Begründe

Begründen und Beweisen
Vorbereitungsseminar zum fachdidaktischen Praktikum APO 2003:
Aufgaben im Mathematikunterricht
Dozent: Prof. Dr. Anselm Lambert
WS 2008/2009
Referentinnen: Sarah Schröder & Kathrin Notte
Datum: 07. 01. 2009
„Muss das auch bewiesen werden?
Das ist doch klar!“
Überblick
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Arten des Begründens
Argumentationsbasen
Exaktheit von Begründungen
Allgemeingültigkeit von Begründungen
Begründen im Unterricht
Die zwei Funktionen
Vorschläge von Malle
Handout: Beispielaufgaben & Bildungsstandards
Literatur
Arten des Begründens
A will B die Richtigkeit einer Aussage a
erläutern. Hierfür gibt es verschiedene Arten des
Begründens:
1)
2)
3)
4)
5)
Berufung auf eine Autorität
Deduktives Schließen
Reduktives Schließen
Induktives Schließen
Analogieschlüsse, Wahrscheinlichkeiten
Argumentationsbasen
• „Aus empirischen Untersuchungen weiß man, dass
primitive Begründungen […] auf Schülerinnen und
Schüler oft überzeugender wirken als hochgeschraubte
Beweise.“ (Günther Malle)
• Wichtig ist der entsprechende Umgang mit Beweisen.
 Beweisen soll als eine Form des Begründens von
Aussagen (Behauptungen, Feststellungen) angesehen
werden.
Argumentationsbasen
• In der Mathematik wird häufig deduktives
Schließen verwendet, in den NW allgemein
induktives Schließen.
 Wichtig: Berücksichtung kritischer Rationalismus
• Um eine Aussage a durch Schließen begründen zu
können werden meist Aussagen b, c, d, … benötigt,
die als richtig angesehen werden.
=> Richtigkeitsnachweis von a
Argumentationsbasen
Argumentationsbasis =
Eine Menge von Aussagen, die als richtig angesehen
werden und Schlussweisen, die als zulässig
anerkannt werden.
Beweis bzgl. dieser Argumentationsbasis =
Eine Begründung auf Grund einer vorgegebenen
Argumentationsbasis.
Argumentationsbasen
Bsp.: Man begründe: ½ + ¼ = ¾.
Plenum
Argumentationsbasen
1. Erläuterung anhand von Butter
 Argumentationsbasis = Alltagserfahrung
2. Begründung anhand eines „Tortenbildes“
 Ab = Anschauung
3. ½ + ¼ = 2/4 + ¼ = ¾
 Ab = Rechenverfahren
4. Erweiterungsregel a/b = c*a/c*b und Additionsregel a/c + b/c =
(a+b)/c
Ab = Bruchrechenregeln
Argumentationsbasen
• Eignung einiger Aufgaben zu völlig
verschiedenartigen Begründungen:
•  http://www.schulebw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/s
ek1/geometrie/pyth/beweise
•  10 Beweismöglichkeiten für den Satz des
Pythagoras (Vektoren, Sehnen-Tangenten-Satz
etc.)
Argumentationsbasen
Probleme:
• Unsicherheit: „Worauf kann ich mich
berufen?“
• Unsicherheit: „Was wird erwartet?“
Exaktheit von Begründungen
• „Wie detailliert sind die einzelnen
Begründungsschritte ausgeführt?“
• „Wie weit reicht die Begründung?“
Exaktheit von Begründungen
Bsp.: Man begründe:
Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 9
teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 9
teilbar ist.
 Plenum (verschiedene Exaktheitsgrade)
Exaktheit von Begründungen
• Begründung 1: Aufführen von Beispielen
• Begründung 2: Spielmarken zeigen die Behauptung
für zweistellige Zahlen
• Begründung 3: Geeignete Zerlegung einiger
natürlicher Zahlen
erstmals vollgültige Begründung
• Begründung 4: Beschreibung des o.g. Verfahrens mit
Variablen
explizite Begründung für alle zweiund dreistelligen Zahlen
• Begründung 5: Allgemeine explizite Begründung für alle
n-stelligen Zahlen
Begründung 1
Bsp.:
• 9 teilt 36
• 9 teilt nicht 47
• 9 teilt nicht 109
• 9 teilt 81
• 9 teilt nicht 73
…
Exaktheit von Begründungen
• Begründung 1: Aufführen von Beispielen
• Begründung 2: Spielmarken zeigen die Behauptung
für zweistellige Zahlen
• Begründung 3: Geeignete Zerlegung einiger
natürlicher Zahlen
erstmals vollgültige Begründung
• Begründung 4: Beschreibung des o.g. Verfahrens mit
Variablen
explizite Begründung für alle zweiund dreistelligen Zahlen
• Begründung 5: Allgemeine explizite Begründung für alle
n-stelligen Zahlen
Begründung 2
Bsp: Die Zahl 26
Exaktheit von Begründungen
• Begründung 1: Aufführen von Beispielen
• Begründung 2: Spielmarken zeigen die Behauptung
für zweistellige Zahlen
• Begründung 3: Geeignete Zerlegung einiger
natürlicher Zahlen
erstmals vollgültige Begründung
• Begründung 4: Beschreibung des o.g. Verfahrens mit
Variablen
explizite Begründung für alle zweiund dreistelligen Zahlen
• Begründung 5: Allgemeine explizite Begründung für alle
n-stelligen Zahlen
Begründung 3
Dekadische Zahlendarstellung:
Bsp.:
• 36 = 3*10 + 6 = 3*9 + 9
• 47 = 4*10 + 7 = 5*9 + 2
• 273 = 2*100 + 7*10 + 3 = 2*99 + 7*9 + 2 + 7 + 3
…
Exaktheit von Begründungen
• Begründung 1: Aufführen von Beispielen
• Begründung 2: Spielmarken zeigen die Behauptung
für zweistellige Zahlen
• Begründung 3: Geeignete Zerlegung einiger
natürlicher Zahlen
erstmals vollgültige Begründung
• Begründung 4: Beschreibung des o.g. Verfahrens mit
Variablen
explizite Begründung für alle zweiund dreistelligen Zahlen
• Begründung 5: Allgemeine explizite Begründung für alle
n-stelligen Zahlen
Begründung 4
(Dasselbe Vorgehen wie bei Begründung 3,
aber verallgemeinert für zwei- bzw. dreistellige
Zahlen):
• ab = a*10 + b = a*9 + a + b
• abc = a*100 + b*10 + c = a*99 + b*9 + a + b + c
 Man erkennt dadurch die Richtigkeit der
Behauptung.
