Haupttermin Mai 05

bfi Tirol
Berufsreifeprüfung
Kurs 5713030.32
Mathematik
Mag. Armin Schützinger
7. Mai 2005
Schriftliche Reifeprüfung aus Mathematik
 Von einem Berggipfel sieht man einen Lastkraftwagen auf der Autobahn unter einem Tiefenwinkel
 = 12°. Nach Schwenken des Messgeräts um einen Horizontalwinkel  = 95° sieht man das Fahrzeug
zwei Minuten später unter einem Tiefenwinkel  = 13°. Berechne die Höhe des Berggipfels unter der
Voraussetzung, dass der Lastkraftwagen die gerade, waagrechte Strecke, welche 390 m über dem
Meeresspiegel liegt, mit einen konstanten Geschwindigkeit von 80 km/h zurücklegte? (Die Höhe des
Messinstruments bleibt unberücksichtigt.)
 Ermittle:
a) die gewinnmaximierende Menge und den zugehörigen Preis,
b) den maximalen Gewinn,
c) die erlösmaximierende Menge und den zugehörigen Preis,
d) den maximalen Erlös,
e) die Elastizität im COURNOTschen Punkt,
f)
die Sättigungsmenge,
g) die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze,
h) die Kostenkehre (Wo sind die Kosten progressiv, wo regressiv?) und
i)
das Durchschnittskostenminimum samt kostendeckenden Preis
eines Monopolbetriebs, für den die Kostenfunktion K(x) und die Nachfragefunktion p(x) gegeben sind!
K(x) = 0,002·x3 – 0,5·x2 + 90·x + 2250
p(x) = 100 – 0,004·x
 Ein Großhändler möchte zwei Sorten von MP3-Playern mit einer Speicherkapazität von 128 MB
beziehungsweise 256 MB bestellen. Der Einkaufspreis des kleineren Players beträgt 40 €, der des
größeren 60 €. Der Händler möchte mindestens 30 Stück vom größeren und höchstens 150 Stück
vom kleineren Gerät bestellen. Insgesamt möchte er maximal 200 Stück bestellen. Die Anzahl der
billigeren MP3-Player soll größer als die Anzahl der teureren sein. Die Gesamtbestellsumme soll
maximal 9500 € betragen. Der Verkaufspreis des größeren Geräts beträgt 100 €, der des kleineren
Geräts beträgt 70 €. Wie viele Player muss er jeweils bestellen (und anschließend verkaufen), damit
der Gewinn maximal wird? Überprüfe die gemessenen Ergebnisse mittels Rechnung. Wie groß ist
dieser maximale Gewinn?
 Von einer gebrochen rationalen Funktion f(x) =
x2  a  x b
x
kennt man den Tiefpunkt T(2/9).
Berechne die fehlenden Parameter a und b.
Diskutiere die Funktion (Definitionsmenge, Pole, Lücken, Asymptote, Nullstellen, Hoch-/Tiefpunkte,
Wendepunkte mit Steigung) und zeichne den Graphen der Funktion im Intervall [-8;8].
Berechne den Flächeninhalt jenes Flächenstücks, das durch die Funktion und die x-Achse begrenzt
wird.
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Mathematik
Lösung :
v=
s
t
80 km
1h
s = v∙t =
∙2 min =
80 000 m  2 min
60 min
= 2 666,667 m
tan() =
h
a
a=
h
tan()
=
h
0,21255656
tan() =
h
b
b=
h
tan()
=
h
0,23086819
s2 = a2 + b2 – 2·a·b·cos()
einsetzen:
s2 =
s2 =
h2
tan (  )
2
h2
+
tan 2 ()
h2
0,04518029

s2 = h2 · 
+
– 2·
h
tan()
h2
0,05330012
1
 0,04518029
+
·
– 2·
1
0,05330012
h
tan()
·cos()
h
0,21255656
–
·
h
0,23086819
0,17431149 

0,04907255 
s2 = h2 · (22,133544 + 18,761683 + 0,3552118)
s2 = h2 ·44,447346
h=
s
44,447346
=
2666,667
6,666884
= 399,987 m ≈ 400 m
Seehöhe:
h + 390 m = 790 m Seehöhe
·(-0,08715574)
Mag. Armin Schützinger
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Mag. Armin Schützinger
7. Mai 2005
Lösung :
a) E(x) = 100·x – 0,004·x2
G(x) = E(x) – K(x) = -0,002·x3 + 0,496·x2 + 10·x – 2250
G’(x) = -0,006·x2 + 0,992·x + 10 = 0
x2 –
496
3
x1/2 =
·x –
248

