Unterrichtseinheit zum Thema Statistik

Unterrichtseinheit zum Thema Statistik
Ziel der Stunde:
Die Schüler sollen kennenlernen, wie ein Experiment beschrieben werden kann. Sie sollen
verstehen, wie man mit Hilfe des Laplace Prinzips Wahrscheinlichkeiten berechnen kann.
Lehrplanbezug:
6. Klasse AHS
Stochastik

Kennen des Begriffes Zufallsversuch, Beschreiben von Ereignissen durch Mengen

Kennen der Problematik des Wahrscheinlichkeitsbegriffs; Auffassen von
Wahrscheinlichkeiten als relative Anteile, als relative Häufigkeiten und als
subjektives Vertrauen
Ablauf der Stunde:

L/L begrüßt die S/S, nennt das Thema der Stunde

L/L erklärt Experiment mit Urne

Input: Beschreibung eines Experiments, Festlegung von Wahrscheinlichkeiten
(Stichwort idealer Würfel)

Input: Laplace Wahrscheinlichkeit

Übungen zur Laplace Wahrscheinlichkeit (gemeinsam, dann Einzelarbeit und
Vergleich der Ergebnisse)

Input: Gegenwahrscheinlichkeit

Übungen zur Gegenwahrscheinlichkeit (gemeinsam, dann Einzelarbeit und
Vergleich der Ergebnisse)
Dauer
Beschreibung
Zweck
5’
Experiment mit Urne
Die Schüler sollen einen Eindruck
über das Experimentieren (anhand
eines Urnenbeispiels) bekommen.
5’
Beschreibung eines Experiments
Die S/S sollen ein einfaches
Experiment mathematisch
beschreiben können. Dazu sollen
sie die Begriffe idealer Würfel oder
ideale Münze verwenden können
10’
Definition Laplace Experiment und Laplace
Wahrscheinlichkeit
Die S/S sollen den Begriff Laplace
Experiment verstehen und die
Wahrscheinlichkeit eines
Ereignisses ausrechnen können
12’
Übungen zur Laplace Wahrscheinlichkeit
Die S/S sollen üben, die Laplace
Wahrscheinlichkeit zu berechnen
5’
Definition der Gegenereignisregel
Die S/S sollen sehen, dass man
auch durch Anwenden der
Gegenereignisregel
Wahrscheinlichkeiten berechnen
kann. Sie sollen erkennen, wenn
sich zwei Ereignisse ausschließen.
13’
Übungen zur Gegenereignisregel
Die S/S sollen die Berechnung von
Wahrscheinlichkeiten und die
Gegenereignisregel üben um sie
besser in Erinnerung zu behalten.
Input:
1. Experiment mit einer Urne
Erklärung eines Experiments mit einer Urne, die N Kugeln enthält, welche abgesehen von
ihrer Farbe (schwarz, weiß) ununterscheidbar sind.
Es werden n Kugeln gezogen. Die Art des Ziehens kann unterschiedlich erfolgen:
1. mit zurücklegen: nach einem Zug wird die Kugel wieder zurück in die Urne gelegt.
Bei jedem Zug sind alle N Kugeln enthalten
2. ohne zurücklegen: beim ersten Zug wird eine Kugel entnommen und nicht wieder
zurück in die Urne gelegt. Beim zweiten Zug sind N-1 Kugeln enthalten, beim dritten
Zug N-2 und so weiter.
Die Ergebnisse des Experiments sind die verschiedenen Anzahlen von weißen und
schwarzen Kugeln.
Frage an die S/S: Ändert sich die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Zug z.B. eine
schwarze Kugel zu ziehen, wenn die Kugeln mit oder ohne Zurücklegen gezogen werden?
Wenn ja, warum?
