Begründen und Beweisen als Aufgabe

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Begründen und
Beweisen als Aufgabe
Benjamin Rudig & Sophie Winkelmann
„Muss das auch
bewiesen werden?
Das ist doch klar!“
a²+b²=c²
Übersicht






Arten des Begründens
Problem der Beweisbedürftigkeit
Argumentationsbasis
Exaktheit
Proofs without words
Leitideen und Kompetenzen
Arten des Begründens





Berufung auf eine Autorität
Deduktives Schließen
Reduktives Schließen
Induktives Schließen
Analogieschlüsse,
Wahrscheinlichkeitsaussagen
Berufung auf eine Autorität

Bestätigung der Richtigkeit einer Aussage
durch einen glaubwürdigen Zeugen

Bsp.: -Im Fremdsprachenunterricht durch
Rückgriff auf einen Muttersprachler
-Im Geschichtsunterricht durch Quellen
(Authentizität allerdings fraglich,
evtl. Verfälschung durch Subjektivität)
Deduktives Schließen

Anführen von Aussagen, die von B als
richtig angesehen werden und deren
Richtigkeit hinreichend für die Richtigkeit
von a sind

Bsp.: -Mathematikunterricht
-Medizin (Ausschüttung von Insulin
führt zu gewissen Reaktionen im
Körper)
Reduktives Schließen

Anführen von Folgerungen aus a, die von
B als richtig angesehen werden, deren
Richtigkeit aber nicht hinreichend für die
Richtigkeit von a ist.

Bsp.: -Geographie: Theorien über
Erdplattenverschiebungen aufgestellt und
mittels Experimenten bzw. Erdproben
deren Richtigkeit überprüft
Induktives Schließen

Anführen von Folgerungen aus a, die von
B als richtig angesehen werden. Wobei
man aus der Verifizierung von a an
einzelnen Elementen einer Manege auf die
Gültigkeit von a für alle Elemente dieser
Menge schließen kann.

Bsp.: -Naturwissenschaften: Erprobung einer
Aussage durch Experimente
Analogieschlüsse,
Wahrscheinlichkeitsaussagen

Anführen von Aussagen, die von B als
richtig angesehen werden und deren
Richtigkeit in einem gewissen, nicht
deduktiven Zusammenhang mit der
Richtigkeit von a steht.

Bsp.: -Sport: Entstehung des Muskelkaters
Beweisbedürftigkeit
Beweisen ist charakteristisch für die
Mathematik
Es existiert eine falsche Vorstellung des
Beweisens:
Hochschulbeweise sind der Standard
zu komplex für Schule
Keine Verwendung
 Es gibt eine breite Palette des
„Begründens“

Zweck des Begründens
Überzeugungsfunktion:
Durch den Beweis soll jemand von der
Richtigkeit einer Behauptung überzeugt
werden
 Zusammenhang stiftende Funktion:
Durch den Beweis soll erkannt werden,
dass etwas hergeleitet werden kann
VORSICHT: Verwechslung kann zu
Missverständnissen bei den Schülern
führen!

Argumentationsbasis
Definition:
Eine Menge von Aussagen, die als richtig
angesehen werden und Schlussweisen,
die als zulässig anerkannt werden.
Sie bildet das Fundament einer
Argumentation
 Es gibt verschiedene Arten des
Beweisens, die sich jeweils auf eine
bestimmte Argumentationsbasis beziehen.
Verschiedene Arten der
Argumentationsbasis
In der Höheren Mathematik an der Uni:
 Sätze und Beweise
 Auf niedrigerer Ebene in der Schule:
 Handlungen
 Bilder
 Realitätserfahrungen

Begründe:
1
1
3


2
4
4
Argumentationsbasen
1) Begründung: Das ist doch klar!
Behauptung gehört selbst zur
Argumentationsbasis
2) Alltagserfahrung als
Argumentationsbasis
½ Kg Butter und ¼ Kg Butter ergeben ¾
Kg Butter
3) Anschauung (Tortenbild) als Begründung
4) Rechenverfahren der Bruchrechnung
1
1
2
1
3




2
4
4
4
4
5) Erweiterungs- und Additionsregel
a
ca

b
c b
Und daraus folgt, dass
1
2

2
4
Zusammenfassung der
Argumentationsbasen
1)
2)
3)
4)
5)
Behauptung selbst als Bestandteil der
Argumentationsbasis
Alltagserfahrung
Abbildung
Rechenverfahren
Rechenregeln
Aufgabe: Ordnet eure Art der Begründung
einer der angegebenen
Argumentationsbasen zu!
Begründen im Unterricht
Argumentaitonsbasis hängt von der kognitiven
Struktur einer Person ab.
langfristiges Ziel des Unterrichts im Begründen:
Schüler sollen
1) die Unterschiedlichkeit der Ab erkennen.
2) lernen, die Ab des Lehrers zu verstehen.
Lehrer sollten auch versuchen, die von den
Schülern verwendeten Ab besser zu erkennen,
um die eigene verständlich machen zu können.
Begründen im Unterricht






