Kostentheorie

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Preis-Kosten-Theorie
Schuljahr 2005 / 06
Kosten- und Preistheorie
Was ist eine Kostenfunktion?
Die Kostenfunktion ordnet dem
Beschäftigungsgrad x (der erzeugten
Menge) in ME die entstehenden Kosten
zu.
Der Beschäftigungsgrad wird entweder
absolut (in Stück, Liter, etc. also ME)
oder als Anteil (in Prozent) der Kapazität
des Betriebes angegeben.
Die Kosten entstehen im Allgemeinen aus
der Summe von Fixkosten (Kosten, die
auch ohne Produktion auftreten) und
variablen Kosten (direkt dem Produkt
anzulastende Kosten)
K(x) = Kv(x) + F
Welche Kostenverläufe sind von
Bedeutung?
Linearer Verlauf:
die variablen Kosten sind proportional
zum Beschäftigungsgrad
K(x) = ax + b
Progressiver Verlauf:
die variablen Kosten steigen
überproportional
K(x) = ax2 + bx + c
Degressiver Verlauf:
die variablen Kosten steigen
unterproportional
K(x) = ax2 + bx + c
S-förmiger Kostenverlauf:
Es existiert ein Übergang vom
degressiven zum progressiven
Kostenverlauf. Diesen
Beschäftigungsgrad nennt man
Kostenkehre.
Mathematisch muss ein Wendepunkt
existieren, daher
K(x) = ax3 + bx2 + cx + d
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Linear-progressiver Kostenverlauf:
Es existiert ein stetiger Übergang vom
proportionalem zum progressiven
Kostenverlauf. Später kann noch ein
Fixkostensprung auftreten.
Die mathematische Darstellung ist dann
eine stückweise definierte Funktion (unter
Umständen mit einer Sprungstelle)
K1(x) = ax + b mit x  [r / s]
K2(x) = cx2 + dx + e mit x  (t / u) mit
K1(s) = K2(t)
und K3(x) = fx + g
Beispiel 1:
Ein Betrieb mit einer Kapazität von 250.000 Stk. pro Jahr weist bei diesem Produkt bei einer
Auslastung von 80 % Kosten von € 1,6 Mio. auf. Erhöht man die Produktion um 20 %, dann
steigen die variablen Kosten um 40,6 %. Die Fixkosten betragen € 200.000,--. Berechnen Sie eine
möglichst einfache Gleichung für einen progressiven Kostenverlauf. Verwenden Sie 1 ME =
10.000 Stk. und 1 GE = € 1.000,--.
Was sind Grenzkosten?
Die betriebswirtschaftliche Definition ist:
Die Grenzkosten sind die
Kostensteigerung pro Einheit der
Produktionssteigerung bei möglichst
kleiner (infinitesimaler) Änderung des
Beschäftigungsgrad.
Mathematisch sind daher
K’(x) = lim;
Error! = Error!
x → 0
Die Grenzkosten sind daher der Wert des
Differentialquotienten (der Wert der 1.
Ableitung) der Kostenfunktion.
Geometrisch entspricht den Grenzkosten
die Tangentensteigung der Kostenkurve.
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Wie sehen die Grenzkostenverläufe bei den
verschiedenen Modellen aus:
Linearer Verlauf:
die Grenzkosten sind konstant und gleich hoch wie
die variablen Stückkosten.
K’(x) = a
Progressiver Verlauf:
die Grenzkosten sind linear und steigen mit
steigendem Beschäftigungsgrad.
K’(x) = 2ax + b
Degressiver Verlauf:
die Grenzkosten sind linear und fallen mit
steigendem Beschäftigungsgrad.
K’(x) = 2ax + b die variablen Kosten steigen
unterproportional
S-förmiger Kostenverlauf:
Die Grenzkosten fallen bis zur Kostenkehre und
steigen dann wieder. Beim Übergang vom
degressiven zum progressiven Kostenverlauf sind
die Grenzkosten also minimal.
Mathematisch entspricht das der allgemeinen
Tatsache, dass die 2. Ableitung im Wendepunkt
verschwinden muss.
K’(x) = 3ax2 + 2bx + c
Linear-progressiver Kostenverlauf:
Im ersten Teil sind die Grenzkosten
konstant.
Im progressiven Teil verlaufen die
Grenzkosten linear mit steigendem Verlauf.
Im Übergangspunkt können die
Grenzkosten stetig sein. Die Kostenkurve
verläuft dann ohne Knick.
