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521.202 / SES.125
Parameterschätzung
Varianzfortpflanzung
Torsten Mayer-Gürr
Torsten Mayer-Gürr
Diskrete Zufallsvariable
Eine diskrete Zufallsvariable X nimmt endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte an.
-
Werte:
x1 , x2 ,, xn ,
-
Wahrscheinlichkeit:
f ( x1 ), f ( x2 ),, f ( xn ),
P( X  xi )  f ( xi )
Dichtefunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte, Wahrscheinlichkeitsverteilung,
probability density function (pdf)
f ( xi )  0

n
und
 f (x )  1
i 1
i
bzw.
 f (x )  1
i 1
i
Verteilungsfunktion
F ( xi )  P( X  xi )   f ( xk )
k i
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2
Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeit bei 60-maligen Würfeln x mal eine 1 oder 2 zu Würfeln
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3
Dichtefunktion und Verteilungsfunktion
Dichtefunktion,
probability density function (pdf)
Verteilungsfunktion,
cummulative density function (cdf)
F ( xi )  P( X  xi )   f ( xk )
f ( xi )  P( X  xi )
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k i
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4
Erwartungswert und Varianz
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Erwartungswert und Varianz
Konkrete Messreihe
Theoretischer Wert
Mittelwert
1 n
m   xi
n i 1
Gewichteter Mittelwert
1 n
m   xi wi
mit
W i 1
Schätzung der Varianz
Erwartungswert
n
n
W   wi
  E{ X }   xi f ( xi )
i 1
i 1
n
 f (x )  1
i 1
i
Varianz
n
  E{( X   ) }   ( xi   ) 2 f ( xi )
2
n
1
ˆ 
( xi  m) 2

n  1 i 1
2
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2
i 1
 E{ X 2 }   2
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Diskrete Zufallsvariable
Eine diskrete Zufallsvariable X nimmt endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte an.
-
Werte:
x1 , x2 ,, xn ,
-
Wahrscheinlichkeit:
f ( x1 ), f ( x2 ),, f ( xn ),
P( X  xi )  f ( xi )
kontinuierliche Zufallsvariable X
Idee: Anzahl der Ereignisse n gegen unendlich, Wert des einzelnen Ereignisses gegen null.
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Binomialverteilung
Dichtefunktion,
probability density function (pdf)
Verteilungsfunktion,
cummulative density function (cdf)
F ( xi )  P( X  xi )   f ( xk )
f ( xi )  P( X  xi )
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k i
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Binomialverteilung
Dichtefunktion,
probability density function (pdf)
Verteilungsfunktion,
cummulative density function (cdf)
F ( xi )  P( X  xi )   f ( xk )
f ( xi )  P( X  xi )
Torsten Mayer-Gürr
k i
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Binomialverteilung
Dichtefunktion,
probability density function (pdf)
Verteilungsfunktion,
cummulative density function (cdf)
F ( xi )  P( X  xi )   f ( xk )
f ( xi )  P( X  xi )
Torsten Mayer-Gürr
k i
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10
Binomialverteilung
Dichtefunktion,
probability density function (pdf)
Verteilungsfunktion,
cummulative density function (cdf)
F ( xi )  P( X  xi )   f ( xk )
f ( xi )  P( X  xi )
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k i
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Binomialverteilung
Dichtefunktion,
probability density function (pdf)
Verteilungsfunktion,
cummulative density function (cdf)
F ( xi )  P( X  xi )   f ( xk )
f ( xi )  P( X  xi )
k i
Wahrscheinlichkeit
eines Einzelereignisses geht gegen null
Verteilungsfunktion
einer stetigen Zufallsvariable
x
F ( x)  P( X  x) 
 f (t ) dt

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Stetige Zufallsvariable
Eine stetige Zufallsvariable X hat eine nicht-negative integrierbare Dichtefunktion mit
x
F ( x) 
 f (t ) dt
dF ( x)
 f ( x)
dx

wobei F ( x)  P( X  x) die Verteilungsfunktion von X ist
Dichtefunktion
f ( x)  0

 f (t ) dt  1

Wahrscheinlichkeit
x
P( X  x)  F ( x) 
 f (t ) dt

b
P(a  X  b)  F (b)  F (a )   f (t ) dt
a
a
P( X  a )  F (a )  F (a )   f (t ) dt  0
a
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Stetige Zufallsvariable
Eine stetige Zufallsvariable X hat eine nicht-negative integrierbare Dichtefunktion mit
x
F ( x) 
 f (t ) dt
dF ( x)
 f ( x)
dx