Bis 8. Schuljahr:
Überzeugungsfunktion soll im
Vordergrund stehen
Verwickeln von Schülern in
Gesprächssituationen
Ab Klasse 9:
Argumentieren mit vorgegebener Ab
Schüler sollen Beweise niederschreiben
Exaktheit
1) Exaktheit bezieht sich immer auf eine
Argumentationsbasis
Abb. 1 exakter wie Abb. 2 in Bezug zur Ab
„Tortenbild“
 Beide Abbildungen nicht exakt in Bezug zu
Ab „Regelsystem der Bruchrechnung“

Exaktheit
2) Exaktheit hat zu tun mit Explikation der
Argumente
 Begründung umso exakter je detailierter
die einzelnen Begründungsschritte
ausgeführt werden
 Begründung umso exakter je deutlicher
der Bezug zur Argumentationsbasis
hergestellt wird
Begründe:
Eine natürliche Zahl ist genau
dann durch 9 teilbar, wenn
ihre Ziffernsumme durch 9
teilbar ist.
(in 2 Exaktheitsgraden)
Exaktheit von Begründungen


Begründung 1:
Begründung 2:

Begründung 3:

Begründung 4:

Begründung 5:
Aufführen von Beispielen
Spielmarken zeigen die
Behauptung für
zweistellige Zahlen
Geeignete Zerlegung
einiger natürlicher Zahlen
erstmals vollgültige
Begründung
Beschreibung des o.g.
Verfahrens mit Variablen
explizite Begründung für
alle zwei- und dreistelligen
Zahlen
Allgemeine explizite
Begründung für alle
n-stelligen Zahlen
Begründung 1
Bsp.:
 9 teilt
 9 teilt
 9 teilt
 9 teilt
 9 teilt
…
36
nicht 47
nicht 109
81
nicht 73
Begründung 2
Bsp: Die Zahl 26
Begründung 3
Dekadische Zahlendarstellung:
Bsp.:
 36 = 3 ∙ 10 + 6 = 3 ∙ 9 + 3 + 6
 43 = 4 ∙ 10 + 3 = 4 ∙ 9 + 4 + 3
 273 = 2 ∙ 100 + 7 ∙ 10 + 3 = 2 ∙ 99 + 7 ∙
9+2+7+3
…
Begründung 4
(Dasselbe Vorgehen wie bei Begründung 3,
aber verallgemeinert für zwei- bzw.
dreistellige Zahlen):


ZE = Z ∙ 10 + E = Z ∙ 9 + Z + E
HZE = H ∙ 100 + Z ∙ 10 + E = H ∙ 99 + Z ∙ 9
+H+Z+E
 Man erkennt dadurch die Richtigkeit der
Behauptung.
Begründung 5
Beweis allgemein für n-stellige Zahlen:
anan-1…a0 = an ∙ 10n + an-1 ∙ 10n-1 + … + a0
= an ∙(10n -1) + an-1 ∙(10n-1 -1) + … + an +
an-1 + … + a0
 Daraus folgt die Behauptung, da 10k -1
immer durch 9 teilbar ist
Exaktheit
Exaktheit kann in gewissen Graden
vorliegen
 Es gibt keine oberste Exaktheit
 Es gibt keinen Exaktheitsgrad der für alle
verbindlich ist. Man kann den jeweiligen
Exaktheitsgrad selbst wählen und zwar so,
dass er der jeweiligen Situation
angemessen ist.

Beweisen in der Schule
Beweisen ist auf jeder Schulart und
Schulstufe möglich
 Beweisen sollte Alltagsgeschäft werden
 Beweise und Begründungen können
Aufgaben angefügt werden:
Ermitteln Sie eine Nullstelle der Funktion f
mit f(x)=…
Im Intervall [x;y] und begründe, dass die
einzige Nullstelle von f in diesem Intervall
ist.

Proofs without words
Proofs without words
Sums of Integers
The Mediant Property
Sine of the Sum
Leitideen und Kompetenzen

Die Beweisführung sollte in allen Bereichen der
Mathematik Anwendung finden (keine spezielle
Leitidee im Vordergrund)

Kompetenzen: K1 (Mathematisch argumentieren)
K3 (Mathematisch modellieren)
K5 (mit Elementen der
Mathematik umgehen)
K6 (Kommunizieren)
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