und B(9/-3/-17) geht und deren Mittelpunkt auf der Geraden g: [ C(

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KUGEL – ELLIPSE – HYPERBEL
KS1
1) a) Bestimme die Gleichung der Kugel, die durch die Punkte A(1/-7/7) und B(9/-3/-17) geht
und deren Mittelpunkt auf der Geraden g: [ C(-1/-5/3), D(5/-9/11)] liegt.
M((-10/1/-9), r = 21
b) Ermittle die Schnittpunkte der Geraden h[ P(5/7/6), Q(1/3/8)] mit der Kugel und bestimme
den Schnittwinkel der Tangentialebenen in den Schnittpunkten!
S1(3/5/7), S2(-5/-3/11); = 33,2°
2) Eine Kugel K1 mit M(5/7/11) berührt die Gerade g [P(5/13/3), Q(-1/22/-3)].
r² = 32
Eine Kugel K2 geht durch den Punkt D(-7/3/-1) und berührt die Ebene : 2x+y-2z=27
im Punkt A(9/-1/z).
M( 1/-5/3), r = 12
Ermittle die Gleichungen der beiden Kugeln und bestimme Mittelpunkt und Radius des
Schnittkreises!
M(4/4/9), r² = 18
3) Bestimme die Gleichung der Kugel K, die durch den Punkt P(-6/8/9) geht und die Ebene
[ A(4/4/11), B(8/2/8), C(6/8/7)] in A berührt!
M(-2/1/5), r = 9
4) Die Kugel K, deren Mittelpunkt in der Ebene 1: 3x – 2y – 2z = -1 liegt, berührt die Ebene
2 [ A( 24/7/2), B(9/8/5), C(4/-2/6) ] in T(xT/4/6).
a) Bestimme die Gleichung der Kugel!
b) Der Schnitt der Kugel mit der xy-Ebene ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt M1 (einfach
logisch denken – nix zum Rechnen!) und dem Radius r1 (Skizze - Pythagoras!)
2: x + 5z = 34 T(4/4/6) M( 3/4/1) r ²= 26 ; M 1 (3/4/0) r1 = 5
5) Ellipse durch P(2/2), Q(-4/1)
x² + 4y2 = 20
6) Bestimme a, b und e: a) 2x² + 5y² = 20
b) 5x² + 9y² = 180 und die Tangente in P( 4/y)
a= 10 , b=2, e= 6
a = 6, b = 2 5 , e = 4 ; t : 2x + 3y = 18
7) e = 3 7 ; P(3/4)
Schreibe der Ellipse ein gl.sch. Dreieck ein: Spitze S in A und hc:c = 3:2 ein!
2x² + 9y² = 162
P1234(  3/  4)
8) Ermittle die Tangenten an die Ellipse: 4x² + 25y² = 125
parallel zu g: 4x – 5y = -1
4x-5y=  25
9) Welche Punkte der Ellipse 4x² + 9 y² = 180 schließen mit den Brennpunkten
einen rechten Winkel ein?
P1234(  3/  4)
10) Herleitung der sogenannten Berührbedingung:
Welcher Zusammenhang besteht zwischen a,b,k und d, wenn die Gerade
g: y = kx + d Tangente an die Ellipse: b²x² + a²y² = a²b² ist?
a²k² + b² = d²
11) Schnittpunkte und Schnittwinkel Ellipse / Gerade:
S1(6/2), S2(-2/4) 1=34,3° 2=24,7°
ell: 3x² + 8y2 = 140 g: x + 4y = 14
12) Gegeben ist die Ellipse 4x² + 9y² = 36 .
Eine Hyperbel in Hauptlage hat dieselbe Nebenachsenlänge b. Wie groß muss die
Hauptachsenlänge der Hyperbel gewählt werden, damit der Inhalt des durch die vier
Schnittpunkte von ell und hyp bestimmten Rechtecks möglichst groß wird?
hyp: 4x² - 3y² = 12
13) Eine Ellipse in 1.HL rotiert um die x- bzw. um die y-Achse.
Schreibe diesen Rotationskörpern jeweils den volumsgrößten Kegel mit der Spitze in C
b:a – was sonst?
bzw. in A ein. Bestimme das Verhältnis der beiden Volumina!
14) Eine Ellipse in 1.HL enthält den Punkt P(-5/2) und hat die Hauptachsenlänge a = 3 5 .
Bestimme ihre Gleichung!
x² + 5y² = 45
15) hyp: 4x² - y² = 20
a) Bestimme jene Punkte der Hyperbel, die mit den Brennpunkten einen
P1234(  3/  4)
rechten Winkel einschließen!
b) Bestimme die Gleichung der Asymptoten u und v und die Tangente in P(3 / y>0)!
As: y =  2x ; t: 3x-y=5
16) u: 3x + 4y = 0 und v: 3x – 4y = 0 sind die Asymptoten einer Hyperbel mit dem
9x2 – 16y² = 36
Brennpunkt F2 (2,5 / 0).
17) Klassifiziere die KS! KS1) 5x² + 4y² = 36
KS4) 5x² - 4y = 0
KS2) x² - y² = 36
KS5) 2x – y² = 0
KS2) x² + y² = 25
KS6) 9x² - 16y² = 25
18) Leite aus der Definition der Hyperbel ihre Gleichung her!
19) Bei einem hyperbolischen Spiegel werden Strahlen, die vom Brennpunkt F2 ausgehen, so
reflektiert, als kämen sie scheinbar vom anderen Brennpunkt F1.
Ein Hyperbolspiegel entsteht durch Rotation der Hyperbel
4x2 - 5y2 = 80
a) Weise nach, dass F1(-6/0) und F2(6/0).die Brennpunkte sind!
b) In welchem Punkt P muss ein vom Brennpunkt F2 ausgehender
Lichtstrahl reflektiert werden, damit Q(16/4) beleuchtet wird?
20) Die Parabel par: y² = 18x wird von der Geraden g: 6x + 5y = 18 geschnitten
a) Koordinaten der Schnittpunkte
b) Länge der Parabelsehne
S1(0,5/3), S2(18/-18)
s = 3,5 61 LE
c) Unter welchem Winkel erscheint die Sehne vom Brennpunkt der Parabel aus?
 = 163,74°
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