GEOMETRIE Grundlegende Techniken in Vektorgeometrie Vektor
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GEOMETRIE F. LEMMERMEYER Grundlegende Techniken in Vektorgeometrie −→ Vektor AB |~a| −→ −→ “B − A”; genauer: OB − OA √ Länge eines Vektors ~a = rs ist |~a| = r2 + s2 ; entsprechend in drei Dimensionen −→ Abstand von A Länge des Vektors AB und B −→ −→ −→ Mittelpunkt von “M = 12 (A + B)”; genauer OM = 21 (OA + OB) A und B −→ −→ −→ Gerade durch A ~x = OA + tAB: der Stützvektor OA zeigt auf einen und B Punkt der Geraden, der Richtungsvektor verbindet zwei Punkte. −→ Punktprobe Koordinaten von C in x einsetzen; C liegt auf der Geraden, wenn die Gleichung korrekt ist. −→ −→ −→ −→ Dreieck ABC zu AB = DC oder AD = BC Parallelogramm ABCD ergänzen Skalarprodukt Das Skalarprodukt Vektoren ist eine Zahl (Ska zweier lar)! Z.B. ist ab · dc = ac + bd. orthogonal Zwei Vektoren ~a und ~b stehen senkrecht wenn ihr Skalarprodukt ~a · ~b = 0 ist. Kreuzprodukt Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ~a und ~b ist ein Vektor, der senkrecht auf ~a und ~b steht. −→ −→ −→ Ebene durch A, B Parameterform ~x = OA+rAB +sAC; Stützvektor zeigt und C auf einen Punkt der Ebene, Richtungsvektoren verbinden zwei Punkte auf der Ebene. Normalenform Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren gibt den Normalenvektor ~n, der auf alle Vektoren in der Ebene senkrecht steht; Normalenform: (~x − p~) · ~n = 0. Koordinatenform a Hat die Ebene den Normalenvektor ~n = cb , so lautet die Koordinatenform ax1 + bx2 + cx3 = d. Wert von d: Einsetzen eines Punktes auf der Ebene. 2 F. LEMMERMEYER Geraden schneiden Gerade und Ebene schneiden Gleichungen gleichsetzen, Schnittpunkt, wenn alle Gleichungen korrekt sind. Ebene in Koordinatenform umwandeln; Koordinaten x1 , x2 , x3 aus der Geraden ablesen und in die Ebene einsetzen. Ebenen schneiden entweder a) die Koordinaten aus der Parameterform der ersten in die Koordinatenform der zweiten Ebene einsetzen, das Resultat nach einem Parameter auflösen und in die Parameterform einsetzen; oder b) beide in Koordinatenform umwandeln und z.B. x3 = t setzen . . . Lotfußpunkt von Lotgerade durch P (Richtungsvektor ist Normalenvektor P auf Ebene E von E) mit E schneiden Lotfußpunkt von Lotebene durch P (Normalenvektor ist der RichtungsP auf Gerade g vektor von g) mit g schneiden −→ Spiegeln von A an Punkt P Spiegeln von A an Ebene E Spiegeln von A an Gerade g Spiegeln von Gerade g Spiegeln von Ebene E Lage von Geraden Lage von Gerade und Ebene −→ −→ OA0 = OA + 2AP . Spiegeln von A am Lotfußpunkt Spiegeln von A am Lotfußpunkt Spiegeln von zwei Punkten auf g Spiegeln von drei Punkten auf E Schneiden; Richtungsvektoren parallel oder senkrecht? Schneiden; kein Schnittpunkt: parallel; 0 = 0: Gerade liegt in E. Richtungsvektor ~u parallel zum Normalenvektor ~n: Gerade und Ebene sind parallel. Abstand Punkt - Punkt in Hessenormalform einsetzen; oder: Abstand von Ebene Punkt und Lotfußpunkt. Abstand Punkt - Abstand von Punkt und Lotfußpunkt. Gerade Abstand zweier Hilfsebene E durch g parallel zu h; dann Abstand von Geraden g und h Punkt auf h zu E mit HNF ~ Winkel zwischen cos α = |~a~a|·|·b~b| zwei Vektoren Winkel zwischen Winkel zwischen den Richtungsvektoren zwei Geraden Winkel zwischen Winkel zwischen den Normalenvektoren zwei Ebenen Winkel zwischen 90◦ - Winkel zwischen Richtungsvektor und NormalenEbene und Gera- vektor de
