Analysis 1 Skript A. Darre Mathematik Kapitel 1: Zahlenfolgen 1. Grundbegriffe 1.1 Definitionen Definition 1.1 Eine endliche Zahlenfolge ist eine Funktion f über der Definitionsmenge Nk mit Nk = {1; 2; ...; k} N* und f: NK : n an Eine unendliche Zahlenfolge ist eine Funktion f über der Definitionsmenge N* mit N* = {1; 2; ... } und f: N* : n an Bezeichnungen (an) = (a1 ; a2 ; ... ; an-1 ; an ; an+1 ; ... ) 1., 2.,...,(n-1)-tes, n-tes, (n+1)-tes Glied der Folge 1.2 Darstellung von Folgen (1) Angabe aller Glieder der Folge z.B.: (1; 3; 5; 7; 9) ist die Folge aller einstelligen ungeraden Zahlen. (2) Angabe der expliziten Bildungsvorschrift z.B.: f(n) = n2 – 3n (n *) an = n2 – 3n Man erhält das 1., 2., 3., 4., ... Glied der Folge, indem man der Reihe nach für n die Zahlen 1; 2; 3; 4; ... einsetzt: a1 = 12 – 3 ∙ 1 = -2 a2 = 22 – 3 ∙ 2 = -2 a3 = 32 – 3 ∙ 3 = -2 a4 = 42 – 3 ∙ 4 = -2 : a1 = -2 a2 = -2 a3 = 0 a4 = 4 : (an) = (-2; -2; 0; 4; ...) (3) Angabe der rekursiven Bildungsvorschrift z.B.: an+1 = an + 3 ; a1 = -1 ; n ≥ 1 Die Glieder der Folge werden schrittweise berechnet: a2 = a1 + 3 = -1 + 3 = 2 a3 = a2 + 3 = 2 + 3 = 5 a4 = a3 + 3 = 5 + 3 = 8 (an) = (-1; 2; 5; 8; ...) A. Darre Mathematik Analysis 1 Skript : (4) Graphische Darstellung von Zahlenfolgen z.B.: (an) = (-1; 2; 4; 5; 3; 2) Diese Folge kann man auf zwei Arten graphisch darstellen: (Tafelbild hierzu bitte in das Skript übertragen) a) Kartesisches Koordinatensystem b) Zahlengerade Kapitel 1: Zahlenfolgen Seite 2 A. Darre Mathematik Analysis 1 Skript 2. Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen 2.1 Arithmetische Zahlenfolgen Definition 1.2 Eine Zahlenfolge (an) heißt arithmetische Zahlenfolge an – an-1 = d ( n *) Eine Zahlenfolge heißt arithmetische Zahlenfolge, genau dann, wenn die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist. Bemerkungen 1.3 (1) d heißt Differenz der Folge (2) Für die rekursive Bildungsvorschrift gilt: an+1 = an + d (nach Def.) (3) Es gilt: a2 = a1 + d; a3 = a2 + d = a1 + 2d; a4 = a3 + d = a2 + 2d = a1 + 3d; : an = a1 + (n – 1) ∙ d (Bildungsgesetz) (4) Analog gilt das allgemeine Bildungsgesetz: an = ai + (n – i) ∙ d für i = 1, 2, ..., (n-1) (5) Jedes Glied ist das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder: a2 = ½ (a1 + a3); a3 = ½ (a2 + a4); ... an = ½ (an-1 + an+1) Beispiel 1.4 Die Zahlenfolge (an) = (2; 5; 8; 11; ...) ist arithmetische Zahlenfolge. (denn: 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 3 = d = const.) Mit Bm. (2) folgt für die rekursive Bildungsvorschrift: an+1 = an + 3 Mit Bm. (3) folgt für die explizite Bildungsvorschrift: an = 2 + (n – 1) ∙ 3 mit a1 = 2 und d = 3 an = 2 + 3n – 3 an = 3n – 1 Kapitel 1: Zahlenfolgen Seite 3 A. Darre Mathematik Analysis 1 Skript 2.2 Geometrische Zahlenfolgen Definition 1.5 Eine Zahlenfolge (bn) heißt geometrische Zahlenfolge bn =q bn-1 ( n *) Eine Zahlenfolge heißt arithmetische Zahlenfolge, genau dann, wenn der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist. Bemerkungen 1.6 (1) q heißt Quotient der Folge (2) Für die rekursive Bildungsvorschrift gilt: bn+1 = bn ∙ q (nach Def.) (3) Es gilt: b2 = b1 ∙ q; b3 = b2 ∙ q = b1 ∙ q2; b4 = b3 ∙ q = b2 ∙ q2 = b1 ∙ q3; : bn = b1 ∙ q(n – 1) (Bildungsgesetz) (4) Analog gilt das allgemeine Bildungsgesetz: bn = bi ∙ q(n – i) für i = 1, 2, ..., (n-1) (5) Jedes Glied ist das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder: b2 = bn = b1 ∙ b3 ; b3 = b2 ∙ b4 ; ... bn-1 ∙ bn+1 Beispiel 1.7 Die Zahlenfolge (bn) = (2; 