Definitionen und Sätze Folgen ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d - Mathe

Definitionen und Sätze Folgen
Zahlenfolge
Eine reelle Zahlenfolge (an) ist eine Funktion mit einer Menge natürlicher Zahlen als Definitionsbereich und
einer Menge reeller Zahlen als Wertebereich.
Darstellungsmöglichkeiten
rekursive Zuordnungsvorschrift:
Jedes Glied der Zahlenfolge wird aus vorangehenden Gliedern gewonnen. Benötigte Anfangsglieder müssen
angegeben werden. (lat.: reccurere: zurücklaufen)
explizite Zuordnungsvorschrift:
Funktionsgleichung, mit der sich jedes Glied unmittelbar durch Einsetzen berechnen lässt.
(lat.: explicare: ausbreiten, klarlegen)
Geometrische Zahlenfolge
(an) sei eine Zahlenfolge und q eine reelle Zahl mit q ≠ 0.
(an) heißt geometrische Folge genau dann, wenn es eine Zahl q (q ≠ 0) gibt, so dass für jedes n gilt:
a n+1 = an ⋅ q
(an ≠ 0)
Die Zahl q heißt Quotient der geometrischen Folge.
Satz: explizite Bildungsvorschrift einer geometrischen Zahlenfolge
Wenn (an) eine geometrische Folge ist, so gilt für alle n∈N: a n = a1 ⋅ q n −1
Beweis:
a n = a n −1 ⋅ q = (a n −2 ⋅ q )⋅ q = a n −2 ⋅ q 2 = a n −3 ⋅ q 3 = ... = a n −( n −1) ⋅ q n −1 = a1 ⋅ q n −1
Arithmetische Zahlenfolge
(an) sei eine Zahlenfolge und d eine reelle Zahl.
(an) heißt arithmetische Folge genau dann, wenn es eine Zahl d gibt, so dass für jedes n gilt:
Die Zahl d heißt Differenz der geometrischen Folge.
a n+1 = an + d
Satz: explizite Bildungsvorschrift einer arithmetischen Zahlenfolge
Wenn (an) eine arithmetische Folge ist, so gilt für alle n∈N: a n = a1 + (n − 1)⋅ d
Beweis: a n = a n −1 + d = (an − 2 + d ) + d = a n − 2 + 2d = a n −3 + 3d = ... = a n −( n −1) + (n − 1)⋅ d = a1 + (n − 1)⋅ d
Monotonie
(an) sei eine Zahlenfolge.
(an) heißt streng monoton wachsend genau dann, wenn für jedes n gilt: an < an+1
(an) heißt streng monoton fallend genau dann, wenn für jedes n gilt: an > an+1
(an) heißt monoton wachsend genau dann, wenn für jedes n gilt: an ≤ an+1
(an) heißt monoton wachsend genau dann, wenn für jedes n gilt: an ≥ an+1
Schranken
(an) sei eine Zahlenfolge.
(an) heißt nach oben beschränkt genau dann, wenn es eine reelle Zahl s gibt, so dass für alle n gilt: an ≤ s
Die Zahl s heißt dann obere Schranke der Zahlenfolge (an).
(an) heißt nach unten beschränkt genau dann, wenn es eine reelle Zahl s gibt, so dass für alle n gilt: an ≥ s
Die Zahl s heißt dann untere Schranke der Zahlenfolge (an).
(an) heißt beschränkt genau dann, wenn (an) nach oben und nach unten beschränkt ist.
Grenzwert
(an) sei eine Folge, g sei eine Zahl.
Wird der Abstand zwischen an und g mit wachsendem n beliebig klein, so sagt man:
oder
• Die Folge (an) strebt gegen g
oder
• g ist Grenzwert der Folge (an)
• (an) konvergiert gegen g
Die Folge (an) ist konvergent.
Gibt es eine Zahl g, gegen die die Folge (an) konvergiert, so sagt man:
Gibt es keine Zahl g, gegen die die Folge (an) konvergiert, so sagt man: Die Folge (an) ist divergent.
Eine Folge, die die Zahl Null als Grenzwert hat, heißt Nullfolge.