wobei F ( x)  P( X  x) die Verteilungsfunktion von X ist
Dichtefunktion
f ( x)  0

 f (t ) dt  1

Wahrscheinlichkeit
x
P( X  x)  F ( x) 
 f (t ) dt

b
P(a  X  b)  F (b)  F (a )   f (t ) dt
a
a
P( X  a )  F (a )  F (a )   f (t ) dt  0
a
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Pail14
Erwartungswert und Varianz
Erwartungswert (diskret)
Erwartungswert (stetig)

n
  E{ X }   xi f ( xi )
  E{ X }   x f ( x) dx
i 1

Varianz (diskret)
Varianz (stetig)

n
  E{( X   ) }   ( xi   ) f ( xi )
2
2
  E{( X   ) }   ( x   ) 2 f ( x) dx
2
2
i 1
2

Erwartungswertoperator

E{}   () f ( x) dx

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Kontinuierliche Verteilungen:
Normalverteilung
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Normalverteilung
Definition: Die Zufallsvariable X bezeichnet man als normalverteilt mit den
Parametern 𝜇 und 𝜎 2 , abgekürzt geschrieben 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎 2 ), wenn ihre Dichte 𝑓(𝑥)
gegeben ist durch
2
2
1
f ( x,  ,  ) 
e ( x ) / 2 für    x  
 2
Verteilungsfunktion:
1
F ( x) 
 2
x
( t   )
e

2
/ 2 2
dt

Erwartungswert:

E{ X }   x f ( x) dx  

Varianz:

E{( X   ) }   ( x   ) 2 f ( x) dx   2
2

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Standardisierte Normalverteilung
Transformation:
- Zentrierung der Verteilung (Verschiebung entlang der x-Achse)
- Normierung der Verteilung (Division durch die Standardabweichung)
X ~ N (  , 2 )

Y
1

 X    ~ N (0,1)
Dichte der standardisierten Normalverteilung
1  12 x2
f ( x) 
e
2
Verteilungsfunktion
1
P( X  x)  F ( x) 
2
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x
e
1
 y2
2
dy

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Tabelle
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3-Sigma Regel
P(     X     )  F
(N )
(   )  F
(N )
(   )
     
( norm )       
 F ( norm ) 
F








Transformation
y :
1

x   
 F ( norm ) 1  F ( norm )  1
 0.841  0.159
 0.683  68%
P(   1  X    1 )  68.3%
P(   2  X    2 )  95.5%
P(   3  X    3 )  99.7%
Pail
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20
Mehrdimensionale
Zufallsvariablen
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Zweidimensionale Zufallsverteilung
Zweidimensionale stetige Zufallsvariable
x y
F ( x, y ) 
  f ( x, y) dy dx
  
Wahrscheinlichkeit (Verteilungsfunktion)
P ( X  x, Y  y )  F ( x, y )
Dichtefunktion
Pail
f ( x, y ) 0
 
  f ( x, y) dy dx  1

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22
Zweidimensionale Zufallsverteilung
Zweidimensionale stetige Zufallsvariable
x y
F ( x, y ) 
  f ( x, y) dy dx
  
Wahrscheinlichkeit (Verteilungsfunktion)
P ( X  x, Y  y )  F ( x, y )
Dichtefunktion
Pail
f ( x, y ) 0
 
  f ( x, y) dy dx  1

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Zweidimensionale Zufallsverteilung
Zweidimensionale stetige Zufallsvariable
x y
F ( x, y ) 
  f ( x, y) dy dx
  
Wahrscheinlichkeit (Verteilungsfunktion)
P ( X  x, Y  y )  F ( x, y )
P ( X  x )  F ( x,  ) 
x 
x
  f ( x, y) dy dx   f
x
( x) dx
Pail

  