4; 8; 16; ...) ist geometrische Zahlenfolge. (denn: 4 : 2 = 8 : 4 = 16 : 8 = 2 = q = const.) Mit Bm. (2) folgt für die rekursive Bildungsvorschrift: bn+1 = bn ∙ 2 Mit Bm. (3) folgt für die explizite Bildungsvorschrift: bn = 2 ∙ 2(n – 1) mit b1 = 2 und q = 2 n -1 bn = 2 ∙ 2 ∙ 2 bn = 2n Kapitel 1: Zahlenfolgen Seite 4 A. Darre Mathematik Analysis 1 Skript 2.3 Darstellung von arithmetischen und geometrischen Zahlenfolgen Kapitel 1: Zahlenfolgen Seite 5 A. Darre Mathematik Analysis 1 Skript 3. Eigenschaften von Zahlenfolgen 3.1 Monotonie Monotone Zahlenfolgen Es gibt spezielle Zahlenfolgen die Monotonieeigenschaften aufweisen. Was heißt das? Definition 1.8 Eine Zahlenfolge (an) heißt streng monoton wachsend n N*: an < an+1 fallend n N*: an > an+1 Eine Zahlenfolge heißt streng monoton wachsend [fallend], genau dann, wenn jedes Glied kleiner [größer] als das unmittelbar folgende Glied der Folge ist. Bemerkung 1.9 Wenn n N*: an ≤ an+1 gilt, dann heißt die Folge (an) monoton wachsend. n N*: an ≥ an+1 fallend. Beispiele 1.10 Die Zahlenfolge (an) mit an = 2n + 1 heißt monoton steigend, denn: an < an+1 (Monotonienachweis) 2n + 1 < 2(n+1) + 1 2n + 1 < 2n + 2 + 1 | - 2n 1 < 3 w.A. Die Zahlenfolge (bn) mit an = -n + 3 an > an+1 -n + 3 > -(n+1) + 3 -n + 3 > -n - 1 + 3 3 > 2 heißt monoton fallend, denn: (Monotonienachweis) |+n w.A. Nichtmonotone Zahlenfolgen Beispiele 1.11 (1) Zahlenfolge (cn) mit cn = |n – 7| ; (2) Zahlenfolge (dn) mit dn = (-1)n ∙ 3 ; n (cn) = (6; 5; 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; ...) (dn) = (-3; 1,5; -1; 0,75; ...) Bm.: Eine solche Folge nennt man alternierende Zahlenfolge. (Aufeinanderfolgende Glieder besitzen verschiedene Vorzeichen.) Kapitel 1: Zahlenfolgen Seite 6 A. Darre Mathematik Analysis 1 Skript 3.2 Beschränktheit Definition 1.12 Eine Zahlenfolge (an) heißt nach oben beschränkt, unten beschränkt, wenn eine Zahl M existiert, wenn eine Zahl m existiert, sodass für alle n * gilt: an ≤ M an ≥ m Jedes Glied der Folge ist kleiner/gleich M. Jedes Glied der Folge ist größer/gleich m. Bemerkung 1.13 (1) M heißt obere Schranke der Folge (an). (2) m heißt untere Schranke der Folge (an). Definition 1.14 Eine Zahlenfolge (an) heißt beschränkt, wenn sie eine obere und eine untere Schranke besitzt. D.h. m, M n *: m ≤ an ≤ M. Definition 1.15 (1) Die kleinste obere Schranke heißt obere Grenze oder Supremum der Zahlenfolge (an). Bezeichnung: sup (an) (2) Die größte untere Schranke heißt untere Grenze oder Infimum der Zahlenfolge (an). Bezeichnung: inf (an) Satz 1.16 Jede nach oben beschränkte Zahlenfolge besitzt in ein unten Supremum. Infimum. Folgerung 1.17 Eine Zahlenfolge (an) heißt nach oben bzw. unten unbeschränkt, wenn sie keine obere bzw. untere Schranke besitzt. Beispiele 1.18 (1) Die Folge (an) mit an = 2n und (an) = (2; 4; 6; 8; ...) ist nach oben unbeschränkt. (2) Die Folge (an) mit an = -3n und (an) = (-3; -6; -9; ...) ist nach unten unbeschränkt. (3) Die Folge (an) mit an = (-1)n ∙ n2 und (an) = (-1; 4; -9; 16; ...) ist sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt. Kapitel 1: Zahlenfolgen Seite 7 A. Darre Mathematik Analysis 1 Skript Beispiele 1.19 (1) Eine Zahlenfolge (an) sei gegeben durch an = 5 – n ∙ 2. (an) ist nach oben beschränkt. 3,8 (bzw. 3 oder 3,2 oder 4) sind obere Schranken von (an). 3 ist die kleinste obere Schranke von (an), d.h. sup an = 3 (2) Eine Zahlenfolge (an) sei gegeben durch an = (an) ist (nach oben und unten) beschränkt. Kapitel 1: Zahlenfolgen Seite 8