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508.535 Satellitengeodäsie Newtonsche Axiome Torsten Mayer-Gürr Torsten Mayer-Gürr Beispiel: Kreisbahn y x Torsten Mayer-Gürr 10.03.2015 2 Beispiel: Kreisbahn Position (Ortsvektor): y R cos( t ) r (t ) R sin( t ) 0 r x2 y 2 z 2 R R sin( ) r R cos( ) Torsten Mayer-Gürr 10.03.2015 x 3 Beispiel: Kreisbahn Position (Ortsvektor): y R cos( t ) r (t ) R sin( t ) 0 r r x2 y 2 z 2 R r Geschwindigkeit R sin( t ) dr (t ) r (t ) R cos( t ) dt 0 x r x 2 y 2 z 2 R Torsten Mayer-Gürr 10.03.2015 4 Beispiel: Kreisbahn Position (Ortsvektor): y R cos( t ) r (t ) R sin( t ) 0 r r x2 y 2 z 2 R r Geschwindigkeit R sin( t ) dr (t ) r (t ) R cos( t ) dt 0 r x r x 2 y 2 z 2 R Beschleunigung R 2 cos( t ) d r (t ) 2 r(t ) R sin( t ) dt 2 0 2 r x2 y2 z2 R 2 Torsten Mayer-Gürr 10.03.2015 5 Beispiel: Unbeschleunigte Bewegung Beispiel Beschleunigung: r 0 r Geschwindigkeit: r (t ) r0 const Position: r (t ) r (t )dt r0t r0 a d r (t) b t e c f a t d bt e c t f => Gradlinig, gleichförmige Bewegung, die bis auf 6 Integrationskonstanten eindeutig ist. Torsten Mayer-Gürr 10.03.2015 6 Beispiel: Konstante Beschleunigung Beispiel Beschleunigung: r g const z r Geschwindigkeit: r (t ) r dt g t r0 Position: r (t ) r (t ) dt g t r0 dt g x 1 2 g t r0 t r0 2 => Die Bewegung ist eine Parabel, die bis auf 6 Integrationskonstanten eindeutig ist. Torsten Mayer-Gürr 10.03.2015 7 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Isaac Newton (1643-1723) Torsten Mayer-Gürr 10.03.2015 8 Newtonsche Axiome 1. Axiom: Das Trägheitsprinzip („lex prima“) „Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird.“ r (t ) 2. Axiom: Das Aktionsprinzip („lex secunda“) „Die Änderung der Bewegung einer Masse ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.“ p dr (t ) const dt dp F dt mit dem Impuls p mr 3. Axiom: Das Reaktionsprinzip („lex tertia“) „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleichgroße, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ Torsten Mayer-Gürr 10.03.2015 Factio Freactio 9 Newtonsche Axiome Zusatz zu den Axiomen: Superpositionsprinzip F F1 F2 Fn „Wirken mehrere Kräfte auf einen Massenpunkt, so wirkt jede Kraft so, als wäre sie allein vorhanden. Die Gesamtkraft ergibt sich durch Superposition.