Randverteilung f x ( x) 
 f ( x, y) dy

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Bedingte Wahrscheinlichkeit
Definition: Als bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) des Ereignisses A unter der
Bedingung, dass B eingetroffen ist, bezeichnet man das Verhältnis
P( A | B) 
P( A und B)
P( B)
15 rote, 5 blaue Kugeln
P( A und B)  P( A | B) P( B)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nach einer roten
ein blaue Kugel ohne zurücklegen zu ziehen?
rote Kugel:
P( A) 
15
20
blaue Kugel: P( B | A) 
5
19
P( A und B)  P( A) P( B | A) 
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15 5
  19,7%
20 19
25
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Definition: Als bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) des Ereignisses A unter der
Bedingung, dass B eingetroffen ist, bezeichnet man das Verhältnis
P( A | B) 
P( A und B)
P( B)
P( A und B)  P( A | B) P( B)
Bedingte Dichte
f ( x | y) 
f ( x, y )
f y ( y)
f ( x, y )  f ( x | y ) f y ( y )

mit der Randverteilung
f y ( y) 
 f ( x, y) dx

Sind die Ereignisse A und B voneinander unabhängig, gilt:
P( A und B)  P( A) P( B)
Zwei Zufallsvariablen sind genau dann voneinander unabhängig, falls gilt
f ( x, y )  f x ( x ) f y ( y )
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Erwartungswert &
Varianz/Kovarianz
(Tafel)
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Varianzfortpflanzung
(Tafel)
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Mehrdimensionale Zufallsverteilung
Mehrdimensionale stetige Zufallsvariable
x1 x2
F ( x1 , x2 ,, xn ) 
xn
   f (t , t ,, t ) dt dt
1

2
n
n
2
dt1

Wahrscheinlichkeit (Verteilungsfunktion)
P( X 1  x1 , X 2  x2 ,, X n  xn )  F ( x1 , x2 ,, xn )
Dichtefunktion
Pail
f ( x1 , x2 ,, xn ) 0
 

   f ( x , x ,, x ) dx dx
1

2
n
n
2
dx1  1

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Zufallsvektor
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Varianz / Kovarianz
Zufallsvektor
 x
 
x   y
z
 
Erwartungswert
Varianz-Kovarianzmatrix
 x 
 
E{x}  μ    y 
 
 z
  x2  xy  xz 


2
Σ{x}  Σ x    yx  y  yz 
2 

 zx  zy  z 
Mit der Dichte
f ( x )  f ( x, y , z )  0
und

 f (x) dx  1
Varianz
 x2  E{( X   x )( X   x )}  E{ X 2 }   x2
 y2  E{(Y   y )(Y   y )}  E{Y 2 }   y2


   f ( x, y, z ) dxdydz  1

Kovarianz
 xy  E{( X   x )(Y   y )}  E{ XY }   x  y
Kovarianz Operator
Σ{x}  E{( x  μ)(x  μ)T }
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31
Gravity Recovery and Climate Experiment
JPL
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32
Korrelationen
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33
Korrelationen
Torsten Mayer-Gürr
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34
Korrelationen
Varianz-Kovarianzmatrix
  112



2
 11




2

11

Σ{x}  
2


 11


2

11


2 

 11 

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35
Korrelationen
Varianz-Kovarianzmatrix
  112

  12

Σ{x}   13





Torsten Mayer-Gürr
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 12
 112
 12
 13
 13
 12
 112
 12
 13
 13
 12
 112
 12
 13
 13
 12
 112
 12





 13 

 12 
 112 
36
Polares Anhängen
Polares Anhängen
x
Gemessen
s  10 m  4 mm
t  40 gon  1 mgon
( x, y )
s
t
y
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Varianz / Kovarianz
Lineare Transformation
y  Bx  c
nx1
Zufallsvektor
mx1
Zufallsvektor
nx1
konstanter Vektor
n x m konstante Koeffizientenmatrix
Erwartungswert
E{y}  E{Bx  c}  BE{x}  c
Kovarianzmatrix
Σ{y}  Σ{Bx  c}  BΣ{x}BT
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Kovarianzfortpflanzung
Kovarianzfortpflanzung
Σ{y}  Σ{Bx  c}  BΣ{x}B
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T
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Kovarianzfortpflanzung
Beispiel: Differenz zweier Streckenmessungen
s1  253 cm  12  (4 mm) 2
s2  153 cm  22  (3 mm) 2
 s   153 
x   1   
 cm
 s2   253 
  12  12   (4 mm) 2
  
Σ x  
2 


0

 12
2 
s  s1  s2
(s )  Bx
mit
s  s1  s2  ?
B  1  1
0 

(3 mm) 2 
 (4 mm) 2
BΣ{x}B  1  1
0

T
0  1 
 
2 
(3 mm)   1
Varianz der Differenz
 2s   12   22  (5 mm) 2
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40
Kovarianzfortpflanzung
Beispiel: Mittelwert
1 n
1
1
1
s   si  s1  s2    sn
n i 1
n
n
n
 s1 
 
s 
x 2

 
 sn 
s  Bx
  12



2
2


Σx  
 diag( 12 , 22 ,, n2 )