Exaktheit von Begründungen
• Begründung 1: Aufführen von Beispielen
• Begründung 2: Spielmarken zeigen die Behauptung
für zweistellige Zahlen
• Begründung 3: Geeignete Zerlegung einiger
natürlicher Zahlen
erstmals vollgültige Begründung
• Begründung 4: Beschreibung des o.g. Verfahrens mit
Variablen
explizite Begründung für alle zweiund dreistelligen Zahlen
• Begründung 5: Allgemeine explizite Begründung für alle
n-stelligen Zahlen
Begründung 5
Beweis allgemein für n-stellige Zahlen:
anan-1…a0 = an*10^n + an-1*10^n-1 + … + a0
= an*(10^n -1) + an-1*(10^n-1 -1) + … + an + an-1 + … + a0
 Daraus folgt die Behauptung, da 10^k -1
immer durch 9 teilbar ist.
Allgemeingültigkeit von Begründungen
Allgemeingültigkeit kann auf verschiedene
Weisen in verschiedenen Graden ausgedrückt
werden.
Im Bsp. wird die Allg. der Argumentation
fortlaufend expliziter ausgedrückt.
Begründen im Unterricht
Ab hängt von der kognitiven Struktur einer Person ab.
langfristiges Ziel des Unterrichts im Begründen:
Schüler sollen
1) die Unterschiedlichkeit der Ab erkennen.
2) lernen, die Ab des Lehrers zu verstehen.
Lehrer sollten auch versuchen, die von den Schülern
verwendeten Ab besser zu erkennen, um die eigene
verständlich machen zu können.
Begründen im Unterricht
Unterricht im Begründen kann als ein Bemühen
um eine gemeinsame Ab aufgefasst werden.
Übungen, um dieses Ziel langfristig zu erreichen:
1) Bewusstmachen von Ab und Arbeiten mit
vorgegebenen Ab
2) Bewusster Übergang von einer Ab zu einer
anderen für das gleiche Stoffgebiet
Begründen im Unterricht
Benutzte Beweismittel im Unterricht:
• Handlungen:
Messen, Ausschneiden, Umdrehen, usw.
Schlüsse werden nicht unbedingt bewusst
gemacht
• Beziehungen, z. B. zwischen Punkten, Geraden, …
Beide ergänzen einander
 Komplementarität von Handlungen und
Beziehungen
Begründen im Unterricht
Fazit: Unterscheidungen von math.
Begründungen
•
Art und Umfang der verwendeten Ab
•
Grad, mit dem die Allgemeingültigkeit der
Argumentation expliziert wird
•
Vorherrschen von Handlungs- oder
Beziehungselementen
Plenum
Begründe:
In jedem gleichschenkligen Trapez sind die
Diagonalen gleich lang
Die zwei Funktionen
• Überzeugungsfunktion (Demonstrative Fkt.)
 Überzeugung von der Richtigkeit einer
Behauptung
• Zusammenhang stiftende Funktion (Explorative
Fkt.)
 Erkenntnis von der Herleitung eines
Sachverhaltes aus einem anderen
 Verwirrung bei Unklarheit über Funktion!!!
Vorschläge von Malle
• Bis einschl. Kl. 8: Zentrale Bedeutung der
Begründungsfunktion, dann Forderung von
Argumentationen anhand vorgegebener Ab
• „Begründe!“  „Zauberwort“
Bedeutung des mathematischen Begründens für eine
lebenswichtige Begründungshaltung
(Allgemeinbildung)
Beispielaufgaben & Bildungsstandards
Handout
Literatur
• Fischer & Malle: Mensch und Mathematik.
Eine Einführung in didaktisches Denken
und Handeln. BI. 1985, S. 178-191.
• Lambert & Herget: Mächtig viel Mittelmaß
in Mittelwert-Familien. In: Der
Mathematikunterricht 50 (2004) 5, S. 5566.
• Malle: Begründen. In: mathematik lehren,
Heft 110, 2002, S. 4-8.
Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!