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508.535
Satellitengeodäsie
Newtonsche Axiome
Torsten Mayer-Gürr
Torsten Mayer-Gürr
Beispiel: Kreisbahn
y
x
Torsten Mayer-Gürr
10.03.2015
2
Beispiel: Kreisbahn
Position (Ortsvektor):
y
 R cos( t ) 


r (t )   R sin(  t ) 


0


r  x2  y 2  z 2  R
R sin( )
r

R cos( )
Torsten Mayer-Gürr
10.03.2015
x
3
Beispiel: Kreisbahn
Position (Ortsvektor):
y
 R cos( t ) 


r (t )   R sin(  t ) 


0


r
r  x2  y 2  z 2  R
r
Geschwindigkeit
  R sin( t ) 

dr (t ) 
r (t ) 
  R cos( t ) 
dt


0


x
r  x 2  y 2  z 2  R
Torsten Mayer-Gürr
10.03.2015
4
Beispiel: Kreisbahn
Position (Ortsvektor):
y
 R cos( t ) 


r (t )   R sin(  t ) 


0


r
r  x2  y 2  z 2  R
r
Geschwindigkeit
  R sin( t ) 

dr (t ) 
r (t ) 
  R cos( t ) 
dt


0


r
x
r  x 2  y 2  z 2  R
Beschleunigung
  R 2 cos( t ) 

d r (t ) 
2
r(t ) 
   R sin( t ) 
dt 2


0


2
r  x2  y2  z2  R 2
Torsten Mayer-Gürr
10.03.2015
5
Beispiel: Unbeschleunigte Bewegung
Beispiel
Beschleunigung:
r  0
r
Geschwindigkeit:
r (t )  r0  const
Position:
r (t )   r (t )dt  r0t  r0
a
d 
 
 
r (t)   b   t   e 
c
f
 
 
 a t  d 


  bt  e 
c t  f 


=> Gradlinig, gleichförmige Bewegung, die
bis auf 6 Integrationskonstanten eindeutig
ist.
Torsten Mayer-Gürr
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6
Beispiel: Konstante Beschleunigung
Beispiel
Beschleunigung:
r  g  const
z
r
Geschwindigkeit:
r (t )   r dt  g t  r0
Position:
r (t )   r (t ) dt   g t  r0 dt

g
x
1 2
g t  r0 t  r0
2
=> Die Bewegung ist eine Parabel,
die bis auf 6 Integrationskonstanten
eindeutig ist.
Torsten Mayer-Gürr
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7
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
Isaac Newton (1643-1723)
Torsten Mayer-Gürr
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8
Newtonsche Axiome
1. Axiom: Das Trägheitsprinzip („lex prima“)
„Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der
gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch
einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands
gezwungen wird.“
r (t ) 
2. Axiom: Das Aktionsprinzip („lex secunda“)
„Die Änderung der Bewegung einer Masse ist der
Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und
geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie,
nach welcher jene Kraft wirkt.“
p 
dr (t )
 const
dt
dp
F
dt
mit dem Impuls
p  mr
3. Axiom: Das Reaktionsprinzip („lex tertia“)
„Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A
auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio),
so wirkt eine gleichgroße, aber entgegen gerichtete Kraft
von Körper B auf Körper A (reactio).“
Torsten Mayer-Gürr
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Factio  Freactio
9
Newtonsche Axiome
Zusatz zu den Axiomen: Superpositionsprinzip
F  F1  F2    Fn
„Wirken mehrere Kräfte auf einen Massenpunkt,
so wirkt jede Kraft so, als wäre sie allein vorhanden.
Die Gesamtkraft ergibt sich durch Superposition.“
Torsten Mayer-Gürr
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10
Newtonsche Axiome
1. Axiom: Das Trägheitsprinzip
Kräftefreie Bewegung:
r (t ) 
dr (t )
 const
dt
=> Definiert die Bezugssysteme,
in denen die Axiome gelten:
=> Intertialsysteme sind gradlinig gleichförmig bewegt.
Torsten Mayer-Gürr
10.03.2015
11
Newtonsche Axiome
2. Axiom: Das Aktionsprinzip
p 
dp
F
dt
mit dem Impuls
p  mr
eingesetzt:
F  p 
dp d
 mr   mr  m r
dt dt
Für konstante Massen =>
Newton-Eulersche Bewegungsgleichung
F  mr
mit m: träge Masse
Torsten Mayer-Gürr
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12
Das Gravitationsgesetz
Torsten Mayer-Gürr
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13
Gravitationsgesetz
Positionen:
 x1 
 