Antwort: beim Ziehen mit zurücklegen ändert sich die Wahrscheinlichkeit nicht, da sich die
Anzahl der schwarzen und weißen Kugeln in der Urne nicht ändert. Beim Ziehen ohne
zurücklegen hingegen ändert sich die Wahrscheinlichkeit, da nach jedem Zug die Anzahl
der schwarzen oder weißen Kugeln verringert wird.
2. Beschreibung eines Experiments
Ein Experiment muss kann folgendermaßen beschrieben werden:
1.Ergebnismenge Ω = die Menge aller Ergebnisse, die eintreten können. Z.B.
Experiment
Ergebnismenge Ω
Urnenexperiment: es wird eine Kugel
gezogen
Ω = {schwarz, weiß}
Urnenexperiment: es werden zwei Kugeln
gezogen
Ω = {(schwarz, schwarz), (schwarz, weiß),
(weiß, schwarz), (weiß, weiß)}
Münzwurf: eine Münze einmal werfen
Ω = {Kopf, Zahl}.
Würfel: einmal würfeln mit einem Würfel
Ω = {1,2,3,4,5,6}
(Mit den S/S erarbeiten)
2.Die Wahrscheinlichkeit, mit der die Ergebnisse (oder Ereignisse) eintreten. Ein
Würfel, bei dem die Wahrscheinlichkeit eine Eins zu würfeln genauso groß ist, wie eine
Zwei, Drei, Vier, Fünf oder Sechs zu würfeln, nennt man idealen Würfel: die
Wahrscheinlichkeit aller Ergebnisse ω sind gleich groß.
Frage an die S/S: was kann man sich also unter einer idealen Münze vorstellen?
Antwort: P(Kopf) = P(Zahl) = ½
3. Laplace Experiment
Definition:
Ein Zufallsexperiment, bei dem jedes der n Elementarereignisse gleichwahrscheinlich ist,
heißt Laplace Experiment.
Als Elementarereignis wird das kleinste, nicht zusammengesetzte Ereignis bezeichnet:
beim Ziehen einer Kugel aus der Urne ist das das Ereignis des Ziehens, beim Würfeln das
Werfen, etc.
Frage an die S/S: ist das Experiment, bestehend aus einer Urne mit zwei weißen und
einer schwarzen Kugel, die abgesehen von ihrer Farbe nicht unterscheidbar sind, ein
Laplace Experiment?
Antwort: Ja, obwohl die Wahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind (P(weiß) = 2/3 und
P(schwarz) = 1/3). Denn: die Wahrscheinlichkeit, eine Kugel zu ziehen (Elementarereignis)
ist für alle Kugeln gleich groß.
Frage an die S/S: wie könnte ein Experiment mit einer Urne aussehen, das kein Laplace
Experiment ist?
Antwort: Ein Urnenexperiment mit Kugeln, die verschiedene Oberflächen haben, ist kein
Laplace Experiment. Denn die Person, welche die Kugeln aus der Urne zieht, kann die
Kugeln unterscheiden. Beim Ziehen kann die Person sich aufgrund der Oberfläche der
Kugel für oder gegen das Ziehen der Kugel entscheiden. Die Kugeln werden nicht mehr
mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen, die Elementarereignisse sind also nicht mehr
gleichwahrscheinlich.
Laplace'sche Wahrscheinlichkeitsregel:
Sei A (Teilmenge von Ω) ein Ereignis in einem Laplace Experiment. Dann
Anzahl günstiger Ergebnisse
ist P A = Anzahl möglicher Ergebnisse = |A|/|Ω|
Vom folgenden Beispiel werden Aufgaben a und b gemeinsam mit dem L/L gerechnet, die
Aufgaben c – f sollen die S/S daraufhin in Einzelarbeit lösen. Anschließend wird