Im eventuell existierenden dritten Teil
(nach dem Fixkostensprung) sind die
Grenzkosten wieder konstant und es ist
betriebswirtschaftlich sinnvoll, dass sie
kleiner als im ersten Teil sind.
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Beispiel 2:
Berechnen Sie die Gleichungen eines linear-progressiven Kostenverlaufs mit Fixkostensprung
aus:
Kapazität: 60.000 hl pro Jahr
Fixkosten: € 8.000,-proportionale Kosten: € 2,-- pro hl bis 50 % Beschäftigungsgrad
zwischen 50 % und 100 % BG progressiver Verlauf mit stetigem Übergang und auch die
Grenzkosten verlaufen stetig und erreichen bei Vollkapazität den Wert € 8,-- pro hl.
Wie hoch sind die Kosten bei 100 % Auslastung?
Der Betrieb nimmt eine neue Produktionsanlage in Betrieb. Sie verursacht einen Fixkostensprung
von € 20.000,--, senkt aber die Grenzkosten auf 1 € / hl.
Stellen Sie die Kosten- und die Grenzkostenfunktion dar.
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Beispiel 3:
Die minimalen Grenzkosten einer S-förmigen Kostenkurve treten beim BG 7 ME auf und
betragen 60 GE/ME. Erhöht man den BG um 3 ME, dann verzehnfachen sich die Grenzkosten.
Die Fixkosten sind 10.000 GE. Berechnen Sie die Gleichung.
Was sind Durchschnitts- oder Stückkosten?
Durchschnitts- oder Stückkosten sind die
Kosten pro ME.
–
K; (x) = Error!
Was ist das Betriebsoptimum?
Den Beschäftigungsgrad mit den kleinsten
Stückkosten nennt man Betriebsoptimum.
Es wird berechnet durch:
Error! = 0
oder
ein rechter Randpunkt, also die
Kapazitätsgrenze.
Was ist die langfristige Preisuntergrenze?
Das sind die minimalen Durchschnittskosten.
Man berechnet Sie
–
LPU = K; (BO)
Mit diesem Preis werden die Vollkosten gerade
noch gedeckt, allerdings nur im bei Produktion
im Betriebsoptimum.
Was ist die kurzfristige Preisuntergrenze?
Das sind die minimalen variablen
Durchschnittskosten, d.h. die Fixkosten werden
nicht berücksichtigt.
Mit diesem Preis werden die variablen Kosten
gerade noch gedeckt, die Fixkosten nicht mehr.
Beispiel 4:
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Berechnen Sie die lang- und kurzfristige Preisuntergrenze für
K(x) = 7x2 + 10x + 700 für einen Betrieb mit der Kapazität 20 ME.
Wie ist der Zusammenhang zwischen
Grenz- und Durchschnittskosten im
Betriebsoptimum?
Wenn das Betriebsoptimum ein lokales
Minimum ist, sind Grenz- und
Durchschnittskosten beim
Betriebsoptimum gleich groß.
Wegen:
Bedingung für das Betriebsoptimum:
Error! = Error! = Error! = 0 für x =
BO

BO · K’(BO) = K(BO) 
K’(BO) = Error! = Error!(BO)
Was ist die Erlösfunktion?
Die Erlösfunktion ist die Funktion
Erlös = Preis * Menge
E(x) = p(x) · x
Was bedeutet vollständige oder
atomistische Konkurrenz?
Bei vollständiger Konkurrenz bildet sich
ein Marktpreis als Gleichgewicht
zwischen Angebot und Nachfrage aus.
Der Preis p(x) ist daher konstant und die
abgesetzte Menge hängt nicht vom Preis
ab.
Beispiel 5:
Ein Produkt hat eine lineare Nachfragefunktion: bei einem Preis von 500 €/Stk. können 25.000
Stk. abgesetzt werden. Wird der Preis um 20 % erhöht, dann sinkt der Absatz um 5.000 Stk. Das
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Angebot bei € 500,-- p.Stk. beträgt 32.000 Stk. Die Angebotsfunktion ist hyperbolisch mit
s(x) = Error!, wobei die Funktion bei x = 40.000 unstetig ist. Berechnen Sie den Marktpreis.
Was bedeutet Monopol?
In diesem Modell gibt es eine funktionale
Abhängigkeit der abgesetzten Menge vom
verlangten Preis x(p).
Im Modell verwendet man die
Umkehrfunktion p(x), die
Nachfragefunktion.
Das klassische Modell ist eine lineare
Nachfragefunktion p(x) = m – kx.
