Mengen und Aussagen

Aussagenlogik
Eine Aussage ist eine Behauptung, die nur wahr oder falsch sein kann (Zweiwertige Logik). Jeder
Aussage (Argument) wird ein Wahrheitswert zugeordnet.
Aussageformen sind Aussagen, in deren Formulierungen sogenannte Variable vorkommen dürfen.
Erst durch die Belegung der Variablen durch Werte, bzw. Prädikate wird eine Aussageform zu einer
Aussage.
Verknüpfung von Aussagen:
1. Verneinung oder Negation: A
(„nicht A“)
bzw. NICHT(A) (in Excel)
A ist genau dann wahr, wenn A falsch ist und umgekehrt. Dreht den Wahrheitswert einer
Aussage um.
2. Konjunktion
(„A und B“)
bzw. UND(A;B)
AB
liefert nur dann den Wahrheitswert wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.
3. Disjunktion
(„A oder B“)
bzw. ODER(A;B)
AB
liefert nur dann den Wahrheitswert falsch, wenn beide Aussagen falsch sind.
A  B („aus A folgt B“)
4. Implikation
liefert nur dann den Wahrheitswert falsch, wenn A wahr und B falsch ist.
A  B („A ist gleichwertig oder äquivalent mit B“)
5. Äquivalenz
liefert den Wahrheitswert wahr, wenn A und B gleiche Wahrheitswerte haben.
Wahrheitstafeln:
w(A)
w(B)
NICHT(A)
UND(A;B)
ODER(A;B)
AB
AB
w
w
f
w
w
w
w
w
f
f
f
w
f
f
f
w
w
f
w
w
f
f
f
w
f
f
w
w
Quantoren:

„für alle“

„es gibt (mindestens) ein ...“ bzw. „es existiert ein ... “
Mengen
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten
unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte heißen Elemente
der Mengen.
Schreibweise:
x ist Element von A
x aus A
x A
x A
x ist kein Element von A
x nicht aus A
Menge aller x, für
 x E x Menge aller Elemente x, die die Eigenschaft E haben
die gilt:
Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente haben.
Die leere Menge { } bzw  hat keine Elemente.
A ist Teilmenge von B, wenn alle Elemente von A auch Elemente von B sind.
A  B   x  A  x  B
Die Potenzmenge einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A.
Die Rest- oder Komplementärmenge enthält genau jene Elemente von A, die nicht zu B
gehören.
„ A minus B“
A \ B:  x x  A  x  B
Die Durchschnittsmenge zweier Mengen A und B enthält nur jene Elemente, die sowohl in
A als auch in B enthalten sind.
„A geschnitten mit B“ „A und B“
A  B:  x x  A  x  B
in EXCEL ist der Schnittmengenoperator das Leerzeichen: Bereich1 Bereich2
Die Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B enthält alle Elemente die zu A oder B
gehören.
A  B:  x x  A  x  B
„A vereinigt mit (oder) B“
„A oder B“
in EXCEL.05 ist der Vereinigungsoperator der Strichpunkt: Bereich1;Bereich2
Die Anzahl der Elemente einer Menge A heißt Mächtigkeit oder Kardinalzahl von A.
card(A) oder A
Zahlenmengen und ihre Eigenschaften
Eine zweistellige (binäre) Operation heißt abgeschlossen in einer Menge, wenn das Resultat
wieder Element dieser Menge ist!
Menge der natürlichen Zahlen (set of natural numbers):
abgeschlossen gegenüber Addition und Multiplikation
Menge der ganzen Zahlen (integer numbers):
abgeschlossen gegenüber Addition, Multiplikation und Subtraktion (es gibt ein inverses
Element bzgl. "+" für alle x  Z)
Menge der rationalen Zahlen (rational numbers):
abgeschlossen gegenüber Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division.
Es existiert sowohl das inverse Element bzgl "+", als auch bzgl. ".", von allen Elementen,
außer "0"!
Division durch 0 liefert keine Zahl als Ergebnis wegen: bei Aufrechterhaltung der
Rechenregeln:
aus Error! = y  x = y · 0 = 0 im Widerspruch zu: x ist beliebig aus Z
Darstellung: als Bruch oder Dezimalzahl (endlicher oder periodischer Dezimalbruch)
0,9999... = 1 !
Menge der reellen Zahlen (real numbers):
abgeschlossen auch z. Bsp. gegenüber der Bildung von Wurzeln.
Irrationale Zahlen sind entweder als Wurzeln darstellbar (algebraisch irrational)
n

1
 1
oder nicht (transzendent irrational), z. Bsp.  oder e = lim  1    
n  
n
k  0 k!
Jede konvergente Folge besitzt in R einen Grenzwert
Darstellung als Folge von Intervallschachtelungen
Praktisch wird mit rationalen Näherungen gerechnet
Menge der komplexen Zahlen (complex numbers):
abgeschlossen auch gegenüber der Bildung von Wurzeln.
Jede algebraische Gleichung besitzt mindestens eine Lösung in .
Darstellung als Zahlenpaar (a,b) = a + bi = r (cos  + i sin ), a heißt Realteil, b heißt
Imaginärteil,
i2 = – 1 (Def. der imag. Einheit)
Addition und Multiplikation sind kommutativ (Reihenfolge der Operanden ist vertauschbar)
und
assoziativ
(a.b).c = a.(b.c)
und es gilt das
Distributivgesetz
a.(b+c)=a.b+a.c .
Eine Menge mit zwei abgeschlossenen binären, assoziativen, kommutativen und distributiven
Operationen, welche ein neutrales Element ("0" bzgl. "+" und "1" bzgl. "  " ) und zu jedem
Element, ausgenommen das neutrale Element der Addition, ein inverses besitzt, heißt
Körper! C, R und Q sind Körper. Z und N nicht! (es fehlt das inverse Element bzgl. "  ")
Struktur der Zahlenmengen
Komplexe Zahlen
C
a + b i bzw. (a,b)
Imaginäre Zahlen
Reelle Vielfache von i
Reelle Zahlen
R
Linearkombinationen
a + bi
Irrationale Zahlen
Rationale Zahlen
Q
Brüche
echte Brüche
negative
Zahlen
algebraisch
Wurzeln
transzendent
e,
Ganze Zahlen
Z
0
Natürliche Zahlen
N