Aufgaben - schule.at

Grundaufgaben zur Wahrscheinlichkeit
I. Permutation und Kombination - Zählverfahren … nur unterschiedliche Elemente
Permutationen behandeln mögliche ANORDNUNGEN
Kombinationen behandeln mögliche AUSWAHLEN
nPr
Reihenfolge ist wichtig AB ≠ BA
nCr Reihenfolge unwichtig, beliebig AB = BA
1) Aufgaben zum Modellieren und sicheren Berechnen
AB Sitzplan
Eine Klasse hat 21 Schüler. Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen Sitzplan mit 21 Plätzen zu entwerfen.
Lösung:
Für die Besetzung jedes Platzes gibt es 21 Möglichkeiten. Ist der 1. Platz besetzt, dann gibt es nur mehr 20
etc. n = r …die gesamte Klasse
21∙20∙19∙ …. = 21! oder 21P21 = 5,1 ∙ 1019
AB Bilder
Berechnen Sie die Anzahl, wie oft 10 Bilder B1 bis B10 unterschiedlich aufgehängt werden.
Lösung:
10P10 = 3628800
AB Positionen
In der Klasse mit 21 Schülern sollen drei Positionen besetzt werden. Klassensprecher, 1. Stellvertreter,
2. Stellvertreter. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Lösung:
Permutation von n = 21 Elementen zur Klasse r = 3.
Die 1. Position zu besetzen gibt es 21 Möglichkeiten, die 2. hat nur mehr 20, die 3. Position 19.
Daher 21 ∙ 20 ∙ 19 = 7 980.
oder 21 P3 = 7 980
oder mit der Formel
21!
n!
= 7 980

nPr =
n -r ! 18!
AB Gruppenleiter
Man soll aus 30 Personen 4 zufällig auswählen als Gruppenleiter, 1. Assistent, 2. Assistent, 3. Assistent.
Wie viele unterschiedliche Möglichkeiten der Auswahl gibt es.
30P4 = 657 720
AB Gruppe auswählen
3 Schülerinnen einer Klasse sollen in die Direktion kommen.
Wie viele Auswahlmöglichkeiten gibt es?
Lösung:
Kombination von n = 21 Elementen zur Klasse r = 3
21C3 = 1 330
1
Oder man versteht es als abgespeckte Permutation, aus der man die Reihenfolgemöglichkeiten r! entfernt:
21P3
=1 330
3!
oder als Formel:
n!
= 1 330
21C3 =
 n - r ! r!
AB Nachtschicht
Aus 50 Fahrern einer Firma werden 10 nach Zufallsprinzip für einen Sondertransport ausgewählt.
Berechne, wie viele Möglichkeiten es gibt, unterschiedliche Fahrer zu wählen?
Lösung
10
50 C 10 = 1,027 ∙ 10
AB Fußball
Eine Fußballmannschaft besteht bekanntlich aus 11 Spielern Der Trainer will für Elfmeterschießen 4 Spieler
aus seiner Mannschaft auswählen. Wie viele Möglichkeiten hierfür gibt es?
Lösung: Kombination 4 aus 11
11C4 =330
AB Rennen
Aus einer Menge von 20 Personen sollen 8 Personen ausgewählt werden, die an einem Rennen
teilnehmen. Wie viele Möglichkeiten der Auswahl gibt es?
Lösung:
20C8 = 125 970
AB Komitee
In einer Organisation arbeiten 6 Männer und 9 Frauen.
Es soll ein Komitee bestehend aus 2 Männern und 3 Frauen gebildet werden.
Berechne die Zahl der Möglichkeiten.
Lösung: 2 aus 6 UND 3 aus 9
6C2 ∙ 9C 3 = 15 ∙ 84 = 1260
ABD Hotelgäste
In einem Hotel sind 10 freie Einzelzimmer. 5 Hotelgäste sollen untergebracht werden.
Berechnen Sie, auf wie viele Arten das möglich ist.
Erklären Sie Ihren Ansatz.
Lösung: Der 1. Gast hätte 10 Möglichkeiten, der 2. 9. der 3. 8 usw. der 4. 7, der 5. 6 daher
Zahl der Möglichkeiten: 10∙9∙8∙7∙6
Dies entspricht 10! / 5! = 30 240 Möglichkeiten
2
2) Vermischte Aufgaben
A,B,D Lotto
Im Lotto-Spiel „6 aus 45“ werden bei jeder Ziehung aus den Zahlen 1 bis 45 sechs Zahlen zufällig
ausgewählt. Angenommen, jemand kreuzt auf dem Spielschein 6 Zahlen an.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für diesen Spieler bei der Ziehung 6 Richtige zu tippen.
b) In Deutschland werden beim Lotto 6 aus 49 Zahlen gezogen.
Argumentieren Sie, wo die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige größer, in Deutschland oder in
Österreich.
Lösung:
6 5 4 3 2 1
1