Was ist der Prohibitivpreis bzw.
Maximalpreis?
Bei diesem Preis kann nichts mehr
abgesetzt werden, weil er zu hoch ist.
PP = p(0)
Was ist die Sättigungsmenge?
Die Sättigungsmenge ist die Nullstelle der
Nachfragefunktion. Mehr als diese Menge
kann nicht abgesetzt werden, auch wenn der Preis schon 0 ist. Der Markt ist gesättigt.
p(SM) = 0
Beispiel 6:
Die Nachfragefunktion eines Produktes ist p(x) = Error!. Wie hoch sind Sättigungsmenge und
Prohibitivpreis? Wie teuer darf das Produkt sein, wenn man 80 ME absetzen will? Wie hoch ist
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die abgesetzte Menge bei einem Preis von 3 GE/ME? Skizzieren Sie den Verlauf der
Nachfragefunktion.
Was ist der Grenzerlös?
Der Grenzerlös ist der Erlöszuwachs pro
zusätzlich abgesetzter Mengeneinheit (bei
infinitesimaler Mengenänderung).
Mathematisch ist der Grenzerlös die 1. Ableitung
der Erlösfunktion
E’(x) = lim;
Error! = Error!
x → 0
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Beispiel 7:
Die Nachfragefunktion eines Produktes ist p(x) = Error!. Wie ist der Verlauf der Erlösfunktion?
Bei welchem Preis ist der Erlös maximal und wie hoch ist dieser maximale Erlös?
Was ist der Erfolg (Gewinn)?
Erfolg oder Gewinn ist die Differenz zwischen
Erlös und Kosten.
Negativer Erfolg oder Gewinn heißt auch Verlust.
Erf(x) = G(x) = E(x) – K(x)
Was sind Gewinnschwelle und Gewinngrenze?
Die Gewinnschwelle ist der Beschäftigungsgrad,
bei dem der Gewinn anfängt positiv zu sein, bei
der Gewinngrenze hört er auf, positiv zu sein. Ein
allgemeiner Name für diese Punkte ist Break-even.
Zwischen den Break-even-Punkten liegt die
Gewinnzone. Die Bedingung ist
Erf(BE) = G(BE) = E(BE) – K(BE) = 0 
–
E(BE) = K(BE)  p(BE) = K; (BE)
Beispiel 8:
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Berechnen Sie die Break-even-Punkte für K(x) = 3x2 + 10x + 30 und p(x) = 100 – 2x. Zwischen
welchen Preise tritt Gewinn auf?
Was ist das Betriebsmaximum?
Im atomistischen Fall ist das Betriebsmaximum
der Beschäftigungsgrad mit maximalem Gewinn.
Wie berechnet man das Betriebsmaximum?
Es ist das Maximum von G(x) zu berechnen, daher
Error!= 0 = (E(x) – K(x))’ = 0  E’(x) = K’(x)
Im Betriebsmaximum sind Grenzerlös und
Grenzkosten gleich hoch.
Allerdings kann das Betriebsmaximum in
einfachen Modellen auch die Kapazitätsgrenze
sein (Randextrem).
Was ist der Cournotpunkt?
Der Cournotpunkt ist ein Punkt auf der
Nachfragefunktion. Er besteht aus der
Cournotschen Menge xc und dem Cournotpreis pc.
Der Cournotpreis ist der Preis, bei dem der
Gewinn maximal wird.
Wie kann man den Cournotpunkt ausrechnen?
Man berechnet zuerst das Betriebsmaximum (= Cournotsche Menge) mittels
G’(xc) = 0 oder E’(xc) = K’(xc)
Einsetzen in die Nachfragefunktion liefert dann den Cournotpreis.
pc = p(xc)
Beispiel 9:
Berechnen Sie das Betriebsmaximum K(x) = 3x2 + 10x + 30 und p(x) = 100 – 2x.
Wie hoch ist der maximale Gewinn und bei welchem Preis tritt er auf? Welche Koordinaten hat
der Cournotpunkt?
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Wie ist der Zusammenhang zwischen Grenzerlös und Nachfragefunktion?
Im atomistischem Fall ist E’(x) = p
Im Monopolfall ist
E’(x) = (p(x) · x)’ = p’(x) · x + p(x)
d.h.
E’(0) = p(0) = Prohibitivpreis
Wie ist der Verlauf der Grenzerlösfunktion bei
linearer Nachfragefunktion?
