Aufgabe 1: Zeige, dass die Ebenen E1und E2 zueinander parallel

Aufgabe 1: Zeige, dass die Ebenen E1und E2 zueinander parallel sind;
berechne ihren Abstand:

 2   1 

    
E 1:  x   3      1   0
 1   1 

  


E1 : x1 – x2 + x3 = 0
Q(0/0/0)
E HNF2 :

12
E2 : -2x1 + 2x2 – 2x3 + 22 = 0
 2



nE2   2 
 2


E1
(-2x 1  2x 2 – 2x 3  22)

 6    2 
 

 
E 2 :  x    5    2   0
 0    2 


 


0

nE2 
 Q in EHNF2 =
Der Abstand der beiden parallelen Ebenen beträgt
11
3
12
22
12
(~6,35 LE)
3
Neutert Jan-Peter, K13
Aufgabe 1: Zeige, dass die Ebenen E1und E2 zueinander parallel sind;
berechne ihren Abstand:
Alternativlösung:

n E1
 1 


   1
 1 


g  E2
P (2 / 3 / 1)
2
 
3 
1
 
E1
 1 


s   1    2 x 1  2 x 2  2 x 3  22
 1 


F(
s in g eingesetzt:
17

2 
3


2
FP   3 

3

14
1
3


2
  
g : x  3 
1
 

 11


3


11
  

 3

 11


3










17
3
/


FP 
2
3
/
14
3
 11 
3*

3


 1 


s  1
 1 


...  s =
11
3
)
2
Neutert Jan-Peter, K13
Aufgabe 5: Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks:
A (1 , 1 , 1); B (7 , 4 , 7); C (5 , 6 , -1)
6

 
AB  3
6
 
g AB
1
6


 

: x  1  q  3 
1
6
 
 
 6q  4   6 

  
3
q

5

3  0
 6q  2   6 

  


 CX  AB  0
q in g eingesetzt:
: A Dreieck
 q 
1
3
 2



C X   4
 4 


3

 
X  2
3
 


CX • AB
Formel
 6q  4 



C X   3q  5 
 6q  2 


ABC
2
A Dreieck
36 •
ABC
81
 27
2
Der Flächeninhalt des DreiecksABC beträgt 27.
Neutert Jan-Peter, K13
Aufgabe 6: Gegeben sind die Geraden g und h.
a) Zeige, dass g und h windschief sind und bestimme den Abstand dieser Geraden.
 3 

 
g :x  0 
 2


 8 

 
h:x  6 
 7


 3 


 E : 0 
 2


E HNF :
 2


k 2 
 1 


 2 


q  1
 0 


 2


k 2  
 1 


 2 


q  1
 0 


x1  2 x 2  2 x 3  7
•gXh
• g windschief h
g  h   windschief
!
Aufspannen einer Hilfsebene mit g   h || E
in KF:
E : x1  2 x 2  2 x 3  7
Q in EHNF eingesetzt:
3
Der Abstand dieser Geraden beträgt 9.
 1 




nE   2   nE 
 2


9
 8



d 6 ,E   9
 7



Neutert Jan-Peter, K13
Aufgabe 6: Gegeben sind die Geraden g und h.
b) Bestimme die Fußpunkte K und Q auf h des gemeinsamen Lotes von g und h.
 3 

 
g :x  0 
 2


 2


k 2 
 1 


 8 

 
h:x  6 
 7


 2 


q  1
 0 


 2
 

X gX h   2   0
 1 



Xg

Xh
 3 2 k

  2k

 2 k
 8 2 q

  6q

 7

 2 
 

X gX h    1   0
 0 



 3  6q  9k  0





4  5q  6k  0

X gX h






 5 2 q  2 k

  6q 2 k

 5 k





k 1
q  2
Der Lotfußpunkt auf g ist K ( 1 , 2 , -1 ).
Der Lotfußpunkt auf h ist Q ( 4 , 8 , -7 )
Neutert Jan-Peter, K13
Aufgabe 6: Gegeben sind die Geraden g und h.
c) Berechne mit dem Ergebnis die Länge von KQ. Vergleiche mit a)
K ( 1 , 2 , -1 )
Q ( 4 , 8 , -7 )
 3 
 

KQ   6 
 6


Vergleich:
3

KQ  6 
3 ²  6 ²    6 ² 
81  9
6
Ergebnis c) = Ergebnis a)
( 2mal 90° Winkel )
Länge KQ errechenbar
1. durch die Entfernung der beiden Lotfußpunkte oder
2. durch Bildung einer Hilfsebene mit Stützvektor von g/h und
den beiden Richtungsvektoren der Geraden
Neutert Jan-Peter, K13