verglichen.
Beispiel C (aus: Mathematik Lehrbuch 6. Götz, Reichel, Müller, Hanisch. öbvhpt. Wien,
2005)
Welche Wahrscheinlichkeiten haben die folgenden Ereignisse beim Würfeln (idealer
Würfel):
a) die Augenzahl ist gerade
b) die Augenzahl ist ungerade
c) die Augenzahl ist <= 5
d) die Augenzahl ist > 5
e) die Augenzahl ist < 1
f) die Augenzahl ist ein Teiler von 60
Lösung:
Ω = {1,2,3,4,5,6} und |Ω| = 6
a) A = {2,4,6}, |A| = 3. P(A) = 3/6 = ½
b) B = {1,3,5}, |B| = 3. P(B) = 3/6 = ½
c) C = {1,2,3,4,5}, |C| = 5. P(C) = 5/6
d) D = {6}, |D| = 1. P(D) = 1/6
e) E = {}, |E| = 0. P(E) = 0/6 = 0. Das Ereignis ist unmöglich
f) F = {1,2,3,4,5,6}, |F| = 6. P(F) = 6/6 = 1. Das Ereignis gilt als sicher
Frage an die S/S: Fällt euch bei Ereignis D und F etwas auf?
Antwort: Ereignisse C und D schließen einander aus (C∩D = {})
C U D = {1,2,3,4,5} U {6} = Ω
Definition: Gegenereignisregel:
Für zwei Ereignisse, A und A' mit A U A' = Ω und A∩A' = {} gilt:
P(A) = 1 – P(A')
P(A) + P(A') = 1
Für Ereignisse C und D gilt also: P(C) = 1 – P(D). Aus der Wahrscheinlichkeit von C kann
die Wahrscheinlichkeit von D berechnet werden, und umgekehrt:
5/6 = 1 – 1/6 und1/6 = 1 - 5/6
Vom folgenden Beispiel werden Aufgaben a und b gemeinsam mit dem L/L gerechnet, die
Aufgaben c – g sollen die S/S daraufhin in Einzelarbeit lösen. Anschließend wird
verglichen.
Beispiel 645 (aus: Mathematik Lehrbuch 6. Götz, Reichel, Müller, Hanisch. öbvhpt. Wien,
2005)
Ein Würfel wird geworfen. Gib zu der angegebenen Ergebnismenge 1) ein passendes
Ereignis, 2) das Gegenereignis, 3) die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten an:
a) {2,3,5}
b) {1,2}
c) {5,6}
d) {1,3,5}
e) {2,4,6}
f) {1,2,3,4,5,6}
g) {}
Lösung:
a) Ereignis A: Es wird eine Primzahl geworfen. Gegenereignis A': es wird keine Primzahl
geworfen: A' = {1,4,6}. P(A) = ½. P(A') = 1 - ½ = ½.
Probe: P(A') = |A'|/|Ω| = 3/6 = ½
b) Ereignis B: Es wird eine Zahl < 3 geworfen. Gegenereignis B': es wird eine Zahl >= 3
geworfen. B' = {3,4,5,6}. P(B) = 2/6 = 1/3. P(B') = 1-1/3 = 2/3.
Probe: P(B') = |B'|/|Ω| = 4/6 = 2/3.
c) Ereignis C: Es wird eine Zahl >= 5 geworfen. C': es wird eine Zahl < 5 geworfen. C' =
{1,2,3,4}. P(C) = 2/6 = 1/3. P(C') = 1-1/3 = 2/3
Probe: P(C') = |C'|/|Ω| = 4/6 = 2/3
d) Ereignis D: Es wird eine ungerade Zahl geworfen. D': es wird eine gerade Zahl
geworfen. D' = {2,4,6}. P(D) = ½. P(D') = 1-1/2 = ½
Probe: P(D') = |D'|/|Ω| = 3/6 = ½
e) Ereignis E: Es wird eine gerade Zahl geworfen. E': es wird eine ungerade Zahl
geworfen. E' = {1,3,5}. P(E) = ½. P(E') = 1-1/2 = ½
Probe: P(E') = |E'|/|Ω| = 3/6 = ½
f) Ereignis F: Es wird eine Zahl > 0 geworfen. F': es wird eine Zahl <= 0 geworfen. F' = {}.
P(F) = 1. P(F') = 1 – 1 = 0
Probe: P(F') = |F'|/|Ω| = 0/6 = 0
g) Ereignis G: Es wird zweistellige Zahl geworfen. G': es wird eine einstellige Zahl
geworfen. G' = {1,2,3,4,5,6}. P(G) = 0. P(G') = 1 – 0 = 1
Probe: P(G') = |G'|/|Ω| = 6/6 = 1