 

 0,00000012  1,2  10  7
45
44
43
42
41
40
8145060
a)
5
ebenfalls richtige Lösungen: 1,2 10 % oder ~ 0,12 ppm
b) Begründung durch Rechnung: 6 aus 49:
6 5 4 3 2 1
1
P(6) 






 0,00000007  7  10  8  1,2  10 7
49 48 47 46 45 44 13983816
Die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige ist in Österreich größer als in Deutschland.
ABD Mitglieder
Eine Organisation hat 30 Mitglieder.
a) Berechne die Anzahl der Möglichkeiten, um einen Vorsitzenden, einen Stellvertreter, einen Schriftführer
und einen Kassier zu wählen, wenn nur ein Amt auf eine Person fallen darf.
b) Argumentiere, ob es einen Unterschied in den Möglichkeiten gibt, wenn sich das Leitungskomitee aus 4
Personen zusammensetzt und jede Person alle 4 Funktionen ausfüllen kann. Berechne den Unterschied.
Lösung
a) 30 ∙ 29 ∙28 ∙27 = 657 720
b) In diesem Falle kommt es nicht auf eine Reihenfolge an. Es wird daher weniger Möglichkeiten geben.
Das vorherige Ergebnis kann durch die „Reihenfolgemöglichkeiten“ 4! dividiert werden.
657 720 : 4! = 30 C4 = 27 405
BD Praktikum
Im Praktikum müssen Betreuer für 6 Schülerinnen zugeteilt werden. Es stehen 3 Betreuer zur Verfügung,
jeder Betreuer soll genau 2 Schülerinnen betreuen.
Petra hat das so gelöst: Zahl der möglichen Zuteilungen: 6! / 2³
Erklären Sie, wie man zu dieser Formel kommt. Berechnen Sie die Zahl.
Lösung:
Der 1. Betreuer hat 2 aus 6 Schülerinnen zur Auswahl UND der 2. Betreuer dann nur mehr 2 aus 4 UND der
3. Betreuer nur mehr 2 aus 2. Daher 6C2 ∙ 4C2 ∙ 2C2. Schreibt man das aus, so erhält man:
6 5 4 3 2 1 6!


