1 Eine Münze wird dreimal geworfen. a) Zeichnen Sie das

Test
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Eine Münze wird dreimal geworfen.
a) Zeichnen Sie das zugehörige Baumdiagramm.
b) Das Ereignis E ist „Beim ersten Wurf fällt Kopf.“ Das Ereignis F ist „Insgesamt fällt mindestens zweimal
Zahl“. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten P(E) und P(F) an.
c) Erstellen Sie die zugehörige Vierfeldertafel.
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt höchstens einmal Zahl fällt unter der Bedingung, dass
beim ersten Wurf Kopf fällt?
e) Sind die Ereignisse E und F unabhängig?
f) Der Einsatz beträgt 1 €. Wenn dreimal Kopf erscheint, bekommt man 4 € ausbezahlt. Wenn zweimal Kopf
erscheint, bekommt man 1 € ausbezahlt. Ansonsten erhält man nichts ausbezahlt. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung für die Zufallsgröße „Gewinn in €“. Wie kann man den Erwartungswert interpretieren? Wie muss man die Auszahlung bei dreimal Kopf ändern, damit das Spiel fair wird.
2 Es werden fünfzigmal zwei Münzen gleichzeitig geworfen. Die Zufallsvariable X zählt, wie oft beide
Münzen „Zahl“ zeigen.
a) Begründen Sie, warum dies eine Bernoulli-Kette ist und geben Sie die Parameter an.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
–genau zwölfmal beide Münzen „Zahl“ zeigen,
–höchstens zwölfmal beide Münzen „Zahl“ zeigen,
–mindestens zwölfmal beide Münzen
–mindestens fünfzehnmal und höchstens
„Zahl“ zeigen, dreißigmal beide Münzen „Zahl“ zeigen.
c) Berechnen Sie den Erwartungswert von X. Wie kann man diesen Wert interpretieren?
d) Berechnen Sie die Standardabweichung von X.
e) Geben Sie ein Intervall an, in dem mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 95 % die Anzahl der Würfe liegt,
bei denen beide Münzen „Zahl“ zeigen.
3 In einem Unternehmen werden Sauerkirschen maschinell entsteint und dann in Gläser abgefüllt.
2 % der fertigen Kirschen haben trotzdem noch ihren Kern.
a) Herr Becker backt einen Kirschkuchen. Dafür nimmt er 100 dieser Kirschen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dem Kuchen mindestens ein Kirschkern befindet?
b) Wie viele Kirschkerne sind (im Mittel auf lange Sicht) in einem solchen Kuchen zu erwarten?
c) Wie viele Kirschen dürfte Herr Becker für seinen Kuchen höchstens nehmen, damit er mit mindestens 80 %
Wahrscheinlichkeit keinen Kern darin hat?
d) Wie groß darf die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kirsche noch ihren Kern hat, sein, damit sich mit mindestens
80 % Wahrscheinlichkeit in einem Kirschkuchen mit 100 Kirschen kein Kirschkern befindet?
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Katja möchte testen, ob ein Marmeladenbrot mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf die unbestrichene
und die Marmeladenseite fällt. Dazu hat sie 25 Toastbrote auf einer Seite mit jeweils gleich viel Marmelade
bestrichen und möchte einen zweiseitigen Signifikanztest mit dem Signifikanzniveau 5 % durchführen.
a) Geben Sie die Nullhypothese und die Alternative an.
b) Bei welchen Stichprobenergebnissen geht Katja davon aus, dass beide Seiten gleich wahrscheinlich sind?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn das Brot tatsächlich mit der
Wahrscheinlichkeit 0,7 auf die Marmeladenseite fällt?
5 Der Oberbürgermeister einer Stadt behauptet, dass 75 % der Bürger für den Bau einer neuen Stadthalle
sind. Die Redaktion der Lokalzeitung glaubt, dass es weniger sind. Sie möchte dazu einen Signifikanztest in
Form einer Umfrage unter 100 Bürgern der Stadt durchführen. Das Signifikanzniveau soll 5 % betragen.
a) Begründen Sie, ob ein linksseitiger, ein rechtsseitiger oder ein zweiseitiger Test durchgeführt werden soll
und geben Sie die Nullhypothese, die Alternative und den Annahmebereich des Tests an.
b) Bei welchen Ergebnissen kann die Redaktion die Schlagzeile „Weniger Befürworter als OB behauptet“ drucken?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, falls nur 60 % der Bürger für den Bau sind?
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VIII Schlüsselkonzept: Wahrscheinlichkeit – Statistik
03.01.2012 17:34:09