2

n 

1
mit B  
n
1
1


n
n
 s2  BΣ{x}BT 
1 2
( 1   22     n2 )
2
n
Bei gleicher Varianz
1
1
  2 ( 12   22     n2 )  2 n 2
n
n
2
s
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s 
1
s
n
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41
Polares Anhängen
Polares Anhängen
x
Gemessen
s  10 m  4 mm
t  40 gon  1 mgon
( x, y )
Polares Anhängen
s
x  s  cost /  
t
y  s  sin t /  
mit  
200gon

y
 s   10 m 
x     

t
40
gon
  

  12  12   (0,004 m) 2
  
Σ x  
2 
  12  2   0 m  gon
 x   s  cost /    8,090 m 
y  
 



y
s

sin
t
/

5
,
878
m
  
 

Torsten Mayer-Gürr
0 m  gon 

2
(0,001gon ) 
Lineare Transformation?
y  Bx  c
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Kovarianzmatrix
Σ{y}  BΣ{x}BT
42
Polares Anhängen
1. Gemessen:
 s   10 m 
x     

t
40
gon
  

3. Berechnet:
 x   s  cost /  
y  



y
s

sin
t
/

  

5. Kovarianzmatrix
Σ{y}  BΣ{x}BT
2. Kovarianzmatrix:
  12  12   (0,004 m) 2
  
Σ x  
2 
  12  2   0 m  gon
0 m  gon 

2
(0,001gon ) 
4. Jakobimatrix
y  x s x t   cost /    s /  sin t /  

B

 
x  y s y t   sin t /   s /  cost /   
 0,8090  0,0923 m/gon 


0
,
5878
0
,
1271
m/gon


5. Kovarianzmatrix
 0,8090  0,0923 m/gon  (0,004 m) 2
Σ{y}  

0
,
5878
0
,
1271
m/gon

 0 m  gon
1,0481  10 5 m 2
 
5
2
 0,7596  10 m
Torsten Mayer-Gürr
0,8090
0,5878 
0 m  gon 



2

0
,
0923
m/gon
0
,
1271
m/gon
(0,001gon ) 

0,7596  10 5 m 2 

5
2
0,5544  10 m 
Ergebnis
x  8,090 m  3,2 mm
y  5,878 m  2,4 mm
09.12.2015
43
Drehung des
Koordinatensystems
Torsten Mayer-Gürr
Polares Anhängen
Polares Anhängen
x
x
( x, y )
y
s
t
y
Torsten Mayer-Gürr
09.12.2015
45
Drehmatrizen
Drehmatrix
 cos 
Q( )  
  sin 
sin  

cos  
Inverse Drehung
 cos 
Q ( )  Q( )  
 sin 
1
 sin  
  QT ( )
cos  
Allgemein: Orthogonale Matrix
(Rotation mit evtl. Spiegelung)
Q 1  QT
QT Q  I
QQT  I
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Polares Anhängen
Polares Anhängen
x
x'
( x, y )
y'
s
t
y
Drehung um Winkel t
y '  Qy
mit
Kovarianzmatrix
Σ{y '}  QΣ{y}QT
 QAΣ{x}AT QT
 cos t  sin  t  
Q






sin

t
cos

t


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Polares Anhängen
Drehung um Winkel t
y '  Qy
Nebenrechnung
 cost /   sin t /    cost /    s /  sin t /  
QA  


  sin t /   cost /   sin t /   s /  cost /   
mit
 cost /   sin t /   
Q

  sin t /   cost /  
0 
1


0
s
/



Kovarianzmatrix
Σ{y '}  QΣ{y}QT
 QAΣ{x}AT QT
0   s2 0  1
0 
1





2
0
s
/

0
s
/


 0  t 

  s2
 
 0


2
s   t  
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0
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Polares Anhängen
Polares Anhängen
x
Gemessen
x'
s  10 m  4 mm
t  40 gon  1 mgon
( x, y )
y'
s
Polares Anhängen
x  s  cost /  
t
y  s  sin t /  
mit  
200gon

y
Kovarianzmatrix
 x'    s2
Σ{ }  
 y'   0


2
s   t  
0
Durch Drehung des Koordinatensystems
kann man unkorrelierte Zufallsvariablen
erhalten!
b 

r 
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Fehlerellipse
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Beispiel: Strecke zwischen
Koordinaten
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Varianzfortplanzung im GaußMarkoff Modell (Tafel)
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