  90
2 2 2 2³
ABD Ländervertreter
3
Aus einer Gruppe von 5 Wienern, 10 Tirolern und 6 Salzburgern sollen 2 Personen aus verschiedenen
Bundesländern ausgewählt werden.
Berechnen Sie die Zahl der möglichen Kombinationen.
Erklären Sie Ihren Ansatz.
Lösung: Man kann (1 aus 5 UND 1 aus 10) ODER (1 aus 5 UND 1 aus 6) ODER (1 aus 10 UND 1 aus 6)
auswählen.
5C1 ∙ 10C1 + 5C1 ∙ 6C1 + 6C1 ∙ 10C1 = 50 + 30 + 60 = 140
ABD Klassenzuordnung
12 Schüler einer Schulstufe melden sich neu an einer Schule an und sollen nun auf 3 Klassen a, b und c
aufgeteilt werden. Klasse a erhält 3, b erhält 4 und c erhält 5 Schüler.
Wie viele Varianten gibt es?
Erklären Sie Ihren Ansatz.
Lösung:
3 aus 12 UND 4 aus den restlichen 9 UND 5 aus den restlichen 5. Daher
Möglichkeiten = 12C3 ∙ 9C4 ∙ 5C5 = 27 720
ABD Ausschuss
Aus einer Gruppe von 8 Personen aus Vorarlberg, 5 aus Kärnten und 3 aus der Steiermark soll ein
Viererausschuss zufällig ausgewählt werden.
Argumentieren Sie, ob es sich in den folgenden Teilaufgaben um Permutationen oder Kombinationen
handelt.
Berechnen Sie die gesuchten Zahlen.
a) Wie viele Varianten gibt es insgesamt, wenn alle 3 Bundesländer vertreten sein sollen?
b) Wie viele Varianten enthalten nur Vorarlberger?
c) Wie viele Varianten enthalten keinen Vorarlberger?
Lösung: Es handelt sich in allen Aufgaben um Kombinationen oder auch um eine Zusammensetzung von
Kombinationen , weil die Reihenfolge bei der Auswahl keine Rolle spielt.
a) 2 aus 8 UND 1 aus 5 UND 1 aus 3 oder 1 aus 8 UND 2 aus 5 UND 1 aus 3 oder 1 aus 8 UND 1 aus 5 UND 2
aus 3 = 8C2 ∙ 5C1 ∙ 3C1 +8C1 ∙ 5C2 ∙ 3C1 + 8C1 ∙ 5C1 ∙ 3C2 = 780
b) 4 aus 8 = 70
c) 1 aus 5 UND 3 aus 3 oder 2 aus 5 UND 2 aus 3 oder 3 aus 5 UND 1 aus 3 oder 4 aus 5 = oder einfach auch
4 aus 8 = 70
4
II. Laplace Definition der Wahrscheinlichkeit und statistische Definition der Wahrscheinlichkeit
Laplace: P(E) = g (E) : m (E)
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses:
Verhältnis der für das Auftreten eines Ereignisses E günstigen Fälle zu den insgesamt möglichen Fällen.
Statistik: entspricht im Grunde genommen der Laplace-Wahrscheinlichkeit, nur werden die möglichen und
günstigen Fälle aus der Daten-Tabelle entnommen.
P(E) = hn (E) ; n … Anzahl der Messdaten
Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer bestimmten Wahrscheinlichkeit entspricht der relativen
Häufigkeit. Voraussetzung: Viele Messdaten!
AB Fremdsprachen
Von den 50 Mitarbeitern einer Firma sprechen 10 keine Fremdsprache, 25 nur Englisch, 10 nur Russisch und
5 Englisch und Russisch.
a) Stellen Sie die Situation in einer Skizze dar, (falls Mengendiagramm bekannt ist)
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mitarbeiter
i.
beide Fremdsprachen spricht,
ii.
Englisch spricht,
iii.
nicht Russisch spricht,
iv.
mindestens eine Fremdsprache spricht
Lösung: a)
b)
i. g : m = 5 : 50 = 0,1 = 10%
ii. g : m =30 : 50 = 0,6 = 60%
iii. g : m = 35 : 50 = 0,7 = 70%
iv. mindestens 1 bedeutet: 1 oder 2
1 sprechen 35, 2 sprechen 5 also g : m = 40 : 50 = 0,8 = 80 %.
oder alle minus keine: 1 - 10 : 50 = 0,8 = 80%
ABCD Familienfest
Auf einem Familienfest befinden sich 5 Männer, 6 Frauen und 9 Kinder.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einer Gruppe von 7 zufällig ausgewählten Personen
2 Männer, 3 Frauen und 2 Kinder befinden.
Erklären und dokumentieren Sie Ihre Rechenschritte.
Lösung:
Alle möglichen Fälle berechnet man als Kombination von 7 aus insgesamt 20 Personen.
Die Zahl der im Sinne der Aufgabe „günstigen“ Fälle ist eine Zusammensetzung von Kombinationen.
5
20C7
= 77 520 … mögliche Fälle
Männer: 2 aus 5; Frauen: 3 aus 6; Kinder: 2 aus 9 sind mit UND verbunden
5C2 ∙ 6C3 ∙ 9C2 = 7 200
g : m = 7 200 : 77 520 = 9,3 %
ABCD Stoffballen
Von 40 fertig genähten Vorhängen weisen erfahrungsgemäß 6 Vorhänge kleine Nähfehler auf.
Eine Schneiderin überprüft 5 zufällig ausgewählte Vorhänge.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Schneiderin 2 Vorhänge mit Fehlern findet.
Erklären und dokumentieren Sie Ihre Rechenschritte.
Lösung:
Man geht davon aus, dass Gleichwahrscheinlichkeit herrscht, es sind 6 defekte und 34 fehlerfreie Vorhänge
in der Menge von 40 vorhanden.
Man wählt 5 zufällig aus, wie viele Möglichkeiten gibt es, dass darunter 2 defekte und 3 fehlerfreie sind.