Der Grenzerlös ist linear (also eine Gerade), die
bei x = 0 beim gleichen Punkt wie die
Nachfragefunktion beginnt und bei der Hälfte der
Sättigungsmenge 0 wird.
weil:
mit p(x) = m – kx mit der Sättigungsmenge bei
Error!
E(x) = (m – kx) x = mx – kx2
E’(x) = m – 2kx, d.h. E’(x) hat eine Nullstelle bei
Error!, das ist Error!
d.h.
der Grenzerlös ist eine Gerade die durch (0 / PP)
und (Error! / 0) geht.
E’(0) = p(0) = Prohibitivpreis
Wie ermittelt man grafisch den Cournotpunkt?
Man zeichnet die Nachfragefunktion und die
Grenzkostenfunktion (aus gegebenen
zusammenhängenden Daten) und daraus den
Grenzerlös mit
p(0) = E’(0) und E’(SM/2) = 0 bei linearer
Nachfragefunktion
Die Cournotmenge wird dann durch den
Schnittpunkt von Grenzerlös und Grenzkosten
markiert. Der Counotpunkt ist dann der Punkt auf
der Nachfragefunktion an der Stelle der
Cournotmenge.
Beispiel 10:
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Bei einem Preis von 90 GE/ME werden 20 ME verkauft. Verringert man den Preis auf die Hälfte,
dann könne um 150 % mehr verkauft werden. Die Kosten verlaufen proportional und betragen bei
einem Beschäftigungsgrad von 60 ME 1.820 GE. Eine Erhöhung des Beschäftigungsgrades um
10 % erhöhen die Kosten auf 2.000 GE. Konstruieren Sie den Cournotpunkt.
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Was ist die Nachfrageelastizität?
Die Elastizität der Nachfrage gibt an um welchen
Faktor die relative Absatzänderung (in Prozent)
größer oder kleiner als die relative Preisänderung
ist. Ist die Elastizität größer als 1, dann kann man
mit einer kleinen Preisänderung hohe
Absatzänderungen hervorrufen. Die Nachfrage ist
dann elastisch.
Elastizität der Nachfrage:
lim;
x→0
 (x) = – lim;
x→0
Error! = – Error! Error! = Error! = – Error!
Beispiel 11:
Berechnen Sie die Nachfragefunktion aus (x) = Error! mit p(30) = 680.
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Wie ist die Beziehung zwischen Elastizität und Grenzerlös?
Es gilt die Beziehung von Amoroso-Robinson:
Error! = p Error!
Was kann man aus der Amoroso-RobinsonFormel ablesen?
Der Erlös ist dann maximal, wenn die Elastizität
gleich 1 ist.
Ist die Elastizität kleiner als 1, dann bewirkt eine
Preisminderung (eine Absatzsteigerung) eine
Erlösverringerung.
Ist die Elastizität größer als 1, dann bewirkt eine
Preisminderung (eine Absatzsteigerung) eine
Erlöserhöhung.
Beispiel 12:
Wie ist der Verlauf der Elastizität für p(x) = 300 · e–0,1x. Wann ist der Erlös maximal (bei
welchem Preis?). Wie ändert sich der Erlös bei einem Preis von 200 GE/ME bei geringfügiger
Preisminderung? Demonstrieren Sie das an einem Beispiel mit 5 % Preisreduktion.
Lösungen
Beispiel 1:
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Ein Betrieb mit einer Kapazität von 250.000 Stk. pro Jahr weist bei diesem Produkt bei einer
Auslastung von 80 % Kosten von € 1,6 Mio. auf. Erhöht man die Produktion um 20 %, dann
steigen die variablen Kosten um 40,6 %. Die Fixkosten betragen € 200.000,--. Berechnen Sie eine
möglichst einfache Gleichung für einen progressiven Kostenverlauf. Verwenden Sie 1 ME =
10.000 Stk. und 1 GE = € 1.000,--.
x  [0 / 25] K(x) = ax2 + bx + c
K(0,8 · 25) = K(20) = 1.600 = 400 a + 20 b + c
K(1,2 · 20) = K(24) = 200 + 1,406 · 1.400 = 2.168,4 = 122 a + 24 b + c
K(0) = 200 = c

1.600 = 400 a + 20 b + 200
2.168,4 = 576 a + 24 b + 200  a = 3 b = 10 daher K(x) = 3x2 + 10x + 200
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Beispiel 2:
Berechnen Sie die Gleichungen eines linear-progressiven Kostenverlaufs mit Fixkostensprung
aus:
Kapazität: 60.000 hl pro Jahr
Fixkosten: € 8.000,-proportionale Kosten: € 2,-- pro hl bis 50 % Beschäftigungsgrad
zwischen 50 % und 100 % BG progressiver Verlauf mit stetigem Übergang und auch die
Grenzkosten verlaufen stetig und erreichen bei Vollkapazität den Wert € 8,-- pro hl.