r1   y1 
z 
 1
 x2 
 
r2   y2 
z 
 2
m2
z
r2
m1
r1
y
x
Torsten Mayer-Gürr
10.03.2015
14
Gravitationsgesetz
Positionen:
 x1 
 
r1   y1 
z 
 1
 x2 
 
r2   y2 
z 
 2
F12
m2
Distanz:
r2  r1  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2
z
r2
m1
r1
y
x
Torsten Mayer-Gürr
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15
Gravitationsgesetz
Gravitationskraft ist proportional
- zur schweren Masse der beiden Körper
~ m1, ~ m2
- zum Quadrat des reziproken Abstandes
~ 1 l2
F12
m2
mit l  r2  r1
- wirkt in Richtung der Verbindungsgraden
 e12  
r2  r1
r2  r1
z
r2  r1
r2  r1
3
y
mit der Gravitationskonstanten
G  6672  4  10
Torsten Mayer-Gürr
m1
r1
Gravitationskraft
F12  Gm1m2
r2
-14
m3
s 2 kg
x
10.03.2015
16
Gravitationsgesetz
Gravitationsgesetz
r2  r1
F12  Gm1m2
r2  r1
m

N

kg

s 2 
3
F12
m2
Newtonsche Bewegungsgleichung
m2r2  F
gleichsetzen
m2r2  Gm1m2
r2  Gm1
r2  r1
r2  r1
r2  r1
r2  r1
3
3
m

N

kg

s 2 
z
Torsten Mayer-Gürr
m1
r1
m
 s 2 
Feldstärke
g Q rP   GmQ
r2
y
rP  rQ
rP  rQ
3
x
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17
Feldstärke
Gravitationsgesetz
r2  r1
F12  Gm1m2
r2  r1
m

N

kg

s 2 
3
Newtonsche Bewegungsgleichung
m2r2  F
gleichsetzen
m2r2  Gm1m2
r2  Gm1
r2  r1
r2  r1
r2  r1
r2  r1
3
3
m

N

kg

s 2 
m
 s 2 
Feldstärke
g Q rP   GmQ
Torsten Mayer-Gürr
rP  rQ
rP  rQ
3
10.03.2015
18
Vektorfeld
Feldstärke:
g  rP   GmQ
rP  rQ
rP  rQ
3
 g x (r ) 


  g y (r ) 
 g (r ) 
 z 
Koordinatenunabhängig:
 gx 
 
gr   gx, y, z   g,, r    g y 
g 
 z
 gx 
 
g(1,4,0)   g y 
g 
 z
Torsten Mayer-Gürr
10.03.2015
 gx 
 
g(2,4,0)   g y 
g 
 z
19
Vektorfeld
Feldstärke:
g  rP   GmQ
rP  rQ
rP  rQ
3
 g x (r ) 


  g y (r ) 
 g (r ) 
 z 
Koordinatenunabhängig:
 gx 
 
gr   gx, y, z   g,, r    g y 
g 
 z
Torsten Mayer-Gürr
10.03.2015
20
Feldstärke
Feldstärke:
g  rP   GmQ
rP  rQ
rP  rQ
3
rP
Torsten Mayer-Gürr
10.03.2015
21
Feldstärke
Feldstärke:
g  rP   GmQ
grP   G
rP  rQ
rP  rQ

i
grP   G
rP  ri
rP  ri
 r r
3
 mi
3
  i  i
rP  ri
i
grP   G
3


P
Dichte
Volumen
rQ
i
rP  rQ
rP  rQ
Torsten Mayer-Gürr
rP
3
  (rQ )  d(rQ )
10.03.2015
22
Feldstärke aus Dichteverteilung
Feldstärke aus Dichteverteilung:
grP   G


gx, y, z   G
rP  rQ
rP  rQ




G


g  x, y , z     G


G








Torsten Mayer-Gürr
  (rQ )  d(rQ )
3
Aufpunkt:
Quellpunkt:
 x
 
rP   y 
z
 
u
 
rQ   v 
 w
 
 x u 


y

v

   (u, v, w)  du dv dw
3
2
2
2
( x  u )  ( y  v)  ( z  w)  z  w 


1

x
cx
x  u    



(
u
,
v
,
w
)

du
dv
dw
c
y

cy
3

   2
( x  u ) 2  ( y  v) 2  ( z  w
)

 
 z   cz 

y v
  (u, v, w)  du dv dw 
3
2
2
2

( x  u )  ( y  v)  ( z  w)

zw
  (u, v, w)  du dv dw 
3

( x  u ) 2  ( y  v) 2  ( z  w) 2

10.03.2015
23
Feldstärke aus Dichteverteilung?
Torsten Mayer-Gürr
10.03.2015
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