Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben

Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben Geometrie
Dies sind hauptsächlich Hinweise, wie die Aufgaben zu lösen sind.
1a) Gilt, falls der Richtungsvektor der Gerade senkrecht auf dem Normalenvektor der Ebene steht.
Alternativ: Zahl der gemeinsamen Punkte durch Einsetzen von g in E prüfen.
b) Abstand eines beliebigen Punktes der Geraden (z.B. Aufpunkt) zur Ebene berechnen.
2a) Abstand des Punktes (0|0|0) zu den Ebenen.
b) Abstand eines beliebigen Punktes einer Ebene zur anderen Ebene. Finden eines Punktes: Einsetzen
von zwei beliebigen Werten für und in die Ebenengleichung und Berechnen von .
3) Ansatz:
(Menge aller zu E parallelen Ebenen) und Berechnen von a mit
Abstandsformel aus Merkhilfe (Abstand zum Punkt (0|0|0) soll 9 sein).
4) Abstand von einem Punkt einer Geraden (z.B. Aufpunkt von g) zur anderen Geraden berechnen.
5a) Richtungsvektor und Normalenvektor müssen parallel sein.
b) Richtungsvektor und Normalenvektor müssen senkrecht aufeinander stehen. Außerdem dürfen sie
keinen Punkt gemeinsam haben.
c) Am einfachsten: Beide Aufpunkte identisch.
6) Schnittgerade durch Umformen von in Koordinatendarstellung und „Lösen“ des
Gleichungssystems. Jede Gerade, die parallel zur Schnittgeraden ist, ist parallel zu beiden Ebenen.
7 a)Sie sind symmetrisch zu E, wenn beide den gleichen Lotfußpunkt auf E besitzen und von diesem
den gleichen Abstand haben.
c) Lotfußpunkt von P auf E berechnen, P* hat den gleichen Abstand zum Lotfußpunkt, liegt aber auf
der anderen Seite von E.
8) Alle drei Ebenen in die Koordinatendarstellung umrechnen, Gleichungssystem aufstellen (3
Gleichungen, 3 Unbekannte), lösen  Punktkoordinaten.
9a) Abstand von Q zu g berechnen (Ergebnis: 6).
b) Ebene E zuerst in Parameterform aus Aufpunkt und Richtungsvektor von g und z.B. dem
Verbindungsvektor des Aufpunkts von g und Q bestimmen. Dann Normalenvektor berechnen und
damit den Winkel zwischen k und E.
c) Da die Pyramide gerade ist, muss die Spitze mittig zwischen den parallelen Geraden g und h liegen,
außerdem laut Aufgabenstellung auf k. Man erstellt also eine Ebene F, die senkrecht zu E und genau
zwischen g und h verläuft, und schneidet diese mit k, der Schnittpunkt ist die Spitze S - Ergebnis:
.
(Für die Ebene F nimmt man als Aufpunkt den Mittelpunkt zwischen Q und dem Lotfußpunkt, den
man in Aufgabe a) berechnet hat - Ergebnis:
. Als Normalenvektor kann der
Verbindungsvektor von Q und dem Lotfußpunkt verwendet werden.)
Aus den Koordinaten der Spitze berechnet man den Lotfußpunkt auf E – Ergebnis: L(2|0|1). Dieser ist
Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche, deren Eckpunkte auf g und h liegen.
10) Am besten Vektordarstellung der Normalenform mit Normalenvektor von E und aus Aufpunkt D.
11b) Betrag aller drei Verbindungsvektoren berechnen.
c) Raute: Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten. Z.B: ⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ und ⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
.
d) Lage der Geraden in Bezug auf Raute: Raute liegt in Ebene E aus Aufgabe a), also z.B. gegenseitige
Lage von g und E prüfen oder sehen, dass Normalenvektor=Richtungsvektor  g senkrecht zu E.
Volumen: Der Flächeninhalt der Raute nach bekannter Formel aus Q11; die Höhe der Pyramide ergibt
sich aus Schnittpunkt von g mit E und dessen Abstand zu S.
12) Die jeweiligen Kreuzprodukte müssen parallel zum Normalenvektor sein.
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