Wie hoch sind die Kosten bei 100 % Auslastung?
Der Betrieb nimmt eine neue Produktionsanlage in Betrieb. Sie verursacht einen Fixkostensprung
von € 20.000,--, senkt aber die Grenzkosten auf 1 € / hl.
Stellen Sie die Kosten- und die Grenzkostenfunktion dar.
K1(x) = 8.000 + 2x für x  [0 /
350000
30.000]
K2’(x) = 2ax + b mit 2 = 60.000 a
300000
+ b und 8 = 120.000 a + b  a =
250000
0,0001 und b = – 4.
2
K2 (30.000) = 68.000 = 30.000 a +
200000
30.000 b + c  c = 98.000
150000
K2(x) = 0,0001x2 – 4x + 98.000
K2 (60.000) = 218.000
100000
damit für K3(x) = dx + f 
K3(60.000) = 238.000 = 60.000d + f
und d = 1  f = 178.000
K3(x) = x + 178.000
50000
0
0
20000
40000
60000
80000 100000 120000
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
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20000
40000
60000
80000
100000
120000
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Preis-Kosten-Theorie
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Beispiel 3:
Die minimalen Grenzkosten einer S-förmigen Kostenkurve treten beim BG 7 ME auf und
betragen 60 GE/ME. Erhöht man den BG um 3 ME, dann verzehnfachen sich die Grenzkosten.
Die Fixkosten sind 10.000 GE. Berechnen Sie die Gleichung.
K(x) = ax3 + bx2 + cx + d
K’(x) = 3ax2 + 2bx + c
K“(x) = 6ax + 2b
K“(7) = 0 = 42a + 2b
K’(7) = 60 = 3 · 72 a + 14b + c
K’(10) = 600 = 300a + 20b + c
 a = 3 b = –420 c = 3.000 d = 10.000
K(x) = 3x3 – 420x2 + 3.000x + 10.000
Beispiel 4:
Berechnen Sie die lang- und kurzfristige Preisuntergrenze für
K(x) = 7x2 + 10x + 700 für einen Betrieb mit der Kapazität 20 ME.
–
K; (x) = 7x + 10 + Error!
–
K; (10) = 150 = LPU
Error! = 7 – Error! = 0  x = 10 = BO als relevante Lösung
–
K; v(x) = 7x + 10 Error! = 7 = 0  kein lokales Minimum, daher ist x = 20 = BO als
Randextrem
–
K; v(20) = 160 = KPU
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Preis-Kosten-Theorie
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Beispiel 5:
Ein Produkt hat eine lineare Nachfragefunktion: bei einem Preis von 500 €/Stk. können 25.000
Stk. abgesetzt werden. Wird der Preis um 20 % erhöht, dann sinkt der Absatz um 5.000 Stk. Das
Angebot bei € 500,-- p.Stk. beträgt 32.000 Stk. Die Angebotsfunktion ist hyperbolisch mit
s(x) = Error!, wobei die Funktion bei x = 40.000 unstetig ist. Berechnen Sie den Marktpreis.
d(x) = ex + f mit 500 = 25.000 e + f
d(x) = 1.000 – 0,02 x
und
600 = 20.000 e + f  e = – 0,02 und f = 1.000
s(x) = Error! mit b = – 40.000 und
s(32.000) = 500 = s(x) = Error!  a = – 4.000.000
s(x) = Error!
Gleichgewichtspreis: d(x) = a(x) = Error! = 1.000 – 0,02x  xg = 30.000 (die Lösung
60.000 liegt jenseits des Poles und würde negative Angebotspreise liefern.
p = d(30.000) = 1.000 – 0,02 · 30.000 = 400 €/Stk. = Gleichgewichtspreis
Beispiel 6:
Die Nachfragefunktion eines Produktes ist p(x) = Error!. Wie hoch sind Sättigungsmenge und
Prohibitivpreis? Wie teuer darf das
Produkt sein, wenn man 80 ME absetzen
will? Wie hoch ist die abgesetzte Menge
bei einem Preis von 3 GE/ME?
