehr Masse (=rechte Seite) linke
Seite nicht-linear ändert. Bisher keine allgemeine Lösungen
gefunden, nur Spezialfälle gelöst, wie z.B. bei einer isotropen und
homogenen Massenverteilung. Dann reduzieren sich die Gl. auf 2
Differentialgl., die sogenannte Friedmann-Gleichungen. Sie wurden
unabh. entdeckt vom belgischen Priester Lemaitre, der daraus als
Erster die Schlussfolgerung eines expandierenden Univ. inklusive
Urknall zog.
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Friedmannsche Gl. und Newtonsche Mechanik
Die Friedmannsche Gleichungen der ART entsprechen
1.
2.
3.
4.
5.
Newtonsche Mechanik
+ Krümmungsterm k/S2
+ E=mc2 (oder u=c2)
+ Druck ( Expansionsenergie im heißem Univ.)
+ Vakuumenergie (=Kosmologische Konstante)
Dies sind genau die Ingredienten die man braucht
für ein homogenes und isotropes Universum,
das evtl. heiß sein kann (Druck ≠ 0)
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Friedmann Gleichungen
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Erste Friedmann Gleichung und Newton
M
m
v
Für E=0: H2 = (S/S)2 = 8G/3
Dies entspricht erste Friedmann-Gleichung im Grenzfall
E=0 , k=0, =0, d.h. keine kosmologische Konstante und
keine Krümmung (wie erwartet für E=0).
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Berücksichtigung der Expansionsenergie
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Zweite Friedmanngl.
(1)
(2)
Differenziere (1) und benutze u=c2
ergibt die zweite Friedm. Gl., wenn man für u Gl. 5.15 benutzt.
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Zum Mitnehmen:
1. Licht empfindet Gravitation. Lichtquant (Photon)
hat effektive Masse m = E/c2 = hν/c2
2. Materie krümmt den Raum und Weltlinien der Materie
folgen Raumkrümmung.
Diese gekrümmte Weltlinien erzeugen für Licht
Gravitationslinsen und Schwarze Löcher
3. Friedman-Lemaitre Gleichungen beschreiben
ART für eine isotrope und homogene
Massenverteilung
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Extremste Form der Raumkrümmung: Schwarzes Loch
 3 km
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Ein Schwarzes Loch wird sichtbar durch Zuwachs
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Extremste Form der Raumkrümmung: Schwarzes Loch
SL umgeben von Akkretionsscheibe,
Durch Drehimpulserhaltung rotiert
einfallende Materie immer schneller
bei kleinen Radien und bildet
Akkretionsscheibe, die heiss wird
und Röntgenstrahlung aussendet.
Magnetfeld im Zentrum sehr hoch,
wo Beschleunigungsprozesse der
geladenen Teilchen stattfinden.
Diese führt zu Materieströmen
aus dem Zentrum (Jets).
Praktisch jede Galaxie hat im Zentrum
ein SL. In der Milchstraße sichtbar
durch Drehung einiger Sterne um
einen sehr kleinen Radius mit sehr
hoher Geschwindigkeit.
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Größe und Dichte eines SL.
Radius eines SL:
R = 2GM/c2, d.h.
wächst mit Masse!
Masse unseres
Universums: die
kritische Dichte von
10-29 g/cm3 (1023 M☼)
liegt auf diese Linie,
d.h. es ist nicht
ausgeschlossen, dass
wir in einem SL leben.
J. Luminet
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