3.6.2008

Experimentelle Physik II
Sommersemester 08
Vladimir Dyakonov
(Lehrstuhl Experimentelle Physik VI)
VL#14
03-06-2008
Tel. 0931/888 3111
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Experimentelle Physik II
5. Das freie Elektronengas
5.1
Freie Elektronen
5.2
Pauli-Prinzip und Fermi-Dirac-Statistik
5.3
Spezifische Wärme von Metallelektronen
5.2 Pauli-Prinzip und Fermi-Dirac-Statistik
Pauli-Prinzip und Besetzung der Zustände
Bei T = 0 sind die N Elektronen des Elektronengases (Festkörpers) mit
Volumen V unter Beachtung des Pauli-Prinzips so auf alle Zustände zu
verteilen, dass die Gesamtenergie minimal wird:
D(E) ~√E
Alle Zustände besetzt bis zur → Fermi-Energie EF
5.2 Pauli-Prinzip und Fermi-Dirac-Statistik
Fermi-Dirac-Verteilung
Besetzungswahrscheinlichkeit eines elektronischen Zustands mit Energie
ε bei der Temperatur T:
f (" , T ) =
1
e
(" ! µ (T )) / kT
+1
µ(T) = chemisches Potential
N.B.:
Bei Metallen ist µ(T) ≈ µ(0) = EF
5.2 Pauli-Prinzip und Fermi-Dirac-Statistik
Zusammenhang zwischen EF, kF, und Elektronendichte n = N/V
N Elektronen im Volumen V:
"
! d# D(# ) f (# ,T ) =
0
N
V
→ Bestimmungsgleichung für chem. Potential µ(T) !
bei T = 0:
EF
!
0
d" D(" ) =
N
=n
V
Daraus folgt nach kurzer Umrechnung:
h2
EF =
(3! 2 n) 2 / 3
2m
k F = (3! 2 n)1 / 3
→ materialspez. Parameter:
Dichte n und Masse m
5.2 Pauli-Prinzip und Fermi-Dirac-Statistik
Typische Werte
Elektronendichte n
= 2….20 × 1022 cm-3
Fermi-Energie EF
= 1…10 eV
Fermi-Vektor kF
= 1….2 Å-1
Fermi-Geschwindigkeit vF = ħ kF / m
Fermi-Temperatur TF = EF / kB
= 1….2 × 106 ms-1 (~ % c)
= 10.000….100.000 K
"Entartungstemperatur":
für T > TF ist Fermi-Verteilung Boltzmann-artig
→ klassisches Gas
für T << TF ist Fermi-Verteilung Stufenfunktion
→ entartetes Quantengas
5.2 Pauli-Prinzip und Fermi-Dirac-Statistik
Zustandsdichte und mittlere Energie
Zustandsdichte:
1
D(") = 2
2#
( )
2m
h2
3/2
"
D( EF )
Zustandsdichte am Fermi-Niveau:
!
D(E F ) =
m 3
3" 2 n
2 2
" h
Mittlere Energie / Elektron:
!
EF
E gesamt V # 0 d" "D(") 3
"=
=
= EF
EF
N
V # d" D(") 5
0
!
3
EF
5