Jede konstante Folge (an) mit an = c für alle n konvergiert gegen c.
ε-Umgebung von g
Es sei a∈R eine reelle Zahl und ε>0 beliebig.
Die ε-Umgebung von a heißt das offene Intervall Uε(a) = ]a-ε; a+ε[ = {y∈R|a-ε≤y≤a+ε}
Uε(a) heißt das offene Intervall ]a-ε; a+ε[
Grenzwert
g heißt Grenzwert der Zahlenfolge (an), wenn für jede Zahl ε>0 fast alle Zahlenfolgeglieder in Uε(g) liegen.
• d.h. nur endlich viele Glieder liegen außerhalb von Uε(g)
• d.h. ab einem n0 liegen alle Glieder innerhalb Uε(g)
• d.h. die Ungleichung |an – g|<ε muss ab einem n0 erfüllt sein.
ε>0 frei wählbar → ab n0 alle Glieder in Uε(g)
Partialsummen und Partialsummenfolge
Ist (an) = (a1; a2; a3; …) eine Zahlenfolge, so bezeichnet man die Zahlen
s1 = a1
s2 = a1 + a2
= s1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
= s2 + a3
…
sk = a1 + a2 + … + ak = sk-1 + ak
k
k-te Partialsumme: s k = ∑ ai
als Partialsummen (Teilsummen) der Folge (an).
i =1
Die Folge (sk) = (s1; s2; ...; sk) heißt Partialsummenfolge von (an).
rekursive Definition: s1 = a1; sk+1 = sk + ak+1
Satz: k-te Partialsumme einer arithmetischen Folge
(an) = (a1; a2; a3; …) sei eine arithmetische Zahlenfolge mit der Differenz d.
k
k
k (k − 1)d
Für die k-te Partialsumme gilt dann: s k = ∑ ai = ∑ (a1 + (i − 1) ⋅ d ) = ka1 +
2
i =1
i =1
bzw.: s k = ka1 +
Beweis:
a +a
k (k − 1)d k
k
k
= [2a1 + (k − 1)d ] = [a1 + (a1 + (k − 1)d )] = [a1 + a n ] = k 1 n
2
2
2
2
2
sk
k
= ∑ ai
i =1
k
= ∑ (a1 + (i − 1)⋅ d )
i =1
k
k
k
= ∑ a1 + ∑ id − ∑ d
i =1
i =1
i =1
k
k
k
i =1
i =1
i =1
= a1 ∑1 − d ∑1 + d ∑ i
k (k + 1)
= ka1 − kd + d
2
k (k + 1)
2k
= ka1 − d
+d
2
2
k (k + 1) − 2k
= ka1 + d
2
2
k + k − 2k
= ka1 + d
2
2
k −k
= ka1 + d
2
k (k − 1)
= ka1 + d
2
Satz: k-te Partialsumme einer geometrischen Folge
Ist (an) eine geometrische Folge mit dem Quotienten q≠1, so gilt für deren k-te Partialsumme: s k = a1
Beweis mittels vollständiger Induktion:
Voraussetzung:
ak = a1 ⋅ q k −1
mit q ≠ 0 und q ≠ 1
Behauptung:
q k −1
k-te Partialsumme: s k = a1
q −1
Induktionsanfang:
k = 1:
Induktionsvoraussetzung:
s k = a1
Induktionsbehauptung:
s k +1 = a1
Induktionsbeweis:
s k +1 = s k + ak +1 = a1
s1 = a1 = a1 ⋅ q 0 = a1
bzw. a n = a1 ⋅ q n−1
s1 = a1
q1 − 1
= a1
q −1
q k −1
q −1
q k +1 − 1
q −1
 q k −1 k 
q k −1
+ a1 ⋅ q k = a1 
+ q 
q −1
 q −1

 q k − 1 q k (q − 1) 
 q k − 1 + q k +1 − q k
 = a1 
= a1 
+
q −1 
q −1
 q −1

2. Beweis:
Voraussetzung:
ak = a1 ⋅ q k −1
Behauptung:
k-te Partialsumme: s k = a1
Beweis:
sk
mit q ≠ 0 und q ≠ 1

q k +1 − 1
 = a1
q −1

bzw. a n = a1 ⋅ q n−1
q k −1
q −1
= a1 + a 2 + a3 + ... + a k
= a1 + a1q + a1 q 2 + ... + a1q k − 2 + a1q k −1
qs k
= qa1 + a1q 2 + a1q 3 + ... + a1q k −1 + a1q k
qs k − s k = a1q k − a1
(
)
s k (q − 1) = a1 q k − 1
sk
= a1
q −1
q −1
k
q.e.d.
Satz: k-te Partialsumme einer geometrischen Folge mit q = 1
Ist (an) eine geometrische Folge mit dem Quotienten q=1, so gilt für deren k-te Partialsumme:
s k = a1 + a 2 + ... + ak = a1 + a1 + ... + a1 = k ⋅ a1
q.e.d.
q k −1
.
q −1