Gesamte Möglichkeiten: 5 aus 40: 40C5 = 658 008 … alle möglichen Fälle
defekte: 2 aus 6; fehlerfreie 3 aus 34
6C2 ∙ 34C3 = 89 760
P(x = 2 defekte in 5) = 89 760: 658 008 = 0,1364 ≈ 13,6%
ABCD Angestellte
In einer Firma sind 500 Beschäftigte mit den folgenden „Merkmalen“:
|Bundesland
Tirol
Steiermark
Wien
Männer
150
75
50
Frauen
100
25
100
Man wählt eine Person zufällig aus. Wie wahrscheinlich ist diese Person eine Frau, wie wahrscheinlich ein
Mann wie wahrscheinlich kommt er/ sie nicht aus Wien?
Dokumentiere und erkläre deine Vorgangsweise.
Lösung:
Zunächst ergänzt man die Tabelle, um zur relativen Häufigkeit zu gelangen:
|Bundesland Tirol
Steiermark Wien
Summe
Männer
150
75
50
275
Frauen
100
25
100
225
250
100
150
500
Die relative Häufigkeit erhält man als Verhältnis der Fälle der gefragten Merkmalsausprägung zur
Gesamtzahl der Personen in der Firma.
P(X = Frau) = 225 : 500 = 45 %
P(X = Mann) = 275: 500 = 55 %
P(X nicht Wien) = (500 – 150 ) : 500 = 70 %
6
3. Wahrscheinlichkeit mit Pfadregeln (Baumgraphen)
AB Fischen
Bei einem Spiel fischt man kleine Dosen. In jeder 7. Dose ist 1 Euro.
a) Stellen Sie die Situation grafisch in einer Skizze dar.
b) Berechnen Sie, wie viele Dosen vorhanden sein müssen, damit man mit 95% Wahrscheinlichkeit
mindestens 1 Euro bekommt
Lösung:
a)
b) g … n/7 , m … n P(1€) = 1/7 beim 1. Zug, P(0€) = 6/7
P (mindestens 1 € ) = 1- P( 0 €) = 1 - (6/7) n = 0,95
 19,43 ca 20 Dosen!
AB Ostereier
In einem Korb liegen 6 rote, 4 blaue und 2 grüne Ostereier. Jemand nimmt ohne Hinschauen 2 Eier heraus.
a) Berechnen Sie, wie wahrscheinlich es ist, dass beide die gleiche Farbe haben.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei rot, das andere grün ist.
c) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm nur mit jenen Ästen, die man für die Lösung der Frage benötigt, wie
wahrscheinlich man 2 Eier mit unterschiedlicher Farbe zieht.
Lösung:
a) Modellieren, Operieren
Pfadregeln: (30 + 12+2) / 132 = 1/3 ≈ 33%
b) Modellieren, Operieren
Pfadregel: 12/132 + 12/132 = 18,2%
c) Modellieren
ABC Jeans
Jeans werden in 3 Paketen geliefert. Im ersten befinden sich 6 Jeans, im zweiten 5 Jeans und im dritten
7 Jeans. In jedem Paket erwartet man, dass 1 Jeans leicht beschädigt ist.
a) Jedem Paket wird genau eine Jean entnommen. Unter diesen drei Jeans sind keine beschädigten.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis.
b) Die insgesamt 18 Jeans werden bei einem 2. Transport in einem Paket geliefert, das 3 defekte Jeans
enthält. Dem Paket werden 3 Jeans entnommen. Unter diesen drei Jeans sind 2 defekte.
d … defekt, nd … nicht defekt
Beschreiben Sie ohne Rechnung die erforderlichen Lösungsschritte bzw. Rechenregeln, die zur
Ermittlung der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses notwendig sind.
Ergänzen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die Einzelziehungen in der Grafik.
7
Lösung:
a) Ereignis E = „keine beschädigten Jeans in der Auswahl“
nd … nicht defekt
5 4 6 120
P(E) =   
 57%
6 5 7 210
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „keine beschädigten Jeans in der Auswahl“ betragt ca. 57 %.
b) Um die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis – genau 2 defekte Jeans befinden sich in der Auswahl
– zu ermitteln, sind folgende Schritte notwendig:
1. Die zu dem Ereignis gehörenden Pfade ermitteln: d … defekt, nd … nicht defekt
P(d, d, nd) = P(d) ∙ P(d) ∙ P(nd)
P(d, nd, d) = P(d) ∙ P(nd) ∙ P(d)
P(nd, d, d) = P(nd) ∙ P(d) ∙ P(d)
2. Addieren der Wahrscheinlichkeiten
P(E) = P(d, d, nd) + P(d, nd, d) + P(nd, d, d)
AB Testgruppe
Eine Gruppe von 240 Schülern wird am BIFIE einem Mathematik-Probetest unterzogen.
Von 176 Schülern, die positiv getestet worden sind, haben 148 die Matura positiv bestanden.
Von denen, die den Test nicht bestanden haben, konnten 20 die Matura trotzdem positiv bestehen.
a) Erstellen Sie ein passendes Baumdiagramm
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Schüler die Matura bestehen, wenn sie auch die BIFIETestung positiv bestehen und jene, wenn sie den BIFIE-Test nicht bestehen.
Lösung: a)
148 176
20 64

 x  x = 84,09%

 y  y = 31,25%
240 240
240 240
Einfache Lösung anhand einer Tabelle: rote Zahlen berechnen.
Summe
M+
MP(T+ und M+) = 148 : 176 = 84,09 %
b) Mit Pfadregel:
T+
TSumme
148
20
168
28
44
72
176
64
240
P(T- und M+) = 20 : 64 = 31,25 %
8