“ Torsten Mayer-Gürr 10.03.2015 10 Newtonsche Axiome 1. Axiom: Das Trägheitsprinzip Kräftefreie Bewegung: r (t ) dr (t ) const dt => Definiert die Bezugssysteme, in denen die Axiome gelten: => Intertialsysteme sind gradlinig gleichförmig bewegt. Torsten Mayer-Gürr 10.03.2015 11 Newtonsche Axiome 2. Axiom: Das Aktionsprinzip p dp F dt mit dem Impuls p mr eingesetzt: F p dp d mr mr m r dt dt Für konstante Massen => Newton-Eulersche Bewegungsgleichung F mr mit m: träge Masse Torsten Mayer-Gürr 10.03.2015 12 Das Gravitationsgesetz Torsten Mayer-Gürr 10.03.2015 13 Gravitationsgesetz Positionen: x1 r1 y1 z 1 x2 r2 y2 z 2 m2 z r2 m1 r1 y x Torsten Mayer-Gürr 10.03.2015 14 Gravitationsgesetz Positionen: x1 r1 y1 z 1 x2 r2 y2 z 2 F12 m2 Distanz: r2 r1 ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2 z r2 m1 r1 y x Torsten Mayer-Gürr 10.03.2015 15 Gravitationsgesetz Gravitationskraft ist proportional - zur schweren Masse der beiden Körper ~ m1, ~ m2 - zum Quadrat des reziproken Abstandes ~ 1 l2 F12 m2 mit l r2 r1 - wirkt in Richtung der Verbindungsgraden e12 r2 r1 r2 r1 z r2 r1 r2 r1 3 y mit der Gravitationskonstanten G 6672 4 10 Torsten Mayer-Gürr m1 r1 Gravitationskraft F12 Gm1m2 r2 -14 m3 s 2 kg x 10.03.2015 16 Gravitationsgesetz Gravitationsgesetz r2 r1 F12 Gm1m2 r2 r1 m N kg s 2 3 F12 m2 Newtonsche Bewegungsgleichung m2r2 F gleichsetzen m2r2 Gm1m2 r2 Gm1 r2 r1 r2 r1 r2 r1 r2 r1 3 3 m N kg s 2 z Torsten Mayer-Gürr m1 r1 m s 2 Feldstärke g Q rP GmQ r2 y rP rQ rP rQ 3 x 10.03.2015 17 Feldstärke Gravitationsgesetz r2 r1 F12 Gm1m2 r2 r1 m N kg s 2 3 Newtonsche Bewegungsgleichung m2r2 F gleichsetzen m2r2 Gm1m2 r2 Gm1 r2 r1 r2 r1 r2 r1 r2 r1 3 3 m N kg s 2 m s 2 Feldstärke g Q rP GmQ Torsten Mayer-Gürr rP rQ rP rQ 3 10.03.2015 18 Vektorfeld Feldstärke: g rP GmQ rP rQ rP rQ 3 g x (r ) g y (r ) g (r ) z Koordinatenunabhängig: gx gr gx, y, z g,, r g y g z gx g(1,4,0) g y g z Torsten Mayer-Gürr 10.03.2015 gx g(2,4,0) g y g z 19 Vektorfeld Feldstärke: g rP GmQ rP rQ rP rQ 3 g x (r ) g y (r ) g (r ) z Koordinatenunabhängig: gx gr gx, y, z g,, r g y g z Torsten Mayer-Gürr 10.03.2015 20 Feldstärke Feldstärke: g rP GmQ rP rQ rP rQ 3 rP Torsten Mayer-Gürr 10.03.2015 21 Feldstärke Feldstärke: g rP GmQ grP G rP rQ rP rQ i grP G rP ri rP ri r r 3 mi 3 i i rP ri i grP G 3 P Dichte Volumen rQ i rP rQ rP rQ Torsten Mayer-Gürr rP 3 (rQ ) d(rQ ) 10.03.2015 22 Feldstärke aus Dichteverteilung Feldstärke aus Dichteverteilung: grP G gx, y, z G rP rQ rP rQ G g x, y , z G G Torsten Mayer-Gürr (rQ ) d(rQ ) 3 Aufpunkt: Quellpunkt: x rP y z u rQ v w x u y v (u, v, w) du dv dw 3 2 2 2 ( x u ) ( y v) ( z w) z w 1 x cx x u ( u , v , w ) du dv dw c y cy 3 2 ( x u ) 2 ( y v) 2 ( z w ) z cz y v (u, v, w) du dv dw 3 2 2 2 ( x u ) ( y v) ( z w) zw (u, v, w) du dv dw 3 ( x u ) 2 ( y v) 2 ( z w) 2 10.03.2015 23 Feldstärke aus Dichteverteilung? Torsten Mayer-Gürr 10.03.2015 24