3
5000
3
=0
61504 15000

9
9
x1 = 174,86
(x2 = -9,53)
b) 174 oder 175?
( G(174) = 3970,848 GE )
G(175) = 3971,25 GE
a) Forts.:
maximaler Gewinn bei 175 ME;
p(175) = 99,3 GE/ME

c) E’(x) = 100 – 0,008·x = 0
x = 12500 ME
p(12500) = 50 GE
d) E(12500) = 62500 GE
e)  =
f)
p( x )
x  p' ( x )
(175) = 141,86

p(x) = 0
g) G(x) = 0:
bzw.:
Newton?
x = 25000 ME
-0,002·x3 + 0,496·x2 + 10·x – 2250 = 0
g(x) = x3 – 248·x2 – 5000·x + 1125000 = 0
x
0
50
100
150
200
250
g(x)
1125000
380000
-855000
-1830000
-1795000
0
(x3 – 248·x2 – 5000·x + 1125000) : (x – 250) = x2 + 2·x – 4500
x3 – 250·x2
2·x2 – 5000·x
2·x2 – 500·x
–4500·x + 1125000
–4500·x + 1125000
0 R.
x1 = 250 ME
x2/3 =  1  1  4500
x2 + 2·x – 4500 = 0
Gewinnschwelle:
67 ME
x2 = 66,09
Gewinngrenze:
(x3 = -68,09)
250 ME
h) K’(x) = 0,006·x2 – x + 90
.
K’’(x) = 0,012·x – 1 = 0

x = 83, 3 ME
K’’(0) = -1 < 0

Kosten sind regressiv für x < 83, 3 ME
.
.
Kosten sind progressiv für x > 83, 3 ME
i)
K (x) = 0,002·x2 – 0,5·x + 90 +
K ’(x) = 0,004·x – 0,5 –
Newton?
x1 = 150 ME
2250
x2
2250
x

=0
h(x) = x3 – 125·x2 – 562500 = 0
x
0
50
100
150
g(x)
-562500
-750000
-812500
0
K (150) = 75 GE
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Lösung :
x … Stückzahl der MP3-Player mit 128 MB Speicherkapazität
y … Stückzahl der MP3-Player mit 256 MB Speicherkapazität
(1)
y ≥ 30
y = 30
(2)
x ≤ 150
x = 150
(3)
x + y ≤ 200
y = -x + 200
(4)
x>y
y=x
(5)
40∙x + 60∙y ≤ 9500
y=-
(6)
x≥0
x=0
(7)
y≥0
y=0
2
3
∙x +
475
3
Z(x; y) = 30·x + 40·y
(Z0)
y = -0,75·x
Pmax = (3) ∩ (5):
y
200
y = -x + 200
y=-
2
3
∙x +
gleichsetzen: -x + 200 = -
2
3
475
3
∙x +
475
3
(3)
150
-3∙x + 600 = -2∙x + 475
125 = x
(5)
x = 125 Stück
(4)
y = 75 Stück
100
(2)
(6)
Pmax
Gewinn:
zmax
beim kleineren Player:
30 €/Stück
50
(1)
beim größeren Player:
40 €/Stück
(7)
50
100
z0
Z(125; 75) = 125·30 + 75·40 = 6750 €
150
x
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Lösung :
f’(x) =
f(2) =
f(x) =
(2  x  a)  x  ( x2  a  x  b)
x2  b
=
x2
x2
4  2a  b
9

=9
2
x2  5x  4
x
f’(x) =
x2  4
x2

4 b
4
8 + 2a = 18

a=5
f’’(x) =
x=0
Definitionsmenge, Pole, Lücken:

f’(2) = 0
2x  x2  ( x2  4)  2x
x4
=
8x
x4
=

b=4
8
x3
Polstelle, da Zähler(0) = 4
(x2 + 5x + 4) : x = x + 5
Asymptote:
=0
D = IR\{0}

a(x) = x + 5

N1(-1/0)

x1 = -2;
4 Rest
f(x) = 0
Nullstellen:

Hoch-/Tiefpunkte:
Wendepunkte:
1
x1 = -1;
x2 = -4
f’(x) = 0
x2  4
x2
4
x2 + 5x + 4 = 0
=0
x2 = 4
=0
f’’(-2) = -1 (< 0)
f(-2) = 1

H(-2/1)
f’’(2) = 1 (> 0)
f(2) = 9

T(2/9)
f’’(x) = 0

N2(-4/0)
x2 = 2

keine Lösungen
1
4
 x5 x
Fläche:
x2  5x  4
x
 x2

 5 x  4  ln x  = (0,5 – 5) – (8 – 20 + 4∙ln4) = 1,955 FE
dx = 
 2
4
Wertetabelle:
y
x
f(x)
-8
-3,50
-7
-2,57
-6
-1,67
-5
-0,80
-4
0,00
-3
0,67
-2
1,00
-1
0,00
0
 IR
1
10,00
2
9,00
3
9,33
4
10,00
5
10,80
6
11,67
7
12,57
8
13,50
f(x)
a(x)
10
T
5
H
5
N2
N1
5
x