Skizzieren Sie den Verlauf der
Nachfragefunktion.
p(x) = 0  400 – 2x = 0  x = 200
ME = Sättigungsmenge
p(0) = 20 GE/ME = Prohibitivpreis
p(80) = Error! = 2,4 €/Stk.
3 = Error!  3x + 60 = 400 – 2x 
5x = 340 x = 68 ME
Beispiel 7:
Die Nachfragefunktion eines
Produktes ist p(x) = Error!. Wie ist
der Verlauf der Erlösfunktion? Bei
welchem Preis ist der Erlös
maximal und wie hoch ist dieser
maximale Erlös?
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Preis-Kosten-Theorie
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E(x) = Error! hat Nullstellen bei x = 0 und x = 200 (Sättigungsmenge). Strebt asymptotisch
gegen y = 440 – 2x
Maximum bei : E’(x) = Error! = 0  x = 46,3
p(46,3) = 4,63 GE / ME
Emax (46,3) = 214,67 GE
Beispiel 8:
Berechnen Sie die Break-even-Punkte für K(x) = 3x2 + 10x + 30 und p(x) = 100 – 2x. Zwischen
welchen Preise tritt Gewinn auf?
3x2 + 10x + 30 = 100x – 2x2 = 0  BE1 = 0,34 ME und BE2 = 17,66 ME
p(0,34) = 99,32 GE/ME und p2(17,66) = 64,68
Beispiel 9:
Berechnen Sie das Betriebsmaximum K(x) = 3x2 + 10x + 30 und p(x) = 100 – 2x.
Wie hoch ist der maximale Gewinn und bei welchem Preis tritt er auf? Welche Koordinaten hat
der Cournotpunkt?
6x + 10 = 100 – 4x  xgmax = 9
K(9) = 363 und p(9) = 82  E(9) = 9 · 82 = 738
C( 9 / 82)
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Erf(9) = 738 – 363 = 375
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Preis-Kosten-Theorie
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Beispiel 10:
Bei einem Preis von 90 GE/ME werden 20 ME verkauft. Verringert man den Preis auf die Hälfte,
dann könne um 150 % mehr verkauft werden. Die Kosten verlaufen proportional und betragen bei
einem Beschäftigungsgrad von 60 ME 1.820 GE. Eine Erhöhung des Beschäftigungsgrades um
10 % erhöhen die Kosten auf 2.000 GE. Konstruieren Sie den Cournotpunkt.
Für p(x) verbindet man die Punkte
X(20/ 90) und Y(2,5 · 20 / 90 · 0,5)
= Y(50 / 45)
K’(x) ist konstant mit dem Wert
Error! = 30 GE/ME.
Der Grenzerlös ist linear mit (0/PP)
und Error!.
Die Cournotmenge wird durch den
Schnittpunkt von K’ und E’. C liegt
dann mit dieser x-Koordinate auf
der Nachfragekurve.
C( 30 / 75)
Beispiel 11:
Berechnen Sie die Nachfragefunktion aus (x) = Error! mit p(30) = 680.
(x) = Error! = – Error!  Error! = Error!
Integration liefert:
Error! = Error! = Error!
mit 220 = A (x – 200) + B (x + 20) 
 B=1
Error! = Error! = Error! 
ln p = lnx – 200 – ln x + 20 + C
220 = A (– 220)  A = – 1 und 220 = B · 220
= ln Error! 
p = Error! mit 680 = K · (–3,4)  K = – 20  p(x) = Error!
Beispiel 12:
Wie ist der Verlauf der Elastizität für p(x) = 300 · e–0,1x. Wann ist der Erlös maximal (bei
welchem Preis?). Wie ändert sich der Erlös bei einem Preis von 200 GE/ME bei geringfügiger
Preisminderung? Demonstrieren Sie das an einem Beispiel mit 5 % Preisreduktion.
Error! = – 30 · e –0,1x
(x) = – Error! = – Error! = Error! = (x)
© Mag. Wolfgang Streit
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4 ck / hiebaum
Preis-Kosten-Theorie
Schuljahr 2005 / 06
200 = 300 · e–0,1x  x = 4,055 (4,055)  2,47, d.h. eine Verringerung des Preises bewirkt
eine um 2,47-fache relative Absatzerhöhung, der Erlös wird steigen.
Preis
200
Absatz 4,055
Erlös
811
© Mag. Wolfgang Streit
reduziert auf
190
erhöht auf
4,568
erhöht auf
868
das sind
–5%
das sind + 12,7 %  2,5 · 5 %
das sind + 7,0 %  0,95 · 1,127
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